考点25 锐角三角函数—2021年《三步冲刺中考•数学》（全国通用）之第1步小题夯基础（原卷+解析）

这是一份考点25 锐角三角函数—2021年《三步冲刺中考•数学》（全国通用）之第1步小题夯基础（原卷+解析），共29页。试卷主要包含了68，cs43°≈0等内容，欢迎下载使用。
第一步 小题夯基础


考点25锐角三角函数
真题回顾



1.（2020·长沙）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（    ）
A.  米                                B.  米                                C. 21米                                D. 42米
2.（2020·杭州）如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则(    )。

A. c=bsinB                           B. b=csinB                           C. a=btanB                           D. b=ctanB
3.（2020·黔西南州）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米.若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（   ）

A.  米                           B. 4sinα米                           C.  米                           D. 4cosα米
4.（2020·凉山州）如图所示， 的顶点在正方形网格的格点上，则 的值为（    ）
A.                                         B.                                         C. 2                                        D. 

5.（2020·重庆B）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为（   ）
（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）

A. 23米                                   B. 24米                                   C. 24.5米                                   D. 25米
6.（2020·苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆 的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角 ；（2）量得测角仪的高度 ；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离 .利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（   ）

A.                          B.                          C.                          D. 
7.（2020·温州）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为(    )

A. (1.5+150tanα) 米           B. (1.5+ )米           C. (1.5+150sinα)米           D. (1.5+ )米
8.（2020·阜新）如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角 ，两树间的坡面距离 ，则这两棵树的水平距离约为________m（结果精确到 ，参考数据： ）.

9.（2020·赤峰）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60° ，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为________米（结果保留根号）．

10.（2020·南通）如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为________m.（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

11.（2020·自贡）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形 ， ∥ , 长为6米，坡角 为45°， 的坡角 为30°，则 的长为  ________ 米 （结果保留根号）

12.（2020·济宁）如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1： ,则斜坡AB的长是________米．

13.（2020·咸宁）如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从北小岛A出发，由西向东航行 到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是________ .（结果保留一位小数， ）

14.（2020·哈尔滨）在 中， ， 为BC边上的高， ，则BC的长为________．
15.（2020·常州）如图，点C在线段 上，且 ，分别以 、 为边在线段 的同侧作正方形 、 ，连接 、 ，则 ________.




模拟预测


1.（2020·重庆模拟）小菁在数学实践课中测量路灯的高度.如图，已知她的目高AB1.2米，她先站在 处看路灯顶端O的仰角为 ，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为 .那么该路灯顶端O到地面的距离约为（   ）
（ ， ， ， ， ， ）

A. 3.2米                                   B. 3.9米                                   C. 4.4米                                   D. 4.7米
2.（2020·重庆模拟）某同学利用数学知识测量建筑物DEFG的高度.他从点 出发沿着坡度为 的斜坡AB步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端 的仰角为37°，建筑物底端 的俯角为30°，若AF为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度BC=1.6米，则此建筑物的高度DE约为(精确到0.1米，参考数据： ， )（   ）

A. 23.0米                                B. 23.6米                                C. 26.7米                                D. 28.9米
3.（2020·铁西模拟）如图某公园入口有三级台阶，每级台阶高18cm，深30cm，拟将台阶改为斜坡设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC的长度是（   ）

A. 270cm                                B. 210cm                                C. 180cm                                D. 96cm
4.（2020·临潭模拟）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为(   )

A. 26米                                    B. 28米                                    C. 30米                                    D. 46米
5.（2020·涪城模拟）如图，从A处观测铁塔顶部的仰角是30°，向前走30米到达B处，观测铁塔的顶部的仰角是45°，则铁塔高度是（    ）米
A.                       B.                       C.                       D. 

6.（2020·广西模拟）如图，在一笔直的海岸线 上有相距 的 两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东 的方向上，从B站测得船C在北偏东 的方向上，则船C到海岸线 的距离是________ .

