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2021年中考数学冲刺小题过关训练---多边形与平行四边形 （含详解）
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这是一份2021年中考数学冲刺小题过关训练---多边形与平行四边形 （含详解），共33页。
2021年中考数学冲刺小题过关训练---多边形与平行四边形
一．多边形内角与外角
1．在四边形ABCD中，∠A+∠C＝160°，∠B比∠D大60°，则∠B的度数为（ ）
A．70° B．80° C．120° D．130°
2．一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是 边形，它的外角和等于 ．
3．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为 ．
二．平行四边形的性质
4．如图所示，点E为▱ABCD内一点，连接EA，EB，EC，ED，AC，已知△BCE的面积为2，△CED的面积为10，则阴影部分△ACE的面积为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．如图，▱ABCD的周长是24cm，对角线AC与BD交于点O，BD⊥AD，E是AB中点，△COD的周长比△BOC的周长多4cm，则DE的长为（ ）cm．
A．5 B．5 C．4 D．4
6．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连接DF、EF．若∠EFD＝90°，则AE长为（ ）
A．2 B． C． D．
7．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，且点A（0，﹣2），点B（m，m+1），点C（6，2）．
（1）线段AC的中点E的坐标为 ；
（2）对角线BD长的最小值为 ．
8．如图，E是直线CD上的一点，且CE＝CD．已知▱ABCD的面积为42cm2，则△ACE的面积为 ．
9．在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE＝4，AB＝5，EC＝7，则平行四边形ABCD的周长等于 ．
10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝，AD＝4，AC⊥BC．则BD＝ ．
11．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足为E、F，若∠1＝60°，BE＝2cm，DF＝3cm，则AB＝ ，AD＝ ，平行四边形ABCD的周长为 ．
12．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝135°，AD＝4，AB＝8，作对角线AC的垂直平分线EF，分别交对边AB、CD于点E和点F，则AE的长为 ．
13．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为 平方单位．
14．在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，BC＝2，则AB与CD之间的距离为 ．
15．如图所示，在▱ABCD中，点E在线段BC上且BE＝2CE，点F是CD边的中点，若AE＝4，AF＝4，且∠EAF＝45°，则AB的长是 ．
16．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若＝m（0＜m＜1），AC＝4，连接OE；
①若m＝，求平行四边ABCD的面积；
②设＝k，试求k与m满足的关系．
三．平行四边形的判定与性质
17．如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使四边形AECF是平行四边形，则添加的条件不能是（ ）
A．AE＝CF B．BE＝FD C．BF＝DE D．∠1＝∠2
18．下列说法正确的是（ ）
A．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．平行四边形的对角线相等
C．平行四边形的对角互补，邻角相等
D．平行四边形的两组对边分别平行且相等
19．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是（ ）
A．AE＝CF B．DE＝BF C．∠ADE＝∠CBF D．∠AED＝∠CFB
20．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，有下列条件：①BF＝DE；②AE＝CF；③∠EAB＝∠FCO；④AF∥CE．其中一定能判定四边形AECF是平行四边形的是 ．
21．如图所示，在▱ABCD中E，F分别在BC，AD上，若想使四边形AFCE为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是 ，
①AF＝CF；②AE＝CF；③∠BAE＝∠FCD；④∠BEA＝∠FCE．
22．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，延长AE，CF分别交CD，AB于点M，N．
（1）求证：四边形CMAN是平行四边形；
（2）已知DE＝4，FN＝3，求△BFN的周长．
23．如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交边AB于点F，连接AD，CF．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）若AF＝2BF，四边形AFCD的面积为S1，四边形FBCE的面积为S2，求S1：S2．
24．如图所示，在▱ABCD中，点E，点F分别是AD，BC的中点，连接BE，DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．
