2023年江苏省扬州市江都区邵樊片区中考数学一检试卷（含解析）

2023年江苏省扬州市江都区邵樊片区中考数学一检试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列函数是二次函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知点到圆心的距离为，若点在圆内，则的半径可能为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  一组数据，，，，中，最后一个两位数的个位数字被墨迹覆盖，则这组数据不受影响的统计量是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 极差

4.  如图，，则下列比例式成立的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  二次函数的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，与位似，点为位似中心．已知：：，则与的面积比为(    )
 

A. ： B. ： C. ： D. ：

7.  在中，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，已知、，为轴上的动点，以为边构造，使点在轴上，，为的中点，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9.  若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为_____．

10.  已知一组数据，，，，这组数据的极差是        ．

11.  一个不透明的袋子中装有个小球，其中个红球、个绿球，这些小球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是绿球的概率是______．

12.  若圆锥的底面半径为，高是，则它的侧面展开图的面积为______．

13.  将抛物线向左平移个单位，则平移后的抛物线的函数表达式为        ．

14.  已知线段、、，其中是、的比例中项，若，，则线段______ ．

15.  已知是线段的黄金分割点，，若，则的长为        结果保留根号

16.  如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是______．

17.  如图平面直角坐标系中，的半径，弦的长为，过点做于点，内一点的坐标为，当弦绕点顺时针旋转时，点到的距离的最小值是______ ．

18.  在中，，，，则的长的取值范围是______．

三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解方程：；
计算：．

20.  本小题分
已知是坐标原点，的坐标分别为，．
画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出的坐标为        ；
在轴的左侧以为位似中心作的位似图形，使新图与原图相似比为：；
若点在线段上，直接写出变化后点的对应点的坐标为        ．

21.  本小题分
某校为了强化学生的环保意识，校团委在全校举办了“保护环境，人人有责”知识竞赛活动，初、高中根据初赛成绩，各选出名选手组成初中代表队和高中代表队进行复赛，复赛成绩如图所示．
根据以上信息解答下列问题：
高中代表队五名学生复赛成绩的中位数为______分；
分别计算初中代表队、高中代表队学生复赛成绩的平均数；
已知高中代表队学生复赛成绩的方差为，请计算初中代表队学生复赛成绩的方差，并结合两队成绩的平均数和方差分析哪个队的复赛成绩较好．
 

22.  本小题分
小红和父母计划寒假期间从、、、四个景点中随机选择景点游玩．
若小红一家从中随机选择一个景点游玩，则选中景点的概率为______ ；
若小红一家从中随机选择两个景点游玩，求选中、两个景点的概率．

23.  本小题分
在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树的高度如图，数学小组发现大树离教学楼，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子长为，已知此时高的竹竿在水平地面上的影子长，那么这棵大树高度是多少？

24.  本小题分
如图，在正方形中，为边上的点，点在边上，且．
求证：∽；
若，延长交的延长线于点，求的长．

25.  本小题分
如图，内接于，，点在直径的延长线上，且．
试判断与的位置关系，并说明理由；
若，求阴影部分的面积．
 

26.  本小题分
六月是水蜜桃大量上市的季节，某果农在销售时发现：若水蜜桃的售价为元千克，则日销售量为千克，若售价每提高元千克，日销售量就减少千克，现设水蜜桃售价为元千克，且为正整数．
若某日销售量为千克，则该日水蜜桃的单价为多少元？
若政府将销售价格定为不超过元千克，设每日销售额为元，求关于的函数表达式，并求的最大值和最小值．

27.  本小题分
如图，点是以为直径的半圆内任意一点，连接，，点在上，且，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图保留画图痕迹．
在图中，画出的中线；
在图中，画出的角平分线．

28.  本小题分
如图，在平面直角坐标中，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，连接，直线：交轴于点为直线上方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，分别交直线、于点、．

求抛物线的表达式：
当点落在抛物线的对称轴上时，求的面积：
若点为轴上一动点，当四边形为矩形时，求点的坐标；
在的条件下，第四象限内有一点，满足，当的周长最小时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意；
B、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意；
C、该函数符合二次函数的定义，故本选项符合题意；
D、该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：．
利用二次函数的一般形式为：、、是常数，，进而判断得出即可．
本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：点在圆内，且点到圆心的距离为，
的半径大于，
故选：．
根据点与圆的位置关系判断得出即可．
此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有种．设的半径为，点到圆心的距离为，则有：点在圆外，点在圆上，点在圆内．
 

