高中数学人教版新课标A必修11.1.1集合的含义与表示教学设计及反思

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

提出

问题

一个百货商店，第一批进货是帽子、皮鞋、热水瓶、闹钟共计4个品种，第二批进货是收音机、皮鞋、尼龙袜、茶杯、闹钟共计5个品种，问一共进了多少品种的货?能否回答一共进了4 + 5 = 9种呢？

    学生回答（不能，应为7种），然后教师和学生共同分析原因：由于两次进货共同的品种有两种，故应为4 +5 – 2 = 7种．从而指出：

  ……这好像涉及了另一种新的运算．……

设疑激趣，

导入课题．

复习

引入

①初中代数中涉及“集合”的提法．

②初中几何中涉及“集合”的提法．

    引导学生回顾，初中代数中不等式的解法一节中提到的有关知识：

一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．

    几何中，圆的概念是用集合描述的．

  通过复习回顾，引出集合的概念．

概念

形成

第一组实例（幻灯片一）：

   （1）“小于l0”的自然数0，1，2，3，……，9．

    （2）满足3x – 2 ＞x + 3的全体实数．

（3）所有直角三角形．

（4）到两定点距离的和等于两定点间的距离的点．

（5）高一（1）班全体同学．

（6）参与中国加入WTO谈判的中方成员．

1．集合：

一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）．

2．集合的元素（或成员）：

    即构成集合的每个对象（或成员），

教师提问：①以上各例（构成集合）有什么特点?请大家讨论．

学生讨论交流，得出集合概念的要点，然后教师肯定或补充．

②我们能否给出集合一个大体描述?……学生思考后回答，然后教师总结．

③上述六个例子中集合的元素各是什么?

    ④请同学们自己举一些集合的例子．

通过实例，引导学生经历并体会集合（描

述性）概念

形成的过程，引导学

生进一步明确集合及集合元素的概念，会用自然语言描述集合．

概念

深化

第二组实例（幻灯片二）：

（1）参加亚特兰大奥运会的所有中国代表团的成员构成的集合．

（2）方程x2 = 1的解的全体构成的集合．

（3）平行四边形的全体构成的集合．

（4）平面上与一定点O的距离等于r的点的全体构成的集合．

3．元素与集合的关系：

    教师要求学生看第二组实例，并提问：①你能指出各个集合的元素吗？②各个集合的元素与集合之间是什么关系？③例（2）中数0，–2是这个集合的元素吗?

    学生讨论交流，弄清元素与集合之间是从属关系，即“属于”或“不属于”关系．

引入集合语言描述集合．

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

念

深化

    集合通常用英语大写字母A、B、C…表示，它们的元素通常用英语小写字母a、b、c…表示．

如果a是集合A的元素，就说a属于A，

记作a∈A，读作“a属于A”．

如果a不是集合A的元素，就说a不属于

A，记作aA，读作“a不属于A”．

4．集合的元素的基本性质；

（1）确定性：集合的元素必须是确定的．不能确定的对象不能构成集合．

（2）互异性：集合的元素一定是互异的．相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素．

第三组实例（幻灯片三）：

    （1）由x2，3x + 1，2x2 – x + 5三个式子构成的集合．

（2）平面上与一个定点O的距离等于1的点的全体构成的集合．

（3）方程x2 = – 1的全体实数解构成的集合．

    5．空集：不含任何元素的集合，记作．

6．集合的分类：按所含元素的个数分为有限集和无限集．

7．常用的数集及其记号（幻灯片四）．

 N：非负整数集（或自然数集）．

    N*或N+：正整数集（或自然数集去掉0）．

Z：整数集．

Q：有理数集．

R：实数集．

教师提问：“我们班中高个子的同学”、“年轻人”、“接近数0的数”能否分别组成一个集合，为什么？

学生分组讨论、交流，并在教师的引导下明确：

给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了．另外，集合的元素一定是互异的．相同的对象归于同一个集合时只能算作集合的一个元素．

教师要求学生观察第三组实例，并提问：它们各有元素多少个?

    学生通过观察思考并回答问题．

然后，依据元素个数的多少将集合分类．

让学生指出第三组实例中，哪些是有限集？哪些是无限集？……

    请同学们熟记上述符号及其意义．

通过讨论，使学生明确集合元素所具有的性质，从而进一步准确理解集合的概念．

通过观察实例，发现集合的元素个数具有不同的类别，从而使学生感受到有限集、无限集、空集存在的客观意义．

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

应用

举例

列举法：

定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

例1  用列举法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然数组成的集合；

（2）方程x2 = x的所有实数根组成的集合；

（3）由1～20以内的所有质数组成的集合.

描述法：

定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

例2  试分别用列举法和描述法表示下列集合：

（1）方程x2 –2 = 0的所有实数根组成的集合；

（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.

师生合作应用定义表示集合.

例1 解答：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么

A = {0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.

由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合A可以有不同的列举法. 例如：

A = {9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}.

（2）设方程x2 = x 的所有实数根组成的集合为B，那么B = {0，1}.

（3）设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么

C = {2，3，5，7，11，13，17，19}.

例2 解答：（1）设方程x2 – 2 = 0的实数根为 x，并且满足条件x2 – 2 = 0，因此，用描述法表示为

A = {x∈R| x2 –2 = 0}.

方程x2 –2 = 0有两个实数根，，因此，用列举法表示为

A = {，}.

（2）设大于10小于20的整数为 x，它满足条件x∈Z，且10＜x＜20. 因此，用描述法表示为

B = {x∈Z | 10＜x＜20}.

大于10小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为

B = {11，12，13，14，15，16，17，18，19}.

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

应用

举例

    例3  已知由l，x，x2，三个实数构成一个集合，求x应满足的条件．

    解：根据集合元素的互异性，

得

所以x∈R且x≠±1，x≠0．

课堂练习：教材第5页练习A1、2、3．

例2  用∈、填空．

①     Q；②     Z；

③      R；④0     N；

⑤0      N*；⑥0      Z．

学生分析求解，教师板书．

    幻灯片五（练习答案），反馈矫正．

通过应

用，进一步

理解集合的

有关概念、

性质．

例4   试选择适当的方法表示下列集合：

（1）由方程x2 – 9 = 0的所有实数根组成的集合；

（2）由小于8的所有素数组成的集合；

（3）一次函数y = x + 3与 y = –2x + 6的图象的交点组成的集合；

（4）不等式4x – 5＜3的解集.

生：独立完成；题：点评说明.

例4 解答：（1）{3，–3}；

（2）{2，3，5，7}；

（3）{(1，4)}；

（4）{x| x＜2}.

归纳

总结

    ①请同学们回顾总结，本节课学过的集合的概念等有关知识；

②通过回顾本节课的探索学习过程，请同学们体会集合等有关知识是怎样形成、发展和完善的．

③通过回顾学习过程比较列举法和描述法. 归纳适用题型.

    师生共同总结——交流——完善．

引导学生学会自己总结；让学

生进一步（回顾）体

会知识的形成、发展、完善的过程．

课后

作业

1.1 第一课时习案

由学生独立完成．

巩固深化；预习下一节内容，培养自学能力．