考点23 直角三角形与勾股定理—2021年《三步冲刺中考•数学》（全国通用）之第1步小题夯基础（原卷+解析）

这是一份考点23 直角三角形与勾股定理—2021年《三步冲刺中考•数学》（全国通用）之第1步小题夯基础（原卷+解析），共32页。
第一步 小题夯基础


考点23直角三角形与勾股定理
真题回顾



1.（2020·大连）如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200m，则图书馆A到公路的距离AB为(    )

A. 100m                          B. 100 m                          C. 100 m                          D.  m
2.（2020·盘锦）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题.原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是 尺.根据题意，可列方程为（   ）
A.           B.           C.           D. 

3.（2017·眉山）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（   ）
A. 1.25尺                                B. 57.5尺                                C. 6.25尺                                D. 56.5尺

4.（2020·河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（    ）
A. 1，4，5                             B. 2，3，5                             C. 3，4，5                             D. 2，2，4

5.（2019·淮安）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（   ）

A. 5                                           B. 6                                           C. 7                                           D. 25
6.（2018·淄博）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（   ）
A. 4                                          B. 6                                          C.                                           D. 8

7.（2018·南通）如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于（   ）

A. 8（ ）m           B. 8（ ）m           C. 16（ ）m           D. 16（ ）m
8.（2017·陕西）如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（   ）
A. 3                                       B. 6                                      C. 3                                       D. 

9.（2019·威海）把一块含有 角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置(直角顶点在直尺的一条长边上)．若 ，则 ________ ．

10.（2020·黔西南州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝ ，则BD的长度为________.

11.（2019·葫芦岛）如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠PAB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB＝80米，则河两岸之间的距离约为________米.（ ≈1.73，结果精确到0.1米）

12.（2020·绍兴）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为________。

13.（2020·通辽）如图，在 中， ，点P在斜边 上，以 为直角边作等腰直角三角形 ， ，则 三者之间的数量关系是________．

14.（2018·葫芦岛）如图，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧，交ON于点B、C，再分别以点B、C为圆心，大于 BC的长为半径作弧，两弧交于点D、作直线AD分别交OP、ON于点E、F．若∠MON=60°，EF=1，则OA=________．

15.（2019·包头）如图，在 中， 为斜边 的中点，连接 ，点 是 边上的动点（不与点 重合），过点 作 交 延长线交于点 ，连接 ，下列结论：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③ 和 一定相似；④若 ，则 ．其中正确的是________．（填写所有正确结论的序号）

模拟预测


1.（2020·新乡模拟）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝10，分别以点B和点C为圆心，大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，连接DE交BC于点H，连接AH，则AH的长为（   ）
A. 5                                      B. 5                                       C.                                       D. 5

2.（2020·濉溪模拟）如图，在 中， 交 于点 ．若 则 的长为（  ）
A.                                         B.                                         C.                                         D. 

3.（2020·遵化模拟）如图，在 中， 平分 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，且 平分 ，若 ，则 的长为（   ）
A.                                         B.                                         C.                                         D. 

4.（2020·宁波模拟）有一个著名的希波克拉蒂月牙问题：如图1，以直角三角形的各边为直径分别向上作半圆，则直角三角形的面积可表示成两个月牙形的面积之和．现将三个半圆纸片沿直角三角形的各边向下翻折得到图2，把较小的两张半圆纸片的重叠部分面积记为S1 ， 大半圆纸片未被覆盖部分的面积记为S2 ， 则直角三角形的面积可表示成(    )
A. S1+S2                                 B. S2-S1                                 C. S2-2S1                                 D. S1·S2

5.（2020·邗江模拟）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F.若BC＝4，∠CBD＝30°，则BF的长为（   ）

A.                                   B.                                   C.                                   D. 
6.（2020·武威模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=2 ，则AC的长是________

7.（2020·温州模拟）两个大小不同的等腰直角三角板按如图方式摆放，使得A，B，P三点在同一直线上，连结 .若 ， ，则 的面积为________.

8.（2020·九江模拟）在△ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AC=8，点 D 在边 AB， 且 BD= ，点 P 是△ABC 边上的一个动点，若 AP=2PD 时，则 PD的长是________．
9.（2020·北京模拟）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为 4 的正方形ABCD的边AB在轴x上，AB的中点是坐标原点O固定点A，B， 把正方形沿箭头方向推，使点 D落在y 轴正半轴上点 D′处，则点C的对应点C′的坐标为________

10.（2020·硚口模拟）如图，△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，D是BC边上一动点，BE⊥AD，交其延长线于E，EF⊥AC，交其延长线于F，则AF的最大值为________.


