2018届中考数学提升练习：专题(十三) 以圆为背景的相似三角形的计算与证明

专题提升(十三)　以圆为背景的相似三角形的计算与

证明

【经典母题】

如图Z13－1，DB为半圆的直径，A为BD延长线上的一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F.已知AC＝12，BC＝9，求AO的长．

    图Z13－1　　  　　     　经典母题答图

解：如答图，连结OE，设⊙O的半径是R，则OE＝OB＝R.

在Rt△ACB中，由勾股定理，得

AB＝＝15.

∵AC切半圆O于点E，∴OE⊥AC，

∴∠OEA＝90°＝∠C，∴OE∥BC，

∴△AEO∽△ACB，

∴＝，∴＝，解得R＝，

∴AO＝AB－OB＝15－R＝.

【思想方法】　利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得到相似三角形，利用比例线段求AO的长．

【中考变形】

1．如图Z13－2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连结OD.

(1)求证：△ADO∽△ACB；

(2)若⊙O的半径为1，求证：AC＝AD·BC.

证明：(1)∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB，

∴∠C＝∠ADO＝90°，∵∠A＝∠A，

∴△ADO∽△ACB；

(2)由(1)知，△ADO∽△ACB.∴＝，

∴AD·BC＝AC·OD，∵OD＝1，∴AC＝AD·BC.

2．[2017·德州]如图Z13－3，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E.

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的长．

    图Z13－3           　　　中考变形2答图

解：(1)证明：如答图，连结OE，EC，∵AC是⊙O的直径，

∴∠AEC＝∠BEC＝90°，∵D为BC的中点，

∴ED＝DC＝BD，∴∠1＝∠2，[来源:Z*xx*k.Com]

∵OE＝OC，∴∠3＝∠4，

∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠OED＝∠ACB，

∵∠ACB＝90°，∴∠OED＝90°，∴DE是⊙O的切线；

(2)由(1)知∠BEC＝90°，

∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B＝∠B，∠BEC＝∠BCA，

∴△BEC∽△BCA，∴＝，

∴BC2＝BE·BA，∵AE∶EB＝1∶2，

设AE＝x，则BE＝2x，BA＝3x，

∵BC＝6，∴62＝2x·3x，解得x＝ ，即AE＝ .

3．如图Z13－4，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E.

(1)求证：直线CD是⊙O的切线；

(2)若DE＝2BC，求AD∶OC的值．

图Z13－4 中考变形3答图

解：(1)证明：如答图，连结DO.

∵AD∥OC，

∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD.

∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，[来源:学科网]

∴∠COD＝∠COB.

又∵CO＝CO，OD＝OB，∴△COD≌△COB(SAS)，

∴∠CDO＝∠CBO＝90°，即OD⊥CD.

又∵点D在⊙O上，∴直线CD是⊙O的切线；

(2)由(1)知，△COD≌△COB，∴CD＝CB.

∵DE＝2BC，∴DE＝2CD.∵AD∥OC，

∴△EDA∽△ECO，∴＝＝＝.

4．[2016·广东]如图Z13－5，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°.过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E.过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F.

(1)求证：△ACF∽△DAE；

(2)若S△AOC＝，求DE的长；

(3)连结EF，求证：EF是⊙O的切线．

图Z13－5 中考变形4答图

解：(1)证明：∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，

又∵∠ABC＝30°，∴∠ACB＝60°，

又∵OA＝OC，

∴△OAC为等边三角形，即∠OAC＝∠AOC＝60°，

∵AF为⊙O的切线，∴∠OAF＝90°，

∴∠CAF＝∠AFC＝30°，

∵DE为⊙O的切线，∴∠DBC＝∠OBE＝90°，

∴∠D＝∠DEA＝30°，∴∠D＝∠CAF，∠DEA＝∠AFC，

∴△ACF∽△DAE；

(2)∵△AOC为等边三角形，∴S△AOC＝OA2＝，

∴OA＝1，BC＝2，OB＝1，又∵∠D＝∠BEO＝30°，

∴BD＝2，BE＝，∴DE＝3；

(3)证明：如答图，过点O作OM⊥EF于点M，

∵OA＝OB，∠OAF＝∠OBE＝90°，∠BOE＝∠AOF，

∴△OAF≌△OBE(SAS)，∴OE＝OF，

∵∠EOF＝120°，∴∠OEM＝∠OFM＝30°，

∴∠OEB＝∠OEM＝30°，即OE平分∠BEF，

又∵∠OBE＝∠OME＝90°，

∴OM＝OB，∴EF为⊙O的切线．

5．[2017·株洲]如图Z13－6，AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE＝EF，线段CE交弦AB于点D.

