考点24 相似三角形—2021年《三步冲刺中考•数学》（全国通用）之第1步小题夯基础（原卷+解析）

这是一份考点24 相似三角形—2021年《三步冲刺中考•数学》（全国通用）之第1步小题夯基础（原卷+解析），共30页。
第一步 小题夯基础


考点24相似三角形
真题回顾



1.（2020·永州）如图，在 中， ，四边形 的面积为21，则 的面积是（    ）
A.                                         B. 25                                        C. 35                                        D. 63

2.（2020·贵港）如图，在△ABC中，点D在AB边上，若BC=3， BD=2，且∠BCD=∠A，则线段AD的长为(    )
A. 2                                          B.                                           C. 3                                          D. 

3.（2020·哈尔滨）如图，在 中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作 ，交AD于点F，过点E作 ，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（   ）

A.                 B.                 C.                 D. 
4.（2020·河北）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形 的位似图形是（    ）

A. 四边形              B. 四边形              C. 四边形              D. 四边形
5.（2019·营口）如图，在 中， ， ，则 的值是（   ）
A.                                           B. 1                                          C.                                           D. 

6.（2019·雅安）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与 相似的是（   ）

A.                  B.                  C.                  D. 
7.（2018·鄂州）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则 = （    ）
A.                                  B.                                  C.                                  D. 

8.（2018·随州）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　）

A. 1：3                                   B. 1：4                                   C. 1：5                                   D. 1：25
9.（2019·肇州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．AB=BC．点D是线段AB上的一点，连结CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给出以下四个结论：①=；②若点D是AB的中点，则AF=AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若= ， 则S△ABC=9S△BDF ， 其中正确的结论序号是（　　）
A. ①②                                 B. ③④                                 C. ①②③                                 D. ①②③④

10.（2020·盘锦）如图， 三个顶点的坐标分别为 ，以点 为位似中心，相似比为 ，将 缩小，则点 的对应点 的坐标是________.

11.（2020·深圳）如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°， ，则 =________．

12.（2020·盐城）如图， 且 ，则 的值为________.

13.（2020·苏州）如图，在 中，已知 ， ，垂足为D， .若 是 的中点，则 ________.

14.（2020·黔东南州）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝ ，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝________.

15.（2019·永州）如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E ， 连接CF并延长，交AB于点D ， 过点F作FG∥BC ， 交AC于点G ． 设三角形EFG ， 四边形FBCG的面积分别为S1 ， S2 ， 则S1：S2＝________．

模拟预测


1.（2020·东城模拟）把边长分别为1和2的两个正方形按图 的方式放置.则图中阴影部分的面积为（      ）

A.                                           B.                                           C.                                           D. 
2.（2020·银川模拟）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（   ）
A.                                          B.                                          C.                                          D. 

3（2020·永州模拟）如图，在三角形ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，AM＝ AB，AN＝ AC，则三角形AMN的面积与四边形MBCN的面积比（    ）

A.                                         B.                                         C.                                         D. 
4.（2020·合肥模拟）如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10cm ， OA′＝20cm ， 则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是（   ）

A. 1：2                                    B. 2：1                                    C. 1：3                                    D. 3：1
5.（2020·阿城模拟）如图， ， ， 、 分别交 于点 、 ，则下列结论中错误的是（  ）

A.                B.                C.                D. 
6.（2020·大通模拟）如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F．若BG：GA=3：1，BC=10，则AE的长为________．

7.（2020·海淀模拟）如图， 三个顶点的坐标分别为 ，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的 ，可以得到 ，已知点 的坐标是 ，则点 的坐标是________.

8.（2020·上城模拟）如图所示，设G是△ABC的重心，过G的直线分别交AB，AC于点P，Q两点，则 =________.

9.（2020九下·贵港模拟）如图，△ABC的中线AD、CE交于点G，点F在边AC上，GF∥BC，那么 的值是________.

10.（2020·武汉模拟）如图，AD与BC相交于E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，若EF＝2，CD＝3，则AB的长为________.


第一步 小题夯基础


考点24相似三角形
真题回顾



1.（2020·永州）如图，在 中， ，四边形 的面积为21，则 的面积是（    ）
A.                                         B. 25                                        C. 35                                        D. 63

【答案】 B
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：B ．
【分析】在 中， ，即可判断 ，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果．
2.（2020·贵港）如图，在△ABC中，点D在AB边上，若BC=3， BD=2，且∠BCD=∠A，则线段AD的长为(    )
A. 2                                          B.                                           C. 3                                          D. 