第一步 小题夯基础


考点23直角三角形与勾股定理
真题回顾



1.（2020·大连）如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200m，则图书馆A到公路的距离AB为(    )

A. 100m                          B. 100 m                          C. 100 m                          D.  m
【答案】 A
【考点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB⊥OB，∠AOB=90°-60°=30°，
∴AB=OA=100m.
故答案为：A.
【分析】先求出∠AOB的度数，再由30°所对的直角边的性质求解即可.
2.（2020·盘锦）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题.原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是 尺.根据题意，可列方程为（   ）

A.           B.           C.           D. 

【答案】 B
【考点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设芦苇的长度是 尺，如下图

则 ， ，
在 中，
即
故答案为：B.
【分析】找到题中的直角三角形，设芦苇的长度是 尺，根据勾股定理即可得出答案.
3.（2017·眉山）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（   ）
A. 1.25尺                                B. 57.5尺                                C. 6.25尺                                D. 56.5尺

【答案】 B
【考点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：依题意有△ABF∽△ADE，
∴AB：AD=BF：DE，
即5：AD=0.4：5，
解得AD=62.5，
BD=AD﹣AB=62.5﹣5=57.5尺．
故选：B．

【分析】根据题意可知△ABF∽△ADE，根据相似三角形的性质可求AD，进一步得到井深．
4.（2020·河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（    ）
A. 1，4，5                             B. 2，3，5                             C. 3，4，5                             D. 2，2，4

【答案】 B
【考点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意，设三个正方形的边长分别为a、b、c，
由勾股定理，得 ，
A、∵1+4=5，则两直角边分别为：1和2，则面积为： ；
B、∵2+3=5，则两直角边分别为： 和 ，则面积为： ；
C、∵3+4≠5，则不符合题意；
D、∵2+2=4，则两直角边分别为： 和 ，则面积为： ；
∵ ，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理， ，则小的两个正方形的面积等于大三角形的面积，再分别进行判断，即可得到面积最大的三角形．
5.（2019·淮安）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（   ）

A. 5                                           B. 6                                           C. 7                                           D. 25
【答案】 A
【考点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示：

AB= =5．
故选：A．
【分析】建立格点三角形，利用勾股定理求解AB的长度即可．
6.（2018·淄博）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（   ）
A. 4                                          B. 6                                          C.                                           D. 8

【答案】B
【考点】含30度角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，
∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，
∴∠ACB=2∠B，NM=NC，
∴∠B=30°，
∵AN=1，
∴MN=2，
∴AC=AN+NC=3，
∴BC=6，
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的定义平行线的性质得出∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，根据等量代换及等角对等边得出∠ACB=2∠B，NM=NC，根据直角三角形的两锐角互余得出∠B=30°，根据含30º角的直角三角形的边之间的关系得出MN=2，进而得出BC=6，
7.（2018·南通）如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于（   ）

A. 8（ ）m           B. 8（ ）m           C. 16（ ）m           D. 16（ ）m
【答案】 A
【考点】等腰直角三角形
【解析】【解答】解：设MN=xm，
在Rt△BMN中，∵∠MBN=45°，
∴BN=MN=x，
在Rt△AMN中，tan∠MAN= ，
∴tan30°= = ，
解得：x=8（ +1），
则建筑物MN的高度等于8（ +1）m；
故选A．
【分析】设MN=xm，由题意可知△BMN是等腰直角三角形，所以BN=MN=x，则AN=16+x，在Rt△AMN中，利用30°角的正切列式求出x的值．
8.（2017·陕西）如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（   ）
A. 3                                       B. 6                                      C. 3                                       D. 

【答案】 A
【考点】勾股定理
【解析】【解答】∵∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，
∴AB= =3 ，∠CAB=45°，
∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同，
∴∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=3 ，
∴∠CAB′=90°，
∴B′C= =3 ，
故答案为：A．
【分析】由已知条件根据勾股定理得出AB=3 ，∠CAB=45°，再根据全等三角形的性质得出∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=3 ，∠CAB′=90°，再由勾股定理求出B′C=3 .
9.（2019·威海）把一块含有 角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置(直角顶点在直尺的一条长边上)．若 ，则 ________ ．

【答案】 68
【考点】勾股定理，直角三角形的性质
【解析】【解答】如图，

∵ 是含有 角的直角三角板，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：68．
【分析】根据直角三角形的性质，可以计算得到∠A以及∠C的度数，继而得到∠AGB，根据平行线的性质计算得到∠2的度数即可。
10.（2020·黔西南州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝ ，则BD的长度为________.

