专题24直角三角形与勾股定理三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编

这是一份专题24直角三角形与勾股定理三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编，共80页。试卷主要包含了活动探究，如图1是第七届国际数学教育大会等内容，欢迎下载使用。
专题24直角三角形与勾股定理三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编
三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编
专题24直角三角形与勾股定理
一．选择题（共28小题）
（2023•湖北）
1．如图，在中，，点在边上，且平分的周长，则的长是（    ）
  
A． B． C． D．
（2023•济宁）
2．如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（    ）
  
A． B． C． D．
（2023•天津）
3．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（    ）
  
A．9 B．8 C．7 D．6
（2023•泸州）
4．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，，的计算公式：，，，其中，，是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25
（2023•无锡）
5．如图，在四边形中，，，，若线段在边上运动，且，则的最小值是（    ）
  
A． B． C． D．10
（2023•日照）
6．已知直角三角形的三边满足，分别以为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则（    ）

A． B． C． D．大小无法确定
（2022•百色）
7．活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如已知△ABC中，∠A＝30°， AC＝3，∠A所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（    ）

A． B． C．或 D．或
（2022•南充）
8．如图，在中，的平分线交于点D，DE//AB，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（    ）

A． B． C． D．
（2022•遵义）
9．如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则点到的距离为（    ）

A． B． C．1 D．2
（2022•安徽）
10．已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（    ）
A． B． C． D．
（2022•广元）
11．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　）

A． B．3 C．2 D．
（2022•南京）
12．直三棱柱的表面展开图如图所示，，，，四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点距离最大的是（    ）
  
A．点 B．点 C．点 D．点
（2022•温州）
13．如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连结，作于点M，于点J，于点K，交于点L．若正方形与正方形的面积之比为5，，则的长为（    ）

A． B． C． D．
（2022•湖州）
14．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（  ）

A． B．6 C． D．
（2022•攀枝花）
15．如图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形．若，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．1
（2022•金华）
16．如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是，下列各地点中，离原点最近的是（    ）

A．超市 B．医院 C．体育场 D．学校
（2021•山西）
17．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（    ）

A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想
（2021•襄阳）
18．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（ jiā）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（    ）

A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
（2021•自贡）
19．如图，，，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（    ）

A． B． C． D．
（2021•常德）
20．阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即，那么称m为广义勾股数．则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（    ）
A．②④ B．①②④ C．①② D．①④
（2023•赤峰）
21．如图，在中，，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长和面积分别是(    )
  
A．16，6 B．18，18 C．16.12 D．12，16
（2023•株洲）
22．一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则 (   )
  
A． B． C． D．
（2022•永州）
23．如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为（　　　）

A． B． C．2 D．4
（2022•大连）
24．如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与相交于点D，连接，若，则的长是（    ）

A．6 B．3 C．1.5 D．1
（2021•新疆）
25．如图，在Rt中，，，，于点D，E是AB的中点，则DE的长为（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4
（2023•贵州）
26．5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（    ）
    
A． B． C． D．
（2021•黑龙江）
27．如图，矩形 的边 上有一点E， ， 垂足为F，将 绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点M落在EF上，点E恰好落在点B处，连接 ．下列结论：① ；②四边形 是正方形；③ ；④ ．其中结论正确的序号是（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④
（2022•绍兴）
28．如图，把一块三角板的直角顶点B放在直线上，，ACEF，则（    ）

A．30° B．45°
C．60° D．75°
二．填空题（共27小题）
（2023•东营）
29．一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为 km．
（2023•菏泽）
30．如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．
  
（2023•随州）
31．如图，在中，，D为AC上一点，若是的角平分线，则 ．
  
（2023•扬州）
32．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，则每个直角三角形的面积为 ．
  
（2022•常州）
33．如图，在中，，，．在中，，，．用一条始终绷直的弹性染色线连接，从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边始终在线段上，则的外部被染色的区域面积是 ．

（2022•无锡）
34．已知中，，，则 ．
（2022•无锡）
35．如图，在中，，，，点E、F分别在、上，点A关于的对称点落在上，设．
①若，则 ；
②设，请写出y关于x的函数表达式： ．

（2022•鄂尔多斯）
36．如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 ．
  
（2022•泰州）
37．如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为 .

