数学必修11.1.1集合的含义与表示第2课时课时作业

这是一份数学必修11.1.1集合的含义与表示第2课时课时作业，共10页。试卷主要包含了掌握用列举法表示有限集等内容，欢迎下载使用。


知识点一 列举法
思考 要研究集合，要在集合的基础上研究其他问题，首先要表示集合．而当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？
答案 把它们一一列举出来．
梳理 把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．适用于元素较少的集合．
知识点二 描述法
思考 能用列举法表示所有大于1的实数吗？如果不能，又该怎样表示？
答案 不能．表示集合最本质的任务是要界定集合中有哪些元素，而完成此任务除了一一列举，还可用元素的共同特征(如都大于1)来表示集合，如大于1的实数可表示为{x∈R|x＞1}．
梳理 描述法常用以表示无限集或元素个数较多的有限集．表示方法是在花括号内画一竖线，竖线前写元素的一般符号及取值(或变化)范围，竖线后写元素所具有的共同特征．
1.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1))＝1.(×)
2.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝1，y＝2)).(×)
3.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R|x>1))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y∈R|y>1)).(√)
4.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x2＝1))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，1)).(√)
类型一 用列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合．
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合．
考点 用列举法表示集合
题点 用列举法表示数集
解 (1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，
那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，
那么B＝{0,1}．
反思与感悟 (1)集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开．
(2)元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}．
跟踪训练1 用列举法表示下列集合．
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
(2)由1～20以内的所有素数组成的集合．
考点 用列举法表示集合
题点 用列举法表示数集
解 (1)满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}．
(2)设由1～20以内的所有素数组成的集合为C，
那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．
类型二 用描述法表示集合
例2 试用描述法表示下列集合．
(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．
考点 用描述法表示集合
题点 用描述法表示有限数集
解 (1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．
(2)设大于10小于20的整数为x，
它满足条件x∈Z，且10因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10引申探究
用描述法表示函数y＝x2－2图象上所有的点组成的集合．
解 {(x，y)|y＝x2－2}．
反思与感悟 用描述法表示集合时应注意的四点
(1)写清楚该集合中元素的代号；
(2)说明该集合中元素的性质；
(3)所有描述的内容都可写在集合符号内；
(4)在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中，“x”是集合中元素的代表形式，I是x的范围，“p(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略．
跟踪训练2 用描述法表示下列集合．
(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
考点 用描述法表示集合
题点 用描述法表示点集
解 (1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.
所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．
(2)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
类型三 集合表示的综合应用
命题角度1 选择适当的方法表示集合
例3 用适当的方法表示下列集合．
(1)由x＝2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合；
(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；
(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．
考点 集合的表示综合
题点 用适当的方法表示集合
解 (1)列举法：{0,2,4}；或描述法{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}．
(2)列举法：{(0,0)，(2,0)}．
(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．
反思与感悟 用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．
跟踪训练3 若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2 000，x∈A}，则用列举法表示集合B＝________.
考点 集合的表示综合
题点 用另一种方法表示集合
答案 {2 000,2 001,2 004}
解析 由A＝{x∈Z|－2≤x≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，所以x2∈{0,1,4}，x2＋2 000的值为2 000,2 001,2 004，所以B＝{2 000,2 001,2 004}．
命题角度2 新定义的集合
例4 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(5n＋k|n∈Z))，k＝0,1,2,3,4，给出如下四个结论：
①2 016∈[1]；
②－3∈[3]；
③若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0]；
④若a－b∈[0]，则整数a，b属于同一“类”．
其中，正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 用描述法表示集合
题点 用描述法表示与余数有关的整数集合
答案 C
解析 由于[k]＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5n＋k|n∈Z|))，
对于①，2 016除以5等于403余1，∴2 016∈[1]，∴①正确；
对于②，－3＝－5＋2，被5除余2，∴②错误；
对于③，∵a，b是同一“类”，可设a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，则a－b＝5(n1－n2)能被5整除，∴a－b∈[0]，
∴③正确；
对于④，若a－b∈[0]，则可设a－b＝5n，n∈Z，即a＝5n＋b，n∈Z，不妨令b＝5m＋k，m∈Z，k＝0,1,2,3,4，
则a＝5n＋5m＋k＝5(m＋n)＋k，m∈Z，n∈Z，
∴a，b属于同一“类”，∴④正确，
则正确的有①③④，共3个．
反思与感悟 命题者以考试说明中的某一知识点为依托，自行定义新概念、新公式、新运算和新法则，做题者应准确理解应用此定义，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求．
跟踪训练4 定义集合运算：A※B＝{t|t＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A※B中的所有元素之和为________．
考点 集合的表示综合
题点 用另一种方法表示集合
答案 6
解析 由题意得t＝0,2,4，即A※B＝{0,2,4}，
又0＋2＋4＝6，故集合A※B中的所有元素之和为6.
1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )
A．{1,1} B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
考点 集合的表示综合
题点 用另一种方法表示集合
答案 B
2．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是( )
A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2}
C．{(－2,1)} D．{(1，－2)}
考点 用列举法表示集合
题点 用列举法表示点集
答案 D
3．第一象限中的点组成的集合可以表示为( )
A．{(x，y)|xy>0}
B．{(x，y)|xy≥0}
C．{(x，y)|x>0且y>0}
D．{(x，y)|x>0或y>0}
考点 集合的表示综合
题点 用另一种方法表示集合
答案 C
4．设A＝{x∈N|1≤x<6}，则A用列举法可表示为________．
考点 集合的表示综合
题点 用另一种方法表示集合
答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，3，4，5))
5．(2017·山东青岛高一检测)已知A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y|x＋y＝6，x∈N，y∈N))，用列举法表示为A＝______________.
