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考点29 菱形—2021年《三步冲刺中考•数学》（全国通用）之第1步小题夯基础（原卷+解析）
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这是一份考点29 菱形—2021年《三步冲刺中考•数学》（全国通用）之第1步小题夯基础（原卷+解析），共29页。
第一步 小题夯基础
考点29 菱形
真题回顾
1.（2020·西藏）如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（ ）
A. ∠ADB＝90° B. OA＝OB C. OA＝OC D. AB＝BC
2.（2020·通辽）如图， 是 的中线，四边形 是平行四边形，增加下列条件，能判断 是菱形的是( )
A. B. C. D.
3.（2019·宁夏）如图，四边形 的两条对角线相交于点 ，且互相平分.添加下列条件，仍不能判定四边形 为菱形的是（ ）
A. B. C. D.
4.（2020·黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）
A. 4:1 B. 5:1 C. 6:1 D. 7:1
5.（2019·通辽）一个菱形的边长是方程 的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（ ）
A. 48 B. 24 C. 24或40 D. 48或80
6.（2020·遵义）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（ ）
A. B. C. 4 D.
7.（2016·枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（ ）
A. B. C. 5 D. 4
8.（2017·台州）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. +1
9.（2019·崇左）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝________.
10.（2018·甘孜）如图，在菱形 中，对角线 与 相交于点 , , , 于点 ,交 于点 ,则 的长为________。
11.（2017·十堰）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，OE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=________．
12.（2017·哈尔滨）四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE= ，则CE的长为________．
13.（2018·丽水）如图，四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，点E、F在BD上．已知∠BAD=120°，∠EAF=30°，则 =________．
14.（2019·内江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=________．
15.（2018·哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB=6 ，则FG的长为________．
模拟预测
1.（2020·遵化模拟）如图在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（ ）
A. AB=AC B. AD=BD C. BE⊥AC D. BE平分∠ABC
2.（2020·河东模拟）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中B点坐标是(8，2)，D点坐标是(0，2)，点A在x轴上，则菱形ABCD的周长是（ ）
A. 2 B. 8 C. 8 D. 12
3.（2020·商丘模拟）如图①，在菱形ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动.设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y.把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b等于（ ）
A. B. C. 5 D. 4
4.（2019·惠来模拟）如图，CE是□ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O ， CE与DA的延长线交于点E、连接AC ， BE ， DO ， DO与AC交于点F ， 则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF：BE＝2：3；④S四边形AFOE：S△COD＝2：3．其中正确的结论有（ ）个．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.（2020·隆中模拟）如图，已知菱形ABCD的面积为6cm2 ， BD的长为4cm，则AC的长为________cm．
6.（2020·桂林模拟）如图，菱形 的周长为 ，对角线 与 相交于点 ， ， ，垂足为 ，则 ________.
7.（2020·武汉模拟）如图，在菱形ABCD中，过点A作AH⊥BC，分别交BD，BC于点E，H，F为ED的中点， ，则∠C的度数为________
8.（2020·百色模拟）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于 BF的相同长度为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF.若四边形ABEF的周长为16，∠C＝60°，则四边形ABEF的面积是________.
9.（2019·冷水滩模拟）如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为________．
10.（2017·湖州模拟）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=120°，E，F分别为AD，CD上的动点，且AE+CF=2，则线段EF长的最小值是________．
第一步 小题夯基础
考点29 菱形
真题回顾
1.（2020·西藏）如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（ ）
A. ∠ADB＝90° B. OA＝OB C. OA＝OC D. AB＝BC
【答案】 D
【考点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°，
不能判定四边形ABCD为菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据菱形的判定定理和矩形的判定定理分别对各个选项进行推理判断即可.
2.（2020·通辽）如图， 是 的中线，四边形 是平行四边形，增加下列条件，能判断 是菱形的是( )
A. B. C. D.
【答案】 A
【考点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、若 ，则AD=BD=CD=AE，∵四边形ADCE是平行四边形，则此时四边形ADCE为菱形，符合题意；
B、若 ，则四边形ADCE是矩形，不符合题意；
C、若 ，则∠ADC=90°，则四边形ADCE是矩形，不符合题意；
D、若 ，而AB＞AD，则AE≠AD，无法判断四边形ADCE为菱形，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的判定方法逐一分析即可.
3.（2019·宁夏）如图，四边形 的两条对角线相交于点 ，且互相平分.添加下列条件，仍不能判定四边形 为菱形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 C
【考点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形 的两条对角线相交于点 ，且互相平分，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
当 或 时，均可判定四边形 是菱形；
当 时，可判定四边形 是矩形；
当 时，
由 得： ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形。
故答案为：C。
【分析】由题干所给的对角线互相平分可以判断出 四边形 是平行四边形，在此基础上要判断该图形是菱形，只需要添加对角线互相垂直或一组邻边相等即可，从而即可一一判断得出答案。
4.（2020·黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）
A. 4:1 B. 5:1 C. 6:1 D. 7:1
【答案】 B
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，
∵菱形的周长为16，
∴AB＝4，
在Rt△ABH中，sinB＝ ＝ ，
∴∠B＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝150°，
∴∠C：∠B＝5：1.