【答案】
【考点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴CD＝ AD.
∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD，
∴BD＝2CD.
∵BC＝ ，
∴CD＋2CD＝ ，
∴CD＝ ，
∴DB＝ ，
故答案为： .
【分析】首先证明DB=AD=2CD，然后再由条件BC= 可得答案.
11.（2019·葫芦岛）如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠PAB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB＝80米，则河两岸之间的距离约为________米.（ ≈1.73，结果精确到0.1米）

【答案】 54.6
【考点】含30度角的直角三角形，等腰直角三角形
【解析】【解答】解：

过点A作AE⊥a于点E，过点B作BD⊥PA于点D，
∵∠PBC＝75°，∠PAB＝30°，
∴∠DPB＝45°，
∵AB＝80，
∴BD＝40， ，
∴PD＝DB＝40，
∴ ，
∵a∥b，
∴∠EPA＝∠PAB＝30°，
∴ ，
故答案为：54.6.
【分析】过点A作AE⊥a于点E，过点B作BD⊥PA于点D，根据三角形的外角定理，得出∠DPB＝∠PBC-∠PAB=45°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出BD＝40， ，根据等腰直角三角形的性质得出PD＝DB＝40，进而在Rt△AEP中，根据含30°直角三角形的边之间的关系由AE=即可得出答案.
12.（2020·绍兴）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为________。

【答案】
【考点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得，
直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，
故直角三角形的另一条直角边长为： ，
故阴影部分的面积是： ，
故答案为： ．
【分析】由题意可知直角三角形的斜边长为3，一直角边长为2，利用勾股定理求出另一条直角边，再利用三角形的面积公式就可求出阴影部分的面积。
13.（2020·通辽）如图，在 中， ，点P在斜边 上，以 为直角边作等腰直角三角形 ， ，则 三者之间的数量关系是________．

【答案】 PA2+PB2=PQ2
【考点】勾股定理，等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB，交AB于点D
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB，
∵PA2=（AD-PD）2=（CD-PD）2=CD2-2CD•PD+PD2 ，
PB2=（BD+PD）2=（CD+PD）2=CD2-2CD•PD+PD2 ，
∴PA2+PB2=2CD2+2PD2=2（CD2+PD2），
在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2 ，
∴PA2+PB2=2PC2 ，
∵△CPQ为等腰直角三角形，且∠PCQ=90°，
∴2PC2=PQ2 ，
∴PA2+PB2=PQ2 ，
故答案为PA2+PB2=PQ2.

【分析】把AP2和PB2都用PC和CD表示出来，结合Rt△PCD中，可找到PC和PD和CD的关系，从而可找到PA2 ， PB2 ， PQ2三者之间的数量关系；
14.（2018·葫芦岛）如图，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧，交ON于点B、C，再分别以点B、C为圆心，大于 BC的长为半径作弧，两弧交于点D、作直线AD分别交OP、ON于点E、F．若∠MON=60°，EF=1，则OA=________．

【答案】 2
【考点】含30°角的直角三角形，勾股定理
【解析】【解答】解：由作法得AD⊥ON于F，
∴∠AOF=90°．
∵OP平分∠MON，
∴∠EOF= ∠MON= ×60°=30°．
在Rt△OEF中，OF= EF= ．
在Rt△AOF中，∠AOF=60°，
∴OA=2OF=2 ．
故答案为：2 ．
【分析】由作法得AD⊥ON于F，可得出∠AOF=90°，利用角平分线的定义求出∠EOF的度数，再在在Rt△OEF中求出OF的长，然后利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求解。
15.（2019·包头）如图，在 中， 为斜边 的中点，连接 ，点 是 边上的动点（不与点 重合），过点 作 交 延长线交于点 ，连接 ，下列结论：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③ 和 一定相似；④若 ，则 ．其中正确的是________．（填写所有正确结论的序号）

【答案】 ①②④
【考点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：① 为斜边 的中点，
，
，
，
，

