2021年中考数学 三轮专题冲刺：直角三角形与勾股定理（含答案）

这是一份2021年中考数学 三轮专题冲刺：直角三角形与勾股定理（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为( )
A.B.C.D.
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( )
A. eq \f(4\r(3),3) B. 4 C. 8eq \r(3) D. 4eq \r(3)

3. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( )
A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米
4. (2019•南通)小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于
A．1和2之间B．2和3之间
C．3和4之间D．4和5之间
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线段AD长为正整数，则点D的个数共有( )
A. 5个
B. 4个
C. 3个
D. 2个
6. 如图①，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图，则图②中水面高度为( )
A.B.C.D.
7. 如图，在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD＝( )
A. 3 B. 4 C. 4.8 D. 5

8. 如图所示，底边BC为2eq \r(3)，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为( )
A. 2＋2eq \r(3) B. 2＋eq \r(3) C. 4 D. 3eq \r(3)

二、填空题
9. 如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA= °(点A，B，P是网格线交点).

10. 如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF，连接EF，若AB=3，AC=2，且α+β=∠B，则EF= .

11. 三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD的长度是 .

12. 如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据:AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为 米(结果精确到0.1米，参考数据:≈1.41，≈1.73).

13. (2019•盐城)如图，在中，，，，则的长为__________．
14. 如图，△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△DEC，连接BD，则BD2的值是 .
15. 如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边长分别为a，b，斜边长为c.如图②，现将与Rt△ABC全等的四个直角三角形拼成一个正方形EFMN.
(1)根据勾股定理的知识，请直接写出a，b，c之间的数量关系;
(2)若正方形EFMN的面积为64，Rt△ABC的周长为18，求Rt△ABC的面积.
16. 在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为________．
三、解答题
17. 如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.
(1)线段DC= ;
(2)求线段DB的长度.
18. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.
(1)求证:△BDE≌△CDF;
(2)当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长.
19. (2019•大庆)如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港．
(1)求A，C两港之间的距离(结果保留到0.1 km，参考数据：≈1.414，≈1.732)；
(2)确定C港在A港的什么方向．
20. 在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
21. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．
（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是________；
（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；
（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？

2021中考数学 三轮专题冲刺：直角三角形与勾股定理-答案
一、选择题
1. 【答案】D [解析]如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°，
∴AC===5.
∴sin∠BAC==.故选D.
2. 【答案】D 【解析】∵Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝8，∴AC＝eq \f(1,2)AB＝4，∴BC＝eq \r(AB2－AC2)＝eq \r(64－16)＝4eq \r(3).
3. 【答案】C [解析]在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，
∴AB2=0.72+2.42=6.25.
在Rt△A'BD中，
∵∠A'DB=90°，A'D=2米，BD2+A'D2=A'B2，
∴BD2+22=6.25，
∴BD2=2.25，
∵BD>0，∴BD=1.5米，
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).
4. 【答案】C
【解析】由作法过程可知，OA=2，AB=3，
∵∠OAB=90°，∴OB=，∴P点所表示的数就是，
∵，∴，
即点P所表示的数介于3和4之间，故选C．
5. 【答案】C 【解析】如解图，当AD⊥BC时，∵AB＝AC，∴D为BC的中点，BD＝CD＝eq \f(1,2)BC＝4，∴AD＝eq \r(AB2－BD2)＝3；又∵AB＝AC＝5，∴在BD和CD之间一定存在AD＝4的两种情况，∴点D的个数共有3个．

6. 【答案】A [解析]如图所示.设DM=x，则CM=8-x，
根据题意得:(8-x+8)×3×3=3×3×6，解得x=4，∴DM=4.
∵∠D=90°.
∴由勾股定理得:
BM===5.
过点B作BH⊥水平桌面于H，∵∠HBA+∠ABM=∠ABM+∠DBM=90°，
∴∠HBA=∠DBM，
∵∠AHB=∠D=90°，
∴△ABH∽△MBD，∴=，即=，解得BH=，即水面高度为.
7. 【答案】D 【解析】∵DE垂直平分AC，∴∠AED＝90°，AE＝CE＝4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝eq \f(1,2)BC＝3.在Rt△CED中，CD＝eq \r(CE2＋DE2)＝5.
8. 【答案】A 【解析】如解图，过点A作AF⊥BC于点F，∵AB＝AC，BC＝2eq \r(3)，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，BF＝CF＝eq \r(3)，在Rt△ACF中，AC＝eq \f(CF,csC)＝eq \f(\r(3),cs30°)＝2.∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE，∴△ACE的周长＝AE＋CE＋AC＝BE＋CE＋AC＝BC＋AC＝2eq \r(3)＋2.

