2020-2021学年1.1.1集合的含义与表示教案及反思

集合的含义与表示

第2课时　集合的表示

(教师用书独具)

●三维目标

1．知识与技能

(1)掌握集合的表示方法——列举法和描述法；

(2)能进行自然语言与集合语言间的相互转换．

2．过程与方法

(1)教学时不仅要关注集合的基本知识的学习，同时还要关注学生抽象概括能力的培养；

(2)教学过程中应努力培养学生的思维能力，提高学生理解掌握概念的能力，训练学生分析问题和处理问题的能力．

3．情感、态度与价值观

培养数学的特有文化——简洁精练，体会从感性到理性的思维过程．

●重点难点

重点：用集合语言(描述法)表达数学对象或数学内容．

难点：集合表示法的恰当选择．

(1)重点的突破：以教材中的思考为切入点，让学生感知列举法表示集合不足的同时，顺其自然的引出集合的另一种方法——描述法，然后通过具体实例说明描述法的特点及书写形式，必要时可通过题组训练，让学生充分暴露用描述法表示集合时出现的各种疑点，教师给予适当点拨，从而化难为易；

(2)难点的解决：本节课不仅要让学生学习两种表示法，同时还要让学生体会如何恰当选择表示法表示集合．为此，可通过实例多角度启发学生关注知识间的联系与区别，并借助两种方法表示集合的优缺点总结出表示法选择的规律——在元素不太多的情况下，宜采用列举法；在元素较多时，宜采用描述法表示．

【问题导思】　

设集合M是小于5的自然数构成的集合，集合M中的元素能一一列举出来吗？

【提示】　能.0,1,2,3,4.列举法的定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

【问题导思】　

1．“绝对值小于2的实数”构成的集合，能用列举法表示吗？

【提示】　不能．

2．设x为该集合的元素，x有何特征？

【提示】　|x|<2.

3．如何表示该集合？

【提示】　{x∈R||x|<2}1.定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫描述法．

2．具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

　用列举法表示下列集合：

(1)方程x2－1＝0的解构成的集合；

(2)由单词“book”的字母构成的集合；

(3)由所有正整数构成的集合；

(4)直线y＝x与y＝2x－1的交点组成的集合．

【思路探究】　先分别求出满足要求的所有元素，然后用列举法表示集合．

【自主解答】　(1)方程x2－1＝0的解为－1,1，所求集合为{－1,1}；

(2)单词“book”有三个互不相同的字母，分别为“b”、“o”、“k”，所求集合为{b，o，k}；

(3)正整数有1,2,3，…，所求集合为{1,2,3，…}；

(4)方程组的解是

所求集合为.

1．用列举法表示集合，要分清是数集还是点集，如本例(1)是数集，本例(4)是点集．

2．使用列举法表示集合时应注意以下几点：

(1)在元素个数较少或有(无)限但有规律时用列举法表示集合，如集合：{1,2,3}，{1,2,3，…，100}，{1,2,3，…}等．

(2)“{}”表示“所有”的含义，不能省略，元素之间用“，”隔开，而不能用“、”；元素无顺序，满足无序性．

用列举法表示下列集合．

(1)我国现有直辖市的全体．

(2)绝对值小于3的整数集合．

(3)方程组的解集．

【解】　(1){北京，上海，天津，重庆}；

(2){－2，－1,0,1,2}；

(3)方程组的解是

所求集合为.

　用描述法表示下列集合：

(1)不等式3x－2≥0的解构成的集合；

(2)偶数集；

(3)平面直角坐标系中，第一象限内的点的集合．

【思路探究】　找准集合的代表元素→

说明元素满足的条件→用描述法表示相应集合

【自主解答】　(1)A＝{x|3x－2≥0}或A＝；

(2)B＝{x|x＝2k，k∈Z}；

(3){(x，y)|x>0，y>0，且x，y∈R}．

1．用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序实数对来代表其元素．

2．若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围，如本例(2)．

把本例(2)换成“{2,4,6,8,10}”如何求解？

【解】　该集合用描述法表示为B＝{x|x＝2k,1≤k≤5且k∈Z}.