【答案】 B
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠B=∠B，∠BCD=∠A
∴△BDC∽△BAC，
∴即
解之：
∴.
故答案为：B.
【分析】利用有两组对应角相等的两三角形全等，可证得△BDC∽△BAC，再利用相似三角形的对应边成比例，建立关于AB的方程，解方程求出AB的值，然后根据AD=AB-BD，可求出AD的长。
3.（2020·哈尔滨）如图，在 中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作 ，交AD于点F，过点E作 ，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（   ）

A.                 B.                 C.                 D. 
【答案】 C
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴△AEF∽△ACD ，
∴ ，A不符合题意；
∴ ，
∵ ，
∴△CEG∽△CAB ，
∴ ，
∴ ，B不符合题意； ，D不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，符合题意C ．
故答案为：C ．
【分析】根据由平行线易得△AEF∽△ACD ， △CEG∽△CAB ， 再根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理逐个判断即可．
4.（2020·河北）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形 的位似图形是（    ）

A. 四边形              B. 四边形              C. 四边形              D. 四边形
【答案】 A
【考点】作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：如图所示，四边形 的位似图形是四边形 ．
故答案为：A

【分析】以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，根据图像可判断出答案．
5.（2019·营口）如图，在 中， ， ，则 的值是（   ）
A.                                           B. 1                                          C.                                           D. 

【答案】 A
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出 ，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得出 ，从而即可得出答案.
6.（2019·雅安）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与 相似的是（   ）

A.                  B.                  C.                  D. 
【答案】 B
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：因为 中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故答案为：B．
【分析】利用网格的特点知∠A1B1C1=135°，B选项中有一个角为135°，利用勾股定理分别求出135°角的两邻边的长，可得两邻边之比相等，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断即可.
7.（2018·鄂州）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则 = （    ）
A.                                  B.                                  C.                                  D. 

【答案】D
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】  在Rt△ABC中，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠CDA，
∵∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠B=∠DAC，
∴△ABD∽△CAD，
∴
∵BD：CD=3：2，
设BD=3x，CD=2x，
∴AD=
则
故答案为：D．
【分析】直角三角形斜边上的高分得的两直角三角形和原直角三角形相似，可证得△ABD∽△CAD，可得出对应边成比例，再根据BD：CD=3：2，设BD=3x，CD=2x，再利用勾股定理求出AD的长，再求出AD与BD的比值。
8.（2018·随州）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　）

A. 1：3                                   B. 1：4                                   C. 1：5                                   D. 1：25
【答案】 B
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，
∴ = ，
∴DE∥AC，
∴ = = ，
∴ = ，
∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，
故选：B．
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到 = ， = = ，结合图形得到 = ，得到答案．本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
9.（2019·肇州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．AB=BC．点D是线段AB上的一点，连结CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给出以下四个结论：①=；②若点D是AB的中点，则AF=AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若= ， 则S△ABC=9S△BDF ， 其中正确的结论序号是（　　）
A. ①②                                 B. ③④                                 C. ①②③                                 D. ①②③④

【答案】 C
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】依题意可得BC∥AG，∴△AFG∽△BFC，∴ ， 又AB=BC，∴ ． 故结论①正确；如右图，∵∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，
∴∠3=∠4．在△ABG与△BCD中， ， ∴△ABG≌△BCD（ASA），∴AG=BD，又BD=AD，∴AG=AD；
在△AFG与△AFD中， ， ∴△AFG≌△AFD（SAS）∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=AB；∵△AFG≌△AFD，∴AG=AD=AB=BC；
∵△AFG∽△BFC，∴ ， ∴FC=2AF，∴AF=AC=AB．故结论②正确；当B、C、F、D四点在同一个圆上时，∴∠2=∠ACB
∵∠ABC=90°，AB=AC，∴∠ACB=∠CAB=45°，∴∠2=45°，∴∠CFD=∠AFD=90°，∴CD是B、C、F、D四点所在圆的直径，∵BG⊥CD，
∴， ∴DF=DB，故③正确；∵ ， ∵AG=BD，= ， ∴= ， ∴=∴AF=AC，∴S△ABF=S△ABC；∴S△BDF=S△ABF ，
∴S△BDF=S△ABC ， 即S△ABC=12S△BDF ． 故结论④错误．故选C．

【分析】由△AFG∽△BFC，可确定结论①正确；由△AFG≌△AFD可得AG=AB=BC，进而由△AFG∽△BFC确定点F为AC的三等分点，可确定结论②正确；当B、C、F、D四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性质得到∠2=∠ACB由于∠ABC=90°，AB=AC，得到∠ACB=∠CAB=45°，于是得到∠CFD=∠AFD=90°，根据垂径定理得到DF=DB，故③正确；因为F为AC的三等分点，所以S△ABF=S△ABC ， 又S△BDF=S△ABF ， 所以S△ABC=6S△BDF ， 由此确定结论④错误．
10.（2020·盘锦）如图， 三个顶点的坐标分别为 ，以点 为位似中心，相似比为 ，将 缩小，则点 的对应点 的坐标是________.