故答案为：B.
【分析】如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，利用菱形的性质得到AB＝4，利用正弦的定义得到∠B＝30°，则∠C＝150°，从而得到∠C：∠B的比值.
5.（2019·通辽）一个菱形的边长是方程 的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（ ）
A. 48 B. 24 C. 24或40 D. 48或80
【答案】 B
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解： ，
所以 ， ，
∵菱形一条对角线长为8，
∴菱形的边长为5，
∴菱形的另一条对角线为 ，
∴菱形的面积 ．
故答案为：B ．
【分析】解方程 ，有两个解，根据对角线为8，故菱形边长为5.勾股定理即可求出另一直角边，即另一对角线的一半，根据菱形的性质，即可求出菱形的面积。
6.（2020·遵义）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（ ）
A. B. C. 4 D.
【答案】 D
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图.
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，OA＝ AC＝3，BD＝2OB，
∵AB＝5，
∴OB＝ ＝4，
∴BD＝2OB＝8，
∵S菱形ABCD＝AB•DE＝ AC•BD，
∴DE＝ ＝ ＝ .
故答案为：D.
【分析】由菱形的性质以及勾股定理，在直角三角形ABO中求得OB的长，由BD=2OB求得BD的长，然后由菱形的面积=AC·BD=AB·DE可求得线段DE的长.
7.（2016·枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（ ）
A. B. C. 5 D. 4
【答案】 A
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，
∵AC=8，DB=6，
∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，
由勾股定理得：AB= =5，∵S菱形ABCD= ，∴ ，∴DH= ，
故选A．
【分析】根据菱形性质求出AO=4，OB=3，∠AOB=90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱形ABCD= 是解此题的关键．
8.（2017·台州）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. +1
【答案】 B
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵∠A=120°，
∴∠B=180°﹣∠A=180°﹣120°=60°，
作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，P′C，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，
在Rt△BCP′中，
∵BC=AB=2，∠B=60°，
∴P′Q=CP′=BC•sinB=2× = ．
故选：B．
【分析】先根据四边形ABCD是菱形可知，AD∥BC，由∠A=120°可知∠B=60°，作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，PC，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，再在Rt△BCP′中利用锐角三角函数的定义求出P′C的长即可．
9.（2019·崇左）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝________.
【答案】
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO＝4，AO＝CO，AC⊥BD，
∴BD＝8，
∵S菱形ABCD＝ AC×BD＝24，
∴AC＝6，
∴OC＝ AC＝3，
∴BC＝ ＝5，
∵S菱形ABCD＝BC×AH＝24，
∴AH＝ 。
故答案为： 。
【分析】根据菱形的对角线互相平分且垂直得出BO＝DO＝4，AO＝CO，AC⊥BD，故BD=8，然后利用菱形的面积等于两对角线乘积的一半列出方程，求解算出AC的长，然后根据勾股定理算出BC的长，最后再根据菱形的面积等于底乘以高即可算出AH的长。
10.（2018·甘孜）如图，在菱形 中，对角线 与 相交于点 , , , 于点 ,交 于点 ,则 的长为________。
【答案】
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO= AC= ×8=4，DO= BD= ×6=3，
∴AD= =5，
∵S菱形ABCD= AC·BD=AD·EF，
∴ ×8×6=5EF，
∴EF= ，
故答案为： .