（2021•丹东）
38．如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点，点F是的中点，连接、，若，则的周长为 ．

（2021•玉林）
39．如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿 方向航行．

（2021•深圳）
40．如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为 ．

（2021•成都）
41．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 ．

（2021•宿迁）
42．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的（示意图如图，则水深为 尺．

（2021•南通）
43．平面直角坐标系中，已知点，且实数m，n满足，则点P到原点O的距离的最小值为 ．
（2021•岳阳）
44．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图， 设门高为尺，根据题意，可列方程为 ．

（2021•齐齐哈尔）
45．若直角三角形其中两条边的长分别为3，4，则该直角三角形斜边上的高的长为 ．
（2021•无锡）
46．锐角中，，，则面积的取值范围是 ．
（2023•荆州）
47．如图，为斜边上的中线，为的中点．若，则 ．
  
（2023•郴州）
48．在 Rt △ABC中, ∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，则 ．
（2022•荆州）
49．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若，则CD＝ ．

（2021•盐城）
50．如图，在Rt中，为斜边上的中线，若，则 ．

（2022•十堰）
51．【阅读材料】如图①，四边形中，，，点，分别在，上，若，则．

【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形．已知，，，，道路，上分别有景点，，且，，若在，之间修一条直路，则路线的长比路线的长少 （结果取整数，参考数据：）．

（2021•陕西）
52．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．若E、F是BC边上的两个动点，以EF为边的等边△EFP的顶点P在△ABC内部或边上，则等边△EFP的周长的最大值为 ．

（2021•乐山）
53．在中，，有一个锐角为60°，AB＝4，若点P在线段AB上（不与点A、B重合），且，则CP的长为 ．
（2021•常州）
54．如图，在中，，D是上一点（点D与点A不重合）．若在的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是 ．

55．如图，在中，，，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若，则AD的长为 ．

三．解答题（共5小题）
（2023•金华）
56．如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形分割成的小正方形网格．在该矩形边上取点，来表示的度数．阅读以下作图过程，并回答下列问题：
  （答题卷用）
作法（如图）
结论
  
①在上取点，使．
，点表示．
②以为圆心，8为半径作弧，与交于点．
，点表示．
③分别以为圆心，大于长度一半的长为半径作弧，相交于点，连结与相交于点．
…
④以为圆心，的长为半径作弧，与射线交于点，连结交于点．
…
(1)分别求点表示的度数．
(2)用直尺和圆规在该矩形的边上作点，使该点表示（保留作图痕迹，不写作法）．
（2022•陕西）
57．我国三国时期的杰出数学家赵爽在注解《周髀算经》时，巧妙地运用弦图证明了勾股定理．如图，在的正方形网格中，将弦图放大，使点A，B，C，D的对应点分别为，，，．

(1)与的比值为 　 　；
(2)补全弦图．
（2021•攀枝花）
58．如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c．请你运用此图形证明勾股定理：a2+b2＝c2．

（2022•杭州）
59．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．

(1)求证：CE=CM．
(2)若AB=4，求线段FC的长．
（2021•杭州）
60．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AE⊥BC于点E，已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．

(1)求证：AB＝BD；
(2)若AE＝3，求△ABC的面积．

参考答案：
1．C
【分析】如图所示，过点B作于E，利用勾股定理求出，进而利用等面积法求出，则可求出，再由平分的周长，求出，进而得到，则由勾股定理得．
【详解】解：如图所示，过点B作于E，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分的周长，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选C．
  
【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
2．C
【分析】根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解．
【详解】解：如图，
  