3.【答案】 

【解析】解：依题意，最后一个数字一定是个位数，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，而平均数，众数，极差都要知道最后一个数，
故这组数据不受影响的统计量是中位数，
故选：．
根据最后一个数字一定是个位数，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，据此即可求解．
本题考查了中位数，平均数，众数，极差，掌握以上知识是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，故本选项错误，不符合题意；
B.，
，故本选项正确，符合题意；
C.，
，故本选项错误，不符合题意；
D.，
，故本选项错误，不符合题意；
故选：．
根据平行线分线段成比例定理逐个判断即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，能熟记平行线分线段成比例定理是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的线段对应成比例．
 

5.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象的顶点坐标是．
故选：．
根据顶点式的意义直接解答即可．
本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：的顶点坐标为，注意符号问题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念求出与的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】
解：与是位似图形，：：，
与的位似比是：．
与的相似比为：，
与的面积比为：，
故选：．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出、的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】
解：由题意得，，，
即，，
解得，，，
，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于，过点作于，

则四边形是矩形，
，
，
，，
，
∽，
，即，
，
设，则，
，，
，，
，
，
，
，
的最小值为；
故选：．
作轴，，证明∽，根据相似三角形的性质得到，求出点的坐标，根据两点间的距离公式用表示出，根据二次函数的性质解答即可．
本题考查相似三角形的判定和性质、两点间距离公式、二次函数的性质，正确添加辅助线、掌握二次函数的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：是的根，
，解得或，
，
，
．
故答案为：．
把代入原方程，解一个关于的一元二次方程就可以求出的值．
本题是一道关于一元二次方程的试题，考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解．
 

10.【答案】 

【解析】解：这组数据的极差是，
故答案为：．
用最大的数减去最小的数，即可求解．
本题主要考查了求一组数据的极差，解题的关键是掌握极差是一组数据最大值与最小值的差．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为袋中共有个球，绿球有个，
摸出的球是绿球的概率为
故答案为：．
根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆锥的计算：先利用勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式进行计算．
【解答】
解：因为圆锥的底面半径为，高是，
所以圆锥的母线长，
所以圆锥的侧面展开图的面积
故答案为．  

13.【答案】 

【解析】解：抛物线向左平移个单位，抛物线的函数表达式为，
故答案为：．
根据二次函数图象的平移规律即可求解．
本题主要考查二次函数图象的平移，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
所以，
解得：，线段是正数，负值舍去，
则线段；
故答案为：．
由是、的比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段的长，注意线段不能为负．
此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．
 

15.【答案】 

【解析】解：是线段的黄金分割点，，，
，
故答案为：．
根据黄金分割点的定义，即可进行解答．
本题主要考查了黄金分割点的定义，解题的关键是掌握黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分割点．其比值是一个无理数，用分数表示为．
 

16.【答案】 

【解析】解：由图象可得在，之间的图象抛物线在直线下方，点横坐标为，点横坐标为，
时，，即，
故答案为：．
将化为，根据图象求解．
本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过图像求解．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
，
，
在中，，
当经过点时，点到的距离的最小，
，
点到的距离的最小值为．
故答案为．
连接，如图，利用垂径定理得到，则利用勾股定理可计算出，利用垂线段最短，当经过点时，点到的距离的最小，然后计算出的长，从而得到点到的距离的最小值．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
 

18.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的三边关系、直角三角形的性质、等边三角形的性质；作出的外接圆进行推理计算是解题的关键。作的外接圆，求出当时，是直径最长；当时，是等边三角形，，根据进行解答即可；
【解答】
解：作的外接圆，如图所示：

，，
当时，是直径且最长，
，
，
设圆心为点，连接，
且，
为等边三角形，
，
，，


当时，是等边三角形，，
，
长的取值范围是
故答案为  

19.【答案】解：，
，
，，
，．



． 

【解析】移项后运用因式分解法，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
代入各个特殊值，再根据实数的混合运算法则求出即可．
本题考查了解一元二次方程，实数的混合运算，特殊角的三角函数值的应用，主要考查学生的计算能力．
 