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，求出OA、OD的长，再利用勾股定理求出AD的长，然后利用菱形的面积等于底×高=两对角线之积的一半，可求解。
11.（2017·十堰）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，OE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=________．
【答案】 20°
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴DO=OB，
∵DE⊥BC于E，
∴OE为直角三角形BED斜边上的中线，
∴OE= BD，
∴OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵∠ABC=140°，
∴∠OBE=70°，
∴∠OED=90°﹣70°=20°，
故答案为：20°．
【分析】由菱形的性质可知O为BD中点，所以OE为直角三角形BED斜边上的中线，由此可得OE=OB，根据等腰三角形的性质和已知条件即可求出∠OED的度数．
12.（2017·哈尔滨）四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE= ，则CE的长为________．
【答案】 4 或2
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=6，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=6，
∴OB= BD=3，
∴OC=OA= =3 ，
∴AC=2OA=6 ，
∵点E在AC上，OE= ，
∴CE=OC+ 或CE=OC﹣ ，
∴CE=4 或CE=2 ；
故答案为：4 或2 ．
【分析】由菱形的性质证出△ABD是等边三角形，得出BD=AB=6，OB= BD=3，由勾股定理得出OC=OA= =3 ，即可得出答案．
13.（2018·丽水）如图，四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，点E、F在BD上．已知∠BAD=120°，∠EAF=30°，则 =________．
【答案】
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，过点E作EN⊥AB于点N，
∵四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，点E、F在BD上，∠BAD=120°，∠EAF=30°，
∴∠ABD=30°，∠EAC=15°，则∠BAE=45°，
∴设AN=x，则NE=x，AE= x，BN= = x，
∴ = = ．
故答案为： ．
【分析】利用菱形的性质对角线平分对角，结合勾股定理以及锐角三角函数关系表示出AB，AE的长，进而求出即可．
14.（2019·内江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=________．
【答案】 5
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：
作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴NQ=BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CP= AC=3，BP= BD=4，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，
即NQ=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
故答案为：5．
【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、PB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．
15.（2018·哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB=6 ，则FG的长为________．
【答案】 3
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴AB=BC=CD=AD，∠CAB=∠CAD=60°，
∴△ABC，△ACD是等边三角形，
∵EG⊥AC，
∴∠AEG=∠AGE=30°，
∵∠B=∠EGF=60°，
∴∠AGF=90°，
∴FG⊥BC，
∴2•S△ABC=BC•FG，
∴2× ×（6 ）2=6 •FG，
∴FG=3 ．
故答案为3 ．
【分析】首先证明△ABC，△ADC都是等边三角形，再证明FG是菱形的高，根据2•S△ABC=BC•FG即可解决问题．本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、翻折变换、菱形的面积等知识，记住菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半，属于中考常考题型．
模拟预测
1.（2020·遵化模拟）如图在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（ ）
A. AB=AC B. AD=BD C. BE⊥AC D. BE平分∠ABC
【答案】 D
【考点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：添加条件，BE平分∠ABC
∵DE∥BC
∴∠DEB=∠EBC
∵∠EBC=∠EBD
∴∠EBD=∠DEB
∴BD=DE
∵DE∥BC，EF∥AB
∴四边形DBEF为平行四边形
∵BD=DE
∴平行四边形DBEF为菱形。
故答案为：D.
【分析】根据菱形的判定定理，分别进行判断即可得到答案。
2.（2020·河东模拟）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中B点坐标是(8，2)，D点坐标是(0，2)，点A在x轴上，则菱形ABCD的周长是（ ）
A. 2 B. 8 C. 8 D. 12
【答案】 C
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】连接AC、BD交于点E，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AE＝CE＝ AC，BE＝DE＝ BD，
∵点B的坐标为(8，2），点D的坐标为(0，2)，
∴OD＝2，BD＝8，
∴AE＝OD＝2，DE＝4，
∴AD＝ ＝2 ，
∴菱形的周长＝4AD＝8 ；
故答案为：C．
【分析】连接AC、BD交于点E，由菱形的性质得出AC⊥BD，AE＝CE＝ AC，BE＝DE＝ BD，由点B的坐标和点D的坐标得出OD＝2，求出DE＝4，AD＝2 ，即可得出答案．
3.（2020·商丘模拟）如图①，在菱形ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动.设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y.把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b等于（ ）
A. B. C. 5 D. 4
【答案】 B
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC交BD于O，
由图②可知，BC=CD=4，BD=14-8=6，
∴BO= BD= ×6=3，
在Rt△BOC中，CO= = = ，
AC=2CO=2 ，
所以，菱形的面积= AC•BD= ×2 ×6=6 ，
当点P在CD上运动时，△ABP的面积不变，为b，
所以，b= ×6 =3 .
故答案为：B.
【分析】连接AC交BD于O，根据图②求出菱形的边长为4，对角线BD为6，根据菱形的对角线互相垂直平分求出BO，再利用勾股定理列式求出CO，然后求出AC的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出菱形的面积，b为点P在CD上时△ABP的面积，等于菱形的面积的一半，从而得解.