由图可知：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
3．D
【分析】由作图可知直线为边的垂直平分线，再由得到，则可知三点在以为圆心直径的圆上，进而得到，由勾股定理求出即可．
【详解】解：由作图可知，直线为边的垂直平分线，
∵
∴，
∵，
∴，
∴三点在以为圆心直径的圆上，
∴，
∵，
∴
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，圆的基本性质和勾股定理，解答关键是熟练掌握常用尺规作图的作图痕迹，由作图过程得到新的结论．
4．C
【分析】首先证明出，得到a，b是直角三角形的直角边然后由，，是互质的奇数逐项求解即可．
【详解】∵，
∴．
∵，
∴．
∴a，b是直角三角形的直角边，
∵，是互质的奇数，
∴A．，
∴当，时，，，，
∴3，4，5能由该勾股数计算公式直接得出；
B．，
∴当，时，，，，
∴5，12，13能由该勾股数计算公式直接得出；
C．，，
∵，是互质的奇数，
∴6，8，10不能由该勾股数计算公式直接得出；
D．，
∴当，时，，，，
∴7，24，25能由该勾股数计算公式直接得出．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股数的应用，通过，，是互质的奇数这两个条件去求得符合题意的t的值是解决本题的关键．
5．B
【分析】过点C作，过点B作，需使最小，显然要使得和越小越好，则点F在线段的之间，设，则，求得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】解：过点C作，
  
∵，，
∴，
过点B作，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
需使最小，显然要使得和越小越好，
∴显然点F在线段的之间，
设，则，
∴，
∴当时取得最小值为．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数应用，矩形的判定和性质，解直角三角形，利用二次函数的性质是解题的关键．
6．C
【分析】根据题意，由勾股定理可得，易得，然后用分别表示和，即可获得答案．
【详解】解：如下图，

∵为直角三角形的三边，且。
∴，
∴，
∵，
，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及整式运算，结合题意正确表示出和是解题关键．
7．C
【分析】分情况讨论，当△ABC是一个直角三角形时，当△AB1C是一个钝角三角形时，根据含30°的直角三角形的性质及勾股定理求解即可．
【详解】如图，当△ABC是一个直角三角形时，即，

，
；
如图，当△AB1C是一个钝角三角形时，

过点C作CD⊥AB1，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上，满足已知条件的三角形的第三边长为或，
故选：C．
【点睛】本题考查了根据已知条件作三角形，涉及含30°的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
8．A
【分析】根据角平分线的性质得到CD=DF=3，故B正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE=DE=5，故C正确；由此判断D正确；再证明△BDF∽△DEC，求出BF，故A错误．
【详解】解：在中，的平分线交于点D，，
∴CD=DF=3，故B正确；
∵DE=5，
∴CE=4，
∵DE//AB，
∴∠ADE=∠DAF，
∵∠CAD=∠BAD，
∴∠CAD=∠ADE，
∴AE=DE=5，故C正确；
∴AC=AE+CE=9，故D正确；
∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，
∴△BDF∽△DEC，    
∴,
∴，故A错误；
故选：A．
【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等边对等角证明角相等，相似三角形的判定及性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．
9．B
【分析】根据题意求得，进而求得，进而等面积法即可求解．
【详解】解：在中，
，，
，
，
设到的距离为，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
10．B
【分析】根据，可得，根据等边三角形的性质可求得△ABC中AB边上的高和△PAB中AB边上的高的值，当P在CO的延长线时，OP取得最小值，OP=CP-OC，过O作OE⊥BC，求得OC=，则可求解．
【详解】解：如图，

，，
∴
=
=
=
==，
∴，
设△ABC中AB边上的高为，△PAB中AB边上的高为，
则，
，
∴，
∴，
∵△ABC是等边三角形，
∴，
，
∴点P在平行于AB，且到AB的距离等于的线段上，
∴当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值，
过O作OE⊥BC于E，
∴，
∵O是等边△ABC的中心，OE⊥BC
∴∠OCE=30°，CE=
∴OC=2OE
∵，
∴，
解得OE=，
∴OC=，
∴OP=CP-OC=．
故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，弄清题意，找到P点的位置是解题的关键．
11．A
【分析】由题意易得MN垂直平分AD，AB=10，则有AD=4，AF=2，然后可得，
进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：MN垂直平分AD，，
∴，
∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，
∴，
∴AD=4，AF=2，，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数，熟练掌握勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数是解题的关键．
12．B
【分析】根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，折叠成直三棱柱后，运用勾股定理计算比较大小即可．
【详解】∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
∵四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱，
∴直棱柱的高，
∴，，，，
∵，
∴选B．
【点睛】本题考查了几何体的展开与折叠，勾股定理及其逆定理，熟练掌握展开图与折叠的意义是解题的关键．
13．C
【分析】设CF交AB于P，过C作CN⊥AB于N，设正方形JKLM边长为m，根据正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，得AF=AB=m，证明△AFL≌△FGM（AAS），可得AL=FM，设AL=FM=x，在Rt△AFL中，x2+（x+m）2=（m）2，可解得x=m，有AL=FM=m，FL=2m，从而可得AP=，FP=m，BP=，即知P为AB中点，CP=AP=BP=，由△CPN∽△FPA，得CN=m，PN=m，即得AN=m，而tan∠BAC=，又△AEC∽△BCH，根据相似三角形的性质列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设CF交AB于P，过C作CN⊥AB于N，如图：