（2）若BE平分∠ABC，AB＝3，求平行四边形ABCD的周长．
25．已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，EF与BD相交于点O，AE＝CF．求证：BD、EF互相平分．
26．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．
27．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，且AB＝BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠E＝60°，AB＝6，求四边形ABCD的面积．
28．如图，E、F是▱ABCD对角线AC上两点，AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
29．如图，在▱ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，若BD＝10，AE+CF＝EF，求EG的长．
30．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE＝BE，CE∥AD
（1）求证：DE＝AC；
（2）连接AE，若AC＝2，BC＝6，求△AEB的周长．
31．如图，已知△ABC为等边三角形，动点P在△ABC内，以PB，PC为边向外作等边三角形△PBD，△PCE．
（1）若PB＝8，PC＝6，BC＝10，
①求证：四边形PEAD是平行四边形；
②求出四边形PEAD的面积；
（2）随着点P在△ABC所在平面上运动时，当△PBC满足什么条件时，平行四边形PEAD一定存在？（直接写出答案）
32．如图，将平行四边形ABCD的BA边延长至点E，使，连接DE，F是DC边的中点，连接AF．
（1）求证：四边形AFDE是平行四边形．
（2）若AB＝5，BC＝3，∠B＝60°，求DE的长．
33．如图在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5cm，BC＝9cm．M是CD的中点P是BC边上的一动点P与B，C不重合），连接PM并延长交AD的延长线于Q．
（1）试说明不管点P在何位置，四边形PCQD始终是平行四边形．
（2）当点P在点B．C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．
34．如图，将平行四边形ABCD的AD边延长至点E，使DE＝AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB＝6，AD＝7，∠A＝60°，求四边形CEDF的面积．
35．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB＝6，AD＝2，∠ABD＝30°，求四边形AECF的面积．
36．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在AC上，且AE＝CF．
（1）求证：△AGE≌△CHF；
（2）求证：四边形EGFH是平行四边形．
37．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；
（2）求四边形BDEF的周长．
参考答案
一．多边形内角与外角
1．解：∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠A+∠C＝160°，
∴∠B+∠D＝200°，
∵∠B﹣∠D＝60°，
∴2∠B＝260°，
∴∠B＝130°．
故选：D．
2．解：设这个多边形是n边形，
根据题意得：（n﹣2）•180°＝900°，
解得n＝7．
它的外角和等于360°．
故答案为：七，360°．
3．解：多边形的边数是：360÷72＝5．
故答案为：5．
二．平行四边形的性质
4．解：如图，过点B作BF⊥CD于点F，
设△ABE和△CDE的AB和CD边上的高分别为a和b，
∴S△ABE＝×AB×a，S△CDE＝CD×b，
∵a+b＝BF，AB＝CD，
∴S△ABE+S△CDE＝（AB×a+CD×b）＝AB•BF，
∵S平行四边形ABCD＝CD•BF，
∴S△ABE+S△CDE＝S平行四边形ABCD，
∵S△ABE+S△CBE+S阴影＝S平行四边形ABCD，
∴S△ABE+S△CDE＝S△ABE+S△CBE+S阴影，
∴S阴影＝S△CDE﹣S△CBE＝10﹣2＝8．
故选：D．
5．解：∵四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD的周长是24，
∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，AD+AB＝CD+BC＝12，
∵△COD的周长比△BOC的周长多4，
∴（CD+OD+OC）﹣（CB+OB+OC）＝4，即CD﹣BC＝4，
，
解得，CD＝8，BC＝4，
∴AB＝CD＝8，
∵BD⊥AD，E是AB中点，
∴DE＝AB＝4，
故选：C．
6．解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DQ∥BC，
∴∠Q＝∠BEF，
∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，
∴△QFA≌△EFB（AAS），
∴AQ＝BE＝x，QF＝EF，
∵∠EFD＝90°，
∴DF⊥QE，
∴DQ＝DE＝x+2，
∵AE⊥BC，BC∥AD，
∴AE⊥AD，
∴∠AEB＝∠EAD＝90°，
∵AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，
∴（x+2）2﹣4＝6﹣x2，
整理得：2x2+4x﹣6＝0，
解得x＝1或﹣3（舍弃），
∴BE＝1，
∴AE＝，
故选：B．
7．解：（1）∵点A（0，﹣2），点C（6，2），
