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2021年中考数学冲刺小题过关训练---直角三角形 （含详解）
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这是一份2021年中考数学冲刺小题过关训练---直角三角形 （含详解），共28页。试卷主要包含了如图，将一副学生用三角板等内容，欢迎下载使用。
1．如图，将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当∠DEB＝m°，则∠AOC＝（ ）
A．30°B．（m﹣15）°C．（m+15）°D．m°
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD∥AB交∠ABC的平分线于点D，若∠ABD＝20°，则∠ACD的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B的大小是（ ）
A．32°B．64°C．77°D．87°
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在边AC上点E处，若∠A＝25°，则∠ADE的大小为（ ）
A．40°B．50°C．65°D．75°
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，则下列结论成立的是（ ）
A．EC＝EFB．FE＝FCC．CE＝CFD．CE＝CF＝EF
6．直角三角形的一个锐角∠A是另一个锐角∠B的3倍，那么∠B的度数是（ ）
A．22.5°B．45°C．67.5°D．135°
7．直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为（ ）
A．90°B．135°C．120°D．45°或135°
8．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小为（ ）
A．140°B．160°C．170°D．150°
9．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠CB．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3D．∠A＝∠B＝3∠C
10．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（ ）
A．图中有三个直角三角形B．∠1＝∠2
C．∠1和∠B都是∠A的余角D．∠2＝∠A
11．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD＝∠C； ②∠AEF＝∠AFE； ③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（ ）
A．BC＝ECB．EC＝BEC．BC＝BED．AE＝EC
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E、F为直角边BC、AC的中点，且AE＝3，BF＝4，则AB＝（ ）
A．2B．3C．2D．5
14．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，∠ABC的平分线BE分别交CD、CA于点F、E，则下列结论正确的有（ ）
①∠CFE＝∠CEF；②∠FCB＝∠FBC，③∠A＝∠DCB；④∠CFE与∠CBF互余．
A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③
二．填空题
15．如图，在正方形ABCD中，DE平分∠CDB，EF⊥BD于点F．若BE＝，则此正方形的边长为 ．
16．在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交矩形的一条边于点E，若BD＝8，∠EBD＝15°，则△BCE的面积为 ．
17．如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB＝1，AD＝2．设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是 ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若∠A＝32°，则∠BCD＝ °．
19．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6．沿DE折叠，使得点A与点B重合，则折痕DE的长为 ．
20．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有 （填序号）
21．如图△ABC中，∠A：∠B＝1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD＝75°，则∠D＝ ．
22．如图，在直角三角形ABC中，两锐角平分线AM、BN所夹的钝角∠AOB＝ 度．
23．已知Rt△ABC，AC＝BC，点E、F在AB上，且∠ECF＝45°，当AF•BE＝36时，△ABC的面积为 ．
24．如图：∠B＝∠C，DE⊥BC于E，EF⊥AB于F，∠ADE等于140°，∠FED＝ ．
三．解答题
25．在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，DE、AF交于点M．
（1）如图1，E为AB的中点，AF⊥BC交BC于点F，过点E作EN⊥AF交AF于点N，，直接写出的值是 ；
（2）如图2，∠B＝90°，∠ADE＝∠BAF，求证：△AEM∽△AFB；
（3）如图3，∠B＝60°，AB＝AD，∠ADE＝∠BAF，求证：．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝28°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠D的度数．
27．如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．
28．如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A＝70°，∠BCE＝30°，求∠EBF与∠FBC的度数．
29．在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的角平分线．
（1）求∠DCE的度数．
（2）若∠CEF＝135°，求证：EF∥BC．
30．小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F．
（1）M为边AC上一点，则BD、MF的位置是 ．请你进行证明．
（2）M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是 ．请你进行证明．
（3）M为边AC延长线上一点，猜想BD、MF的位置关系是 ．请你进行证明．
31．如图所示，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长．
32．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACB交AB于E，EF⊥AB交CB于F．