7.（2020·北京模拟）如图，小军在A时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角恰好是60°，当他在B时测量该树的影长时，日照的光线与地面的夹角是30°，若两次测得的影长之差 为 ，则树的高度为________ ．（结果精确到0.1，参考数据： ）

8.（2020·东城模拟）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则 的值为________．

9.（2020·南京模拟）在△ABC中，AB＝2 ，BC＝a，∠C＝60°，如果对于a的每一个确定的值，都存在两个不全等的△ABC，那么a的取值范围是________.
10.（2020·宝安模拟）如图，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部D处的俯角α为30°，又从A处测得乙楼底部C处的俯角β为60°，已知两楼之间的距离BC为18米，则乙楼CD的高度为________米。（结果保留根号）


第一步 小题夯基础


考点25锐角三角函数
真题回顾



1.（2020·长沙）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（    ）
A.  米                                B.  米                                C. 21米                                D. 42米
【答案】 A
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42 （米）.
故答案为：A．
【分析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．
2.（2020·杭州）如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则(    )。

A. c=bsinB                           B. b=csinB                           C. a=btanB                           D. b=ctanB
【答案】 B
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°
∵sinB= ，tanB=
∵b=csinB，b=atanB
故答案为：B
【分析】利用锐角三角函数的定义，分别对各选项进行计算，可得结果。
3.（2020·黔西南州）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米.若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（   ）

A.  米                           B. 4sinα米                           C.  米                           D. 4cosα米
【答案】 B
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如答图，过点A′作A′C⊥AB于点C.

在Rt△OCA′，sinα＝ ，所以A′C＝A′O·sinα.由题意得A′O＝AO＝4，所以A′C＝4sinα，因此本题选B.
【分析】过点A′作A′C⊥AB于点C，根据锐角三角函数的定义即可求出答案.
4.（2020·凉山州）如图所示， 的顶点在正方形网格的格点上，则 的值为（    ）
A.                                         B.                                         C. 2                                        D. 

【答案】 A
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】如图，取格点E，连接BE，

由题意得： ， ， ，
∴ ．
故答案选A．
【分析】如图，取格点E，连接BE，构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可；
5.（2020·重庆B）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为（   ）
（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）

A. 23米                                   B. 24米                                   C. 24.5米                                   D. 25米
【答案】 D
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，

∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BE＝CD＝78米，
∴设EF＝x，则DF＝2.4x.
在Rt△DEF中，
∵EF2+DF2＝DE2 ， 即x2+（2.4x）2＝782 ，
解得x＝30，
∴EF＝30米，DF＝72米，
∴CF＝DF+DC＝72+78＝150米.
∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，
∴四边形EFCM是矩形，
∴EM＝CF＝150米，CM＝EF＝30米.
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝43°，
∴AM＝EM•tan43°≈150×0.93＝139.5米，
∴AC＝AM+CM＝139.5+30＝169.5米.
∴AB＝AC﹣BC＝169.5﹣144.5＝25米.
故答案为：D.
【分析】由斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设EF＝x，则DF＝2.4x.由勾股定理可得EF2+DF2＝DE2 ， 即可求解EF、DF、CF，由AM＝EM•tan43°可得AM、AC，即可求解AB.
6.（2020·苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆 的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角 ；（2）量得测角仪的高度 ；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离 .利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（   ）

A.                          B.                          C.                          D. 
【答案】 A
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】延长CE交AB于F，如图，

根据题意得，四边形CDBF为矩形，
∴CF=DB=b，FB=CD=a，
在Rt△ACF中，∠ACF=α，CF=b，
tan∠ACF=
∴AF= ,
AB=AF+BF= ，
故答案为：A.
【分析】延长CE交AB于F，得四边形CDBF为矩形，故CF=DB=b，FB=CD=a，在直角三角形ACF中，利用CF的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得AF的长，从而可求出旗杆AB的长.
7.（2020·温州）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为(    )