(1)求证：CE∥BF；

(2)若BD＝2，且EA∶EB∶EC＝3∶1∶，求△BCD的面积．

图Z13－6 中考变形5答图

解：(1)证明：如答图，连结AC，BE，作直线OC，

∵BE＝EF，

∴∠F＝∠EBF，

∵∠AEB＝∠EBF＋∠F，

∴∠F＝ ∠AEB，

∵C是的中点，∴＝，

∴∠AEC＝∠BEC，∵∠AEB＝∠AEC＋∠BEC，

∴∠AEC＝∠AEB，∴∠AEC＝∠F，∴CE∥BF；

(2)∵∠DAE＝∠DCB，∠AED＝∠CEB，

∴△ADE∽△CBE，∴＝，即＝，

∵∠CBD＝∠CEB，∠BCD＝∠ECB，

∴△CBE∽△CDB，

 ∴＝，即＝，[来源:Z*xx*k.Com]

∴CB＝2，∴AD＝6，∴AB＝8，

∵点C为劣弧AB的中点，[来源:学#科#网Z#X#X#K]

∴OC⊥AB，设垂足为G，则AG＝BG＝AB＝4，

∴CG＝＝2，

∴S△BCD＝BD·CG＝×2×2＝2.

6．如图Z13－7，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连结AC，BC，PB∶PC＝1∶2.

(1)求证：AC平分∠BAD；

(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由．

图Z13－7         　　中考变形6答图

解：(1)证明：如答图，连结OC.

∵PE是⊙O的切线，∴OC⊥PE，

∵AE⊥PE，∴OC∥AE，

∴∠DAC＝∠OCA，

∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，

∴∠DAC＝∠OAC，

∴AC平分∠BAD；

(2)线段PB，AB之间的数量关系为AB＝3PB.理由：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＋∠ABC＝90°，

∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC，

∵∠PCB＋∠OCB＝90°，∴∠PCB＝∠PAC，

∵∠P是公共角，∴△PCB∽△PAC，

∴＝，∴PC2＝PB·PA，

∵PB∶PC＝1∶2，∴PC＝2PB，

∴PA＝4PB，∴AB＝3PB.

7．[2016·枣庄]如图Z13－8，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，P是⊙O外一点，连结PA，PB，AB，已知∠PBA＝∠C.

(1)求证：PB是⊙O的切线；

(2)连结OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为2，求BC的长．

图Z13－8    　　　中考变形7答图

解：(1)证明：如答图，连结OB，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC＝90°，∠C＋∠BAC＝90°.

∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA，

∵∠PBA＝∠C，

∴∠PBA＋∠OBA＝90°，即PB⊥OB.

∴PB是⊙O的切线；

(2)⊙O的半径为2，∴OB＝2，AC＝4，

∵OP∥BC，∴∠BOP＝∠OBC＝∠C，

又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，∴△ABC∽△PBO，

 ∴＝，即＝，∴BC＝2.

8．[2017·聊城]如图Z13－9，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连结BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.

(1)求证：PD是⊙O的切线；

(2)求证：△PBD∽△DCA；

(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．

图Z13－9   　　　   中考变形8答图

解：(1)证明：∵圆心O在BC上，

∴BC是⊙O的直径，[来源:学科网]

∴∠BAC＝90°，如答图，连结OD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC＝2∠DAC，

∵∠DOC＝2∠DAC，

∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC，

∵PD∥BC，∴OD⊥PD，∵OD为⊙O的半径，

∴PD是⊙O的切线；

(2)证明：∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC，

∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC，

∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°，

∴∠PBD＝∠ACD，∴△PBD∽△DCA；

(3)∵△ABC为直角三角形，

∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋82＝100，∴BC＝10，

∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC，

∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，

在Rt△DBC中，DB2＋DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝100，

∴DC＝DB＝5，∵△PBD∽△DCA，

 ∴＝，即PB＝＝＝.

【中考预测】

[2017·黄冈模拟]如图Z13－10，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且OD⊥BC，垂足为F，OD交⊙O于点E.证明：

(1)∠D＝∠AEC；

(2)OA2＝OD·OF.

图Z13－10        　　　中考预测答图

证明：(1)如答图，连结OC，

∵CD与⊙O相切于点C，

∴∠OCD＝90°.

∴∠OCB＋∠DCF＝90°.

∵∠D＋∠DCF＝90°，∴∠OCB＝∠D，

∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，

∵∠B＝∠AEC，∴∠D＝∠AEC；

(2)∵∠B＝∠AEC，∴∠D＝∠B，

∵OD⊥BC，∴∠BFO＝∠OCD＝90°，

∴△BOF∽△DOC，∴＝，即＝，

∴OA2＝OD·OF.