（1）求证：CD∥EF；
（2）若∠A＝70°，求∠FEC的度数．
33．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）点F是AE延长线上一点，过点F作∠AFD＝27°，交AB的延长线于点D．求证：BE∥DF．
34．如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．
（1）当点P在AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；
（2）设PH＝x，GP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．
35．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，CE平分∠ACB．
（1）求∠ACE的度数．
（2）若CD⊥AB于点D，∠CDF＝75°，求证：△CFD是直角三角形．
36．已知，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．
（1）如图1，求证：CD⊥AB；
（2）将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点．
①如图2，若∠B＝34°，求∠A′CB的度数；
②若∠B＝n°，请直接写出∠A′CB的度数（用含n的代数式表示）．
37．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AP平分∠BAC交BD于点P．
（1）∠APD的度数为 ；
（2）若∠BDC＝58°，求∠BAP的度数．
38．已知：如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线AD、BE交于F，求∠AFB的度数．
39．如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF交于点D，∠F＝50°，∠C＝30°，求∠EDF和∠DBA的度数．
40．如图，直线MN∥EF，Rt△ABC的直角顶点C在直线MN上，顶点B在直线EF上，AB交MN于点D，∠1＝50°，∠2＝60°，求∠A的度数．
参考答案
一．选择题
1．解：∵∠DEB＝m°，
∴∠AEC＝∠DEB＝m°，
∵∠A+∠AEC＝∠C+∠AOC，∠C＝45°，∠A＝30°，
∴30°+m°＝45°+∠AOC，
∴∠AOC＝（m﹣15）°，
故选：B．
2．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝20°，
∴∠ABC＝40°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠A＝50°，
故选：D．
3．解：如图，取CF的中点T，连接DT，AT．
∵∠BAC＝90°，FD⊥BC，
∴∠CAF＝∠CDF＝90°，
∴AT＝DT＝CF，
∴TD＝TC＝TA，
∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，
∵∠ADB＝45°，
∴∠ADT+∠TDC＝135°，
∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°，
∴AT⊥CF，
∵CT＝TF，
∴AC＝AF，
∴∠AFC＝45°，
∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°，
∵∠BDF＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°，
故选：C．
4．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣25°＝65°，
根据折叠可得∠CED＝65°，
∴∠ADE＝65°﹣25°＝40°，
故选：A．
5．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAF，
∴∠ACD+∠CAE＝∠B+∠BAF，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF．
故选：C．
6．解：
设∠B＝x°，则∠A＝3x°，
由直角三角形的性质可得∠A+∠B＝90°，
∴x+3x＝90，解得x＝22.5，
∴∠B＝22.5°，
故选：A．
7．解：如图：∵AE、BD是直角三角形中两锐角平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝90°÷2＝45°，
两角平分线组成的角有两个：∠BOE与∠EOD这两个角互补，
根据三角形外角和定理，∠BOE＝∠OAB+∠OBA＝45°，
∴∠EOD＝180°﹣45°＝135°，
故选：B．
8．解：∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD＝20°，
∴∠COA＝90°﹣20°＝70°，
∴∠BOC＝90°+70°＝160°．
故选：B．
9．解：A选项，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意；
B选项，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意；
C选项，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意；
D选项，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意．
故选：D．
10．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，
∴△ACD∽△CBD∽△ABC．
A、∵图中有三个直角三角形Rt△ACD、Rt△CBD、Rt△ABC；故本选项正确；
B、应为∠1＝∠B、∠2＝∠A；故本选项错误；
C、∵∠1＝∠B、∠2＝∠A，而∠B是∠A的余角，∴∠1和∠B都是∠A的余角；故本选项正确；
D、∵∠2＝∠A；故本选项正确．
故选：B．
11．解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠C+∠ABC＝90°，
∠BAD+∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝∠C，故①正确；
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，
∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），
∴∠AEF＝∠AFE，故②正确；
∵∠ABE＝∠CBE，
∴只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C，故③错误；
∵∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵AG平分∠DAC，
∴AG⊥EF，故④正确．
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：C．
12．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，