A. (1.5+150tanα) 米           B. (1.5+ )米           C. (1.5+150sinα)米           D. (1.5+ )米
【答案】 A
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点 作 ， 为垂足，如图所示：

则四边形 为矩形， ，
，
在 中， ，
，
，
故答案为： ．
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，易证四边形CEAD是矩形，就可求出CE的长，再利用解直角三角形求出BE的长，然后根据BC=CE+BE，代入计算可求解。
8.（2020·阜新）如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角 ，两树间的坡面距离 ，则这两棵树的水平距离约为________m（结果精确到 ，参考数据： ）.

【答案】 4.7
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AC平行于水平面，过点B作BC⊥AC于点C，则AC为所求，

由题意可知：∠BAC=α=20°，AB=5，
则 ，
即 ，
故答案为：4.7.
【分析】如图所示作出辅助线，得到∠BAC=α=20°，AB=5，再利用余弦的定义，得到 即可解答.
9.（2020·赤峰）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60° ，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为________米（结果保留根号）．

【答案】
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意，得∠CAD=30°，∠BAD=60°，
则在Rt△ADC中， 米，
在Rt△ADB中， 米，
∴ 米．
故答案为： ．
【分析】由题意可得∠CAD=30°，∠BAD=60°，然后分别解Rt△ADC 和Rt△ADB，求出CD和BD的长，进一步即可求得结果．
10.（2020·南通）如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为________m.（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

【答案】 7.5
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，

则DE＝BC＝5，DC＝BE＝1.5，
在Rt△ADE中，
∵tan∠ADE＝ ，
∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米），
∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（米），
故答案为：7.5.
【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为点E，根据正切进行求解即可.
11.（2020·自贡）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形 ， ∥ , 长为6米，坡角 为45°， 的坡角 为30°，则 的长为  ________ 米 （结果保留根号）

【答案】
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA，

∵BC=6，
∴CE= ，
∴DF=CE= ，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，分别在Rt△CEB与Rt△DFA中使用三角函数即可求解.
12.（2020·济宁）如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1： ,则斜坡AB的长是________米．

【答案】
【考点】锐角三角函数的定义，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，

∵斜面坡度为1： ，
∴tan∠ABF= ，
∴∠ABF=30°，
∵在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，
∴∠HPB=30°，∠APB=45°，
∴∠HBP=60°，
∴∠PBA=90°，∠BAP=45°，
∴PB=AB，
∵PH=30m，sin60°= ，
解得：PB= ，
故AB= m，
故答案为： .
【分析】首先根据题意得出∠ABF=30°，进而得出∠PBA=90°，∠BAP=45°，再利用锐角三角函数关系求出即可．
13.（2020·咸宁）如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从北小岛A出发，由西向东航行 到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是________ .（结果保留一位小数， ）

【答案】 20.8
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过P作PD⊥AB于D，

∵AB=24，
∵∠PAB=90°-60°=30°，∠PBD=90°-30°=60°，
∴∠BPD=30°，
∴∠APB=30°，即∠PAB=∠APB，
∴AB=BP=24，
在直角△PBD中，PD=BP•sin∠PBD=24× = ≈20.8.
故答案为：20.8.
【分析】证明△ABP是等腰三角形，过P作PD⊥AB，从而求得PD的长即可.
14.（2020·哈尔滨）在 中， ， 为BC边上的高， ，则BC的长为________．
【答案】 7或5
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，∵在Rt△ABD中， ， ，

∴ ，即： ，
∴ ，
当D在BC之间时，BC=BD+CD=6+1=7；
当D在BC延长线上时，BC=BD-CD=6-1=5；
故答案为：7或5．
【分析】如图所示，分D在BC之间和BC延长线上两种情况考虑，先由 求出BD ， 再求出BC的长．
15.（2020·常州）如图，点C在线段 上，且 ，分别以 、 为边在线段 的同侧作正方形 、 ，连接 、 ，则 ________.