设正方形JKLM边长为m，
∴正方形JKLM面积为m2，
∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，
∴正方形ABGF的面积为5m2，
∴AF=AB=m，
由已知可得：∠AFL=90°-∠MFG=∠MGF，∠ALF=90°=∠FMG，AF=GF，
∴△AFL≌△FGM（AAS），
∴AL=FM，
设AL=FM=x，则FL=FM+ML=x+m，
在Rt△AFL中，AL2+FL2=AF2，
∴x2+（x+m）2=（m）2，
解得x=m或x=-2m（舍去），
∴AL=FM=m，FL=2m，


AP=，

∴AP=BP，即P为AB中点，
∵∠ACB=90°，
∴CP=AP=BP=
∵∠CPN=∠APF，∠CNP=90°=∠FAP，
∴△CPN∽△FPA，
即
∴CN=m，PN=m，
∴AN=AP+PN=
tan∠BAC=，
∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，
∴△AEC∽△BCH，




故选：C．
【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关线段的长度．
14．C
【分析】根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，过点M、N作以点O为圆心，∠MON=90°的圆，则点P在所作的圆上，观察圆O所经过的格点，找出到点M距离最大的点即可求出．
【详解】作线段MN中点Q，作MN的垂直平分线OQ，并使OQ=MN，以O为圆心，OM为半径作圆，如图，

因为OQ为MN垂直平分线且OQ=MN，所以OQ=MQ=NQ，
∴∠OMQ=∠ONQ=45°，
∴∠MON=90°，
所以弦MN所对的圆O的圆周角为45°，
所以点P在圆O上，PM为圆O的弦，
通过图像可知，当点P在位置时，恰好过格点且经过圆心O，
所以此时最大，等于圆O的直径，
∵BM＝4，BN＝2，
∴，
∴MQ=OQ=，
∴OM=，
∴，
故选 C．
【点睛】此题考查了圆的相关知识，熟练掌握同弧所对的圆周角相等、直径是圆上最大的弦，会灵活用已知圆心角和弦作圆是解题的关键．
15．A
【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：，，，

，，
，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
16．A
【分析】根据学校和体育场的坐标建立直角坐标系，利用勾股定理求出各点到原点的距离，由此得到答案．
【详解】解：根据学校和体育场的坐标建立直角坐标系，
超市到原点的距离为，
医院到原点的距离为，
学校到原点的距离为，
体育场到原点的距离为，
故选：A．


【点睛】此题考查了根据点坐标确定原点，勾股定理，正确理解点坐标得到原点的位置及正确展望勾股定理的计算是解题的关键．
17．C
【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可．
【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，
如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的，
由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想，
故选：C．
【点睛】本题是对数学思想的考查，理解各种数学思想的本质特点是解决本题的关键．
18．C
【分析】根据勾股定理列出方程，解方程即可.
【详解】设水池里的水深为x尺，由题意得：

解得：x=12
故选：C.
【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理并能根据勾股定理正确的列出对应的方程式解题的关键.
19．D
【分析】先根据题意得出OA=8，OC=2，再根据勾股定理计算即可
【详解】解：由题意可知：AC=AB
∵，
∴OA=8，OC=2
∴AC=AB=10
在Rt△OAB中，
∴B(0，6)
故选：D
【点睛】本题考查勾股定理、正确写出点的坐标，圆的半径相等、熟练进行勾股定理的计算是关键
20．C
【分析】结合题意，根据有理数乘方、有理数加法的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵或或
∴7不是广义勾股数，即①正确；
∵
∴13是广义勾股数，即②正确；
∵，，不是广义勾股数
∴③错误；
设
则