，


故①正确；
② ，
，
，
，
，
，
即 ．
，
，
，
，
，

，
，
垂直平分 ，
，
，
故②正确；
③ ，
，
，
但随着 点运动， 的长度会改变，而
或 不一定等于 ，
和 不一定相似，
故③错误；
④ ，


，
，
，
故④正确；
故答案为：①②④．
【分析】根据直角三角形的性质分别判断题目中的四个选项，选择符合答案的一项即可。
模拟预测


1.（2020·新乡模拟）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝10，分别以点B和点C为圆心，大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，连接DE交BC于点H，连接AH，则AH的长为（   ）
A. 5                                      B. 5                                       C.                                       D. 5

【答案】 C
【考点】直角三角形的性质
【解析】【解答】∵∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝10，
∴BC＝ ＝5 ，
由作法得DE垂直平分BC，
∴BH＝CH，
∴AH为Rt△ABC斜边上的中线，
∴AH＝ BC＝ .
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理计算出BC＝5 ，再利用作法得到BH＝CH，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解.
2.（2020·濉溪模拟）如图，在 中， 交 于点 ．若 则 的长为（  ）
A.                                         B.                                         C.                                         D. 

【答案】 C
【考点】直角三角形的性质
【解析】【解答】∵在 中， ， ，
∴∠CAD=∠CBF=30°，CF= BC= ×4=2，BF= CF=2 ，
∵在Rt∆AEF中，∠CAD=30°，
∴AE=2EF，
又∵ ，
∴EF=BE= BF= ，
∴AF= EF= × =3，
∴ =AF+ CF=3+2=5．
故答案为：C．
【分析】先求出∠CAD=30°，CF=2，BF=2 ，由AE=2EF， ，可得EF= ，进而得AF=3，即可求解．
3.（2020·遵化模拟）如图，在 中， 平分 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，且 平分 ，若 ，则 的长为（   ）
A.                                         B.                                         C.                                         D. 

【答案】 B
【考点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，CM平分∠ACB，MN∥BC，MN平分∠AMC
∴∠AMN=∠NMC=∠B
∠NCM=∠BCM=∠NMC
∴∠ACB=2∠B，NM=NC
∴∠B=30°
∵AN=1
∴MN=2
∴AC=AN+NC=3
∴BC=6
故答案为：B.
【分析】根据题意，计算得到∠B的度数，由直角三角形的性质求出NC的长度，继而可以得到BC的长度。
4.（2020·宁波模拟）有一个著名的希波克拉蒂月牙问题：如图1，以直角三角形的各边为直径分别向上作半圆，则直角三角形的面积可表示成两个月牙形的面积之和．现将三个半圆纸片沿直角三角形的各边向下翻折得到图2，把较小的两张半圆纸片的重叠部分面积记为S1 ， 大半圆纸片未被覆盖部分的面积记为S2 ， 则直角三角形的面积可表示成(    )
A. S1+S2                                 B. S2-S1                                 C. S2-2S1                                 D. S1·S2

【答案】 B
【考点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，

设以Rt△ABC的斜边为直径的半圆为大半圆，以AC为直径的半圆为中半圆，以BC为直径的半圆为小半圆，
∴AC2+BC2=AB2
∵S小半圆＝ ，
S中半圆＝ ，
S大半圆＝
∴S大半圆−S中半圆−S小半圆＝ ，
∵S△ABC＋S大半圆−S中半圆−S小半圆＋S1＝S2 ，
∴S△ABC＋S1＝S2 ，
∴S△ABC＝S2−S1 ，
∴直角三角形的面积可表示成S2−S1 ，
故答案为：B.
【分析】设以Rt△ABC的斜边为直径的半圆为大半圆，以AC为直径的半圆为中半圆，以BC为直径的半圆为小半圆，利用勾股定理可证得AC2+BC2=AB2 ， 利用圆的面积公式分别求出三个半圆的面积，然后可证得S△ABC＋S1＝S2 ， 将其等式变形可得结论。
5.（2020·邗江模拟）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F.若BC＝4，∠CBD＝30°，则BF的长为（   ）

