2021年江苏省扬州市江都区邵樊片中考数学第一次质检试题（word版含答案）

这是一份2021年江苏省扬州市江都区邵樊片中考数学第一次质检试题（word版含答案），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年江苏省扬州市江都区邵樊片中考数学第一次质检试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．数﹣，π，3，0中，最大的数是（　　）
A．﹣ B．π C．3 D．0
2．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．某班要从9名百米跑成绩各不相同的同学中选4名参加4×100米接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
4．均匀的向一个容器内注水，在注水过程中，水面高度与时间的函数关系如图所示，则该容器是下列中的（ ）

A． B． C． D．
5．如图,∥,,，则的度数是（ ）

A． B．
C． D．
6．如图，⊙O是ΔABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC=2，则sinB的值是

A． B． C． D．
7．如图：四个形状大小相同的等腰三角形△ABE，△ADF，△CDG，△BCH按如图摆放在正方形ABCD的内部，顺次连接E、F、G、H得到四边形EFGH．若∠AEB＝∠AFD＝∠CGD＝∠BHC＝120°，且EH＝﹣，则BC的长为（　　）

A． B．4﹣4 C．2 D．2
8．如图所示，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，为坐标原点，以为斜边构造等腰，反比例函数的图象经过点，交于点，连接．若，轴，，则的值为（ ）

A．12 B．16 C．18 D．24

二、填空题
9．因式分解：_________．
10．若2x＝3，2y＝5，则2x+y＝__．
11．已知不等式组的解集为_________．
12．中国“神威·太湖之光”计算机最高运行速度为1250000000亿次/秒，将数1250000000用科学记数法可表示为__________.
13．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是_____．
14．若x2﹣3x＝1，则代数式6x﹣2x2+5值为___．
15．一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥底面圆的半径为________________．
16．二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x
…
﹣3
﹣1
1
3
…
y
…
﹣4
2
4
2
…
则当﹣3＜x＜3时，y满足的范围是_________．
17．正方形ABCD，∠DEC＝90°，EC＝6，则阴影△CBE面积是_____．

18．如图，抛物线y =的图象与坐标轴交于A、B、D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y轴的正半轴于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP，N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时,点N运动的路径长是_____．


三、解答题
19．（1）计算：（﹣2）﹣1﹣2•cos30°+（2021﹣π）0﹣|﹣2|．
（2）解方程：x2﹣4x＝12．
20．已知，在如图所示的“风筝”图案中，，，.求证：.

21．为了从小华和小亮两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射击6次，命中的环数如下（单位：环）：
小华：7，8，7，8，9，9； 小亮：5，8，7，8，10，10．
（1）填写下表：

平均数（环）
中位数（环）
方差（环2）
小华

8

小亮
8

3
（2）根据以上信息，你认为教练会选择谁参加比赛，理由是什么？
（3）若小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差 ．（填“变大”、“变小”、“不变”）
22．九年级某班要召开一次“走近抗疫英雄，讲好中国故事”主题班会活动，李老师制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．

（1）小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为B的概率为　 　；
（2）小明从4张卡片中随机抽取1张（不放回），小丽再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述相关英雄的故事，求小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．
23．端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗，某商场在端午节来临之际用3000元购进、两种粽子1100个，购买种粽子与购买种粽子的费用相同，已知粽子的单价是种粽子单价的1.2倍.
（1）求、两种粽子的单价各是多少？
（2）若计划用不超过7000元的资金再次购买、两种粽子共2600个，已知、两种粽子的进价不变，求中粽子最多能购进多少个？
24．如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，AB=8，BC=10．

（1）求证：△AEF∽△DFC；
（2）求线段EF的长度．
25．时代购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的坡度为1：3，一楼到地下停车场地面的垂直高度CD＝3.2m，一楼到地平线的距离BC＝1m．
（1）为保证斜坡的坡度为1：3，应在地面上距点B多远的A处开始斜坡的施工？
（2）如果给该购物广场送货的货车高度为2.8m，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：≈3.2）

26．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，OC∥AD，AD交BC的延长线于D，AB交OC于E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AE＝5，BE＝3，求图中阴影部分的面积．

