高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制同步练习题

        专题5.1 任意角和弧度制

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是(　　)

A．120°　　　　　　　　　　 B．－120°

C．240° D．－240°

【答案】D

【解析】按顺时针方向旋转形成的角是负角，排除A、C；又由题意知旋转的角度是240°，排除B.故选D.

2．给出下列四个结论：①－15°角是第四象限角；②185°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－350°角是第一象限角．其中正确的个数为(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】D

【解析】①－15°角是第四象限角；

②因为180°<185°<270°，所以185°角是第三象限角；

③因为475°＝360°＋115°，90°<115°<180°，所以475°角是第二象限角；

④因为－350°＝－360°＋10°，所以－350°角是第一象限角．

所以四个结论都是正确的．

3．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝(　　)

A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}

C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}

【答案】C

【解析】令k＝－1,0,1,2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.

4．已知角α＝45°，β＝315°，则角α与β的终边(　　)

A．关于x轴对称 B．关于y轴对称

C．关于直线y＝x对称 D．关于原点对称

【答案】A

【解析】因为β＝315°＝360°－45°，所以315°角与－45°角的终边相同，所以α与β的终边关于x轴对称．

5．若α与β终边相同，则α－β的终边落在(　　)

A．x轴的非负半轴上 B．x轴的非正半轴上

C．y轴的非负半轴上 D．y轴的非正半轴上

【答案】A

【解析】∵α＝β＋k·360°，k∈Z，∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其终边在x轴的非负半轴上．

6．(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是(　　)

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】AC

【解析】因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°<2α<k·360°＋180°，k∈Z，则有k·180°<α<k·180°＋90°，k∈Z.故当k＝2n，n∈Z时，n·360°<α<n·360°＋90°，n∈Z，α为第一象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°<α<n·360°＋270°，n∈Z，α为第三角限角．故选A、C.

7．若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为(　　)

A．α＋β＝0 B．α－β＝0

C．α＋β＝2kπ(k∈Z) D．α－β＝＋2kπ(k∈Z)

【答案】D

【解析】∵α＝x＋＋2k1π(k1∈Z)，β＝x－＋2k2π(k2∈Z)，∴α－β＝＋2(k1－k2)π(k1∈Z，k2∈Z)．∵k1∈Z，k2∈Z，∴k1－k2∈Z.∴α－β＝＋2kπ(k∈Z)．

8.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示)，设主动轮M的直径为150 mm，从动轮N的直径为300 mm，若主动轮M顺时针旋转，则从动轮N逆时针旋转(　　)

A. B．

C. D．π

【答案】B

【解析】设从动轮N逆时针旋转θ rad，由题意，知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，所以，解得θ＝，选B.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

9．若α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则α＝________.

【答案】270°

【解析】∵5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.

又∵180°<α<360°，∴α＝270°.

10.集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中角表示的范围(用阴影表示)是图中的________(填序号)．

【答案】②

【解析】集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中，当k为偶数时，此集合与{α|0°≤α≤45°}表示终边相同的角，位于第一象限；当k为奇数时，此集合与{α|180°≤α≤225°}表示终边相同的角，位于第三象限．所以集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中角表示的范围为图②所示．

11．（2020·浙江高一课时练习）一条铁路在转弯处呈圆弧形，圆弧的半径为，一列火车以的速度通过，间转过_______弧度．

【答案】

【解析】间列车转过的弧长为，转过的角（弧度）．

故答案为：

12.已知圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为______；若圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么这段弧所对圆心角的弧度数的绝对_____.

【答案】       

【解析】设圆半径为，这段弧所对圆心角的弧度数为，则圆外切正三角形的边长为，

∴；又圆内接正方形的边长为，周长为，即圆弧长为，∴.

三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

13．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．

【解析】由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z，

∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.

取k＝1，得α＋β＝80°.①

∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，α，β都是锐角，

∴－90°<α－β<90°.

取k＝－2，得α－β＝－50°.②

由①②，得α＝15°，β＝65°.

14.如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P在1秒内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限．

【解析】根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上，所以45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z.

又180°<2θ＋45°<270°，

即67.5°<θ<112.5°，

∴67.5°<<112.5°.

又k∈Z，∴k＝3或4，

∴所求的θ的值为或.

∵0°<<90°，90°<<180°，

∴θ在第一象限或第二象限．

15.已知扇形AOB的圆心角α为，半径长R为6，求：

（1）弧AB的长；

（2）扇形所含弓形的面积.

【解析】（1）l＝α·R＝π×6＝4π，

所以弧AB的长为4π.

（2）S扇形OAB＝lR＝×4π×6＝12π.

如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于点D，π＝120°，

所以∠AOD＝60°，∠DAO＝30°，

于是有S△OAB＝×AB×OD

＝×2×6cos 30°×3＝9.

所以弓形的面积为S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.

所以弓形的面积是12π－9.

16．（2020·浙江高一课时练习）如图，已知长为，宽为的长方形在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方形的底边与桌面所成的角为，求点走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积．

【解析】如图:

在扇形中，圆心角为，

弧长，

面积．

在扇形中，圆心角为，

弧长，

面积，

在扇形中，圆心角为，

弧长，

面积．

综上，点走过的路程，

点走过的弧所在扇形的总面积