人教版八年级上册第十一章 三角形综合与测试导学案及答案

这是一份人教版八年级上册第十一章 三角形综合与测试导学案及答案，共28页。学案主要包含了三角形的稳定性，三角形的内角，三角形的外角等内容，欢迎下载使用。
三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．
二、三角形的内角
结论1：三角形的内角和为180°．几何语言： 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角
如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）
②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．
如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数．
结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．
几何语言： 在直角△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°；同理：有两个角互余的三角形是直角三角形.
三、三角形的外角
1．定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．
2．性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
③三角形的一个外角与和它相邻的内角互补.
3．外角个数
过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角．
课堂讲练
第一部分：基础回顾
例1：如果△ABC的一个内角的大小是40°，且∠A＝∠B，那么与∠C相邻的外角的大小是（ ）
A. 140° B. 80°或100° C . 100°或140° D. 80°或140°
A
B
D
F
C
E
2：如图1所示，在△ABC中，∠B=80°，∠C=40°，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，则∠DAE的度数为（ ）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
图3
图2
图1

3：如图2所示，在Rt△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，则x可能是（ ）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
4：如图3，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB交BC于E,EF∥BD交CD于F,则图中等腰三角形的个数为（ ）
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
5：如果三角形的一个外角等于和它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则此三角形各内角的度数是_______________.
练习1、已知在△ABC中，∠A=105°，∠B-∠C=15°，则∠B等于（ ）
A.45° B.36° C.72° D.144°
2、一幅三角板，如图1所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）
A.75° B.60° C.65° D.55°

图1 图2 图3 图4
3、如图2，∠1、∠2、∠3、∠4应满足的关系式是（ ）
A.∠1+∠2=∠3+∠4 B.∠1+∠2=∠4-∠3 C.∠1+∠4=∠2+∠3 D.∠1+∠4=∠2-∠3
4、如图3，已知AB=AC=BD，那么∠1和∠2之间的关系是（ ）
A. ∠1=2∠2 B. 2∠1+∠2=180° C. ∠1+3∠2=180° D. 3∠1-∠2=180°
5、如图4，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且相交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（ ）
A．150° B．130° C．120° D．100°

第二部分：能力拓展
例1：如图1，∠1＋∠2＋∠3＋∠4 =____________.
2：如图2，∠A=650，∠B=750，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2=200，则∠1的=______度.
图3
图1
图2
图4

4：如图3，在△ABC中，∠A=400，∠A=720，CE平分∠ACB，
CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF= .
5：如图4，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，则∠GEF的度数是________.
1
2
3
4
图5
6：如图5，∠1+∠2+∠3+∠4=___________.
练习1、在△ABC中，如果∠B－∠A－∠C=50°，∠B=_________.
2、若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个等腰三角形的底角为_________.
3、如图1，∠A=32°∠B=45°∠C=38°，则∠DFE =（ ）
A.120° B.115° C.110° D.105°
1
2
3
4
5

图1 图2 图3
4、如图2，C在AB的延长线上，CE⊥AF于E，交FB于D，∠F = 40°，∠C = 20°，则∠FBA的度数为（ ）
A.50° B.60° C.70° D.80°
5、如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=___________.
例6：在△ABC中，∠A=∠C=∠ABC，BD是角平分线，求∠A及∠BDC的度数．
7：如图在△ABC，AD是高线，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，求∠DAC与∠BOA的度数．
8：已知，如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠E+∠ADC的度数.
A
C
E
D
B
9：如图，BE、CD交于A点，∠C与∠E的平分线交于F，
（1）∠F与∠B、∠D有何等量关系？（2）当∠B∶∠D∶∠F = 2∶4∶x时，x为多少？
A
B
C
P
N
M
A
B
C
P
D
A
B
C
P
10：在△ABC中，BP、CP分别是两条角平分线（可能是内角平分线或外角平分线），试探究∠BPC与∠A的关系.
练习6、在△ABC中，已知∠A=∠B=∠C，求∠A、∠B、∠C的度数．
A
B
C
E
F
D
7、如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE是△ABC的角平分线,AD、CE交于F点.当∠BAC=80°，∠B=40°时，求∠ACB、∠AEC、∠AFE的度数.
8、如图，把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是什么？试说明你找出的规律的正确性.
9、如图，∠1=∠2=∠3，且∠BAC=，∠DFE=，求∠ABC的度数.
10、如图，∠ECF＝900,线段AB的端点分别在CE和CF上，BD平分∠CBA，并与∠CBA的外角平分线AG所在的直线交于一点D，
（1）∠D与∠C有怎样的数量关系？（直接写出关系及大小）
（2）点A在射线CE上运动，（不与点C重合）时，其它条件不变，（1）中结论还成立吗？说说你的理由．
课 后 作 业
1、已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是（ ）
A.等腰直角三角形 B.一般的等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰钝角三角形
2、若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
3、以下命题中正确的是（ ）
A.三角形的三个内角与三个外角的和为540° B.三角形的外角大于它的内角
C.三角形的外角都比锐角大 D.三角形中的内角没有小于60°的
图1
4、如图1，∠x的两边被一直线所截，用含α、β的式子表∠x为（ ）
A.α-β B.β-α C.180°-α+β D.180°-α-β
5、在△ABC中，D，E分别为BC上两点，且BD=DE=EC，则图2中面积相等的三角形有（ ）
A.4对 B.5对 C.6对 D.7对
A
B
C
D
E
F