4.（2019·惠来模拟）如图，CE是□ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O ， CE与DA的延长线交于点E、连接AC ， BE ， DO ， DO与AC交于点F ， 则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF：BE＝2：3；④S四边形AFOE：S△COD＝2：3．其中正确的结论有（ ）个．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】 C
【考点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵EC垂直平分AB，
∴OA＝OB＝ AB＝ DC，CD⊥CE，
∵OA∥DC，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴AE＝AD，OE＝OC，
∵OA＝OB，OE＝OC，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵AB⊥EC，
∴四边形ACBE是菱形，故①符合题意，
∵∠DCE＝90°，DA＝AE，
∴AC＝AD＝AE，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠BAE，故②符合题意，
∵OA∥CD，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，故③不符合题意，
设△AOF的面积为a，则△OFC的面积为2a，△CDF的面积为4a，△AOC的面积＝△AOE的面积＝3a，
∴四边形AFOE的面积为4a，△ODC的面积为6a
∴S四边形AFOE：S△COD＝2：3．故④符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质和定义先证得四边形ACBE是菱形；再由菱形的性质和平行线的性质可得∠ACD＝∠BAE；根据三角形中位线定理和相似三角形的判定与性质可证得AF：AC=AF:BE＝1：3；设△AOF的面积为a，利用相似三角形的性质和两个同底三角形的面积比等于底的比可得S四边形AFOE=4a：S△COD=6a．
5.（2020·隆中模拟）如图，已知菱形ABCD的面积为6cm2 ， BD的长为4cm，则AC的长为________cm．
【答案】 3
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的面积为6cm2 ， BD的长为4cm，
∴ ×4×AC＝6，
解得：AC＝3，
故答案为：3．
【分析】利用菱形面积等于对角线乘积的一半和BD=4,即可确定AC的长．
6.（2020·桂林模拟）如图，菱形 的周长为 ，对角线 与 相交于点 ， ， ，垂足为 ，则 ________.
【答案】 2.4
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长为20，
∴BC=5，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，AC=2OC=8，
在Rt△BOC中，OB= ＝3，
∵OE⊥BC，
∴ OE•BC= OB•OC，
∴OE= ＝2.4.故答案为2.4.
【分析】先根据菱形的性质得BC=5，利用勾股定理得出OB=3，OA=OC= AC=4，再利用面积法计算OE的长.
7.（2020·武汉模拟）如图，在菱形ABCD中，过点A作AH⊥BC，分别交BD，BC于点E，H，F为ED的中点， ，则∠C的度数为________
【答案】 140
【考点】菱形的判定
【解析】【解答】设 ，
四边形 为菱形，
， ，
，
， ，
，
为 的中点，
，
，
，
，
，
，
∴ ，
∴ ，
，
四边形 为菱形，
，
故答案为： .
【分析】设 ，根据菱形的性质得出 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 ，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出x ， 进而求解.
8.（2020·百色模拟）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于 BF的相同长度为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF.若四边形ABEF的周长为16，∠C＝60°，则四边形ABEF的面积是________.
【答案】 8
【考点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作法得AE平分∠BAD，AB＝AF，
则∠1＝∠2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BE∥AF，∠BAF＝∠C＝60°，
∴∠2＝∠BEA，
∴∠1＝∠BEA＝30°，
∴BA＝BE，
∴AF＝BE，
∴四边形AFEB为平行四边形，△ABF是等边三角形，
而AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形；
∴BF⊥AE，AG＝EG，
∵四边形ABEF的周长为16，
∴AF＝BF＝AB＝4，
在Rt△ABG中，∠1＝30°，
∴BG＝ AB＝2，AG＝ BG＝2 ，
∴AE＝2AG＝4 ，
∴菱形ABEF的面积＝ BF×AE＝ ×4×4 ＝8 ；
故答案为：8 .
【分析】利用作图可知AE平分∠BAD，AB＝AF，再利用平行四边形的性质，易证AF＝BE，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AFEB为平行四边形，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得四边形ABEF是菱形，利用菱形的性质，就可求出AB的长，然后利用解直角三角形求出AE，BF的长，利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，就可求出四边形ABEF的面积。
9.（2019·冷水滩模拟）如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为________．
【答案】+1
【考点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：连结DE．
∵BE的长度固定，
∴要使△PBE的周长最小只需要PB+PE的长度最小即可，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴P′D=P′B，
∴PB+PE的最小长度为DE的长，
∵菱形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∠DAB=60°，
∴△BCD是等边三角形，
又∵菱形ABCD的边长为2，
∴BD=2，BE=1，DE= ，
∴△PBE的最小周长=DE+BE= +1，
故答案为： +1．
【分析】连接BD，与AC的交点即为使△PBE的周长最小的点P；由菱形的性质得出∠BPC=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出PE=BE，证明△PBE是等边三角形，得出PB=BE=PE=1，即可得出结果．
10.（2017·湖州模拟）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=120°，E，F分别为AD，CD上的动点，且AE+CF=2，则线段EF长的最小值是________．
【答案】
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=120°， ∴△ABD、△CBD都是边长为2的正三角形，
∵AE+CF=2，
∴CF=2﹣AE=AD﹣AE=DE，
又∵BD=BC=2，∠BDE=∠C=60°，
在△BDE和△BCF中，
，
∴△BDE≌△BCF（SAS），
∴∠EBD=∠FBC，
∴∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF，
∴∠EBF=∠DBC=60°，
又∵BE=BF，
∴△BEF是正三角形，
∴EF=BE=BF，
当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小值为 ，
∵EF=BE，
∴EF的最小值为 ．
故答案为： ．
【分析】由在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=120°，易得△ABD、△CBD都是边长为2的正三角形，继而证得△BDE≌△BCF（SAS），继而证得△BEF是正三角形，继而可得当BE⊥AD，即E为AD的中点时，线段EF长最小．
第一步 小题夯基础
考点29 菱形
真题回顾
1.（2020·西藏）如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（ ）
A. ∠ADB＝90° B. OA＝OB C. OA＝OC D. AB＝BC
2.（2020·通辽）如图， 是 的中线，四边形 是平行四边形，增加下列条件，能判断 是菱形的是( )
