2021年江苏省扬州市江都区邵樊片中考数学二模试卷（word版，含解析）

这是一份2021年江苏省扬州市江都区邵樊片中考数学二模试卷（word版，含解析），共30页。试卷主要包含了8的立方根是　 　等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣5的相反数是（ ）
A．5B．±5C．﹣5D．
2．（3分）如图，下列几何体中，俯视图是矩形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．﹣＝B．＝C．＝D．﹣＝6
4．（3分）徐州地铁3号线预计在今年6月底开始试运营，路线全长18.13km，全站共设站16座，一期投资13520000000元，将13520000000用科学记数法表示（ ）
A．1.352×107B．1352×107C．13.52×109D．1.352×1010
5．（3分）某中学八（1）班8个同学在课间进行一分钟跳绳比赛，成绩（单位：个）如下：115，138，126，143，134，126，157，118．这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．126，126B．126，130C．130，134D．118，134
6．（3分）已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，补充下列四个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（ ）
A．AB＝BDB．AC＝BDC．∠DAB＝90°D．∠AOB＝90°
7．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．定义反映出事物的本质属性．既可以做性质，也可以做判定
B．证明两个等边三角形全等，具需证明一边相等即可
C．有一个角是45°的等腰三角形是等腰直角三角形
D．在放大镜下，一个字可以变大，一条线段可以变长，但是一个角的大小是不变的
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（ ）
A．1B．﹣1C．D．2﹣
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．（3分）8的立方根是 ．
10．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
11．（3分）若正多边形的内角和是1080°，则该正多边形的边数是 ．
12．（3分）若ab＝2，a+b＝﹣1，则代数式a2b+ab2的值等于 ．
13．（3分）一个圆锥的侧面展开图是半径为16cm，圆心角为120°的扇形，那么这个圆锥的底面半径为 ．
14．（3分）如图，已知DC为∠ACB的平分线，DE∥BC．若AD＝8，BD＝10，BC＝15，求EC的长＝ ．
15．（3分）如果点P（x，y）的坐标满足x+y＝xy，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点“P到x轴的距离为2，则P点的坐标为 ．
16．（3分）如图所示的网格是正方形网格，则∠BAC+∠CDE＝ （点A，B，C，D，E是网格线交点）．
17．（3分）如图，平行四边形ABCO的边AB的中点F在y轴上，对角线AC与y轴交于点E，若反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过AF的中点D，且△AEO的面积为6，则k的值为 ．
18．（3分）已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0）．若2＜m＜3，则a的取值范围是 ．
三．解答题（共10小题，满分96分）
19．（8分）计算：
（1）|﹣2|﹣+（﹣1）2021；
（2）（﹣2）÷．
20．（8分）（1）解方程：x2﹣4x+2＝0；
（2）解不等式组：．
21．（8分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（每人只选一类），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校共有学生2700人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数．
22．（8分）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物质、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是多少？
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
23．（10分）在防疫新冠状病毒期间，市民对医用口罩的需求越来越大．某药店第一次用3000元购进医用口罩若干个，第二次又用3000元购进该款口罩，但第二次每个口罩的进价是第一次进价的1.25倍，购进的数量比第一次少200个．求第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为多少个？
24．（10分）智能手机如果安装了一款测量软件“SmartMeasure”后，就可以测量物高、宽度和面积等，如图，打开软件后将手机摄像头对准脚部按键，再对准头部按键，即可测量出人体的高度．测量者AB用其数学原理如图②所示，测量一棵大树CD，手机显示AC＝20m，AD＝25m，∠CAD＝53°，求此时CD的高．（结果保留根号）（sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈）