A.                                   B.                                   C.                                   D. 
【答案】 C
【考点】含30度角的直角三角形，直角三角形的性质
【解析】【解答】在Rt△BDC中，BC＝4，∠DBC＝30°，
∴BD＝2 ，
∵∠BDC＝90°，点E是BC中点，
∴DE＝BE＝CE＝ BC＝2，
∵∠DCB＝30°，
∴∠BDE＝∠DBC＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴ （相似三角形对应边成比例），
在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，BD＝2 ，
∴AB＝3，
∴ ＝ ，
∴ ，
∴DF＝ BD＝ ×2 ＝ ，
∴BF＝ DF＝ .
故答案为：C.
【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论.
6.（2020·武威模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=2 ，则AC的长是________

【答案】
【考点】含30度角的直角三角形，勾股定理
【解析】【解答】设CD=x，则AC= = x，
∵AC2+BC2=AB2 ， AC2+（CD+BD）2=AB2 ，
∴ + = ，
解得，x=1，
∴AC= .
【分析】设CD=x，由tan∠DAC=tan30°= ， 可得AC=x，利用勾股定理可得AC2+BC2=AC2+（CD+BD）2=AB2 ， 即得  + = ， 求出x的值即可.
7.（2020·温州模拟）两个大小不同的等腰直角三角板按如图方式摆放，使得A，B，P三点在同一直线上，连结 .若 ， ，则 的面积为________.

【答案】 9
【考点】勾股定理，等腰直角三角形
【解析】【解答】设 ， ，
，
，
与 为等腰直角三角形，
， ，且


，即
由 ，得

由梯形面积公式得，S梯形ABCD
 S梯形ABCD


=9.
故答案为：9.
【分析】设 ， ，分别用a，b表示出△BPC、△APD、梯形ABCD的面积，根据“S△PCD= S梯形ABCD -S△PCB- S△PAD”求解即可.
8.（2020·九江模拟）在△ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AC=8，点 D 在边 AB， 且 BD= ，点 P 是△ABC 边上的一个动点，若 AP=2PD 时，则 PD的长是________．
【答案】 3或 或
【考点】含30度角的直角三角形，勾股定理
【解析】【解答】解：如图

∵∠B=90°，∠A=30°，
∴BC= AC= ×8=4，
由勾股定理得，AB=
 
当点P在AC上时，∠A=30°，AP=2PD，
∴∠ADP=90°，
则AD2+PD2=AP2 ， 即（3 ）2=（2PD）2-PD2 ，
解得，PD=3，
当点P在AB上时，AP=2PD，AD=3 ，
∴PD= ，
当点P在BC上时，AP=2PD，
设PD=x，则AP=2x，
由勾股定理得，BP2=PD2-BD2=x2-3，
 
解得，x=
故答案为：3或 或 .
【分析】根据直角三角形的性质求出BC，勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质列式计算即可．
9.（2020·北京模拟）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为 4 的正方形ABCD的边AB在轴x上，AB的中点是坐标原点O固定点A，B， 把正方形沿箭头方向推，使点 D落在y 轴正半轴上点 D′处，则点C的对应点C′的坐标为________

【答案】 （4， ）
【考点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可知，AD′＝AD＝4，
AO＝ AB＝2，
∴OD′＝ ，
∵C′D′＝4，C′D′∥AB，
∴C′（4， ），
故答案为：（4， ）．
【分析】由已知条件得到AD′＝AD＝4，AO＝ AB＝2，根据勾股定理得到OD′＝ ，于是得到结论．
10.（2020·硚口模拟）如图，△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，D是BC边上一动点，BE⊥AD，交其延长线于E，EF⊥AC，交其延长线于F，则AF的最大值为________.

【答案】 4
【考点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： ， ， ，
，
.
以AB为直径作 ，则点C、E在圆上，作BC的平行线切00于点E，过点E作EF⊥AC的延长线于点F，此时AF最长，连接OE，过点O作OM⊥AC于点M，
如图所示.

， ，
.
点 为 的中点，
点 为 的中点，
.
切 为点 ，
，
，
四边形 为矩形，
，
.
故答案为：4.
【分析】由AB=5、AC=3、BC=4可得出∠ACB=90°，以AB为直径作 ，则点C、E在圆上，作BC的平行线切 于点E,过点E作EF⊥AC的延长线于点F，此时AF最长，连接OE，过点O作OM⊥AC于点M，根据OE⊥EF、OE⊥EF、EF⊥AF可得出四边形OEFM为矩形，进而可得出MF的长度，再根据点O为AB的中点利用三角形中位线的性质可出AM的长度，由AF= AM+ MF可求出AF的最大值.