A. B. C. D.
3.（2019·宁夏）如图，四边形 的两条对角线相交于点 ，且互相平分.添加下列条件，仍不能判定四边形 为菱形的是（ ）
A. B. C. D.
4.（2020·黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）
A. 4:1 B. 5:1 C. 6:1 D. 7:1
5.（2019·通辽）一个菱形的边长是方程 的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（ ）
A. 48 B. 24 C. 24或40 D. 48或80
6.（2020·遵义）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（ ）
A. B. C. 4 D.
7.（2016·枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（ ）
A. B. C. 5 D. 4
8.（2017·台州）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. +1
9.（2019·崇左）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝________.
10.（2018·甘孜）如图，在菱形 中，对角线 与 相交于点 , , , 于点 ,交 于点 ,则 的长为________。
11.（2017·十堰）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，OE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=________．
12.（2017·哈尔滨）四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE= ，则CE的长为________．
13.（2018·丽水）如图，四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，点E、F在BD上．已知∠BAD=120°，∠EAF=30°，则 =________．
14.（2019·内江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=________．
15.（2018·哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB=6 ，则FG的长为________．
模拟预测
1.（2020·遵化模拟）如图在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（ ）
A. AB=AC B. AD=BD C. BE⊥AC D. BE平分∠ABC
2.（2020·河东模拟）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中B点坐标是(8，2)，D点坐标是(0，2)，点A在x轴上，则菱形ABCD的周长是（ ）
A. 2 B. 8 C. 8 D. 12
3.（2020·商丘模拟）如图①，在菱形ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动.设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y.把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b等于（ ）
A. B. C. 5 D. 4
4.（2019·惠来模拟）如图，CE是□ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O ， CE与DA的延长线交于点E、连接AC ， BE ， DO ， DO与AC交于点F ， 则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF：BE＝2：3；④S四边形AFOE：S△COD＝2：3．其中正确的结论有（ ）个．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.（2020·隆中模拟）如图，已知菱形ABCD的面积为6cm2 ， BD的长为4cm，则AC的长为________cm．
6.（2020·桂林模拟）如图，菱形 的周长为 ，对角线 与 相交于点 ， ， ，垂足为 ，则 ________.
7.（2020·武汉模拟）如图，在菱形ABCD中，过点A作AH⊥BC，分别交BD，BC于点E，H，F为ED的中点， ，则∠C的度数为________
8.（2020·百色模拟）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于 BF的相同长度为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF.若四边形ABEF的周长为16，∠C＝60°，则四边形ABEF的面积是________.
9.（2019·冷水滩模拟）如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为________．
10.（2017·湖州模拟）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=120°，E，F分别为AD，CD上的动点，且AE+CF=2，则线段EF长的最小值是________．
第一步 小题夯基础
考点29 菱形
真题回顾
1.（2020·西藏）如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（ ）
A. ∠ADB＝90° B. OA＝OB C. OA＝OC D. AB＝BC
【答案】 D
【考点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°，
不能判定四边形ABCD为菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据菱形的判定定理和矩形的判定定理分别对各个选项进行推理判断即可.
2.（2020·通辽）如图， 是 的中线，四边形 是平行四边形，增加下列条件，能判断 是菱形的是( )
A. B. C. D.
【答案】 A
【考点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、若 ，则AD=BD=CD=AE，∵四边形ADCE是平行四边形，则此时四边形ADCE为菱形，符合题意；
B、若 ，则四边形ADCE是矩形，不符合题意；
C、若 ，则∠ADC=90°，则四边形ADCE是矩形，不符合题意；
D、若 ，而AB＞AD，则AE≠AD，无法判断四边形ADCE为菱形，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的判定方法逐一分析即可.
3.（2019·宁夏）如图，四边形 的两条对角线相交于点 ，且互相平分.添加下列条件，仍不能判定四边形 为菱形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 C
【考点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形 的两条对角线相交于点 ，且互相平分，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
当 或 时，均可判定四边形 是菱形；
当 时，可判定四边形 是矩形；
当 时，
由 得： ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形。
故答案为：C。
【分析】由题干所给的对角线互相平分可以判断出 四边形 是平行四边形，在此基础上要判断该图形是菱形，只需要添加对角线互相垂直或一组邻边相等即可，从而即可一一判断得出答案。
4.（2020·黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）
A. 4:1 B. 5:1 C. 6:1 D. 7:1
【答案】 B
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，
∵菱形的周长为16，
∴AB＝4，
在Rt△ABH中，sinB＝ ＝ ，
∴∠B＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝150°，
∴∠C：∠B＝5：1.