20.【答案】   

【解析】解：如图所示：即为所求；的坐标为；
故答案为：；
如图所示：即为所求；

作的位似图形，新图与原图相似比为：，且，
点的对应点的坐标为；
故答案为：．
直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案；
直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
根据位似图形的性质，即可求解．
本题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
 

21.【答案】
高中代表队的平均数为分，
初中代表队的平均数为分；
初中代表队的方差为分，
，，
高中代表队成绩较好． 

【解析】

解：五个人的成绩从小到大排列为：、、、、．
第个数为中位数，所以中位数是；
故答案为：；
见答案；
见答案．
【分析】
根据中位数的定义可得答案；
按照平均数的计算方法计算即可；
计算初中代表队的方差，再比较即可．
本题考查数据的收集与整理，熟练掌握中位数、平均数、方差的计算方法是解题关键．  

22.【答案】解：；
根据题意列表如下：

共有种等可能的结果，其中选择、两个景点的有种，
则选中、两个景点的概率是． 

【解析】解：共有、、、四个景点，
选中景点的概率为；
故答案为：；
见答案．

根据概率公式直接求解即可；
根据题意用列表法得出所有等可能的结果以及选中、两个景点的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】解：过点作于点，如图，，，
根据题意得，
，
．
答：这棵大树高度是． 

【解析】过点作于点，如图，，，由于“在同一时刻物高与影长的比相等”，则，于是可求出，然后计算即可．
本题考查了相似三角形的应用：利用“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决问题．
 

24.【答案】证明：四边形为正方形，
，
，
，
，
∽；

四边形为正方形，
，，
，
，
设，
∽，
，
即，
解得：，
，
，
，

∽，
，
，

． 

【解析】利用“一线三直角”即可证明∽；
由，求出和的长，利用∽求出的长度，再由∽求出的长度．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，能够正确找到相似三角形是解决本题的关键．
 

25.【答案】解：为的切线．
理由：连接、，如图，

为的直径，
，
又，
，
，

，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
为的切线；
解：由可知为直角三角形，且，，
，
阴影部分的面积为．
故阴影部分的面积为． 

【解析】本题主要考查切线的判定，扇形面积公式，正确作出辅助线是解题的关键．
连接、，可求得，可证明为等边三角形，求得，即可证明为的切线；
结合可得到，，再根据三角形的面积公式和扇形面积公式即可求解．
 

26.【答案】解：由题意得：，
解得：，
答：该日水蜜桃的单价为元千克；
根据题意得：，
政府将销售价格定为不超过元千克，
，且为正整数，
，
时，有最大值是元，时，有最小值是元．
答：，最大值是元，最小值是元； 

【解析】根据售价每提高元千克，日销售量就减少千克，且某日销售量为千克，列方程求解即可；
根据题意，利用每日销售额等于销售量乘以销售单价，列出函数关系式，并将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

27.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作．
 

【解析】连接、，它们相交于点，则点为的重心，连接并延长交于点，则满足条件；
延长交半圆于点，延长交于点，交半圆于点，连接交于点，利用为的中位线得到，而由为直径得到，所以，则，所以，则满足条件．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和垂径定理．
 

28.【答案】解：抛物线与轴交于点、两点，
抛物线的表达式为：，即；
如图：

点落在抛物线的对称轴上，
为抛物线的顶点，
，
，
在中，令得，

由，得直线的表达式为，
把代入得，
，
，
，
答：的面积是；
过点作于点，如图：

过点，
，
解得，
直线的表达式为：，
，
设，则，
四边形为矩形，
，，
又，
≌，
，，
而，，
，
解得，
，，
，
，
，即，
，
，
；
取的中点，如图：

，
点在的垂直平分线上，
又，，
，
，
要使最小，只需最小，
当点、、共线时，的周长最小，
此时，点即为的垂直平分线与直线的交点，
，，
，
在中，令得：
，
解得，
 

【解析】根据抛物线与轴交于点、两点，即知抛物线的表达式为：，即；
由求出，由，得直线的表达式为，从而可得，，即可得的面积是；
过点作于点，求得直线的表达式为：即知，设，则，证明≌，可得，，即有，解得，，从而可得；
取的中点，由，知点在的垂直平分线上，又，故要使最小，只需最小，即点、、共线，此时，点即为的垂直平分线与直线的交点，由，，得，即可得
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，矩形性质及应用，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作出适当的辅助线，构造三角形全等，本题对学生能力要求较高．