∴∠BCD＝∠A．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE．
又∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE．
故选：C．
13．解：设BE＝EC＝x，CF＝FA＝y，
∵∠C＝90°，AE＝3，BF＝4，
则有，
解得x2＝，y2＝，
∴AB＝＝＝2，
故选：C．
14．解：如图所示，
①∵BE平分∠ABC，
∴∠5＝∠6，
∵∠3+∠4＝90°，∠A+∠3＝90°，
∴∠A＝∠4，
∵∠1＝∠A+∠6，∠2＝∠4+∠5，
∠1＝∠2，
故∠CFE＝∠CEF，所以①正确；
②若∠FCB＝∠FBC，即∠4＝∠5，
由（1）可知：∠A＝∠4，
∴∠A＝∠5＝∠6，
∵∠A+∠5+∠6＝180°，
∴∠A＝30°，
即只有当∠A＝30°时，∠FCB＝∠FBC而已知没有这个条件，故②错误；
③∵∠3+∠4＝90°，∠A+∠3＝90°，
∴∠A＝∠4，
即∠A＝∠DCB，故③正确；
④∵∠1＝∠2，∠1+∠5＝90°，
∴∠2+∠5＝90°，
即：∠CFE与∠CBF互余，故④正确．
故选：A．
二．填空题
15．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠CBD＝45°，
∵EF⊥BD于点F．BE＝，
∴EF＝BE•sin45°＝1，
∵DE平分∠CDB，
∴CE＝EF＝1，
∴BC＝+1．
故答案为：+1．
16．解：有两种情况：
①当与边AD相交时，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABC＝45°，
∵∠EBD＝15°，
∴∠DBC＝∠CBE﹣∠DBE＝30°，
∴CD＝BD＝×8＝4，
∴BC＝CD＝4，
∴S△BCE＝BC•CD＝×4×4＝8，
②当与边CD相交时，如图2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABC＝45°，
∵∠EBD＝15°，
∴∠DBC＝∠CBE+∠DBE＝60°，
∴∠BDC＝30°，
∴BC＝BD＝×8＝4，
∵∠C＝90°，∠CBE＝45°，
∴S△BCE＝BC•CE＝×4×4＝8，
故答案为：8或8．
17．解：连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，
设DE＝x＝EM，则EA＝2﹣x，
∵AE2+AM2＝EM2，
∴（2﹣x）2+t2＝x2，
解得x＝+1，
∴DE＝+1，
∵折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，
∴EF⊥DM，
∠ADM+∠DEF＝90°，
∵EG⊥AD，
∴∠DEF+∠FEG＝90°，
∴∠ADM＝∠FEG，
∴tan∠ADM＝，
∴FG＝，
∵CG＝DE＝+1，
∴CF＝+1，
∴S四边形CDEF＝（CF+DE）×1＝t+1．
故答案为：t+1．
18．解：∵∠C＝90°，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝32°，
故答案为：32．
19．解：由题意可得，BE平分∠ABC，DE＝CE
又∠A＝30°，AC＝6
可得DE＝AE
∴DE＝（6﹣DE）
则DE＝2．
故答案为2．
20．解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∠C＝90°，则该三角形是直角三角形；
②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，则该三角形是直角三角形；
③∠A＝90°﹣∠B，则∠A+∠B＝90°，∠C＝90°．则该三角形是直角三角形；
④∠A＝∠B＝∠C，则该三角形是等边三角形．
故能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③．
21．解：∵∠FCD＝75°，
∴∠A+∠B＝75°，
∵∠A：∠B＝1：2，
∴∠A＝×75°＝25°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠AFE＝90°﹣∠A＝90°﹣25°＝65°，
∴∠CFD＝∠AFE＝65°，
∵∠FCD＝75°，
∴∠D＝180°﹣∠CFD﹣∠FCD＝180°﹣65°﹣75°＝40°．
故答案为：40°
22．解：∵△ABC是直角三角形，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
又∵AM，BN为∠BAC，∠ABC的角平分线，
∴∠CAM+∠NBC＝45°，
∴∠AOB＝180°﹣（∠CAM+∠NBC）＝135°，
∴∠AOB＝135°．
故答案为：135
23．解：∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，
∴∠CEB＝∠A+∠ACE＝45°+∠ACE，∠ACF＝∠ACE+∠ECF＝∠ACE+45°，
∴∠CEB＝∠ACF，
∴△ACF∽△BEC，
∴＝，即AF•BE＝AC•BC＝36，
∴△ABC的面积＝AC•BC＝×36＝18．
故答案为：18．
24．解：∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
由三角形的外角的性质可知，∠C＝∠ADE﹣∠DEC＝50°，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵EF⊥AB，
∴∠EFC＝90°，
∴∠FEB＝90°﹣50°＝40°，
则∠FED＝180°﹣40°﹣90°＝50°，
故答案为：50°．
三．解答题
25．解：（1）∵EN⊥AF，BF⊥AF，
∴EN∥BF，
又∵E为AB的中点，
∴BF＝2EN，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，
∵∠ADE＝∠BAF，
∴∠BAD﹣∠ADE＝∠ABC﹣∠BAF，
∴∠AED＝∠AFB，
又∵∠BAF＝∠MAE，
∴△AEM∽△AFB；
（3）证明：如图，连接AC，过点B作BP∥AC交AF的延长线于点P，
∴△BFP∽△CFA，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC＝60°，
∴∠PBC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABP＝120°，
∴∠DAE＝∠ABP，
在△ADE与△BAP中，
，
∴△ADE≌△BAP（ASA），
∴AE＝BP，
又∵AC＝AD，
∴．
26．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝28°，
∴∠ABC＝62°，
∴∠CBD＝180°﹣62°＝118°，
∵BE平分∠CBD，
∴∠EBC＝∠CBD＝59°，
∴∠ABE＝62°+59°＝121°，
∵DF∥BE，
∴∠D＝∠ABE＝121°．
27．证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B；
（2）在Rt△AFC中，∠CFA＝90°﹣∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．
又∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAE，
∴∠AED＝∠CFE，
又∵∠CEF＝∠AED，
∴∠CEF＝∠CFE．
28．解：在Rt△ABF中，∠A＝70°，CE，BF是两条高，
∴∠EBF＝20°，∠ECA＝20°，
又∵∠BCE＝30°，
∴∠ACB＝50°，
∴在Rt△BCF中∠FBC＝40°．
29．解：∵∠B＝30°，CD⊥AB于D，
∴∠DCB＝90°﹣∠B＝60°．
∵CE平分∠ACB，∠ACB＝90°，
∴∠ECB＝∠ACB＝45°，
∴∠DCE＝∠DCB﹣∠ECB＝60°﹣45°＝15°；
（2）∵∠CEF＝135°，∠ECB＝∠ACB＝45°，
∴∠CEF+∠ECB＝180°，
∴EF∥BC．
30．解：（1）BD∥MF．
理由如下：∵∠A＝90°，ME⊥BC，
∴∠ABC+∠AME＝360°﹣90°×2＝180°，
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
∴∠ABD＝∠ABC，∠AMF＝∠AME，
∴∠ABD+∠AMF＝（∠ABC+∠AME）＝90°，
又∵∠AFM+∠AMF＝90°，
∴∠ABD＝∠AFM，
∴BD∥MF；
（2）BD⊥MF．
理由如下：∵∠A＝90°，ME⊥BC，
∴∠ABC+∠C＝∠AME+∠C＝90°，
∴∠ABC＝∠AME，
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
∴∠ABD＝∠AMF，
∵∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠AMF+∠ADB＝90°，
∴BD⊥MF；
（3）BD⊥MF．
理由如下：∵∠A＝90°，ME⊥BC，
∴∠ABC+∠ACB＝∠AME+∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠AME，
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
∴∠ABD＝∠AMF，
∵∠AMF+∠F＝90°，
∴∠ABD+∠F＝90°，
∴BD⊥MF．
31．（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠BCD＝90°，
∵∠1＝∠B，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：∵S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，
∴CD＝＝＝4.8．
32．（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF；
（2）解：∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，
∵∠ACB＝90°，CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝45°，
∴∠DCE＝45°﹣20°＝25°，
∵CD∥EF，
∴∠FEC＝∠DCE＝25°．
33．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝54°，
∴∠CBD＝126°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE＝∠CBD＝63°；
（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝63°，
∴∠CEB＝90°﹣63°＝27°．
又∵∠F＝27°，
∴∠F＝∠CEB＝27°，
∴DF∥BE
34．解：（1）当然是GH不变．
延长HG交OP于点E，
∵G是△OPH的重心，
∴GH＝EH，
∵PO是半径，它是直角三角形OPH的斜边，它的中线等于它的一半；
∴EH＝OP
∴GH＝（OP）＝（×6）＝2；
（2）延长PG交OA于C，则y＝×PC．
我们令OC＝a＝CH，
在Rt△PHC中，PC＝＝，
则y＝×；
在Rt△PHO中，有OP2＝x2+（2a）2＝62＝36，
则a2＝9﹣，
将其代入y＝×得y＝×＝（0＜x＜6）；
（3）如果PG＝GH，则y＝GH＝2，
解方程：x＝0，
那GP不等于GH，则不合意义；
如果，PH＝GH＝2则可以解得：x＝2；
如果，PH＝PG，则x＝y代入可以求得：x＝，
综合上述线段PH的长是或2．
35．解：（1）∵△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
又∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB＝45°；
（2）∵CD⊥AB，∠B＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠BCE＝∠ACE＝45°，
∴∠DCF＝∠BCE﹣∠BCD＝15°，
又∵∠CDF＝75°，
∴∠CFD＝180°﹣75°﹣15°＝90°，
∴△CFD是直角三角形．
36．解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）①当∠B＝34°时，∵∠ACD＝∠B，
∴∠ACD＝34°，
由（1）知，∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝56°，
由折叠知，∠A'CD＝∠ACD＝34°，
∴∠A'CB＝∠BCD﹣∠A'CD＝56°﹣34°＝22°；
②当∠B＝n°时，同①的方法得，∠A'CD＝n°，∠BCD＝90°﹣n°，
∴∠A'CB＝∠BCD﹣∠A'CD＝90°﹣n°﹣n°＝90°﹣2n°．
37．解：（1）∵∠C＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∴（∠BAC+∠ABC）＝45°．
∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，
∴∠BAP+∠ABP＝∠BAC+∠ABC＝（∠BAC+∠ABC）＝45°．
∴∠APD＝∠BAP+∠ABP＝45°；
故答案为45°．
（2）∵∠BDC＝58°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝32°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝32°，
∴∠BAP＝∠APD﹣∠ABD＝45°﹣32°＝13°．
38．解：∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵AD、BE平分∠CAB、∠CBA，
∴∠FAB+∠FBA＝45°，
∴∠AFB＝135°．
39．解：∵CE⊥AF，
∴∠FED＝90°，
∵∠F＝50°，
∴∠EDF＝90°﹣∠F＝90°﹣50°＝40°，
∴∠CDB＝∠EDF＝40°，
∵∠C＝30°，
∴∠DBA＝∠C+∠CDB＝30°+40°＝70°，
即∠EDF＝40°，∠DBA＝70°．
40．解：∵MN∥EF，
∴∠BCD＝∠1＝50°．
在△BCD中，∠BCD＝50°，∠2＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BCD﹣∠2＝70°．