25．（10分）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P．点C在OP上，且BC＝PC．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA＝3，AB＝2，求BP的长．
26．（10分）如图1，等边△ABC中，点P是BC边上一点，作点C关于直线AP的对称点D，连接CD，BD，作AE⊥BD于点E；
（1）若∠PAC＝10°，依题意补全图1，并直接写出∠BCD的度数；
（2）如图2，若∠PAC＝α（0°＜α＜30°），
①求证：∠BCD＝∠BAE；
②用等式表示线段BD，CD，AE之间的数量关系并加以证明．
27．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于C点，设抛物线的顶点为D．过点D作DE⊥x轴，垂足为E．P为线段DE上一动点，F（m，0）为x轴上一点，且PC⊥PF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①当点P与点D重合时，求m的值；
②在①的条件下，将△COF绕原点按逆时针方向旋转90°并平移，得到△C1O1F1，点C，O，F的对应点分别是点C1，O1，F1，若△C1O1F1的两个顶点恰好落在抛物线上，直接写出点F1的坐标；
（3）当点P在线段DE上运动时，求m的变化范围．
28．（12分）在平面直角坐标系xOy中，对于点p和线段ST，我们定义点P关于线段ST的线段比k＝．
（1）已知点A（0，1），B（1，0）．
①点Q（2，0）关于线段AB的线段比k＝ ；
②点C（0，c）关于线段AB的线段比k＝，求c的值．
（2）已知点M（m，0），点N（m+2，0），直线y＝x+2与坐标轴分别交于E，F两点，若线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤，直接写出m的取值范围．
2021年江苏省扬州市江都区邵樊片中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）﹣5的相反数是（ ）
A．5B．±5C．﹣5D．
【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．
【解答】解：根据相反数的含义，可得
﹣5的相反数是：﹣（﹣5）＝5．
故选：A．
2．（3分）如图，下列几何体中，俯视图是矩形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】本题考查简单几何体三视图，根据三视图知识即可判断．
【解答】解：A项俯视图为两个同心圆；
B项俯视图为矩形，符合题意；
C项俯视图为三角形；
D项俯视图为圆．
故选：B．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．﹣＝B．＝C．＝D．﹣＝6
【分析】根据二次根式的加减法对A、B、C进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断．
【解答】解：A、原式＝2﹣，所以A选项错误；
B、原式＝2+3＝5，所以B选项错误；
C、原式＝，所以C选项正确；
D、原式＝5﹣＝4，所以D选项错误．
故选：C．
4．（3分）徐州地铁3号线预计在今年6月底开始试运营，路线全长18.13km，全站共设站16座，一期投资13520000000元，将13520000000用科学记数法表示（ ）
A．1.352×107B．1352×107C．13.52×109D．1.352×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：13520000000＝1.352×1010．
故选：D．
5．（3分）某中学八（1）班8个同学在课间进行一分钟跳绳比赛，成绩（单位：个）如下：115，138，126，143，134，126，157，118．这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．126，126B．126，130C．130，134D．118，134
【分析】先将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的概念求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为115，118，126，126，134，138，143，157，
所以这组数据的众数为126，中位数为＝130，
故选：B．
6．（3分）已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，补充下列四个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（ ）
A．AB＝BDB．AC＝BDC．∠DAB＝90°D．∠AOB＝90°
【分析】根据菱形的判定方法和矩形的判定方法即可作出判断．
【解答】解：A、AB＝BD，不能判定平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、AC＝BD，则平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项B不符合题意；
C、∠DAB＝90°，则平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项B不符合题意；
D、∠AOB＝90°，则AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
7．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．定义反映出事物的本质属性．既可以做性质，也可以做判定
B．证明两个等边三角形全等，具需证明一边相等即可
C．有一个角是45°的等腰三角形是等腰直角三角形