【答案】 （2，4）或（-2，-4）
【考点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以点 为位似中心，相似比为 ，将 缩小，
∴点 的对应点B′的坐标是（2，4）或（-2，-4）.
故答案为：（2，4）或（-2，-4）.
【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把B点的横纵坐标分别乘以 或 即可得到点B′的坐标.
11.（2020·深圳）如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°， ，则 =________．

【答案】
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过B点作BE//AD交AC于点E，
 BE⊥AD，
，
∴

∴
 
由 ，
 
 
 
 
 
 
 
 
∴

设 则
     


故答案为：
【分析】过B点作BE//AD交AC于点E，证明 ，得到 再证明 利用 设 利用三角形的面积公式可得答案．
12.（2020·盐城）如图， 且 ，则 的值为________.

【答案】 2
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵
∴△ABC∽△ADE，
∴
设AB=a,则DE=10-a
故
解得a1=2,a2=8
∵
∴AB=2，
故
故答案为：2.
【分析】设AB=a，根据 得到△ABC∽△ADE，得到对应线段成比例即可求出AB,再根据相似比的定义即可求解.
13.（2020·苏州）如图，在 中，已知 ， ，垂足为D， .若 是 的中点，则 ________.

【答案】 1
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】

为 的中点，
，
∴ ，
，






故答案为：1.
【分析】根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”证明△ADB∽△EDC，得 ，由AB=2则可求出结论.
14.（2020·黔东南州）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝ ，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝________.

【答案】
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，
∵E为CD的中点，
∴DE＝ CD＝ AB，
∴△ABP∽△EDP，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵PQ⊥BC，
∴PQ∥CD，
∴△BPQ∽△DBC，
∴ ＝ ＝ ，
∵CD＝2，
∴PQ＝ ，
故答案为： .
【分析】根据矩形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，根据线段中点的定义得到DE＝ CD＝ AB，易得△BPQ∽△DBC，根据相似三角形的性质可得比例式求解.
15.（2019·永州）如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E ， 连接CF并延长，交AB于点D ， 过点F作FG∥BC ， 交AC于点G ． 设三角形EFG ， 四边形FBCG的面积分别为S1 ， S2 ， 则S1：S2＝________．

【答案】
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵点F是△ABC的重心，
∴BF＝2EF ，
∴BE＝3EF ，
∵FG∥BC ，
∴△EFG∽△EBC ，
∴ ， （ ）2 ，
∴S1：S2；
故答案为： ．
【分析】根据三角形重心的性质可得BE＝3EF，利用平行线可证△EFG∽△EBC，利用相似三角形的性质可得S1：S△EBC=1:9，从而求出S1：S2的值.
模拟预测


1.（2020·东城模拟）把边长分别为1和2的两个正方形按图 的方式放置.则图中阴影部分的面积为（      ）

A.                                           B.                                           C.                                           D. 
【答案】 A
【考点】相似三角形的判定，相似三角形的应用
【解析】【解答】∵∠CHG=∠DHA，∠HCG=∠ADH

∴△ADH∽△GCH
∴
即
解得DH=
∴阴影部分面积=1× × =
【分析】对图上各边标上字母，由题意可证得△ADH∽△GCH，利用相似三角形对应线段成比例可知 ，可求得阴影部分面积的高DH，进而求得阴影部分面积.
2.（2020·银川模拟）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（   ）
A.                                          B.                                          C.                                          D. 