在Rt△ABC中，∠ABC＝70°，∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝20°．
1．如图，将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当∠DEB＝m°，则∠AOC＝（ ）
A．30°B．（m﹣15）°C．（m+15）°D．m°
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD∥AB交∠ABC的平分线于点D，若∠ABD＝20°，则∠ACD的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B的大小是（ ）
A．32°B．64°C．77°D．87°
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在边AC上点E处，若∠A＝25°，则∠ADE的大小为（ ）
A．40°B．50°C．65°D．75°
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，则下列结论成立的是（ ）
A．EC＝EFB．FE＝FCC．CE＝CFD．CE＝CF＝EF
6．直角三角形的一个锐角∠A是另一个锐角∠B的3倍，那么∠B的度数是（ ）
A．22.5°B．45°C．67.5°D．135°
7．直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为（ ）
A．90°B．135°C．120°D．45°或135°
8．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小为（ ）
A．140°B．160°C．170°D．150°
9．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠CB．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3D．∠A＝∠B＝3∠C
10．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（ ）
A．图中有三个直角三角形B．∠1＝∠2
C．∠1和∠B都是∠A的余角D．∠2＝∠A
11．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD＝∠C； ②∠AEF＝∠AFE； ③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（ ）
A．BC＝ECB．EC＝BEC．BC＝BED．AE＝EC
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E、F为直角边BC、AC的中点，且AE＝3，BF＝4，则AB＝（ ）
A．2B．3C．2D．5
14．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，∠ABC的平分线BE分别交CD、CA于点F、E，则下列结论正确的有（ ）
①∠CFE＝∠CEF；②∠FCB＝∠FBC，③∠A＝∠DCB；④∠CFE与∠CBF互余．
A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③
二．填空题
15．如图，在正方形ABCD中，DE平分∠CDB，EF⊥BD于点F．若BE＝，则此正方形的边长为 ．
16．在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交矩形的一条边于点E，若BD＝8，∠EBD＝15°，则△BCE的面积为 ．
17．如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB＝1，AD＝2．设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是 ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若∠A＝32°，则∠BCD＝ °．
19．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6．沿DE折叠，使得点A与点B重合，则折痕DE的长为 ．
20．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有 （填序号）
21．如图△ABC中，∠A：∠B＝1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD＝75°，则∠D＝ ．
22．如图，在直角三角形ABC中，两锐角平分线AM、BN所夹的钝角∠AOB＝ 度．
23．已知Rt△ABC，AC＝BC，点E、F在AB上，且∠ECF＝45°，当AF•BE＝36时，△ABC的面积为 ．
24．如图：∠B＝∠C，DE⊥BC于E，EF⊥AB于F，∠ADE等于140°，∠FED＝ ．
三．解答题
25．在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，DE、AF交于点M．
（1）如图1，E为AB的中点，AF⊥BC交BC于点F，过点E作EN⊥AF交AF于点N，，直接写出的值是 ；
（2）如图2，∠B＝90°，∠ADE＝∠BAF，求证：△AEM∽△AFB；
（3）如图3，∠B＝60°，AB＝AD，∠ADE＝∠BAF，求证：．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝28°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠D的度数．
27．如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．
28．如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A＝70°，∠BCE＝30°，求∠EBF与∠FBC的度数．
29．在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的角平分线．
（1）求∠DCE的度数．
（2）若∠CEF＝135°，求证：EF∥BC．
30．小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F．
（1）M为边AC上一点，则BD、MF的位置是 ．请你进行证明．
（2）M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是 ．请你进行证明．
（3）M为边AC延长线上一点，猜想BD、MF的位置关系是 ．请你进行证明．
31．如图所示，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长．
32．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACB交AB于E，EF⊥AB交CB于F．
（1）求证：CD∥EF；
（2）若∠A＝70°，求∠FEC的度数．
33．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）点F是AE延长线上一点，过点F作∠AFD＝27°，交AB的延长线于点D．求证：BE∥DF．