∴线段AC中点E的坐标为（3，0），
故答案为：（3，0）；
（2）∵点B（m，m+1），
∴点B在直线y＝x+1上运动，
则直线y＝x+1与x轴交于点F（﹣1，0），∠BFO＝45°，
如图，当BE⊥直线y＝x+1时，BE有最小值，即BD有最小值，
此时，EF＝3﹣（﹣1）＝4，
∵∠BFE＝45°，∠EBF＝90°，
∴∠BFE＝∠BEF，
∴BE＝BF，EF＝BE，
∴BE＝2，
∴BD的最小值＝4，
故答案为4．
8．解：∵▱ABCD的面积为42cm2，
∴△ACD的面积为21cm2，AB∥CD，
∵CE＝CD．
∴S△ACE＝S△ACD＝（cm2），
故答案为：cm2．
9．解：如图1，当∠ABC是锐角时，
在直角△ABE中，AB＝5，AE＝4，
由勾股定理得，BE＝3，又EC＝7，
∴BC＝10，
∴▱ABCD的周长等于30；
如图2，当∠ABC是钝角时，
在直角△ABE中，AB＝5，AE＝4，
由勾股定理得，BE＝3，又EC＝7，
∴BC＝4，
∴▱ABCD的周长等于18；
故答案为18或30．
10．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝4，OB＝OD，OA＝OC，
∵AC⊥BC，
∴由勾股定理得：AC＝＝＝6，
∴OC＝AC＝3，
∵在Rt△BCO中，∠BCO＝90°，
∴OB＝＝＝5，
∴BD＝2OB＝10，
故答案为：10．
11．解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF＝60°，
∴∠AEB＝∠AEC＝∠AFC＝∠AFD＝90°，
∴∠C＝120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠D，
∴∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝∠D＝60°，
∴∠BAE＝∠FAD＝30°，
∵BE＝2cm，FD＝3cm，
∴AB＝4cm，BC＝AD＝6cm，
∴▱ABCD的周长为＝2（AB+BC）＝20cm．
故答案为：4cm，6cm，20cm．
12．解：如图，连接CE，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，
∵平行四边形ABCD中，∠ABC＝135°，AD＝4，
∴∠CBH＝45°，BC＝4，
又∵∠H＝90°，
∴∠BCH＝45°，
∴CH＝BH＝4，
设AE＝x，则BE＝8﹣x，
∵EF垂直平分AC，
∴CE＝AE＝x，
∵在Rt△CEH中，CH2+EH2＝EC2，
∴42+（8﹣x+4）2＝x2，
解得x＝，
∴AE的长为．
故答案为：．
13．解：如图，延长DC和FE交于点G，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠B＝∠ECG，
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝×4＝2，
在△BEF和△CEG中，
，
∴△BEF≌△CEG（ASA），
∴BF＝CG，
∵∠B＝60°，
∴∠FEB＝30°，
∴BF＝BE＝1，
∴EF＝，
∵CG＝BF＝1，CD＝AB＝3，
∴DG＝CD+CG＝3+1＝4，
∵EF⊥AB，AB∥CD，
∴DG⊥FG，
∴S△DEF＝EF•DG＝××4＝2．
故答案为：2．
14．解：过点D作DE⊥AB于E，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC＝2，
∵∠A＝45°，DE⊥AB，
∴∠A＝∠ADE＝45°，
∴DE＝AE，
∵DE2+AE2＝AD2＝4，
∴DE＝，
故答案为．
15．解：如图，过点F作FM⊥AE于点M，过点M作MG∥AB交BC于点G，连接EF，
∵∠EAF＝45°，
∴△AMF是等腰直角三角形，
∴AM＝MF＝AF＝2，
∵AE＝4，
∴EM＝AE﹣AM＝2，
∴AM＝EM，
∵MG∥AB，
∴BG＝GE，
∴GM是三角形AEB的中位线，
∴GM∥AB，GM＝AB，
∴GM＝CD，
∵点F是CD边的中点，
∴CF＝CD，
∴GM∥CF，GM＝CF，
∴四边形GMFC是平行四边形，
∴GC＝MF＝2，
∵BE＝2BG＝2GE，BE＝2CE，
∴BG＝GE＝EC，
∴BE＝GC＝2，
∵FM⊥AE，FM∥GC，
∴AE⊥GC，
∵AE＝4，
∴AB＝＝＝2．
故答案为：2．
16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE；
（2）解：①∵＝m＝，
∴AB＝BC，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，
∵∠ABC＝60°，
∵cos∠ABC＝＝，
∴∠BAC＝90°，
当AC＝4时，AB＝4，
∴平行四边ABCD的面积＝2S△ABC＝2×AB•AC＝4×4＝16；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BOD，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝mBC，
∵△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，
设BC边上的高为h，BC的长为b，
∴S△BCD＝×bh，S△OBE＝××mb＝，
∴S四边形OECD＝S△BCD﹣S△OBE＝﹣＝（﹣）bh，
∵S△AOD＝×b＝，
∴＝（﹣）bh×＝k，
∴2﹣m＝k，
∴m+k＝2．
三．平行四边形的判定与性质
17．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠ABD＝∠CDB；
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE；
∴AE∥CF；
∴四边形AECF是平行四边形，故B正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠ABD＝∠CDB；