D．在放大镜下，一个字可以变大，一条线段可以变长，但是一个角的大小是不变的
【分析】A、根据判定、定义的概念判断即可；
B、根据三角形全等进行判断即可；
C、根据等腰直角三角形判断即可；
D、根据角的性质判断即可．
【解答】解：A、定义反映出事物的本质属性．既可以做性质，也可以做判定，是真命题；
B、证明两个等边三角形全等，具需证明一边相等即可，是真命题；
C、有一个角是45°的等腰三角形不一定是等腰直角三角形，若45°是顶角，原命题是假命题；
D、在放大镜下，一个字可以变大，一条线段可以变长，但是一个角的大小是不变，是真命题；
故选：C．
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（ ）
A．1B．﹣1C．D．2﹣
【分析】如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先证明∠ACD＝90°，求出AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EF＝AG，求出AG的最大值以及最小值即可解决问题．
【解答】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠BCD＝60°，AB＝CD＝2，
∵AM＝DM＝DC＝2，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC＝∠MCD＝60°，CM＝DM＝AM，
∴∠MAC＝∠MCA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴AC＝2，
在Rt△ACN中，∵AC＝2，∠ACN＝∠DAC＝30°，
∴AN＝AC＝，
∵AE＝EH，GF＝FH，
∴EF＝AG，
易知AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为2，最小值为，
∴EF的最大值为，最小值为，
∴EF的最大值与最小值的差为．
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．（3分）8的立方根是 2 ．
【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果．
【解答】解：8的立方根为2，
故答案为：2．
10．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x﹣1≥0，解不等式可求x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
11．（3分）若正多边形的内角和是1080°，则该正多边形的边数是 8 ．
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：根据n边形的内角和公式，得
（n﹣2）•180＝1080，
解得n＝8．
∴这个多边形的边数是8．
故答案为：8．
12．（3分）若ab＝2，a+b＝﹣1，则代数式a2b+ab2的值等于 ﹣2 ．
【分析】原式提取公因式，把ab与a+b整体代入计算即可求出值．
【解答】解：∵ab＝2，a+b＝﹣1，
∴原式＝ab（a+b）＝2×（﹣1）＝﹣2．
故答案为：﹣2．
13．（3分）一个圆锥的侧面展开图是半径为16cm，圆心角为120°的扇形，那么这个圆锥的底面半径为 cm ．
【分析】把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，
2πr＝，
r＝cm．
故答案为cm．
14．（3分）如图，已知DC为∠ACB的平分线，DE∥BC．若AD＝8，BD＝10，BC＝15，求EC的长＝ ．
【分析】先由角平分线的定义及平行线的性质求得∠EDC＝∠ECD，从而EC＝DE；再DE∥BC，证得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质列出比例式，求得DE的长，即为EC的长．
【解答】解：∵DC为∠ACB的平分线
∴∠BCD＝∠ECD
∵DE∥BC
∴∠EDC＝∠BCD
∴∠EDC＝∠ECD
∴EC＝DE
∵AD＝8，BD＝10
∴AB＝18
∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴＝
∵AD＝8，AB＝18，BC＝15
∴＝
∴DE＝
∴EC＝
故答案为：．
15．（3分）如果点P（x，y）的坐标满足x+y＝xy，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点“P到x轴的距离为2，则P点的坐标为 （2，2）或（，﹣2） ．
【分析】设P点的坐标为（x，y），由“和谐点“P到x轴的距离为2得出|y|＝2，将y＝2或﹣2分别代入x+y＝xy，求出x的值即可．
【解答】解：设P点的坐标为（x，y），
∵“和谐点“P到x轴的距离为2，
∴|y|＝2，
∴y＝±2．
将y＝2代入x+y＝xy，得x+2＝2x，解得x＝2，
∴P点的坐标为（2，2）；
将y＝﹣2代入x+y＝xy，得x﹣2＝﹣2x，解得x＝，
∴P点的坐标为（，﹣2）．
综上所述，所求P点的坐标为（2，2）或（，﹣2）．
故答案为（2，2）或（，﹣2）．
16．（3分）如图所示的网格是正方形网格，则∠BAC+∠CDE＝ 45° （点A，B，C，D，E是网格线交点）．
【分析】设小正方形的边长是1，连接AD，根据勾股定理求出AD、CD、AC的长度，求出AD＝CD，AD2+CD2＝AC2，根据勾股定理的逆定理得出∠ADC＝90°，再求出答案即可．
【解答】解：设小正方形的边长是1，连接AD，
∵AD＝＝，CD＝＝，AC＝＝，
∴AD＝CD，AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