当ad=bc或ac=bd时,两个广义勾股数的积不—定是广义勾股数，如2和2都是广义勾股数,但2×2=4,4不是广义勾股数,故④结论错误；
故①②正确
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握有理数乘方、有理数加法的性质，从而完成求解．
21．C
【分析】先论证四边形是平行四边形，再分别求出、、，继而用平行四边形的周长公式和面积公式求解即可．
【详解】由平移的性质可知：，
∴四边形是平行四边形，
在中，，，，
∴
在中，，，点F是中点
∴
∵，点F是中点
∴，，
∴点D是的中点，
∴
∵D是的中点，点F是中点，
∴是的中位线，
∴
∴四边形的周长为：，
四边形的面积为：．
故选：C．
【点睛】本题考查平移的性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行线分线段成比例，三角形中位线定理等知识，推导四边形是平行四边形和是的中位线是解题的关键．
22．B
【分析】根据题意，求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可解答．
【详解】解：由图可得，
∵点A、B对应的刻度为1、7，
∴，
∵，点D为线段的中点，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握该性质，根据题意得出．
23．C
【分析】根据三角形内角和定理可得∠A=30°，由直角三角形斜边上的中线的性质得出AC=2BD=4，再利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵∠ABC=90°，∠C=60°，
∴∠A=30°，
∵点D为边AC的中点，BD=2
∴AC=2BD=4，
∴BC=，
故选：C．
【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
24．C
【分析】由作图可得：是AC的垂直平分线，记MN与AC的交点为G，证明 再证明 可得，从而可得答案．
【详解】解：由作图可得：是AC的垂直平分线，记MN与AC的交点为G，

∴
∵，

∴
∴


故选C
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，平行线分线段成比例，证明是解本题的关键．
25．A
【分析】首先根据“斜中半”定理求出，然后利用三角形的外角性质求出，从而在中，利用“30°角所对的直角边为斜边的一半”求解即可．
【详解】∵E是Rt中斜边AB的中点，，
∴，
∴，
∴，∠ECD=30°
在中，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查直角三角形的基本性质，熟记并灵活运用与直角三角形相关的性质是解题关键．
26．B
【分析】作于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，作于点D，
  
中,，，
，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半．
27．C
【分析】延长 交 于N，连接 ，由垂直的定义可得 ，根据直角三角形的两个锐角互余得 ，从而有 ，得到①正确；根据三个角是直角可判断四边形 是矩形，再由 可知是正方形，故②正确，计算出 得③错误；根据等腰直角三角形的性质可知 ，推导得出 ，从而 得到 ，再由 ，得 ，判断出④正确．
【详解】解：如图，延长 交 于N，连接

∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵将 绕着点F顺时针旋转得 ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
又∵ ，
∴矩形 是正方形，故②正确；
∴ ，
∴
，
故③错误；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ （ ）：1，
又∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
故④正确，
∴正确的是：①②④，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理和正方形的判定与性质，掌握常用辅助线的添加方法，灵活运用相关知识是解题的关键．
28．C
【分析】根据三角板的角度，可得，根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：，

ACEF，

故选C
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
29．50
【分析】根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【详解】如图，根据题意，得，，，，
  
∵
∴
∴
∴在中，
即A，C两港之间的距离为50 km．
故答案为：50
【点睛】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键．
30．##
【分析】设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点F在以为直径的半圆上运动，当点F运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可．
【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，
  
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点F在以为直径的半圆上运动，
∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值，
∵，
∴，，
∴，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动轨迹是解题的关键．
31．5
【分析】首先证明，，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：如图，过点D作的垂线，垂足为P，
  
在中，∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
在中，∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
32．96
【分析】由题意知，，由，可得，计算求出满足要求的，然后求，根据每个直角三角形的面积为，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∵，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴每个直角三角形的面积为，
故答案为：96．
【点睛】本题考查了勾股定理．解题的关键在于对勾股定理的熟练掌握与灵活运用．
33．21
【分析】连接交于点M，连接交于点N，过点F作于点H，过点作于点G，连接，用等面积法可求出，根据平移的性质可得，通过证明推出，得出，的外部被染色的区域是梯形，根据梯形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，连接交于点M，连接交于点N，过点F作于点H，过点作于点G，连接．
    