27．某水产养殖户，一次性收购了小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元（总成本=放养总费用+收购成本）．
（1）设每天的放养费用是万元，收购成本为万元，求和的值；
（2）设这批小龙虾放养天后的质量为（），销售单价为元/．根据以往经验可知：m与t的函数关系式为，y与t的函数关系如图所示

①求y与t的函数关系式；
②设将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当为何值时，W最大？并求出W的最大值．（利润=销售总额－总成本）
28．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“好点”．

（1）如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出（或在图中直接描出）边上的“好点”；
（2）中，，，，点是边上的“好点”，求线段的长；
（3）如图3，是⊙O的内接三角形，点在上，连结并延长交⊙O于点．若点是中边上的“好点”．
①求证：；
②若，⊙O的半径为，且，求的值．


参考答案
1．B
【分析】
根据实数的大小比较方法进行比较即可求解．
【详解】
解：∵，
∴最大的数是π．
故选：B．
【点睛】
本题考查实数的大小比较，掌握实数的大小比较方法是解答本题的关键．
2．C
【分析】
根据单项式乘法法则，同底数幂的除法的性质，去括号法则，积的乘方的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
A、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，正确；
D、，故本选项错误，
故选C．
【点睛】
本题考查了单项式乘法法则，同底数幂的除法的性质，去括号法则，积的乘方的性质．熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
3．B
【分析】
总共有9名同学，只要确定每个人与成绩的第五名的成绩的多少即可判断，然后根据中位数定义即可判断．
【详解】
要想知道自己是否入选，老师只需公布第五名的成绩，
即中位数．
故选B.
4．D
【分析】
由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断，由图象及容积可求解．
【详解】
根据图象折线可知是正比例函数和一次函数的函数关系的大致图象；切斜程度（即斜率）可以反映水面升高的速度；因为D几何体下面的圆柱体的底圆面积比上面圆柱体的底圆面积小,所以在均匀注水的前提下是先快后慢;
故选D.
【点睛】
此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据用的时间长短来判断相应的函数图象．
5．C
【分析】
直接利用等腰三角形的性质结合平行线的性质得出答案．
【详解】
解：∵AD＝CD，∠1＝50°，
∴∠CAD＝∠ACD＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠ACD＝65°．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，正确得出∠ACD＝65°是解题关键．
6．D
【详解】
如图，连接DC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∵⊙O的半径为，
∴AD=3，
∴sin∠ADC=，
又∵∠B=∠ADC，
∴sinB=.
故选D.

7．C
【分析】
由题意易证，即得出，再利用三角形内角和定理结合等腰三角形的性质可求出，从而求出，进而求出，即说明四边形EFGH是正方形．设，连接EG并延长交CD于点N，延长GE交AB于点M，利用正方形的性质可求出，即说明EM⊥AB，且点M是AB的中点．即可得出，由含角的直角三角形的性质可求出，最后由，及可列出关于x的等式，解出x即可．
【详解】
解：
由题意可得：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴四边形EFGH是正方形，
设，连接EG并延长交CD于点N，延长GE交AB于点M，
∴由正方形的性质可得，
∴，
∴EM⊥AB，且点M是AB的中点，

∴，
∴，
∵，
又∵，
∴，
解得：，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及含角的直角三角形的性质等知识．正确的作出辅助线是解答本题的关键．
8．D
【分析】
过点A作AH⊥x轴于点H，过点D作DG⊥x于点G，交AB于点F，则可证得△DFA≌△OGD，有AF=DG，DF=OG；设H(a,0)，由cos∠AOC及勾股定理得AH=3a，从而得A点坐标，由A在的图象上，得；根据图形得DF+DG=3a，OG-HG=OG-DG=OH=a，解得OG=2a，DG=a，从而可得点E的坐标，把点E的坐标代入函数解析式中，可求得a的值，从而求得k的值．
【详解】
如图，过点A作AH⊥x轴于点H，过点D作DG⊥x于点G，交AB于点F

则AH=FG，AF=HG
∵四边形OABC是平行四边形
∴AB∥OC
∴GF⊥AB
∴∠FAD+∠FDA=90°
∵AD⊥OD
∴∠FDA+∠ODG=90°
∴∠FAD=∠ODG
在△DFA和△OGD中