又∵BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF，
∴BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD；
∴∠AEF＝∠CFE；
∴AE∥CF；
∴四边形AECF是平行四边形，故C正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠ABD＝∠CDB；
又∵∠1＝∠2，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD；
∴∠AEF＝∠CFE；
∴AE∥CF；
∴四边形AECF是平行四边形，故D正确；
添加AE＝CF后，不能得出△ABE≌△CDF，进而得不出四边形AECF是平行四边形，
故选：A．
18．解：A、一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故A选项不合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，故B选项不合题意；
C、平行四边形的邻角互补，对角相等，故C选项不符合题意；
D、平行四边形的两组对边分别平行且相等，故D选项不合题意；
故选：D．
19．解：A、由AE＝CF，可以推出DF＝EB，DF∥EB，四边形DEBF是平行四边形；
B、由DE＝BF，不能推出四边形DEBF是平行四边形，有可能是等腰梯形；
C、由∠ADE＝∠CBF，可以推出△ADE≌△CBF，推出DF＝EB，DF∥EB，四边形DEBF是平行四边形；
D、由∠AED＝∠CFB，可以推出△ADE≌△CBF，推出DF＝EB，DF∥EB，四边形DEBF是平行四边形；
故选：B．
20．解：∵四边形ABD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，OB＝OD，OA＝OC，
∵BF＝DE，
∴BF﹣OB＝DE﹣OD，
即OF＝OE，
∴四边形AECF是平行四边形；
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE＝CF，
∵AO＝CO，BO＝DO，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
∵AF∥CE，
∴∠AFB＝∠CED，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴BF＝DE，
∴BF﹣OB＝DE﹣OD，
即OF＝OE，
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形；
∵AE＝CF，不能判定△ABE≌△CDF，
∴不能判定四边形AECF是平行四边形；
∴一定能判定四边形AECF是平行四边形的是①④，
故答案为：①④．
21．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠B＝∠D，AD∥BC，AD＝BC，
如果AF＝CF，
则无法证明四边形AFCE是平行四边形，
故①不合题意；
如图，作AM⊥BC交BC于点M，FN⊥BC交BC于点N，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AM＝FN，
∵AE＝CF，
∴△AME≌△FNC（HL）
∴∠AEM＝∠FCN，
∴AE∥FC，
∴四边形AFCE为平行四边形，
若点E在BM上，四边形AFCE为梯形，
故②不符合题意；
如果∠BAE＝∠FCD，
则△ABE≌△DFC（ASA）
∴BE＝DF，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
即AF＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形；
故③符合题意；
如果∠BEA＝∠FCE，
则AE∥CF，
∵AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形；
故④符合题意；
故答案为：③④
22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AM⊥BD，CN⊥BD，
∴AM∥CN，
∴四边形CMAN是平行四边形；
（2）解：∵四边形CMAN是平行四边形，
∴AN＝CM，
∵CD＝AB，
∴DM＝BN，
∵CD∥AB，
∴∠MDE＝∠NBF，
在△BNF和△DME中，
，
∴△DME≌△BNF（AAS），
∴BF＝DE＝4，
在Rt△BFN中，BN＝＝＝5，
∴△BFN的周长＝FN+BF+BN＝3+4+5＝12．
23．（1）证明：如图，
∵CD∥AB，
∴∠FAC＝∠DCA，
∵点E是AC的中点
∴AE＝CE，
又∵∠AEF＝∠CED，
∴△AEF≌△CED（ASA），
∴AF＝CD，
又∵AF∥CD，
∴四边形AFCD是平行四边形；
（2）解：设BF＝a，则AF＝2BF＝2a，
如图，过点C作CG⊥AB于点G，
设CG＝h，
∴S△ACF＝•AF•CG＝•2a•h＝ah，
S△ABF＝•BF•CG＝•a•h＝ah，
∴S1＝2S△ACF＝2ah，
S△ECF＝S1＝ah，
∴S2＝S△ECF+S△BCF＝ah，
∴S1：S2＝2ah：ah＝2．
24．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点E，点F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝DE＝AD，BF＝CF＝BC，
∴DE＝BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
又∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
∴AD＝2AE＝6，
∴平行四边形ABCD的周长＝2×（3+6）＝18．