图2 图3 图4 图5
6、如图3所示，在△ABC中，∠B=∠C，∠BAD=40°，若∠1=∠2，则∠EDC的度数为（ ）
A. 40° B. 30° C. 20° D. 10°
7、如图4所示，D是等腰△ABC的腰AC上一点，DE⊥BC于点E，EF⊥AB于点F，若∠ADE=158°，则∠DEF=（ ）
A、22° B、42° C、68° D、78°
8、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）
A. 60° B. 120° C. 60°或150° D. 60°或120°
9、如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、BE的中点，且S△ABC=8cm2，则图中阴影部分△CEF的面积是（ ）
A、2 cm2 B、3 cm2 C、4 cm2 D、5 cm2
10、已知三角形三个内角的度数之比为：1∶3∶5，则这三个内角的度数为
11、在△ABC中，已知∠A=∠B=∠C,求∠A、∠B、∠C的度数.
12、如图，在△ABC中,D是BC边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC的度数.
13、如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，∠BAD=40°，并且∠ADE=∠AED，求∠CDE的度数．

14、如图，已知∠B＝10°，∠C＝20°，∠BOC＝110°，求∠A的度数.
A
B
O
C
15、如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E,AD为∠BAC的平分线.
（1）∠B=500，∠C=700，求∠DAE的度数；
（2）若∠C>∠B,则∠DAE与∠C-∠B有怎样的数量关系？说明理由；
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
（3）如图2，若点A在AD上移动到点F，FE⊥BC于E,其它条件不变，那么∠EFD与∠C、∠B是否还有（2）中的结论？试说明理由.
讲义07 三角形与多边形
课堂练习：
1.如果一个多边形的每个外角，都是与它相邻内角的三分之一，则这样的多边形有（ ）
Ａ．无穷多个，它的边数为8Ｂ．一个，它的边数为8
Ｃ．无穷多个，它的边数为6Ｄ．无穷多个，它的边数不可能确定
2.一个多边形恰有三个内角是钝角，那么这个多边形的边数最多为（ ）
Ａ．5 Ｂ．6Ｃ．7Ｄ．8
3.小亮从A点出发前进10米向右转15°，再前进10米又向右转15°……这样一直走下去，他第一次回到出发点时，一共走了（ ）
A、200米 B、220米 C、240米 D、260米

4.过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形共有k条对角线，则（m－k）n 的值为（ ）
A、90 B、115 C、125 D、150
5.如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=（ ）
A.140° B.130° C.110° D.70°
6.如图，一块实验网的形状是三角形（设其为△ABC），管理员从BC边的一点D出发，沿DC→CA→AB→BD的方向走了一圈回到D点处，则管理员从出发到回到原处，在途中，身体（ ）
A、转过90° B、转过180° C、转过270° D 过360°
7.足球是由许多黑白相间的小皮块缝合而成的。黑块是五边形，白块是六边形，每块黑皮的五条边连着五块白皮，每块白皮只有三条边连着黑皮，已知黑皮块有共有12块，计算一下白皮块有（ ）块。
A、16 B、18 C、20 D、22
8.若一个正多边形的每一个外角都是，那么从某一个项点出发的所有对角线会将其分成_____个三角形
9.一个六边形所有内角都相等，则每个内角为_____度．
10.由于一个多边形的外角最多能有_____个钝角，因此，一个多边形的内角最多能有_____个锐角．
11.如果一个多边形的每一个内角都相等,且每一个内角都大于135°, 那么这个多边形的边数最少为
12.将一个正方形砍去一个角，其内角和将变成______
13.如图是正八边形为“基本单位”铺成的图案的一部分（其中有个“基本图形”），其间存有若干个小正方形空隙，边沿上有小三角形空隙，以及图案的个角的更小的三角形空隙．若密铺个“基本单位”的图案，并填充满空隙则需要______个小正方形，______个小三角形．（不含图案的个角）．

14.如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________.
15.多边形的内角和与某一个外角的度数之和为13500，求这个多边形的边数．
16.如图，在△ABC中，DE∥BC，F是AB上一点，FE的延长线交BC的延长于点G，则∠EGH与∠ADE的大小有什么关系？请说明理由．
17.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.
18.如图所示，某厂规定一块模板中AB、CD的延长线相交成80°角，因交点不在板上，不便测量，工人师傅连接AC，测得∠BAC=34°，∠DCA=65°，此时AB、CD的延长线相交的角是否符合规定？为什么？

19.如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.