　用适当的方法表示下列集合：

(1)方程组的解集；

(2)1000以内被3除余2的正整数所组成的集合；

(3)所有的正方形；

(4)抛物线y＝x2上的所有点组成的集合．

【思路探究】　依据集合中元素的个数，选择适当的方法表示集合．

【自主解答】　(1)解方程组得故解集为{(4，－2)}；

(2)集合的代表元素是数x，集合用描述法表示为{x|x＝3k＋2，k∈N且x<1000}；

(3)集合用描述法表示为{x|x是正方形}，简写为{正方形}；

(4)集合用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}．

1．本例(1)在集合的表示时，常因不明白方程组解的含义，导致出现以下两种错误表示：{4，－2}和{x＝4，y＝－2}．

2．当集合的元素个数很少(很容易写出全部元素)时，常用列举法表示集合；当集合的元素个数较多(不易写出全部元素)时，常用描述法表示．对一些元素有规律的无限集，也可以用列举法表示，如正偶数集也可写成{2,4,6,8,10，…}．

有下面六种表示方法：

①{x＝－1，y＝2}；②；

③{－1,2}；

④(－1,2)；

⑤{(－1,2)}；⑥{x，y|x＝－1或y＝2}．

其中能正确表示方程组的解集的是________，(把所有正确的序号都填在横线上)

【解析】　∵方程组的解为

∴该方程组的解集应为点集，其正确形式是②⑤.

【答案】　②⑤

分类讨论思想在集合表示法中的应用

　(12分)集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.

【思路点拨】　明确集合A的含义→对k加以讨论→求出k值→写出集合A

【规范解答】　(1)当k＝0时，

原方程变为－8x＋16＝0，

x＝2.2分

此时集合A＝{2}.4分

(2)当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根.6分

只需Δ＝64－64k＝0，

即k＝1.8分

此时方程的解为

x1＝x2＝4，

集合A＝{4}，

满足题意.10分

综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}.12分

1．解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点．

2．本题因kx2－8x＋16＝0是否为一元二次方程而分k＝0和k≠0而展开讨论，从而做到不重不漏．

3．集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程的根的情况，进而求得结果．需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．

1．表示一个集合可以用列举法，也可以用描述法，一般地，若集合元素为有限个，常用列举法，集合元素为无限个多用描述法．

2．处理描述法给出的集合问题时，首先要明确集合的代表元素，特别要分清数集和点集；其次要确定元素满足的条件是什么．

1．使不等式x＞2成立的实数x的集合可表示为(　　)

A．{x＞2}　　　　　　　　B．{x＞2|x∈R}

C．{3,4,5，…}            D．{x∈R|x＞2}

【解析】　使不等式x＞2成立的实数x的集合表示为{x|x＞2}．

【答案】　D

2．直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合为(　　)

A.                 B．{(0,1)}

C.                D.

【解析】　解方程组得

故集合为{(0,1)}

【答案】　B

3．下面四种说法正确的有________个．

①10以内的合数构成的集合是{0,2,4,6,8,9}；

②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；

③方程x2－2x＋1＝0的解集是{1}；

④0与{0}表示同一个集合．

【解析】　①不正确，∵0和2不是合数；

②正确，用列举法表示集合，其元素无顺序可言；

③正确，因为方程x2－2x＋1＝0有且只有一个解x＝1；

④不正确，{0}表示一个集合，其元素只有一个0，故{0}与0不同．

【答案】　2

4．分别用描述法和列举法表示下列集合：

(1)方程x2－x－2＝0的解组成的集合；

(2)大于1且小于5的所有整数构成的集合．

【解】　(1)描述法表示集合为{x|x2－x－2＝0}；

由于方程x2－x－2＝0的两解分别是－1,2，故方程的解组成的集合可用列举法表示为{－1,2}；

(2)描述法表示集合为{x|x是大于1且小于5的整数}；列举法表示为{2,3,4}.

一、选择题

1．集合{(x，y)|y＝3x＋1}表示(　　)

A．方程y＝3x＋1

B．点(x，y)

C．平面直角坐标系中所有的点组成的集合

D．函数y＝3x＋1的图象上的所有点组成的集合

【解析】　由集合描述法的定义可知，该集合表示函数y＝3x＋1的图象上的所有点组成的集合．

【答案】　D

2．集合A＝{(0,1)，(2,3)}中元素的个数是(　　)

A．1　　　　　　　　　B．2

C．3                  D．4

【解析】　集合A中的元素是点，而不是数，故集合A中有两个元素．

【答案】　B

3．(2013·临沂高一检测)已知集合A＝{x|x(x－1)＝0}，那么下列结论正确的是(　　)

A．0∈A              B．1∉A

C．－1∈A            D．0∉A

【解析】　∵A＝{x|x(x－1)＝0}＝{0,1}，

∴0∈A.