即△ADC是等腰直角三角形，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∵AB∥DE，
∴∠BAC+∠DAC+∠CDE＝180°，
∴∠BAC+∠CDE＝45°，
故答案为：45°．
17．（3分）如图，平行四边形ABCO的边AB的中点F在y轴上，对角线AC与y轴交于点E，若反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过AF的中点D，且△AEO的面积为6，则k的值为 9 ．
【分析】根据平行四边形性质可得AB∥OC，AB＝OC，由F是AB的中点得：AB＝2AF，由△AEF∽△CEO，△AEO的面积为6，根据相似三角形性质可得S△AEF＝3，进而可得S△DOF＝，依据反比例函数系数的几何意义即可得到答案．
【解答】解：如图，连接OD，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB∥OC，AB＝OC，
∴△AEF∽△CEO，
∴＝，
∵F是AB的中点，
∴AB＝2AF，
∴OC＝2AF，
∴＝＝，
∴＝＝，
∵△AEO的面积为6，
∴S△AEF＝S△AEO＝×6＝3，
∴S△AOF＝S△AEO+S△AEF＝6+3＝9，
∵点D是AF的中点，
∴S△DOF＝S△AOF＝，
∴|k|＝，且k＞0，
∴k＝9．
故答案为：9．
18．（3分）已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0）．若2＜m＜3，则a的取值范围是 ＜a＜或﹣3＜a＜﹣2 ．
【分析】先用a表示出抛物线与x轴的交点，再分a＞0与a＜0两种情况进行讨论即可．
【解答】解：∵y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a＝（ax﹣1）（x+a），
∴当y＝0时，x1＝，x2＝﹣a，
∴抛物线与x轴的交点为（，0）和（﹣a，0）．
∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为（m，0）且2＜m＜3，
∴当a＞0时，2＜＜3，解得＜a＜；
当a＜0时，2＜﹣a＜3，解得﹣3＜a＜﹣2．
故答案为：＜a＜或﹣3＜a＜﹣2．
三．解答题（共10小题，满分96分）
19．（8分）计算：
（1）|﹣2|﹣+（﹣1）2021；
（2）（﹣2）÷．
【分析】（1）先计算绝对值、算术平方根和乘方，再计算加减即可；
（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣4﹣1＝﹣3；
（2）原式＝（﹣）•
＝•
＝．
20．（8分）（1）解方程：x2﹣4x+2＝0；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣2）2＝2，然后利用直接开平方法解方程；
（2）分别解两个不等式得到x≤﹣3和x＜，然后根据同小取小确定不等式组的解．
【解答】解：（1）x2﹣4x＝﹣2，
x2﹣4x+4＝2，
（x﹣2）2＝2，
x﹣2＝±，
所以x1＝2+，x2＝2﹣；
（2），
解①得x≤﹣3，
解②得x＜，
所以不等式组的解集为x≤﹣3．
21．（8分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（每人只选一类），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校共有学生2700人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数．
【分析】（1）根据在线答题的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生总人数，再根据条形统计图中的数据，即可计算出在线听课的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出校对在线阅读最感兴趣的学生人数．
【解答】解：（1）18÷20%＝90（人），
即本次调查的学生一共有90人，
在线听课的学生有：90﹣24﹣18﹣12＝36（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（2）360°×＝48°，
即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是48°；
（3）2700×＝720（人），
即估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有720人．
22．（8分）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物质、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是多少？
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”结果有2个，
∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”概率为＝．
23．（10分）在防疫新冠状病毒期间，市民对医用口罩的需求越来越大．某药店第一次用3000元购进医用口罩若干个，第二次又用3000元购进该款口罩，但第二次每个口罩的进价是第一次进价的1.25倍，购进的数量比第一次少200个．求第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为多少个？
【分析】设第一次购进医用口罩x个，则第二次购进医用口罩（x﹣200）个，根据单价＝总价÷数量，结合第二次每个口罩的进价是第一次进价的1.25倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设第一次购进医用口罩x个，则第二次购进医用口罩（x﹣200）个，