【答案】 D
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵S△BDE：S△CDE＝1：3，
∴BE：EC＝1：3；
∴BE：BC＝1：4；
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△AOC，
∴ ，
∴S△DOE：S△AOC＝ ，
故答案为：D.
【分析】证明BE：EC＝1：3，进而证明BE：BC＝1：4；证明△DOE∽△AOC，得到 ，借助相似三角形的性质即可解决问题.
3（2020·永州模拟）如图，在三角形ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，AM＝ AB，AN＝ AC，则三角形AMN的面积与四边形MBCN的面积比（    ）

A.                                         B.                                         C.                                         D. 
【答案】 B
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AM＝ AB，AN＝ AC，∠MAN＝∠BAC，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴△MAN∽△BAC，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∴三角形AMN的面积与四边形MBCN的面积比为1：15，
故答案为：B．
【分析】根据AM＝ AB，AN＝ AC，∠MAN＝∠BAC，可以得到△MAN∽△BAC，然后相似三角形的面积之比等于相似比的平方，从而可以得到△AMN和△ABC的面积之比，然后即可得到三角形AMN的面积与四边形MBCN的面积比，本题得以解决．
4.（2020·合肥模拟）如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10cm ， OA′＝20cm ， 则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是（   ）

A. 1：2                                    B. 2：1                                    C. 1：3                                    D. 3：1
【答案】 A
【考点】位似变换
【解析】【解答】∵以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA＝10cm ， OA′＝20cm ，
∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20＝1：2，
∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是：1：2．
故答案为：A ．
【分析】由以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA＝10cm ， OA′＝20cm ， 可得五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20＝1：2，然后由相似多边形的性质进一步求解即可.
5.（2020·阿城模拟）如图， ， ， 、 分别交 于点 、 ，则下列结论中错误的是（  ）

A.                B.                C.                D. 
【答案】 B
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AE∥FD，
∴△BFH∽△CDH，△BFH∽△BAG，△ABG∽△ECG，
∴,,,,
∴.
故A、C、D中结论正确，B中结论错误.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的判定定理，已知AB∥CD，AE∥FD，则可得△BFH∽△CDH，△BFH∽△BAG，△ABG∽△ECG，再根据相似三角形的性质进行判断.
6.（2020·大通模拟）如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F．若BG：GA=3：1，BC=10，则AE的长为________．

【答案】 5
【考点】平行线分线段成比例，相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AE∥BC
∴△AEG∽△BFG
∴BG：GA=3：1=BF：AE
∵D为AC边上的中点
∴AE：CF=1：1
∴AE=CF
∴BF：AE=（CF+BC）：AE=3：1
∴（AE+10）：AE=3：1
解得：AE=5．
故答案为：5．
【分析】根据AE∥BC可得△AEG∽△BFG，根据相似三角形的性质可得到AE、BF的关系，再根据D是AC的中点可得AE=CF，进而可求得AE的长.
7.（2020·海淀模拟）如图， 三个顶点的坐标分别为 ，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的 ，可以得到 ，已知点 的坐标是 ，则点 的坐标是________.

【答案】 （1，2）
【考点】位似变换
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的 ，∴点A′的坐标是（2× ，4× ），即（1，2）．故答案为（1，2）．
【分析】根据B′与B的坐标可知，位似三角形的相似比，进而可得A′和A的坐标的关系，即可求解．
8.（2020·上城模拟）如图所示，设G是△ABC的重心，过G的直线分别交AB，AC于点P，Q两点，则 =________.

【答案】 1
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交直线PQ于点E，F

∴四边形BEFC是梯形
∵G是重心，
∴点D是BC的中点，点G是EF的中点，AG=2DG，   
∴DG是梯形BEFC的中位线
∴BE+CF=2DG
∵BE∥AD，CF∥AD
∴

故答案为：1.
【分析】 过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交直线PQ于点E，F，易证四边形BEFC是梯形，再利用重心的定义及性质，可得点D是BC的中点，点G是EF的中点，AG=2DG，利用梯形的中位线定理可得到BE+CF=2DG，利用平行线分线段成比例定理可求出的值。
9.（2020九下·贵港模拟）如图，△ABC的中线AD、CE交于点G，点F在边AC上，GF∥BC，那么 的值是________.

【答案】
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵△ABC的中线AD、CE交于点G，
∴G是△ABC的重心，
∴ ，
∵GF∥BC，
∴ ＝ ，
∵DC＝ BC，
∴ ，
故答案为：
【分析】根据三角形重心的性质可求得的值，再根据平行线分线段成比例定理得可求解.
10.（2020·武汉模拟）如图，AD与BC相交于E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，若EF＝2，CD＝3，则AB的长为________.

【答案】 6
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴△DEF∽△DAB，
∴ ＝ ，
∵ ，
∴△BEF∽△BCD，
∴ ＝ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得，AB＝6，
故答案为：6.
【分析】证明△DEF∽△DAB、△BEF∽△BCD，利用相似三角形的性质以及比例的性质求出 ，把 代入计算得到答案.