【答案】　A

4．下列集合的表示正确的是(　　)

A．{1,2,2}

B．R＝{全体实数}

C．{3,5}

D．不等式x－5>0的解集为{x－5>0}

【解析】　A不正确，因为集合中的元素需满足互异性；

B不正确，因为花括号“{　}”本身就有“全体”的意思；

C正确；

D不正确，不等式x－5>0的解集为{x|x－5>0}．

【答案】　C

5．下列集合中表示同一集合的是(　　)

A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}

B．M＝{3,2}，N＝{2,3}

C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}

D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}

【解析】　A中M、N都为点集，元素为点的坐标，顺序不同表示的点不同；C中M、N分别表示点集和数集；D中M为数集，N为点集，故选B.

【答案】　B

二、填空题

6．若集合A＝{1,2,3,4}，集合B＝{y|y＝x－1，x∈A}，将集合B用列举法表示为________．

【解析】　x＝1时，y＝0；x＝2时，y＝1；x＝3时，y＝2；x＝4时，y＝3.故B＝{0,1,2,3}．

【答案】　{0,1,2,3}

7．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，则集合A用列举法表示为________．

【解析】　∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4，

∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}．

【答案】　{－1,4}

8．已知A＝{2,4,6}，若实数a∈A时，6－a∈A，则a＝________.

【解析】　代入验证，若a＝2，则6－2＝4∈A，符合题意；若a＝4，则6－4＝2∈A，符合题意；若a＝6，则6－6＝0∉A，不符合题意，舍去，所以a＝2或a＝4.

【答案】　2或4

三、解答题

9．选择适当的方法表示下列集合：

(1)被5除，余1的正整数组成的集合；

(2)24的所有正因数组成的集合；

(3)在直角坐标平面内，两坐标轴上的点组成的集合；

(4)三角形的全体组成的集合．

【解】　(1){x|x＝5k＋1，k∈N}；

(2{1,2,3,4,6,8,12,24}；

(3){(x，y)|xy＝0}；

(4){x|x是三角形}或{三角形}．

(教师用书独具)

用适当的方法表示下列集合：

(1)由大于5，且小于9的所有正整数组成的集合；

(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；

(3)不等式2x＋3≥0的解组成的集合；

(4)抛物线y＝－x2上的所有点组成的集合．

【思路探究】　明确集合中的元素→明确元素

满足的条件

选择适当的方法表示集合

【规范解答】　(1){6,7,8}；

(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为

(x－2)2＋(y＋3)2＝0，∴

∴方程的解集可表示为{(2，－3)}；

(3){x|2x＋3≥0}；

(4){(x，y)|y＝－x2}．

　集合表示法的选择

(1)对于有限集或元素间存在明显规律的无限集，可采用列举法．

(2)对于无明显规律的无限集，不能将它们一一列举出来，可以通过将集合中元素的只有这个集合才有的共同特征描述出来，即采用描述法．

用适当的方法表示下列集合：

(1)A＝；

(2)B＝.

【解】　(1)；

(2)∵∈Z，且x∈N，

∴1＋x＝1,2,3,6.

∴x＝0,1,2,5，即＝6,3,2,1.

∴B＝{6,3,2,1}．

【资料卡片】

康托尔·罗素·数学第三次危机

1874年，德国数学家康托尔(1845－1918)创立了集合论，他是集合理论的创始人．集合理论很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础．到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了．就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1903年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗．

1903年，英国逻辑学家、数学家、诺贝尔和平奖获得者罗素对集合论提出了以他的名字命名的“罗素悖论”．后来，他用一个“理发师悖论”来形象地说明自己的悖论：一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发．”于是有人问他：“您的头发由谁理呢？”理发师顿时哑口无言．很显然，在逻辑上，他无论怎样做，都会违背自己的原则．

“罗素悖论”在20世纪数学理论中引起了轩然大波．“数学大厦的基石”竟然出现了明显的“裂缝”，那么人类耗费数千年心血建立起来的“数学殿堂”，会不会倒塌呢？一时间，数学界众说纷纭，悲观者甚至因此把当代数学比作“建立在沙滩上的庞然大物”．这就是数学史上著名的“第三次数学危机”．“罗素悖论”构成的危机震撼了国际数学界，进而也进一步推动了数学的向前发展．