∴△DFA≌△OGD（AAS）
∴AF=DG，DF=OG
设H(a,0)，则cos∠AOC=
∴
在Rt△AOH中，由勾股定理得：AH=3a
∴A（a，3a）
由于点A在反比例函数的图象上
∴
∴
∵FG=AH=3a
∴DF+DG=3a
∴OG+DG=3a
∵四边形AFGH为矩形
∴HG=AF=DG
∴OG-HG=OG-DG=OH=a
解方程组 ，得：OG=2a，DG=a
∴D点的横坐标为，纵坐标为a
由于点D在的图象上，故有
解得：
∴
故选：D
【点睛】
本题主要考查了求反比例函数的解析式、三角形全等的判定与性质、勾股定理，关键是过点D作x轴的垂线交AB于点F，构造了一线三垂直，从而得到两个全等的三角形；其次是得到关于OG、DG的两个关系式，这也是难点．
9．
【详解】
根据分解因式提取公因式法，将方程a2+2a提取公因式为a（a+2）．故a2+2a=a（a+2）．
故答案是a（a+2）．
10．15
【分析】
根据同底数幂的乘法运算法则，底数不变，只把指数相加，将两式相乘即可得到答案.
【详解】
解：∵2x＝3，2y＝5，∴2x+y＝2x•2y＝3×5＝15．
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法运算，解决本题的关键是熟练掌握同底数幂的运算法则，在实际问题中能够灵活运用.
11．﹣1≤x＜2
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集．
【详解】
解：解不等式x﹣2＜0，得：x＜2，
解不等式x+1≥0，得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
故答案为：﹣1≤x＜2．
【点睛】
本题考查了解不等式组的问题，掌握解不等式组的方法是解题的关键．
12．
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】
1250000000的小数点向左移动9位得到1.25，
所以1250000000用科学记数法表示为1.25×109，
故答案为1.25×109．
【点睛】
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．4
【分析】
根据关于x轴对称的两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求得a、b的值即可求得答案.
【详解】
点与点关于轴对称，
，，
则a+b的值是：,
故答案为．
【点睛】
本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解此类问题的关键.
14．3
【分析】
把x2﹣3x＝1整体代入代数式6x﹣2x2+5求得数值即可．
【详解】
解：∵x2﹣3x＝1，
∴6x﹣2x2+5＝﹣2（x2﹣3x）+5＝﹣2+5＝3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查代数式求值问题，利用整体的思想代入求值准确计算是解题关键．
15．3
【分析】
设该圆锥底面圆的半径为，则可根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程即可．
【详解】
解：设该圆锥底面圆的半径为，
根据题意得，解得，
即该圆锥底面圆的半径为3．
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查圆锥的底面半径，掌握弧长公式是关键．
16．﹣4＜y≤4
【分析】
利用二次函数图象上点的坐标特征可根据x＝﹣3及x＝3时y的值，结合二次函数图象的顶点坐标，即可找出﹣3＜x＜3时y的取值范围．
【详解】
解：从表格看出，函数的对称轴为x＝1，顶点为（1，4），函数有最大值4，
∴抛物线开口向下，
∴当﹣3＜x＜3时，﹣4＜y≤4，
故答案为，﹣4＜y≤4．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是学会看懂表格信息，灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．
17．18
【分析】
过点E作BC边的垂线，构造相似三角形，得到阴影部分的高，再代入三角形面积公式可得解．
【详解】
解：如图，过点E作EN⊥BC于点N，则∠ENC＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，
∴；CB＝CD，∠DCB＝90°．
∵∠DEC＝90°，
∴∠CDE+∠DCE＝∠DCE+∠BCE＝90°，
∴∠CDE＝∠BCE，
又∵

∴△CEN∽△DCE，
∴，即，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积问题，掌握构建相似三角形求解三角形的边长是解题的关键．
18．
【分析】
求出A、B、E坐标，由题意可知点N在以EM为直径的圆上，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径是半圆，求弧长即可．
【详解】
解：当y=0时，0 =，
解得，x1=-2，x2=4，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（4，0），
所以M点坐标为（1，0），
由抛物线y =可知，E点坐标为（1，-3），则ME=MA=MP=3，
∵N是PE的中点，
∴∠MNE=90°，
∴点N在以EM为直径的圆上，
当点P与B重合时，N点坐标为（2.5，-1.5），当点P与A重合时，N点坐标为（-0.5，-1.5），故点N运动的路径是以EM为直径的半圆，
由坐标可知EM=3，
点N运动的路径长为：，
故答案为：．