二、填空题
9. 【答案】45 [解析]本题考查三角形的外角，可延长AP交正方形网格于点Q，连接BQ，如图所示，
经计算PQ=BQ=，PB=，
∴PQ2+BQ2=PB2，
即△PBQ为等腰直角三角形，
∴∠BPQ=45°，
∴∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°， 故答案为45.
10. 【答案】 [解析]∵α+β=∠B，
∴∠EAF=∠BAC+∠B=90°，
∴△AEF是直角三角形，
∵AE=AB=3，AF=AC=2，
∴EF==.
11. 【答案】15-5 [解析]过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=10×tan60°=10.
∵AB∥CF，∴∠BCM=∠ABC=30°，
∴BM=BC×sin30°=10=5，CM=BC×cs30°=15.
在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，
∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5，
∴CD=CM-MD=15-5.
12. 【答案】2.9 [解析]首先根据等腰直角三角形的性质可得DM=AM=4米，再根据勾股定理及三角函数可得MC2+MB2=(2MC)2，代入数可得答案.
∵AM=4米，∠MAD=45°，DM⊥AM，
∴DM=4米，
∵AM=4米，AB=8米，∴MB=12米，
∵∠MBC=30°，∴BC=2MC，
∴MC2+MB2=(2MC)2，
即MC2+122=(2MC)2，∴MC=4 米，
则DC=4-4≈2.9(米).
13. 【答案】
【解析】如图，过作于点，
设，则，因为，所以，
则由勾股定理得，因为，所以，则．则．故答案为：2．
14. 【答案】8+4 [解析]如图，连接AD，设AC与BD交于点O，
由题意得CA=CD，∠ACD=60°，∴△ACD为等边三角形，
∴AD=CD，∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°.
∵∠ABC=90°，AB=BC=2，
∴AC=CD=2.
∵AB=BC，CD=AD，∴BD垂直平分AC，
∴BO=AC=，OD=CD·sin60°=，
∴BD=，∴BD2=()2=8+4.
15. 【答案】解:(1)由勾股定理得，a2+b2=c2.
(2)∵正方形EFMN的面积为64，∴c2=64，即c=8.
∵Rt△ABC的周长为18，∴a+b+c=18，
∴a+b=10，
∴Rt△ABC的面积=ab=[(a+b)2-(a2+b2)]=9.
16. 【答案】eq \r(13) 或eq \r(10) 【解析】(1)如解图①所示，当P点靠近B点时，∵AC＝BC＝3，∴CP＝2，在Rt△ACP中，由勾股定理得AP＝eq \r(13)；(2)如解图②所示，当P点靠近C点时，∵AC＝BC＝3，∴CP＝1，在Rt△ACP中，由勾股定理得AP＝eq \r(10).综上可得：AP长为eq \r(13) 或eq \r(10).

三、解答题
17. 【答案】
解:(1)4
(2)∵AC=AD，∠CAD=60°，
∴△CAD是等边三角形，
∴CD=AC=4，∠ACD=60°.
过点D作DE⊥BC于E，
∵AC⊥BC，∠ACD=60°，∴∠BCD=30°.
在Rt△CDE中，CD=4，∠BCD=30°，
∴DE=CD=2，CE=2，∴BE=，
在Rt△DEB中，由勾股定理得DB=.
18. 【答案】
解:(1)证明:∵CF∥AB，
∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF.
(2)∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，
∴AB=AE+BE=1+2=3.
∵AD⊥BC，BD=CD， ∴AC=AB=3.
19. 【答案】
(1)由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，
∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，
∴∠ABC=90°．
∵AB=BC=10，∴AC==≈14.1．
答：A、C两地之间的距离为14.1 km．
(2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，
∴C港在A港北偏东15°的方向上．
20. 【答案】
解：如解图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，设BD＝x，则CD＝14－x，根据勾股定理可得：
AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，即152－x2＝132－ (14－x)2，
解得x＝9.(3分)
∴AD2＝152－x2＝152－92＝144.(5分)
∵AD>0，
∴AD＝12.(8分)
∴S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AD＝eq \f(1,2)×14×12＝84.(10分)
21. 【答案】
（1）当t＝1时，EF＝2；当t＝3时，EF＝4．
（2）①如图1，当时，．所以．
②如图2，当时，，，．
于是，
．
所以．
③如图3，当时，，，．
所以．
图2 图3 图4
（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN，S的最大值为，此时．
图5 图6 图7
考点伸展
第（2）题中t的临界时刻是这样求的：
如图8，当H落在AC上时，，，由，得．
如图9，当G落在AC上时，，，由，得．
图8 图9