依题意得：＝1.25×，
解得：x＝1000，
经检验，x＝1000是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣200＝1000﹣200＝800（个）．
答：第一次购进医用口罩1000个，第二次购进医用口罩800个．
24．（10分）智能手机如果安装了一款测量软件“SmartMeasure”后，就可以测量物高、宽度和面积等，如图，打开软件后将手机摄像头对准脚部按键，再对准头部按键，即可测量出人体的高度．测量者AB用其数学原理如图②所示，测量一棵大树CD，手机显示AC＝20m，AD＝25m，∠CAD＝53°，求此时CD的高．（结果保留根号）（sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈）
【分析】过点D作DH⊥AC于H，由锐角三角函数的定义求出DH、CH的长，再利用勾股定理求解即可．
【解答】解：如图②中，过点D作DH⊥AC于H，
在Rt△ADH中，cs∠CAD＝，sin∠CAD＝，
∴AH＝AD•cs53°≈25×＝15（m），DH＝AD•sin53°≈25×＝20（m），
∵AC＝20m，
∴CH＝AC﹣AH＝5（m），
∴CD＝＝＝5（m）．
25．（10分）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P．点C在OP上，且BC＝PC．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA＝3，AB＝2，求BP的长．
【分析】（1）连接OB．由等腰三角形的性质得到∠A＝∠OBA，∠P＝∠CBP，由于OP⊥AD，得到∠A+∠P＝90°，于是得到∠OBA+∠CBP＝90°，求得∠OBC＝90°结论可得；
（2）连接DB．由AD是⊙O的直径，得到∠ABD＝90°，推出Rt△ABD∽Rt△AOP，得到比例式 ＝，即可得到结果．
【解答】（1）证明：连接OB．
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
又∵BC＝PC，
∴∠P＝∠CBP，
∵OP⊥AD，
∴∠A+∠P＝90°，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
∴∠OBC＝180°﹣（∠OBA+∠CBP）＝90°，
∵点B在⊙O上，
∴直线BC是⊙O的切线，
（2）解：如图，连接DB．
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵OP⊥AD，
∴∠AOP＝90°，
∴∠ABD＝∠AOP，
∵∠DAB＝∠PAO，
∴Rt△ABD∽Rt△AOP，
∴＝，即 ＝，
∴AP＝9，
∴BP＝AP﹣AB＝9﹣2＝7．
26．（10分）如图1，等边△ABC中，点P是BC边上一点，作点C关于直线AP的对称点D，连接CD，BD，作AE⊥BD于点E；
（1）若∠PAC＝10°，依题意补全图1，并直接写出∠BCD的度数；
（2）如图2，若∠PAC＝α（0°＜α＜30°），
①求证：∠BCD＝∠BAE；
②用等式表示线段BD，CD，AE之间的数量关系并加以证明．
【分析】（1）由题意画出图形；根据三角形内角和定理求出∠ABD，由∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB即可得到结论；
（2）①由轴对称的性质可得AP垂直平分BD，可得AB＝AD＝AC，∠BAP＝∠PAD＝α，由等腰三角形的性质可求解；
②在AE上截取AF＝CD，根据全等三角形判定的SAS定理证得△BAF≌△BCD，由全等三角形的性质得到∠ABF＝∠CBD，BF＝BD，可得∠FBE＝∠ABC＝60°，由三角函数的定义求得EF＝BD，进而得到AE＝CD+BD．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵C关于直线AP的对称是D，
∴AP⊥CD，AC＝AD，
∴∠ACD＝90﹣∠PAC＝90°﹣10°＝80°，
∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝20°；
（2）①证明：如图，连接AD，
根据题意得，AO⊥CD
∵∠PAC＝α，
∴∠ACD＝90°﹣α，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝90°﹣α﹣60°＝30°﹣α，
∵C关于直线AP的对称是D，
∴AP⊥CD，AC＝AD，
∴∠PAD＝∠PAC＝α，
∵AB＝AC＝AD，AE⊥BD，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝（∠BAC﹣∠CAD）＝（60°﹣2α）＝30°﹣α，
∴∠BCD＝∠BAE；
②解：用等式表示线段BD，CD，AE之间的数量关系是AE＝CD+BD．
证明：在AE上截取AF＝CD，连接BF，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∵∠BCD＝∠BAE，
∴△BAF≌△BCD（SAS），
∴∠ABF＝∠CBD，BF＝BD，
∴∠FBE＝∠ABC＝60°，
∴EF＝BF•sin60°＝BF＝BD，
∴AE＝AE+EF＝CD+BD．
27．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于C点，设抛物线的顶点为D．过点D作DE⊥x轴，垂足为E．P为线段DE上一动点，F（m，0）为x轴上一点，且PC⊥PF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①当点P与点D重合时，求m的值；