【点睛】
本题考查了二次函数的性质和弧长公式，解题关键是确定点运动的轨迹，利用弧长公式准确求解．
19．（1）﹣；（2）x1＝6，x2＝﹣2
【分析】
（1）先计算负整数指数幂和零指数幂、代入三角函数值、去绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）原式＝﹣﹣2×+1﹣（2﹣）
＝﹣﹣+1﹣2+
＝；
（2）x2﹣4x＝12，
x2﹣4x﹣12＝0，
则（x﹣6）（x+2）＝0，
∴x﹣6＝0或x+2＝0，
解得x1＝6，x2＝﹣2．
【点睛】
本题考查了实数和三角函数的混合运算问题以及一元二次方程的解法，掌握实数和三角函数的运算法则是解题的关键．
20．详见解析.
【分析】
根据全等三角形的判定定理SAS，即可得到答案.
【详解】
∵，
∴，
∴，且，，
∴，
∴.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定定理SAS，熟练掌握全等三角形的判定定理SAS是解题的关键.
21．（1）8，8，；（2）选择小华参赛．（3）变小
【分析】
（1）根据方差、平均数和中位数的定义求解；
（2）根据方差的意义求解；
（3）根据方差公式求解．
【详解】
（1）解：小华射击命中的平均数:=8,
小华射击命中的方差:,
小亮射击命中的中位数:；
（2）解：∵小华＝小亮，S2小华＜S2小亮
∴选小华参赛更好，因为两人的平均成绩相同，但小华的方差较小，说明小华的成绩更稳定，所以选择小华参赛．
（3）解：小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差变小.
【点睛】
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数和众数．
22．（1）；（2）图见解析，．
【分析】
（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得．
【详解】
解：（1）∵共有4张卡片，
∴小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为B的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果数，其中小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的有6种结果，
所以小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的概率为：．
【点睛】
本题考查了概率的应用，掌握运用列表法或画树状图法列出所有可能的结果及概率的计算方法是解题的关键．
23．（l）种粽子的单价是3元，种粽子的单价是2.5元；（2）种粽子最多能购进1000个.
【分析】
（1）根据题意列出分式方程计算即可，注意根的验证.
（2）根据题意列出不等式即可，根据不等式的性质求解.
【详解】
（l）设种粽子的单价为元，则种粽子的单价为元
根据题意，得

解得：
经检验，是原方程的根

所以种粽子的单价是3元，种粽子的单价是2.5元
（2）设种粽子购进个，则购进种粽子个
根据题意，得

解得
所以，种粽子最多能购进1000个
【点睛】
本题主要考查分式方程的应用，关键在于分式方程的解需要验证.
24．（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）由四边形ABCD是矩形，于是得到∠A=∠D=∠B=90°，根据折叠的性质得∠EFC=∠B=90°，推出∠AEF=∠DFC，即可得到结论；
（2）根据折叠的性质得CF=BC=10，根据勾股定理得到，求得AF=4，然后根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠B=90°，CD=AB=8，
根据折叠的性质得∠EFC=∠B=90°，
∴∠AFE+∠AEF=∠AFE+∠DFC=90°，
∴∠AEF=∠DFC，
∴△AEF∽△DFC；
（2）根据折叠的性质得：CF=BC=10，BE=EF，
∴，
∴AF=4，
∵AE=AB-BE=8-EF，
∴EF2=AE2+AF2，
即EF2=（8-EF）2+42，
解得：．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质、翻折变换的性质及其应用问题．解题的关键是灵活运用矩形的性质、翻折变换的性质来分析、判断、解答．
25．（1）应在地面上距点B6.6m的A处开始斜坡的施工；（2）按这样的设计能保证货车顺利进入地下停车场，见解析
【分析】
（1）根据题意求出BD，根据坡度的概念计算，得到答案；
（2）过点C作CH⊥AD于H，根据坡度的概念求出CH，比较大小即可．
【详解】
解：（1）∵CD＝3.2m，BC＝1m，
∴BD＝2.2（m），
∵斜坡AD的坡度为1：3，
∴＝，即＝，
解得，AB＝6.6（m），
答：应在地面上距点B6.6m的A处开始斜坡的施工；
（2）按这样的设计能保证货车顺利进入地下停车场，
理由如下：过点C作CH⊥AD于H，
则∠CDH+∠DCH＝90°，
∵∠CDH+∠DAB＝90°，
∴∠DCH＝∠DAB，
∴tan∠DCH＝，
设DH＝x，则CH＝3x，
由勾股定理得，CD＝，
由题意得，＝3.2，
解得，x≈1，
则CH≈3（m），
∵2.8＜3，
∴按这样的设计能保证货车顺利进入地下停车场．