故答案为：B.
【分析】如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，利用菱形的性质得到AB＝4，利用正弦的定义得到∠B＝30°，则∠C＝150°，从而得到∠C：∠B的比值.
5.（2019·通辽）一个菱形的边长是方程 的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（ ）
A. 48 B. 24 C. 24或40 D. 48或80
【答案】 B
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解： ，
所以 ， ，
∵菱形一条对角线长为8，
∴菱形的边长为5，
∴菱形的另一条对角线为 ，
∴菱形的面积 ．
故答案为：B ．
【分析】解方程 ，有两个解，根据对角线为8，故菱形边长为5.勾股定理即可求出另一直角边，即另一对角线的一半，根据菱形的性质，即可求出菱形的面积。
6.（2020·遵义）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（ ）
A. B. C. 4 D.
【答案】 D
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图.
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，OA＝ AC＝3，BD＝2OB，
∵AB＝5，
∴OB＝ ＝4，
∴BD＝2OB＝8，
∵S菱形ABCD＝AB•DE＝ AC•BD，
∴DE＝ ＝ ＝ .
故答案为：D.
【分析】由菱形的性质以及勾股定理，在直角三角形ABO中求得OB的长，由BD=2OB求得BD的长，然后由菱形的面积=AC·BD=AB·DE可求得线段DE的长.
7.（2016·枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（ ）
A. B. C. 5 D. 4
【答案】 A
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，
∵AC=8，DB=6，
∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，
由勾股定理得：AB= =5，∵S菱形ABCD= ，∴ ，∴DH= ，
故选A．
【分析】根据菱形性质求出AO=4，OB=3，∠AOB=90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱形ABCD= 是解此题的关键．
8.（2017·台州）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. +1
【答案】 B
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵∠A=120°，
∴∠B=180°﹣∠A=180°﹣120°=60°，
作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，P′C，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，
在Rt△BCP′中，
∵BC=AB=2，∠B=60°，
∴P′Q=CP′=BC•sinB=2× = ．
故选：B．
【分析】先根据四边形ABCD是菱形可知，AD∥BC，由∠A=120°可知∠B=60°，作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，PC，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，再在Rt△BCP′中利用锐角三角函数的定义求出P′C的长即可．
9.（2019·崇左）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝________.
【答案】
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO＝4，AO＝CO，AC⊥BD，
∴BD＝8，
∵S菱形ABCD＝ AC×BD＝24，
∴AC＝6，
∴OC＝ AC＝3，
∴BC＝ ＝5，
∵S菱形ABCD＝BC×AH＝24，
∴AH＝ 。
故答案为： 。
【分析】根据菱形的对角线互相平分且垂直得出BO＝DO＝4，AO＝CO，AC⊥BD，故BD=8，然后利用菱形的面积等于两对角线乘积的一半列出方程，求解算出AC的长，然后根据勾股定理算出BC的长，最后再根据菱形的面积等于底乘以高即可算出AH的长。
10.（2018·甘孜）如图，在菱形 中，对角线 与 相交于点 , , , 于点 ,交 于点 ,则 的长为________。
【答案】
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO= AC= ×8=4，DO= BD= ×6=3，
∴AD= =5，
∵S菱形ABCD= AC·BD=AD·EF，
∴ ×8×6=5EF，
∴EF= ，
故答案为： .