②在①的条件下，将△COF绕原点按逆时针方向旋转90°并平移，得到△C1O1F1，点C，O，F的对应点分别是点C1，O1，F1，若△C1O1F1的两个顶点恰好落在抛物线上，直接写出点F1的坐标；
（3）当点P在线段DE上运动时，求m的变化范围．
【分析】（1）将A、B两点坐标代入即可，
（2）讨论点坐标得变化，找到变化规律分情况讨论，即可找出F1得坐标．
（3）当P点在DE方向运动时，通过数形结合分别找到最大值和最小值即可找到m的取值范围．
【解答】解：（1）将A（﹣2，0）、B（6，0）代入抛物线解析式y＝ax2+bx﹣3中得：
，解得：，
∴该抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3，
（2）①∵D为抛物线的顶点，
∴D（2，﹣4），
当点P与点D重合时，如图所示：过点D作GD∥x轴，过F点作y轴平行线交GD延长线于点H，
由题意易得：CG＝1，GD＝2，FH＝4，而PC⊥PF，即∠CDF＝90°，
∵∠CGD＝∠DHF＝90°，∠CDG＝∠DFH，
∴△CGD∽△DHF，
∴＝即，，
∴DH＝2，
而四边形EDFH为矩形，∴EF＝DH＝2，
∴OF＝4，即F（4，0），
∴m＝4，
（2）按题意，将△COF绕原点按逆时针方向旋转90°得到△C'O'F'，如图所示：
显然此时C'、O'、F'三点都不在抛物线上，故需要将△C'O'F'平移才能得到两个顶点恰好落在抛物线上，根据C'、O'、F'三点特点，可设：
O1（x，y），则C1（x+3，y），F1（x，y+4），
①当O1C1经平移后在抛物线上，把01（x，y），C1（x+3，y）代入y＝x2﹣x﹣3中：
，
解得：x＝，
故F1（，），
②当F1C1经平移后在抛物线上，把F1（x，y+4），C1（x+3，y）代入y＝x2﹣x﹣3中：
，
解得：x＝﹣，
故F1（﹣，），
③当O1F1经平移后在抛物线上，因为O1、F1在竖直方向，故不成立．
综上所述：F1（，）或（﹣，），
（3）∵D（2，﹣4），E（2，0），C（0，﹣3），点P为线段DE上一动点，F（m，0）为x轴上一点，且PC⊥PF，
如（2）①中当点P与点D重合时，m＝4，取得最大，随着P向E移动，m随之变化，设存在一点P使m最小，如图所示：
设OF＝m，则FE＝2﹣m；设EP＝y，则PQ＝3﹣y，
根据△FEP∽△PQC得：
即：，
可得关系式：m＝（y﹣）2+
∵，当y＝，m取得最小值，
综上所述：．
28．（12分）在平面直角坐标系xOy中，对于点p和线段ST，我们定义点P关于线段ST的线段比k＝．
（1）已知点A（0，1），B（1，0）．
①点Q（2，0）关于线段AB的线段比k＝ ；
②点C（0，c）关于线段AB的线段比k＝，求c的值．
（2）已知点M（m，0），点N（m+2，0），直线y＝x+2与坐标轴分别交于E，F两点，若线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）①求出QA、QB、AB，根据线段比定义即可得到答案；
②方法同①，分c＞0和c≤0讨论；
（2）分两种情况，画出图象，根据线段比定义，分别在M（N）为“临界点”时列出不等式，即可得到答案．
【解答】解：（1）①∵A（0，1），B（1，0），Q（2，0），
∴AB＝，QA＝，QB＝1，
根据线段比定义点Q（2，0）关于线段AB的线段比k＝＝；
故答案为：；
②∵A（0，1），B（1，0），C（0，c），
∴AB＝，AC＝|1﹣c|，BC＝，
AC2＝1+c2﹣2c，BC2＝1+c2，
当c＞0时，AC2＜BC2，即AC＜BC，
由C（0，c）关于线段AB的线段比k＝可得：
＝，解得c＝3或c＝﹣1（舍去），
∴c＝3，
当c≤0时，AC2≥BC2，即AC≥BC，
由C（0，c）关于线段AB的线段比k＝可得：
＝，
解得c＝（舍去）或c＝﹣，
∴c＝﹣，
综上所述，点C（0，c）关于线段AB的线段比k＝，c＝3或c＝﹣；
（2）∵直线y＝x+2与坐标轴分别交于E，F两点，
∴E（﹣2，0），F（0，2），
∵点M（m，0），点N（m+2，0），
∴MN＝2，N在M右边2个单位，
当线段EF上的点到N距离较小时，分两种情况：
①当M、N在点E左侧时，如图：
线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤，
∴≤，即≤，
解得：m≥﹣，
②当N在E右侧，M在E左侧时，过M作MG⊥EF于G，如图：
线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤，
∴≤，即，
∴GM≤，
而E（﹣2，0），F（0，2），
∴∠FEO＝45°，
∴△HEM时等腰直角三角形，
∴GM＝EM，
∴EM≤，即[（m+2）﹣（﹣2）]≤，
解得m≤﹣4+，
∴线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤，线段EF上的点到N距离较小时，﹣≤m≤﹣4+，
当线段EF上的点到M距离较小时，也分两种情况：
①当N在E右侧，M在E左侧时，如图：
线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤，
∴≤，即≤，
解得m≥﹣，
②当M、N在点E右侧时，过M作MH⊥EF于H，如图：
线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤，
∴≤，即≤，
∴HM≤，
而E（﹣2，0），F（0，2），
∴∠FEO＝45°，
∴△HEM时等腰直角三角形，
∴HM＝EM，
∴EM≤，即[m﹣（﹣2）]≤，
解得：m≤﹣2+，
∴线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤，线段EF上的点到M距离较小时，﹣≤m≤﹣2+，
综上所述，线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤，则﹣≤m≤﹣4+或﹣≤m≤﹣2+．