【点睛】
本题考查锐角三角函数的实际应用.灵活应用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键.
26．（1）见解析；（2）5π﹣10
【分析】
（1）连接OA，根据平行线的性质得到∠AOC+∠OAD＝180°，再根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝90°，得到∠OAD＝90°，由切线的判定即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和已知条件证得∠B＝∠ACE，即可证得△AEC∽△ACB，根据相似三角形的性质求得AC，再根据勾股定理求得圆的半径，即可求得扇形OAC的面积，根据面积的和差即可求得阴影部分的面积．
【详解】
解：（1）连接OA．
∵AD∥OC，
∴∠AOC+∠OAD＝180°，
∵∠AOC＝2∠ABC＝2×45°＝90°，
∴∠OAD＝90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）∵AO＝CO且∠AOC＝90°，
∴∠ACO＝∠CAO＝45°，
即∠B＝∠ACE，
∵∠CAE＝∠BAC，
∴△AEC∽△ACB，
∴＝，
∴AC2＝AE•AB＝5×（5+3）=40，
∴AC＝2，
在Rt△AOC中，
∵2OA2＝AC2＝40，
∴AO＝CO＝2，
S阴影＝S扇形OAC﹣S△AOC＝﹣×（2）2＝5π﹣10．

【点睛】
本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理，扇形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
27．（1）a的值为0．04，b的值为30；（2）①；②当t为55天时，w最大，最大值为180250元
【分析】
（1）由放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元可得答案；
（2）①分0≤t≤50、50 ②就以上两种情况，根据“利润=销售总额-总成本”列出函数解析式，依据一次函数性质和二次函数性质求得最大值即可得．
【详解】
解：（1）由题意，得
解得
∴的值为0．04,的值为30
(2)①当≤≤时, 设与的函数关系式为,
∵过点(0,15)和(50,25)，
∴
解得
∴与的函数关系式为
当＜≤时, 设与的函数关系式为,
∵过点(50,25)和(100,20)，
∴
解得
∴与的函数关系式为
∴与的函数关系式为
②当≤≤时,．
∵3600＞0,
∴当时,最大值=180000；
当＜≤时,

∵-10＜0,
∴当时,最大值=180250．
综上所述，当为天时,最大，最大值为180250元．
【点睛】
本题考查二元一次方程组和二次函数的应用，解题的关键是二元一次方程组和待定系数法．
28．（1）见解析；（2）5或10；（3）①见解析；②．
【分析】
（1）分两种情况讨论，如图①，取格点 且 连接交于 如图②，取格点且连接交于 则两种情况都满足 从而可作出图形；
（2）作边上的高，由可得： 再列方程 求解 设，则由可得，解方程可得答案；
（3）①首先证得则该相似三角形的对应边成比例：即，由点是中边上的“好点”,可得再证明再利用垂径定理的推论可得结论； ②如图④，连接 证明 可得是直径，所以共线，设 则 再分别求解从而可得答案．
【详解】
解：（1）如图①，取格点 且 连接交于 如图②，取格点且连接交于 则两种情况都满足 即为中边上的“好点”．

理由如下：如图①，










如图②， 矩形


（2）如图③，作边上的高，






设，
则
，
，


或，
经检验：或都符合题意，
所以的长为或
（3）①∵
∴
∴ 即，
∵点是中边上的“好点”,




②
理由如下：如图④，连接



∴是直径，所以共线，

设 则







【点睛】
本题考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，垂径定理，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．