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，求出OA、OD的长，再利用勾股定理求出AD的长，然后利用菱形的面积等于底×高=两对角线之积的一半，可求解。
11.（2017·十堰）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，OE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=________．
【答案】 20°
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴DO=OB，
∵DE⊥BC于E，
∴OE为直角三角形BED斜边上的中线，
∴OE= BD，
∴OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵∠ABC=140°，
∴∠OBE=70°，
∴∠OED=90°﹣70°=20°，
故答案为：20°．
【分析】由菱形的性质可知O为BD中点，所以OE为直角三角形BED斜边上的中线，由此可得OE=OB，根据等腰三角形的性质和已知条件即可求出∠OED的度数．
12.（2017·哈尔滨）四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE= ，则CE的长为________．
【答案】 4 或2
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=6，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=6，
∴OB= BD=3，
∴OC=OA= =3 ，
∴AC=2OA=6 ，
∵点E在AC上，OE= ，
∴CE=OC+ 或CE=OC﹣ ，
∴CE=4 或CE=2 ；
故答案为：4 或2 ．
【分析】由菱形的性质证出△ABD是等边三角形，得出BD=AB=6，OB= BD=3，由勾股定理得出OC=OA= =3 ，即可得出答案．
13.（2018·丽水）如图，四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，点E、F在BD上．已知∠BAD=120°，∠EAF=30°，则 =________．
【答案】
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，过点E作EN⊥AB于点N，
∵四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，点E、F在BD上，∠BAD=120°，∠EAF=30°，
∴∠ABD=30°，∠EAC=15°，则∠BAE=45°，
∴设AN=x，则NE=x，AE= x，BN= = x，
∴ = = ．
故答案为： ．
【分析】利用菱形的性质对角线平分对角，结合勾股定理以及锐角三角函数关系表示出AB，AE的长，进而求出即可．
14.（2019·内江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=________．
【答案】 5
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：
作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴NQ=BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CP= AC=3，BP= BD=4，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，
即NQ=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
故答案为：5．
【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、PB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．
15.（2018·哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB=6 ，则FG的长为________．
【答案】 3
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴AB=BC=CD=AD，∠CAB=∠CAD=60°，
∴△ABC，△ACD是等边三角形，
∵EG⊥AC，
∴∠AEG=∠AGE=30°，
∵∠B=∠EGF=60°，
∴∠AGF=90°，
∴FG⊥BC，
∴2•S△ABC=BC•FG，
∴2× ×（6 ）2=6 •FG，
∴FG=3 ．
故答案为3 ．
【分析】首先证明△ABC，△ADC都是等边三角形，再证明FG是菱形的高，根据2•S△ABC=BC•FG即可解决问题．本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、翻折变换、菱形的面积等知识，记住菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半，属于中考常考题型．
模拟预测
1.（2020·遵化模拟）如图在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（ ）
A. AB=AC B. AD=BD C. BE⊥AC D. BE平分∠ABC
【答案】 D
【考点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：添加条件，BE平分∠ABC
∵DE∥BC
∴∠DEB=∠EBC
∵∠EBC=∠EBD
∴∠EBD=∠DEB
∴BD=DE
∵DE∥BC，EF∥AB
∴四边形DBEF为平行四边形
∵BD=DE
∴平行四边形DBEF为菱形。
故答案为：D.
【分析】根据菱形的判定定理，分别进行判断即可得到答案。
2.（2020·河东模拟）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中B点坐标是(8，2)，D点坐标是(0，2)，点A在x轴上，则菱形ABCD的周长是（ ）
A. 2 B. 8 C. 8 D. 12
【答案】 C
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】连接AC、BD交于点E，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AE＝CE＝ AC，BE＝DE＝ BD，
∵点B的坐标为(8，2），点D的坐标为(0，2)，
∴OD＝2，BD＝8，
∴AE＝OD＝2，DE＝4，
∴AD＝ ＝2 ，
∴菱形的周长＝4AD＝8 ；
故答案为：C．
【分析】连接AC、BD交于点E，由菱形的性质得出AC⊥BD，AE＝CE＝ AC，BE＝DE＝ BD，由点B的坐标和点D的坐标得出OD＝2，求出DE＝4，AD＝2 ，即可得出答案．
3.（2020·商丘模拟）如图①，在菱形ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动.设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y.把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b等于（ ）
A. B. C. 5 D. 4
【答案】 B
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC交BD于O，
由图②可知，BC=CD=4，BD=14-8=6，
∴BO= BD= ×6=3，
在Rt△BOC中，CO= = = ，
AC=2CO=2 ，
所以，菱形的面积= AC•BD= ×2 ×6=6 ，
当点P在CD上运动时，△ABP的面积不变，为b，
所以，b= ×6 =3 .
故答案为：B.
【分析】连接AC交BD于O，根据图②求出菱形的边长为4，对角线BD为6，根据菱形的对角线互相垂直平分求出BO，再利用勾股定理列式求出CO，然后求出AC的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出菱形的面积，b为点P在CD上时△ABP的面积，等于菱形的面积的一半，从而得解.
4.（2019·惠来模拟）如图，CE是□ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O ， CE与DA的延长线交于点E、连接AC ， BE ， DO ， DO与AC交于点F ， 则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF：BE＝2：3；④S四边形AFOE：S△COD＝2：3．其中正确的结论有（ ）个．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】 C
【考点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵EC垂直平分AB，
∴OA＝OB＝ AB＝ DC，CD⊥CE，
∵OA∥DC，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴AE＝AD，OE＝OC，
∵OA＝OB，OE＝OC，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵AB⊥EC，
∴四边形ACBE是菱形，故①符合题意，
∵∠DCE＝90°，DA＝AE，
∴AC＝AD＝AE，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠BAE，故②符合题意，
∵OA∥CD，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，故③不符合题意，
设△AOF的面积为a，则△OFC的面积为2a，△CDF的面积为4a，△AOC的面积＝△AOE的面积＝3a，
∴四边形AFOE的面积为4a，△ODC的面积为6a
∴S四边形AFOE：S△COD＝2：3．故④符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质和定义先证得四边形ACBE是菱形；再由菱形的性质和平行线的性质可得∠ACD＝∠BAE；根据三角形中位线定理和相似三角形的判定与性质可证得AF：AC=AF:BE＝1：3；设△AOF的面积为a，利用相似三角形的性质和两个同底三角形的面积比等于底的比可得S四边形AFOE=4a：S△COD=6a．
5.（2020·隆中模拟）如图，已知菱形ABCD的面积为6cm2 ， BD的长为4cm，则AC的长为________cm．
【答案】 3
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的面积为6cm2 ， BD的长为4cm，
∴ ×4×AC＝6，
解得：AC＝3，
故答案为：3．
【分析】利用菱形面积等于对角线乘积的一半和BD=4,即可确定AC的长．
6.（2020·桂林模拟）如图，菱形 的周长为 ，对角线 与 相交于点 ， ， ，垂足为 ，则 ________.