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵从起始位置平移至终止位置，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同法可证，
∴，
∴的外部被染色的区域的面积，
故答案为：21．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平移前后对应点连线平行（或在同一直线上）且相等，相似三角形对应角相等，对应边成比例．
34．2
【分析】过点A作交于点D，根据三角形内角和定理，得到，进而得到，再利用勾股定理求得，然后解直角三角形即可求解．
【详解】解：过点A作交于点D，
  
，
，
，
，
在中，，
，
∵，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握勾股定理是解题关键．
35． 1 y
【分析】连接，，如图：证明四边形是菱形，，由，可得，，由，可得，若，则，过E作于H，如图：可得，证明，可得，即，表示，，可得，由，从而可得答案．
【详解】解：连接，，如图：

∵点A关于的对称点落在上，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得或（舍去），
若，则，过E作于H，如图：

∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
在中，
，
∴．
故答案为：1，
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，本题难度大，是典型的中考压轴题．
36．12
【分析】延长BE交AD于点F，由“ASA”可证△BCE≌△FDE，可得DF＝BC＝5，BE＝EF，由勾股定理可求AB的长．
【详解】如图，延长BE交AD于点F，
  
∵点E是DC的中点，
∴DE＝CE，
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠ D＝∠BCE，∠FED＝∠BEC，
∴ △BCE≌△FDE（ASA），
∴DF＝BC＝5，BE＝EF，
∴BF＝2BE＝13，AF=5,
在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
37．
【分析】根据第一步马往外跳，第二步马再往回跳但路线不与第一步的路线重合，这样走两步后的落点与出发点距离最短．
【详解】解：如下图所示：

马第一步往外跳，可能的落点为A、B、C、D、E、F点，
第二步往回跳，但路线不与第一步的路线重合，这样走两步后的落点与出发点距离最短，
比如，第一步马跳到A点位置，第二步在从A点跳到G点位置，此时落点与出发点的距离最短为，
故答案为：．
【点睛】本题借助象棋中的“马走日”的规则考察了两点之间的距离公式，解题的关键是读懂题意．
38．8
【分析】根据垂直平分线的性质求得∠BEA的度数，然后根据勾股定理求出EC长度，即可求出的周长．
【详解】解：∵ DE是AB的垂直平分线，
∴，BE=AE，
∴，
∵
∴
∴
又∵AC=5，
∴在中，
，

解得：CE=3，
又∵点F是的中点，
∴，
∴的周长=CF+CE+FE=．
故答案为：8．
【点睛】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质．
39．北偏东50°（或东偏北40°）
【分析】由题意易得海里，PB=16海里，，则有，所以∠APB=90°，进而可得，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：海里，PB=1×16=16海里，，海里，
∴，
∴∠APB=90°，
∴，
∴乙船沿北偏东50°（或东偏北40°）方向航行；
故答案为北偏东50°（或东偏北40°）．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键．
40．
【分析】知道和是角平分线，就可以求出，的垂直平分线交于点F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE，得到．
【详解】解： 的垂直平分线交于点F，
（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）
∴
∵，是角平分线
∴
∵
∴，
∴
【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性质是解题的关键．
41．100．
【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积A=36+64=100．
【详解】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=36，一条直角边的平方=64，则斜边的平方=36+64．
故答案为：100．
【点睛】本题考查了正方形的面积公式以及勾股定理．
42．12
【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设出尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【详解】解：设芦苇长尺，则水深尺，
因为尺，所以尺，
在中，，
.解得，
即水深12尺，芦苇长13尺．
故答案为：12．