【答案】
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，

设BC=a，则AC=2a
∵正方形
∴EC= ，∠ECD=
同理：CG= ,∠GCD=    
∴ .
故答案为：  .
【分析】设BC=a，则AC=2a，然后利用正方形的性质求得CE、CG的长、∠GCD=ECD=45°，进而说明△ECG为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答.


模拟预测


1.（2020·重庆模拟）小菁在数学实践课中测量路灯的高度.如图，已知她的目高AB1.2米，她先站在 处看路灯顶端O的仰角为 ，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为 .那么该路灯顶端O到地面的距离约为（   ）
（ ， ， ， ， ， ）

A. 3.2米                                   B. 3.9米                                   C. 4.4米                                   D. 4.7米
【答案】 C
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，

设DF＝x，则BF＝3＋x，
∵tan65°＝ ，
∴OF＝xtan65°≈2.1x，
∵tan35°＝ ，
∴OF＝（3＋x）tan35°≈0.7（3+x），
∴2.1x＝0.7（3＋x），
∴x＝1.5，
∴OF＝1.5×2.1＝3.15，
∴OE＝3.15＋1.2≈4.4米，
故答案为：C.
【分析】过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，设DF＝x，根据锐角三角函数的定义表示出OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案.
2.（2020·重庆模拟）某同学利用数学知识测量建筑物DEFG的高度.他从点 出发沿着坡度为 的斜坡AB步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端 的仰角为37°，建筑物底端 的俯角为30°，若AF为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度BC=1.6米，则此建筑物的高度DE约为(精确到0.1米，参考数据： ， )（   ）

A. 23.0米                                B. 23.6米                                C. 26.7米                                D. 28.9米
【答案】 C
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】如图，设CB⊥AF于N，过点C作CM⊥DE于M，

∵沿着坡度为 的斜坡AB步行26米到达点B处，
∴ ，
∴AN=2.4BN，
∴BN2+（2.4BN）2=262 ，
解得：BN=10（负值舍去），
∴CN=BN+BC=11.6，
∴ME=11.6，
∵∠MCE=30°，
∴CM= =11.6 ，
∵∠DCM=37°，
∴DM=CM·tan37°=8.7 ，
∴DE=ME+DM=11.6+8.7 ≈26.7（米），
故答案为：C.
【分析】如图，设CB⊥AF于N，过点C作CM⊥DE于M，根据坡度及AB的长可求出BN的长，进而可求出CN的长，即可得出ME的长，利用∠MBE的正切可求出CM的长，利用∠DCM的正切可求出DM的长，根据DE=DM+ME即可得答案.
3.（2020·铁西模拟）如图某公园入口有三级台阶，每级台阶高18cm，深30cm，拟将台阶改为斜坡设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC的长度是（   ）

A. 270cm                                B. 210cm                                C. 180cm                                D. 96cm
【答案】 B
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC于D，

根据题意得：AD=2×30=60（cm），BD=18×3=54（cm），
 ∵斜坡BC的坡度i=1：5，
∴BD：CD=1：5，
∴CD=5BD=5×54=270（cm），
∴AC=CD-AD=270-60=210（cm）.
 ∴AC的长度是210cm.
故答案为：B.
【分析】首先过点B作BD⊥AC于D，根据题意即可求得AD与BD的长，然后由斜坡BC的坡度i=1：5，求得CD的长，继而求得答案.
4.（2020·临潭模拟）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为(   )

A. 26米                                    B. 28米                                    C. 30米                                    D. 46米
【答案】 D
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，

∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，
∴AE=1.5BE=18米，
∵BC=10米，
∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，
故答案为：D.
【分析】过点C作CF⊥AD于F，由坡度i=可求得AE的值，根据等腰梯形的性质易得AE=DF，于是结合题意得AD=AE+EF+DF=AE+BC+DF可求解.
5.（2020·涪城模拟）如图，从A处观测铁塔顶部的仰角是30°，向前走30米到达B处，观测铁塔的顶部的仰角是45°，则铁塔高度是（    ）米
A.                       B.                       C.                       D. 