考点 集合的表示综合
题点 用另一种方法表示集合
答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，6，1，5，2，4，3，3，4，2，5，1，6，0))
1．在用列举法表示集合时应注意：
(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集．若集合中的元素个数比较少，则用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．
2．在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；
(2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真(元素具有怎样的属性)，而不能被表面的字母形式所迷惑．
一、选择题
1．方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝3，,x－y＝－1))的解集不可以表示为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝3，,x－y＝－1))))))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2))))))
C．{1,2}
D．{(1,2)}
考点 集合的表示综合
题点 用适当的方法表示集合
答案 C
解析 方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一个有序实数对，故C不符合．
2．集合A＝{x∈Z|－2A．1 B．2 C．3 D．4
考点 用描述法表示集合
题点 用描述法表示有限数集
答案 D
解析 因为A＝{x∈Z|－2所以x的取值为－1，0,1,2，共4个．
3．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示( )
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
考点 用描述法表示集合
题点 用描述法表示点集
答案 D
解析 集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合，故选D.
4．已知x，y为非零实数，则集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(x,|x|)＋\f(y,|y|)＋\f(xy,|xy|)))))为( )
A．{0,3} B．{1,3}
C．{－1,3} D．{1，－3}
考点 集合的表示综合
题点 用另一种方法表示集合
答案 C
解析 当x>0，y>0时，m＝3，
当x<0，y<0时，m＝－1－1＋1＝－1.
当x，y异号，不妨设x>0，y<0时，
m＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.
因此m＝3或m＝－1，则M＝{－1,3}．
5．下列选项中，集合M，N相等的是( )
A．M＝{3,2}，N＝{2,3}
B．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
C．M＝{3,2}，N＝{(3,2)}
D．M＝{(x，y)|x＝3且y＝2}，N＝{(x，y)|x＝3或y＝2}
考点 集合的表示综合
题点 集合的表示综合问题
答案 A
解析 元素具有无序性，A正确；点的横坐标、纵坐标是有序的，B选项两集合中的元素不同；C选项中集合M中元素是两个数，N中元素是一个点，不相等；D选项中集合M中元素是一个点(3,2)，而N中元素是两条直线x＝3和y＝2上所有的点，不相等．
6．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x是小于18的正奇数))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝4k＋1，k∈Z，且k<5))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝4s－3，s∈N*，且s≤5))
考点 集合的表示综合
题点 用另一种方法表示集合
答案 D
解析 对于x＝4s－3，当s依次取1,2,3,4,5时，
恰好对应的x的值为1,5,9,13,17.
7．已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝2m－1，m∈Z))，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝2n，n∈Z))，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是( )
A．x1·x2∈A B．x2·x3∈B
C．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A
考点 用描述法表示集合
题点 用描述法表示与余数有关的整数集合
答案 D
解析 ∵集合A表示奇数集，集合B表示偶数集，
∴x1，x2是奇数，x3是偶数，
∴x1＋x2＋x3为偶数，故D错误．
8．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是( )
A．18 B．17 C．16 D．15
答案 B
解析 因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个，故选B.
二、填空题
9．集合{x∈N|x2＋x－2＝0}用列举法可表示为________．
考点 集合的表示综合
题点 用另一种方法表示集合
答案 {1}
解析 由x2＋x－2＝0，得x＝－2或x＝1.
又x∈N，∴x＝1.
10．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为________．
考点 集合的表示综合
题点 用适当的方法表示集合
答案 3
解析 根据x∈A，y∈A，x＋y∈A，知集合B＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，有3个元素．
11．定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，若集合A＝{x|2x＋1>0}，集合B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x－2,3)<0))))，则集合A－B＝________.
考点 集合的表示综合
题点 集合的表示综合问题
答案 {x|x≥2}
解析 A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－\f(1,2)))))，B＝{x|x<2}，
A－B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－\f(1,2)且x≥2))))＝{x|x≥2}．
三、解答题
12．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．
考点 用描述法表示集合
题点 用描述法表示集合的综合问题
解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，
所以它们是互不相同的集合．理由如下：
集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；
集合B中代表的元素是y，满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，所以B＝{y|y≥3}．
集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝{P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}．
13．用适当的方法表示下列集合：
(1)大于2且小于5的有理数组成的集合；
(2)24的所有正因数组成的集合；
(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合．
考点 集合的表示综合
题点 用适当的方法表示集合
解 (1)用描述法表示为{x|2(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．
(3)在平面直角坐标系内，点(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，
所以该集合用描述法表示为{(x，y)||y|＝|x|}．
四、探究与拓展
14．已知集合A＝{x|x＝3m，m∈N*}，B＝{x|x＝3m－1，m∈N*}，C＝{x|x＝3m－2，m∈N*}，若a∈A，b∈B，c∈C，则下列结论中可能成立的是( )
A．2 006＝a＋b＋c B．2 006＝abc
C．2 006＝a＋bc D．2 006＝a(b＋c)
考点 用描述法表示集合
题点 用描述法表示与余数有关的整数集合
答案 C
解析 由于2 006＝3×669－1，不能被3整除，
而a＋b＋c＝3m1＋3m2－1＋3m3－2＝3(m1＋m2＋m3－1)不满足；
abc＝3m1(3m2－1)(3m3－2)不满足；
a＋bc＝3m1＋(3m2－1)(3m3－2)＝3m－1适合；
a(b＋c)＝3m1(3m2－1＋3m3－2)不满足．
故选C.
15．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，用列举法表示集合P＋Q.
考点 集合的表示综合
题点 用另一种方法表示集合
解 ∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；
当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；
当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.
∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．