【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形利用勾股定理解决问题是解题的关键．
43．
【分析】由已知得到点P的坐标为(，)，求得PO=，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，则，
∴点P的坐标为(，)，
∴PO=，
∵，
∴当时，有最小值，
且最小值为，
∴PO的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了点的坐标，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
44．
【分析】先表示出BC的长，再利用勾股定理建立方程即可．
【详解】解：由题可知，6尺8寸即为6.8尺，1丈即为10尺；
∵高比宽多6尺8寸，门高 AB 为 x 尺，
∴BC=尺，
∴可列方程为：，
故答案为：．
【点睛】本题属于数学文化题，考查了勾股定理及其应用，解决本题的关键是读懂题意，能将文字语言转化为几何语言，能用含同一个未知数的式子表示出直角三角形的两条直角边，再利用勾股定理建立方程即可．
45．2.4或
【分析】分两种情况：直角三角形的两直角边为3、4或直角三角形一条直角边为3，斜边为4，首先根据勾股定理即可求第三边的长度，再根据三角形的面积即可解题．
【详解】若直角三角形的两直角边为3、4，则斜边长为，
设直角三角形斜边上的高为h，
，
∴．
若直角三角形一条直角边为3，斜边为4，则另一条直角边为
设直角三角形斜边上的高为h，
，
∴．
故答案为：2.4或．
【点睛】本题考查了勾股定理和直角三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
46．
【分析】若，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理可得，得出，若，根据直角三角形的性质，确定，进而即可求解．
【详解】若，
，，
，
，
若，
，，
，，
，
是锐角三角形，
面积的取值范围是．
故答案为：
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
47．
【分析】根据中线性质及勾股定理得到，利用三角形中位线的判定与性质得到即可得到答案．
【详解】解：∵为斜边上的中线，，
∴，
∵在中，，则由勾股定理得，
∵为的中点，为的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形背景下求线段长，涉及中线定义、勾股定理、三角形中位线的判定与性质等知识，熟练掌握三角形中位线的判定与性质是解决问题的关键．
48．5
【分析】先根据题意画出图形，再运用勾股定理求得AB，然后再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：如图：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8
∴
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AB=×10=5．
故答案为5．

【点睛】本题主要考查了运用勾股定理解直角三角形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质等知识点，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”成为解题的关键．
49．
【分析】先求解AE，AC，再连结BE，证明 利用勾股定理求解BC，AB，从而可得答案．
【详解】解： ，

如图，连结
由作图可得：是的垂直平分线，






故答案为：
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图与性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟悉几何基本作图与基本图形的性质是解本题的关键．
50．4
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可解决问题；
【详解】解：如图，

∵△ABC是直角三角形，CD是斜边中线，
∴CDAB，
∵CD＝2，
∴AB＝4，
故答案为4．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，解题的关键是记住直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
51．370
【分析】延长交于点，根据已知条件求得,进而根据含30度角的直角三角形的性质，求得，，从而求得的长，根据材料可得，即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点，连接，

，，，
，，

是等边三角形，
,
,
在中，，，
，，
，
中，，，
，


，
，
中，

是等腰直角三角形

由阅读材料可得，
路线的长比路线的长少．
故答案为：370．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解题意是解题的关键．
52．6
【分析】当点F与C重合时，△EFP的边长最长，周长也最长，根据30°角所对的直角边是斜边的一半可得AC＝4，AP＝2，再由勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，

当点F与C重合时，△EFP的边长最长，周长也最长，
∵∠ACB＝90°，∠PFE＝60°，
∴∠PCA＝30°，
∵∠A＝60°，
∴∠APC＝90°，
△ABC中，AC＝AB＝4，
△ACP中，AP＝AC＝2，
∴PC＝＝＝2，
∴周长为2×3＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质，运用勾股定理是解题关键．
53．或2##2或
【分析】分∠ABC=60°、∠ABC=30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．
【详解】解：①当∠ABC=60°时，则BC=AB=2，
当点P在线段AB上时，

∵∠PCB=30°，
∴CP⊥AB，
则PC=BCcos30°=2×=；
②当∠ABC=30°时，如图，

∵∠PCB=30°，∠ACB=90°，
∴∠ACP=60°，
∵∠BAC=60°，
∴△PAC为等边三角形．
∴PC=AC，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AC=AB=2．
∴PC=2．
综上，PC的长为：2或．
故答案为：2或．
【点睛】本题主要考查了含30°角的直角三角形、解直角三角形、等边三角形的判定与性质等，分类求解是本题解题的关键．
54．＜AD＜2
【分析】以AD为直径，作与BC相切于点M，连接OM，求出此时AD的长；以AD为直径，作，当点D与点B重合时，求出AD的长，进入即可得到答案．
【详解】解：以AD为直径，作与BC相切于点M，连接OM，则OM⊥BC，此时，在的直角边上存在3个不同的点分别和点A、D成为直角三角形，如图，