34．如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．
（1）当点P在AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；
（2）设PH＝x，GP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．
35．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，CE平分∠ACB．
（1）求∠ACE的度数．
（2）若CD⊥AB于点D，∠CDF＝75°，求证：△CFD是直角三角形．
36．已知，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．
（1）如图1，求证：CD⊥AB；
（2）将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点．
①如图2，若∠B＝34°，求∠A′CB的度数；
②若∠B＝n°，请直接写出∠A′CB的度数（用含n的代数式表示）．
37．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AP平分∠BAC交BD于点P．
（1）∠APD的度数为 ；
（2）若∠BDC＝58°，求∠BAP的度数．
38．已知：如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线AD、BE交于F，求∠AFB的度数．
39．如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF交于点D，∠F＝50°，∠C＝30°，求∠EDF和∠DBA的度数．
40．如图，直线MN∥EF，Rt△ABC的直角顶点C在直线MN上，顶点B在直线EF上，AB交MN于点D，∠1＝50°，∠2＝60°，求∠A的度数．
参考答案
一．选择题
1．解：∵∠DEB＝m°，
∴∠AEC＝∠DEB＝m°，
∵∠A+∠AEC＝∠C+∠AOC，∠C＝45°，∠A＝30°，
∴30°+m°＝45°+∠AOC，
∴∠AOC＝（m﹣15）°，
故选：B．
2．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝20°，
∴∠ABC＝40°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠A＝50°，
故选：D．
3．解：如图，取CF的中点T，连接DT，AT．
∵∠BAC＝90°，FD⊥BC，
∴∠CAF＝∠CDF＝90°，
∴AT＝DT＝CF，
∴TD＝TC＝TA，
∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，
∵∠ADB＝45°，
∴∠ADT+∠TDC＝135°，
∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°，
∴AT⊥CF，
∵CT＝TF，
∴AC＝AF，
∴∠AFC＝45°，
∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°，
∵∠BDF＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°，
故选：C．
4．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣25°＝65°，
根据折叠可得∠CED＝65°，
∴∠ADE＝65°﹣25°＝40°，
故选：A．
5．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAF，
∴∠ACD+∠CAE＝∠B+∠BAF，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF．
故选：C．
6．解：
设∠B＝x°，则∠A＝3x°，
由直角三角形的性质可得∠A+∠B＝90°，
∴x+3x＝90，解得x＝22.5，
∴∠B＝22.5°，
故选：A．
7．解：如图：∵AE、BD是直角三角形中两锐角平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝90°÷2＝45°，
两角平分线组成的角有两个：∠BOE与∠EOD这两个角互补，
根据三角形外角和定理，∠BOE＝∠OAB+∠OBA＝45°，
∴∠EOD＝180°﹣45°＝135°，
故选：B．
8．解：∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD＝20°，
∴∠COA＝90°﹣20°＝70°，
∴∠BOC＝90°+70°＝160°．
故选：B．
9．解：A选项，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意；
B选项，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意；
C选项，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意；
D选项，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意．
故选：D．
10．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，
∴△ACD∽△CBD∽△ABC．
A、∵图中有三个直角三角形Rt△ACD、Rt△CBD、Rt△ABC；故本选项正确；
B、应为∠1＝∠B、∠2＝∠A；故本选项错误；
C、∵∠1＝∠B、∠2＝∠A，而∠B是∠A的余角，∴∠1和∠B都是∠A的余角；故本选项正确；
D、∵∠2＝∠A；故本选项正确．
故选：B．
11．解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠C+∠ABC＝90°，
∠BAD+∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝∠C，故①正确；
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，
∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），
∴∠AEF＝∠AFE，故②正确；
∵∠ABE＝∠CBE，
∴只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C，故③错误；
∵∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵AG平分∠DAC，
∴AG⊥EF，故④正确．
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：C．
12．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，
∴∠BCD＝∠A．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE．
又∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE．