20.已知六边形ABCDEF，如图，它的每个内角都相等，且AB=1，BC=CD=DE=9，求这个六边形的周长.

21.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,作出∠B和∠D的平分线, 观察它们之间的关系,作出猜想并加以说明理由.
课后练习：
1.能作为某多边形的内角和的是（ ）
A、270° B、560° C、1200° D、1800°
2.下列正多边形的组合中，不能作镶嵌的是（ ）
A、一个正三角形和两个正十二边形 B、两个正三角形和两个正六边形
C、一个正方形和两个正八边形 D、两个正五边形和两个正方形
3.在正三角形、正方形、正五边形、正六边形中不能单独镶嵌平面的是（ ）
A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形
4.一块正六边形硬纸片（如图所示（1）），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，如图（2）），需在每一个顶点处剪去一个四边形，如图（1）中的四边形AGA’H，那么∠GA’H的度数是（ ）
A、50° B、60° C、70° D、80°
5.一个多边形的每个内角都相等，每个内角与相邻外角的差为100°，则这个多边形是( ).
A.七边形 B.八边形 C.九边形 D.十边形
6.若一个多边形的内角和与外角和之和是1800º，则此多边形是( ).
A.八边形 B.十边形 C.十二边形 D.十四边形
7.一个多边形的每个外角都是720，这个多边形是______边形，其内角和为______．
8.各内角都相等的多边形中，一个外角等于相邻内角的，则它的每一个内角都是______．
9.如图所示的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围第一层有六个白色正六边形，则第n层有__________个白色正六边形.

10.如图，AB∥ED，FG⊥BC，垂足为G，FCD为一条直线，且∠B=120°，∠D=110°，
则∠CFG=_____．
11.如图，点A、C分别是线段BE、BD上的一点，连接AC、EC、AD，试说明∠CAD+∠ACE+∠B+∠D+∠E=180°．
12.如图，∠BAC=90°，∠1=∠2，AM⊥BC，AD⊥BE，那么∠2=∠3=∠4，你知道这是为什么吗?
13.已知：△ABC的周长是36cm,a+b=2c,a:b=1:2,求：a,b,c.
14.已知，如图在ΔABC中，∠B＞∠C，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，
求证：∠DAE=
15.在△ABC中，∠B＝20°+∠A，∠C＝∠B－10°，求∠A的度数.
16.一个多边形除了一个内角之外，其余内角之和为，求这个内角的大小．
17.如果一个多边形的边数增加一倍，它的内角和是28800，那么原来的多边形的边数是多少？
18.已知从多边形一个顶点出发的所有对角线，将多边形分成三角形的个数恰好等于该多边形所有对角线条数，求多边形内角和。
19.如图，已知∠1=110°，∠2=85°，∠3=30°，求∠ABC的度数．
20.如图，，求；
21.已知ABC中，比2大，比2少，求各角的度数．
8、如图，在△ABC中，内角∠A和外角∠CBE和∠BCF的角平分线交于点P，AP交BC于D,过B作BG⊥AP于G.（1）若GBP=45°，求证：AC⊥BC；
（2）在图上作出△PDC在PC边的高DH,并探究∠APB和∠HDC的数量关系，并说明理由.
22.如图，在六边形ABCDEF中，AF//CD，AB//DE，且，求 和的度数。
23.如果多边形恰有四个内角是钝角,那么多边形的边数共有几种可能? 其中最多是几边形?最少是几边形?
24.一个广场地面的一部分如图所示,地面的中央是一块正六边形的地砖, 周围用正三角形和正方形的大理石地砖拼成,从里往外共12层(不包括中央的正六边形地砖),每一层的外界都围成一个多边形.若中央正六边形地砖的边长是0.5米, 则第12层的外边界所围成的多边形的周长是多少?
1.多边形的边数每增加1条，那么它的外角和（ ）
A.增加180° B.减少180° C.保持不变 D.增加360°
2.在一个多边形的内角中，锐角不能多于( ).
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3.一个多边形的边数增加2条，则它的内角和增加( ).
A.180° B.90° C.360° D.540°
4.商店出售下列形状的地砖：①正方形；②长方形；③正五边形；④正六边形。若只能选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖有（ ）
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
5.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系保持不变，这个关系是（ ）
A.∠A=∠1+∠2 B.2∠A=∠1+∠2 C.3∠A=2∠1+∠2 D.3∠A=2(∠1+∠2)