【答案】 2.4
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长为20，
∴BC=5，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，AC=2OC=8，
在Rt△BOC中，OB= ＝3，
∵OE⊥BC，
∴ OE•BC= OB•OC，
∴OE= ＝2.4.故答案为2.4.
【分析】先根据菱形的性质得BC=5，利用勾股定理得出OB=3，OA=OC= AC=4，再利用面积法计算OE的长.
7.（2020·武汉模拟）如图，在菱形ABCD中，过点A作AH⊥BC，分别交BD，BC于点E，H，F为ED的中点， ，则∠C的度数为________
【答案】 140
【考点】菱形的判定
【解析】【解答】设 ，
四边形 为菱形，
， ，
，
， ，
，
为 的中点，
，
，
，
，
，
，
∴ ，
∴ ，
，
四边形 为菱形，
，
故答案为： .
【分析】设 ，根据菱形的性质得出 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 ，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出x ， 进而求解.
8.（2020·百色模拟）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于 BF的相同长度为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF.若四边形ABEF的周长为16，∠C＝60°，则四边形ABEF的面积是________.
【答案】 8
【考点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作法得AE平分∠BAD，AB＝AF，
则∠1＝∠2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BE∥AF，∠BAF＝∠C＝60°，
∴∠2＝∠BEA，
∴∠1＝∠BEA＝30°，
∴BA＝BE，
∴AF＝BE，
∴四边形AFEB为平行四边形，△ABF是等边三角形，
而AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形；
∴BF⊥AE，AG＝EG，
∵四边形ABEF的周长为16，
∴AF＝BF＝AB＝4，
在Rt△ABG中，∠1＝30°，
∴BG＝ AB＝2，AG＝ BG＝2 ，
∴AE＝2AG＝4 ，
∴菱形ABEF的面积＝ BF×AE＝ ×4×4 ＝8 ；
故答案为：8 .
【分析】利用作图可知AE平分∠BAD，AB＝AF，再利用平行四边形的性质，易证AF＝BE，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AFEB为平行四边形，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得四边形ABEF是菱形，利用菱形的性质，就可求出AB的长，然后利用解直角三角形求出AE，BF的长，利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，就可求出四边形ABEF的面积。
9.（2019·冷水滩模拟）如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为________．
【答案】+1
【考点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：连结DE．
∵BE的长度固定，
∴要使△PBE的周长最小只需要PB+PE的长度最小即可，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴P′D=P′B，
∴PB+PE的最小长度为DE的长，
∵菱形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∠DAB=60°，
∴△BCD是等边三角形，
又∵菱形ABCD的边长为2，
∴BD=2，BE=1，DE= ，
∴△PBE的最小周长=DE+BE= +1，
故答案为： +1．
【分析】连接BD，与AC的交点即为使△PBE的周长最小的点P；由菱形的性质得出∠BPC=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出PE=BE，证明△PBE是等边三角形，得出PB=BE=PE=1，即可得出结果．
10.（2017·湖州模拟）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=120°，E，F分别为AD，CD上的动点，且AE+CF=2，则线段EF长的最小值是________．
【答案】
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=120°， ∴△ABD、△CBD都是边长为2的正三角形，
∵AE+CF=2，
∴CF=2﹣AE=AD﹣AE=DE，
又∵BD=BC=2，∠BDE=∠C=60°，
在△BDE和△BCF中，
，
∴△BDE≌△BCF（SAS），
∴∠EBD=∠FBC，
∴∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF，
∴∠EBF=∠DBC=60°，
又∵BE=BF，
∴△BEF是正三角形，
∴EF=BE=BF，
当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小值为 ，
∵EF=BE，
∴EF的最小值为 ．
故答案为： ．
【分析】由在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=120°，易得△ABD、△CBD都是边长为2的正三角形，继而证得△BDE≌△BCF（SAS），继而证得△BEF是正三角形，继而可得当BE⊥AD，即E为AD的中点时，线段EF长最小．
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