故选：C．
13．解：设BE＝EC＝x，CF＝FA＝y，
∵∠C＝90°，AE＝3，BF＝4，
则有，
解得x2＝，y2＝，
∴AB＝＝＝2，
故选：C．
14．解：如图所示，
①∵BE平分∠ABC，
∴∠5＝∠6，
∵∠3+∠4＝90°，∠A+∠3＝90°，
∴∠A＝∠4，
∵∠1＝∠A+∠6，∠2＝∠4+∠5，
∠1＝∠2，
故∠CFE＝∠CEF，所以①正确；
②若∠FCB＝∠FBC，即∠4＝∠5，
由（1）可知：∠A＝∠4，
∴∠A＝∠5＝∠6，
∵∠A+∠5+∠6＝180°，
∴∠A＝30°，
即只有当∠A＝30°时，∠FCB＝∠FBC而已知没有这个条件，故②错误；
③∵∠3+∠4＝90°，∠A+∠3＝90°，
∴∠A＝∠4，
即∠A＝∠DCB，故③正确；
④∵∠1＝∠2，∠1+∠5＝90°，
∴∠2+∠5＝90°，
即：∠CFE与∠CBF互余，故④正确．
故选：A．
二．填空题
15．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠CBD＝45°，
∵EF⊥BD于点F．BE＝，
∴EF＝BE•sin45°＝1，
∵DE平分∠CDB，
∴CE＝EF＝1，
∴BC＝+1．
故答案为：+1．
16．解：有两种情况：
①当与边AD相交时，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABC＝45°，
∵∠EBD＝15°，
∴∠DBC＝∠CBE﹣∠DBE＝30°，
∴CD＝BD＝×8＝4，
∴BC＝CD＝4，
∴S△BCE＝BC•CD＝×4×4＝8，
②当与边CD相交时，如图2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABC＝45°，
∵∠EBD＝15°，
∴∠DBC＝∠CBE+∠DBE＝60°，
∴∠BDC＝30°，
∴BC＝BD＝×8＝4，
∵∠C＝90°，∠CBE＝45°，
∴S△BCE＝BC•CE＝×4×4＝8，
故答案为：8或8．
17．解：连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，
设DE＝x＝EM，则EA＝2﹣x，
∵AE2+AM2＝EM2，
∴（2﹣x）2+t2＝x2，
解得x＝+1，
∴DE＝+1，
∵折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，
∴EF⊥DM，
∠ADM+∠DEF＝90°，
∵EG⊥AD，
∴∠DEF+∠FEG＝90°，
∴∠ADM＝∠FEG，
∴tan∠ADM＝，
∴FG＝，
∵CG＝DE＝+1，
∴CF＝+1，
∴S四边形CDEF＝（CF+DE）×1＝t+1．
故答案为：t+1．
18．解：∵∠C＝90°，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝32°，
故答案为：32．
19．解：由题意可得，BE平分∠ABC，DE＝CE
又∠A＝30°，AC＝6
可得DE＝AE
∴DE＝（6﹣DE）
则DE＝2．
故答案为2．
20．解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∠C＝90°，则该三角形是直角三角形；
②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，则该三角形是直角三角形；
③∠A＝90°﹣∠B，则∠A+∠B＝90°，∠C＝90°．则该三角形是直角三角形；
④∠A＝∠B＝∠C，则该三角形是等边三角形．
故能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③．
21．解：∵∠FCD＝75°，
∴∠A+∠B＝75°，
∵∠A：∠B＝1：2，
∴∠A＝×75°＝25°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠AFE＝90°﹣∠A＝90°﹣25°＝65°，
∴∠CFD＝∠AFE＝65°，
∵∠FCD＝75°，
∴∠D＝180°﹣∠CFD﹣∠FCD＝180°﹣65°﹣75°＝40°．
故答案为：40°
22．解：∵△ABC是直角三角形，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
又∵AM，BN为∠BAC，∠ABC的角平分线，
∴∠CAM+∠NBC＝45°，
∴∠AOB＝180°﹣（∠CAM+∠NBC）＝135°，
∴∠AOB＝135°．
故答案为：135
23．解：∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，
∴∠CEB＝∠A+∠ACE＝45°+∠ACE，∠ACF＝∠ACE+∠ECF＝∠ACE+45°，
∴∠CEB＝∠ACF，
∴△ACF∽△BEC，
∴＝，即AF•BE＝AC•BC＝36，
∴△ABC的面积＝AC•BC＝×36＝18．
故答案为：18．
24．解：∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
由三角形的外角的性质可知，∠C＝∠ADE﹣∠DEC＝50°，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵EF⊥AB，
∴∠EFC＝90°，
∴∠FEB＝90°﹣50°＝40°，
则∠FED＝180°﹣40°﹣90°＝50°，
故答案为：50°．
三．解答题
25．解：（1）∵EN⊥AF，BF⊥AF，
∴EN∥BF，
又∵E为AB的中点，
∴BF＝2EN，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，
∵∠ADE＝∠BAF，
∴∠BAD﹣∠ADE＝∠ABC﹣∠BAF，
∴∠AED＝∠AFB，
又∵∠BAF＝∠MAE，
∴△AEM∽△AFB；
（3）证明：如图，连接AC，过点B作BP∥AC交AF的延长线于点P，
∴△BFP∽△CFA，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC＝60°，
∴∠PBC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABP＝120°，
∴∠DAE＝∠ABP，
在△ADE与△BAP中，
，
∴△ADE≌△BAP（ASA），
∴AE＝BP，
又∵AC＝AD，
∴．
26．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝28°，
∴∠ABC＝62°，
∴∠CBD＝180°﹣62°＝118°，
∵BE平分∠CBD，
∴∠EBC＝∠CBD＝59°，
∴∠ABE＝62°+59°＝121°，
∵DF∥BE，
∴∠D＝∠ABE＝121°．
27．证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B；
（2）在Rt△AFC中，∠CFA＝90°﹣∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．
又∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAE，
∴∠AED＝∠CFE，
又∵∠CEF＝∠AED，
∴∠CEF＝∠CFE．
28．解：在Rt△ABF中，∠A＝70°，CE，BF是两条高，
∴∠EBF＝20°，∠ECA＝20°，
