2018届中考数学提升练习：专题（七） 二次函数的图象和性质的综合运用

这是一份2018届中考数学提升练习：专题（七） 二次函数的图象和性质的综合运用，共7页。

用两种不同的图解法求方程x2－2x－5＝0的解(精确到0.1)．
解：略．
【思想方法】 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，因此我们可以通过解方程ax2＋bx＋c＝0来求抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的坐标；反过来，也可以由y＝ax2＋bx＋c的图象来求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解．
【中考变形】
1．[2016·烟台]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图Z7－1所示，下列结论：①4ac＜b2；②a＋c＞b；③2a＋b＞0.其中正确的有 ( B )
图Z7－1
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
【解析】 ∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＞0，∴b2－4ac＞0，∴4ac＜b2，故①正确；∵x＝－1时，y＜0，∴a－b＋c＜0，∴a＋c＜b，故②错误；∵对称轴直线x＞1，∴－eq \f(b,2a)＞1，又∵a＜0，∴－b＜2a，∴2a＋b＞0，故③正确．故选B.
2．[2016·绍兴]抛物线y＝x2＋bx＋c(其中b，c是常数)过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y＝0(1≤x≤3)有交点，则c的值不可能是 ( A )
A．4 B．6
C．8 D．10
【解析】 ∵抛物线y＝x2＋bx＋c(其中b，c是常数)过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y＝0(1≤x≤3)有交点，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4＋2b＋c＝6，,1≤－\f(b,2×1)≤3，))解得6≤c≤14.故选A.
3．[2017·株洲]如图Z7－2，二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A(－1，0)与点C(x2，0)，且与y轴交于点B(0，－2)，小强得到以下结论：①0＜a＜2；②－1＜b＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时x2＞eq \r(5)－1，以上结论中正确结论的序号为__①④__.
【解析】 由A(－1，0)，B(0，－2)，得b＝a－2，∵开口向上，∴a＞0.∵对称轴在y轴右侧，∴－eq \f(b,2a)＞0，∴－eq \f(a－2,2a)＞0，a＜2，∴0＜a＜2，①正确；
∵抛物线与y轴交于点B(0，－2)，∴c＝－2，③错误；∵抛物线图象与x轴交于点A(－1，0)，∴a－b－2＝0，b＝a－2，∵0＜a＜2，∴－2＜b＜0，②错误；∵|a|＝|b|，二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴在y轴的右侧，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝eq \f(1,2)，∴x2＝2＞eq \r(5)－1，④正确．故答案为①④.

图Z7－2 图Z7－3
4．[2017·天水]如图Z7－3是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一部分图象，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点是B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①abc＞0；②方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x(ax＋b)≤a＋b，其中正确的结论是__②⑤__.(只填写序号)
【解析】 由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，①错误；观察图象可知，抛物线与直线y＝3只有一个交点，故方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根，②正确；根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是(－2，0)，③错误；观察图象可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1，④错误；∵x＝1时，y1有最大值，∴ax2＋bx＋c≤a＋b＋c，即x(ax＋b)≤a＋b，⑤正确．综上所述，②⑤正确．
5．如图Z7－4，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，且过点C(0，－3)．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线的函数表达式．
图Z7－4
解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，
∴可设抛物线表达式为y＝a(x－1)(x－3)，
把C(0，－3)的坐标代入，得3a＝－3，解得a＝－1，
故抛物线表达式为y＝－(x－1)(x－3)，
即y＝－x2＋4x－3.
∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，
∴抛物线的顶点坐标为(2，1)；
(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y＝－x上．
6．[2017·江西]已知抛物线C1：y＝ax2－4ax－5(a＞0)．
(1)当a＝1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；
(2)①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；
②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；
(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．
解：(1)当a＝1时，抛物线表达式为y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9，
∴对称轴为x＝2，
∴当y＝0时，x－2＝3或－3，即x＝－1或5，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)或(5，0)；
(2)①抛物线C1表达式为y＝ax2－4ax－5，
整理，得y＝ax(x－4)－5.
∵当ax(x－4)＝0时，y恒定为－5，
∴抛物线C1一定经过两个定点(0，－5)，(4，－5)．
②这两个点连线为y＝－5，
将抛物线C1沿y＝－5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变，
∴抛物线C2的表达式为y＝－ax2＋4ax－5；
(3)抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，
则x＝2时，y＝2或－2.
当y＝2时，2＝－4a＋8a－5，解得a＝eq \f(7,4)；
当y＝－2时，－2＝－4a＋8a－5，解得a＝eq \f(3,4).
∴a＝eq \f(7,4)或eq \f(3,4).
7．[2017·北京]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.
(1)求直线BC的表达式；
(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，与直线BC交于点N(x3，y3)，若x1＜x2＜x3，结合函数的图象，求x1＋x2＋x3的取值范围．
解：(1)由y＝x2－4x＋3得到y＝(x－3)(x－1)，C(0，3)，
∴A(1，0)，B(3，0)．
设直线BC的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝3，,3k＋b＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－1，,b＝3，))
∴直线BC的表达式为y＝－x＋3；
中考变形7答图
(2)由y＝x2－4x＋3得到y＝(x－2)2－1，
∴抛物线y＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2，顶点坐标是(2，－1)．
∵y1＝y2，∴x1＋x2＝4.
令y＝－1，代入y＝－x＋3，得x＝4.
∵x1＜x2＜x3(如答图)，
∴3＜x3＜4，即7＜x1＋x2＋x3＜8.
8．[2016·益阳]如图Z7－5，顶点为A(eq \r(3)，1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B.
(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；
(2)过点B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；
(3)在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．