【答案】 D
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：设铁塔的高度为x米，
在Rt△BCD中，
∵∠DBC=45°，
∴BC=CD=x米，
在Rt△ACD中，
∵∠DAC=30°，
，
∴AC= x米，
∵AB=30米，即AC-BC=30米，
∴ x-x=30，
解得：x=15 +15，
即铁塔的高度为（15 +15）米．
故答案为：D．
【分析】设铁塔的高度为x米，在Rt△BCD中，根据仰角为45°可得BC=CD=x米，然后在Rt△ACD中用含x的式子表示出AC的长度，根据AB=30米，列方程求出x的值即可．
6.（2020·广西模拟）如图，在一笔直的海岸线 上有相距 的 两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东 的方向上，从B站测得船C在北偏东 的方向上，则船C到海岸线 的距离是________ .

【答案】
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，

根据题意得：∠CAD=90°-60°=30°，
∠CBD=90°-30°=60°，
∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，
∴∠CAB=∠ACB，
∴BC=AB=4km，
在Rt△CBD中，
∴CD=BC•sin60° ( )
∴船C到海岸线 的距离是 .
故答案为： .
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，首先判断出∠CAB=∠ACB，根据等角对等边得出BC=AB=4km，然后在Rt△CBD中，根据正弦函数的定义，由CD=BC•sin60°算出CD即可得出答案.
7.（2020·北京模拟）如图，小军在A时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角恰好是60°，当他在B时测量该树的影长时，日照的光线与地面的夹角是30°，若两次测得的影长之差 为 ，则树的高度为________ ．（结果精确到0.1，参考数据： ）

【答案】 3.5
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】如下图所示，设树顶为F点，

根据题意可知 ， ，
通过三角形的外角性质可知 ，
则 ．
则三角形 是等腰三角形，则 m．
在直角三角形 中， ， ，
所以树高 m．
故答案为：3.5．
【分析】设树顶为F点（图见详解），根据题意可知 ， ，通过三角形的外角性质可知 ，从而可知 m，则通过锐角三角函数可求出在直角三角形 中的 即树的高度．
8.（2020·东城模拟）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则 的值为________．

【答案】
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】在网格上取个点D，得
∵CD=4，AD=3
∴
∴

故答案为：
【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．
9.（2020·南京模拟）在△ABC中，AB＝2 ，BC＝a，∠C＝60°，如果对于a的每一个确定的值，都存在两个不全等的△ABC，那么a的取值范围是________.
【答案】 2 ＜a＜4
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点B做BD⊥AC于点D，

在Rt△ABD中，
，即： ，
在Rt△BCD中，
，即：
，
∴ ，即： ,
∴ ，
由题意可知：当 时，满足条件的△ABC有两个，
∴ ，即： ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】由已知条件 ，根据直角三角形中三角函数的定义表示出 ，然后根据∠C的度数可以得出满足题意的△ABC有两个的∠A的度数的范围，根据∠A的度数的取值范围求出 的取值范围，进而求出a的取值范围.
10.（2020·宝安模拟）如图，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部D处的俯角α为30°，又从A处测得乙楼底部C处的俯角β为60°，已知两楼之间的距离BC为18米，则乙楼CD的高度为________米。（结果保留根号）

【答案】 12
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：

过点A作AE⊥CD于CD的延长线于点E
则AE=BC=18
在直角三角形AED中，∵∠DAE=a=30°
∴tan30°=
∴DE=6
在直角三角形AEC中，∵∠EAC=60°
∴tan60°==
∴CE=18
∴CD=CE-DE=12
【分析】过点A作AE⊥CD于CD的延长线于点E，则AE=BC=18，分别在直角三角形AED和直角三角形AEC中，根据角的正切，求出DE和CE的长度，即可得到答案。