6.如图所示，小陈从O点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（ ）
A. 60米 B. 100米 C. 90米 D. 120米
7.正十二边形的每一个外角等于______
8.如下图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝＿＿＿。

9.如图所示，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝
10.是否存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的？为什么？
11.一个多边形的所有内角与它的一个外角之和是2000°，那么这个外角是多少度？这个多边形的边数是多少？
12.看图答题：
问题：（1）小华在求几边形的内角和?（2）少加的那个角为多少度？
讲义08 期中综合复习题
课堂练习：
4.如图，将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，观察图形，在线段AB、AC、AE、ED、EC、DB中,相互平行的线段有（ ）.
A.4组 B.3组 C.2组 D.1组

5.用八根木条钉成如图所示的八边形木架，要使它不变形，至少要钉上木条的根数是（ ）
A.3根 B.4根 C.5根 D.6根
6.等腰三角形的一个角为40°，则它的底角为（ ）
A.100° B.40° C.70° D.70°或40°
7.如图所示，等于（ ）
A.1800 B.2700 C.3600 D.5400

8.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则∠A与∠1、∠2之间保持一种数量关系始终不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠A=∠1-∠2B．2∠A=∠1-∠2C．3∠A=2∠1-∠2D．3∠A=2（∠1-∠2）
9.一个多边形去掉一个角后，形成另一个多边形的内角和是2520°，则原多边形的边数是（ ） A．14B．16C．15或17 D．15或16或17
21.一个三角形的三边分别为3、1-2m、8,则m的取值范围是
22.等腰三角形的周长为24cm，腰长为xcm,则x的取值范围
25.如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D′、C′的位置，ED′的延长线与BC相交于点G．若∠EFB＝50°，求∠1、∠2的度数．
27.如图:CD是△ABC中∠ACB的外角平分线, 请猜测∠BAC和∠B的大小关系,并说明理由.
28.一个三角形有两条边相等，周长为18，且每一条边的长都是整数，求这个三角形三边的长。
29.在三角形△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，DE过O且平行于BC，如果△ADE的周长为10cm，BC=5cm，那么△ABC的周长是多少？并说清理由。
30.如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A=38°，∠BDC=55°，求△BED各内角的度数。
31.如图，已知在ABC中，∠C=∠ABC,BEAC,BDE是正三角形，求∠C的度数。
32.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个点，PE⊥AD交直线BC于点E．
（1）若∠B=30°，∠ACB=70°，则∠ADC=_________，∠E=_________；
（2）若∠B=58°，∠ACB=102°，则∠ADC=_________，∠E=_________；
（3）若∠B=m°，∠ACB=n°，且n＞m，请用含m、n的式子表示∠ADC，∠E的度数．
33.已知线段，．
（1）已知线段垂直于线段．设图（1）、图（2）和图（3）中的四边形的面积分别为，和，则＝ ，＝ ，＝ ；
（2）如图（4），对于线段与线段垂直相交（垂足不与点，，，重合）的任意情形，请你就四边形面积的大小提出猜想，并证明你的猜想.
35.（1）已知△ABC为正三角形，点M是BC上一点，点N是AC上一点，AM、BN相交于点Q，∠BAM=∠NBC,猜想∠BQM等于多少度，并证明你的猜想；

将（1）中的“正△ABC”分别改为正方形ABCD、正五边形ABCDE、正六边形ABCDEF、正n边形ABCD…X，“点N是AC上一点”改为点N是CD上一点，其余条件不变，分别推断出∠BQM等于多少度，将结论填入下表：

36.如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O．请问：
DO是△DEF的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
若将结论与AD是△ABC的角平分线、DE∥AB、DF∥AC中的任一条件交换，所得命题正确吗？
37.已知：在如图①至图③中，△ABC的面积为a，解答下面各题：
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1=_________（用含a的代数式表示）；
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2=_________（用含a的代数式表示）；
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB；连接FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，求S3的大小（用含a的代数式表示）；
（4）像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的多少倍？
38.如图，在平面直角坐标系中，∠ABO=2∠BAO，P为x轴正半轴上一动点，BC平分∠ABP，PC平分∠APF，OD平分∠POE。
（1）求∠BAO的度数；（2）求证：∠C=15°+∠OAP；
（3）P在运动中，∠C+∠D的值是否变化，若发生变化，说明理由，若不变求其值。
8.如图所示，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为R的扇形草坪。
（1）图 eq \\ac(○,1)中草坪的面积为________________。 （2）图 eq \\ac(○,2)中草坪的面积为________________。
（3）图 eq \\ac(○,3)中草坪的面积为________________。
（4）如果多边形边数为n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为____________。
9.如图，E是△ABC的边CA延长线上一点，D点在BC的延长线上，试说明：∠1