图Z7－5 中考变形8答图
解：(1)∵抛物线顶点为A(eq \r(3)，1)，
∴设抛物线对应的二次函数的表达式为
y＝a(x－eq \r(3))2＋1.
将原点坐标(0，0)代入，得a＝－eq \f(1,3)，
∴抛物线对应的二次函数的表达式为y＝－eq \f(1,3)x2＋eq \f(2\r(3),3)x；
(2)证明：将y＝0代入y＝－eq \f(1,3)x2＋eq \f(2\r(3),3)x中，
得B(2eq \r(3)，0)．
设直线OA对应的一次函数的表达式为y＝kx，
将A(eq \r(3)，1)代入，得k＝eq \f(\r(3),3)，
∴直线OA对应的一次函数的表达式为y＝eq \f(\r(3),3)x.
∵BD∥AO，设直线BD对应的一次函数的表达式为y＝eq \f(\r(3),3)x＋b，
将B(2eq \r(3)，0)代入，得b＝－2，
∴直线BD对应的一次函数的表达式为y＝eq \f(\r(3),3)x－2.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(\r(3),3)x－2，,y＝－\f(1,3)x2＋\f(2\r(3),3)x，))
得交点D的坐标为(－eq \r(3)，－3)，
将x＝0代入y＝eq \f(\r(3),3)x－2中，得C点的坐标为(0，－2)，
∴OA＝2＝OC，AB＝2＝CD，OB＝2eq \r(3)＝OD，
在△OCD与△OAB中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(OC＝OA，,CD＝AB，,OD＝OB，))
∴△OCD≌△OAB(SSS)；
(3)如答图，点C关于x轴的对称点C′的坐标为(0，2)，连结C′D，则C′D与x轴的交点即为点P，此时△PCD的周长最小．
过点D作DQ⊥y轴，垂足为Q，则PO∥DQ.
∴△C′PO∽△C′DQ，
∴eq \f(PO,DQ)＝eq \f(C′O,C′Q)，即eq \f(PO,\r(3))＝eq \f(2,5)，解得PO＝eq \f(2\r(3),5)，
∴ 点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),5)，0)).
【中考预测】
设抛物线y＝mx2－2mx＋3(m≠0)与x轴交于点A(a，0)和B(b，0)．
(1)若a＝－1，求m，b的值；
(2)若2m＋n＝3，求证：抛物线的顶点在直线y＝mx＋n上；
(3)抛物线上有两点P(x1，p)和Q(x2，q)，若x1＜1＜x2，且x1＋x2＞2，试比较p与q的大小．
解：(1)当a＝－1时，把(－1，0)代入y＝mx2－2mx＋3，解得m＝－1，
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.
令y＝0，则由y＝－x2＋2x＋3，得[来源:学。科。网]
x＝－1或3，∴b＝3；
(2)抛物线的对称轴为x＝1，
把x＝1代入y＝mx2－2mx＋3，得y＝3－m，
∴抛物线的顶点坐标为(1，3－m)．
把x＝1代入y＝mx＋n，[来源:Z*xx*k.Cm]
得y＝m＋n＝m＋3－2m＝3－m，
∴顶点坐标在直线y＝mx＋n上；
(3)∵x1＋x2＞2，∴x2－1＞1－x1，
∵x1＜1＜x2，∴|x2－1|＞|x1－1|，
∴P离对称轴较近，
当m＞0时，p＜q，当m＜0时，p＞q.