又∵∠BCE＝30°，
∴∠ACB＝50°，
∴在Rt△BCF中∠FBC＝40°．
29．解：∵∠B＝30°，CD⊥AB于D，
∴∠DCB＝90°﹣∠B＝60°．
∵CE平分∠ACB，∠ACB＝90°，
∴∠ECB＝∠ACB＝45°，
∴∠DCE＝∠DCB﹣∠ECB＝60°﹣45°＝15°；
（2）∵∠CEF＝135°，∠ECB＝∠ACB＝45°，
∴∠CEF+∠ECB＝180°，
∴EF∥BC．
30．解：（1）BD∥MF．
理由如下：∵∠A＝90°，ME⊥BC，
∴∠ABC+∠AME＝360°﹣90°×2＝180°，
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
∴∠ABD＝∠ABC，∠AMF＝∠AME，
∴∠ABD+∠AMF＝（∠ABC+∠AME）＝90°，
又∵∠AFM+∠AMF＝90°，
∴∠ABD＝∠AFM，
∴BD∥MF；
（2）BD⊥MF．
理由如下：∵∠A＝90°，ME⊥BC，
∴∠ABC+∠C＝∠AME+∠C＝90°，
∴∠ABC＝∠AME，
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
∴∠ABD＝∠AMF，
∵∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠AMF+∠ADB＝90°，
∴BD⊥MF；
（3）BD⊥MF．
理由如下：∵∠A＝90°，ME⊥BC，
∴∠ABC+∠ACB＝∠AME+∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠AME，
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
∴∠ABD＝∠AMF，
∵∠AMF+∠F＝90°，
∴∠ABD+∠F＝90°，
∴BD⊥MF．
31．（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠BCD＝90°，
∵∠1＝∠B，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：∵S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，
∴CD＝＝＝4.8．
32．（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF；
（2）解：∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，
∵∠ACB＝90°，CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝45°，
∴∠DCE＝45°﹣20°＝25°，
∵CD∥EF，
∴∠FEC＝∠DCE＝25°．
33．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝54°，
∴∠CBD＝126°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE＝∠CBD＝63°；
（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝63°，
∴∠CEB＝90°﹣63°＝27°．
又∵∠F＝27°，
∴∠F＝∠CEB＝27°，
∴DF∥BE
34．解：（1）当然是GH不变．
延长HG交OP于点E，
∵G是△OPH的重心，
∴GH＝EH，
∵PO是半径，它是直角三角形OPH的斜边，它的中线等于它的一半；
∴EH＝OP
∴GH＝（OP）＝（×6）＝2；
（2）延长PG交OA于C，则y＝×PC．
我们令OC＝a＝CH，
在Rt△PHC中，PC＝＝，
则y＝×；
在Rt△PHO中，有OP2＝x2+（2a）2＝62＝36，
则a2＝9﹣，
将其代入y＝×得y＝×＝（0＜x＜6）；
（3）如果PG＝GH，则y＝GH＝2，
解方程：x＝0，
那GP不等于GH，则不合意义；
如果，PH＝GH＝2则可以解得：x＝2；
如果，PH＝PG，则x＝y代入可以求得：x＝，
综合上述线段PH的长是或2．
35．解：（1）∵△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
又∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB＝45°；
（2）∵CD⊥AB，∠B＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠BCE＝∠ACE＝45°，
∴∠DCF＝∠BCE﹣∠BCD＝15°，
又∵∠CDF＝75°，
∴∠CFD＝180°﹣75°﹣15°＝90°，
∴△CFD是直角三角形．
36．解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）①当∠B＝34°时，∵∠ACD＝∠B，
∴∠ACD＝34°，
由（1）知，∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝56°，
由折叠知，∠A'CD＝∠ACD＝34°，
∴∠A'CB＝∠BCD﹣∠A'CD＝56°﹣34°＝22°；
②当∠B＝n°时，同①的方法得，∠A'CD＝n°，∠BCD＝90°﹣n°，
∴∠A'CB＝∠BCD﹣∠A'CD＝90°﹣n°﹣n°＝90°﹣2n°．
37．解：（1）∵∠C＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∴（∠BAC+∠ABC）＝45°．
∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，
∴∠BAP+∠ABP＝∠BAC+∠ABC＝（∠BAC+∠ABC）＝45°．
∴∠APD＝∠BAP+∠ABP＝45°；
故答案为45°．
（2）∵∠BDC＝58°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝32°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝32°，
∴∠BAP＝∠APD﹣∠ABD＝45°﹣32°＝13°．
38．解：∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵AD、BE平分∠CAB、∠CBA，
∴∠FAB+∠FBA＝45°，
∴∠AFB＝135°．
39．解：∵CE⊥AF，
∴∠FED＝90°，
∵∠F＝50°，
∴∠EDF＝90°﹣∠F＝90°﹣50°＝40°，
∴∠CDB＝∠EDF＝40°，
∵∠C＝30°，
∴∠DBA＝∠C+∠CDB＝30°+40°＝70°，
即∠EDF＝40°，∠DBA＝70°．
40．解：∵MN∥EF，
∴∠BCD＝∠1＝50°．
在△BCD中，∠BCD＝50°，∠2＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BCD﹣∠2＝70°．
在Rt△ABC中，∠ABC＝70°，∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝20°．
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