∵在中，，
∴AB=2，
∵OM⊥BC，
∴，
设OM=x，则AO=x，
∴，解得：，
∴AD=2×=，
以AD为直径，作，当点D与点B重合时，如图，此时AD=AB=2，
∴在的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是：＜AD＜2．
故答案是：＜AD＜2．

【点睛】本题主要考查圆的综合问题，熟练掌握圆周角定理的推论，解直角三角形，画出图形，分类讨论，是解题的关键．
55．2
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，∠ABD=，求得，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴∠A+∠ABC=，
∵线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，
∴AD=BD，
∴∠ABD=，
∴，
∵，
∴AD=BD=2CD=2，
故答案为：2．
【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
56．(1)点表示；点表示
(2)见解析

【分析】（1）根据矩形的性质可求出度数，根据线段垂直平分线的性质度数，即可求出的度数，从而知道点表示度数；利用半径相等即可求出，再根据平行线的性质即可求出以及对应的度数，从而知道点表示度数．
（2）利用角平分线的性质作图即可求出答案．
【详解】（1）解：①四边形是矩形，
．

由作图可知，是的中垂线，
  
．
．
．
点表示．
②由作图可知，．
．
又，
．
．
∴点表示．
故答案为：点表示，点表示．
（2）解：如图所示，
作的角平分线等．如图2，点即为所求作的点．
  
∵点表示，点表示．
．
∴表示．
【点睛】本题考查的是尺规作图的应用，涉及到的知识点有线段垂直平分线、角平分线性质、圆的相关性质，解题的关键需要正确理解题意，清楚知道用到的相关知识点．
57．(1)2
(2)补图见解析

【分析】（1）观察正方形和正方形的关系得到答案．
（2）按要求补全图形即可．
【详解】（1）解：观察正方形和正方形可知，，，，，
正方形放大为原来的2倍即得正方形，
与的比值为2；
故答案为：2；
（2）补全弦图如下：

【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是读懂题意，理解弦图证明勾股定理．
58．见解析
【分析】根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积证明即可
【详解】解：由题意得大正方形面积，小正方形面积，
4个小直角三角形的面积，
∵大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键在于能够根据题意知晓大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积．
59．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据直角三角形的性质可得MC=MA=MB，根据外角的性质可得∠MEC=∠A+∠ACE，∠EMC=∠B+∠MCB，根据等角对等边即可得证；
（2）根据CE=CM先求出CE的长，再解直角三角形即可求出FC的长．
【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，点M为边AB的中点，
∴MC=MA=MB，
∴∠MCA=∠A，∠MCB=∠B，
∵∠A=50°，
∴∠MCA=50°，∠MCB=∠B=40°，
∴∠EMC=∠MCB+∠B=80°，
∵∠ACE=30°，
∴∠MEC=∠A+∠ACE=80°，
∴∠MEC=∠EMC，
∴CE=CM；
（2）解：∵AB=4，
∴CE=CM=AB=2，
∵EF⊥AC，∠ACE=30°，
∴FC=CE•cos30°=．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，涉及三角形外角的性质，解直角三角形等，熟练掌握并灵活运用直角三角形的性质是解题的关键．
60．(1)见解析
(2)

【分析】（1）计算出∠ADB和∠BAC，利用等角对等边即可证明；
（2）利用锐角三角函数求出BC即可计算△ABC的面积．
【详解】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°．
∵∠C＝45°，
∴∠BDA＝∠DBC＋∠C＝75°，∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝75°．
∴∠BDA＝∠BAC．
∴AB＝BD．
（2）∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°．
在Rt△ABE中，∠ABC＝60°，AE＝3，
∴BE＝．
在Rt△AEC中，∠C＝45°，AE＝3，
∴EC＝．
∴BC＝BE＋EC＝．
∴S△ABC＝BC·AE＝．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定以及利用锐角三角函数求值，解题的关键是求出∠ADB和∠BAC的度数．