25．证明：连接BE、DF，如图所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
又∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
∴四边形EBFD为平行四边形，
∴BD、EF互相平分．
26．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB，
∴BE＝CD；
（2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE，
∴AF＝EF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴DF＝CF，
又∵AF＝EF，
∴四边形ACED是平行四边形．
27．证明：（1）∵AB＝BE，
∴∠E＝∠BAE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAE，
∴∠DAF＝∠E，
∴AD∥BE，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵AB＝BE，∠E＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BA＝AE＝6，∠BAE＝60°，
又∵BF⊥AE，
∴AF＝EF＝3，
∴BF＝＝＝3，
∴S△ABF＝AF×BF＝×3×3＝，
∴▱ABCD的面积＝2×S△ABF＝9．
28．证明：连接BD，交AC于点O．
∵ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC OB＝OD，
又∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
29．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
∵AE＝CF，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE∥HF，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BD＝10，
∴OB＝OD＝5，
∵AE＝CF，OA＝OC，
∴OE＝OF，
∵AE+CF＝EF，
∴2AE＝EF＝2OE，
∴AE＝OE，
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
∴EG＝OB＝2.5．
∴EG的长为2.5．
30．解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥BC，
∴AC∥DE，
∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴DE＝AC；
（2）∵∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝6，
∴AB＝＝＝2，
过E作EF⊥AC的延长线于F，
∴CF＝DE＝AC＝2，EF＝CD＝BC＝3，
∴AE＝＝＝5，
∵BE＝＝＝，
∴△AEB的周长＝AB+BE+AE＝2++5．
31．（1）①证明：∵△ABC、△PBD、△PCE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，BD＝BP＝DP，CP＝CE＝EP，∠ABC＝∠DBP＝60°，∠ACB＝∠ECP＝60°，
∴∠BCP＝∠ACE，∠DBA＝∠PBC，
在△DBA和△PBC中，，
∴△DBA≌△PBC（SAS），
∴AD＝CP，
∴AD＝EP，
同理：△BCP≌△ACE（SAS）
∴BP＝AE，
∴DP＝AE，
∴四边形PEAD是平行四边形；
②解：∵PB＝8，PC＝6，BC＝10，
∴BC2＝PB2+PC2，
∴△BPC是直角三角形，
∴∠BPC＝90°，
∵△PBD、△PCE都是等边三角形，
∴∠BPD＝∠CPE＝60°，
∴∠DPE＝360°﹣∠BPD﹣∠CPE﹣∠BPC＝360°﹣60°﹣60°﹣90°＝150°，
过点P作PH⊥AD于点H，如图1所示：
∵四边形PEAD是平行四边形，
∴AD∥PE，
∴∠HPE＝∠PHD＝90°，
∴∠DPH＝60°，
∴PH＝DP＝PB＝4，
∴四边形PEAD的面积＝PH•AD＝PH•PC＝4×6＝24；
（2）解：当△PBC满足点P在直线BC的上方，且∠BPC≠60°时，平行四边形PEAD一定存在；理由如下：
当点P在△ABC内部时，
由（1）①得：四边形PEAD是平行四边形；
当点P在△ABC外部，且∠BPC≠60°时，如图2所示：
同（1）①得：△DBA≌△PBC（SAS），△BCP≌△ACE（SAS），
∴AD＝CP，BP＝AE，
∴AD＝EP，DP＝AE，
∴四边形PEAD是平行四边形；
当点P在△ABC外部，且∠BPC＝60°时，如图3所示：
∵△PBD、△PCE都是等边三角形，
∴∠BPD＝∠CPE＝60°，
∵∠BPC＝60°，
∴∠BPD+∠BPC+∠CPE＝180°，
∴点P、D、E三点共线，
∴P、E、A、D不能构成四边形；
当点P在直线BC下方时，如图4所示：
很明显，四边形PEAD不是平行四边形；
综上所述，当△PBC满足点P在直线BC的上方，且∠BPC≠60°时，即点P不在三角形ABC的外接圆上时，平行四边形PEAD一定存在．
32．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∵，F是DC边的中点，
∴AE＝DF，AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形；
（2）过点A作AN⊥DC于点N，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，
∴∠ADN＝∠B＝60°，
∵AB＝5，BC＝3，
∴AD＝3，DN＝AD＝1.5，AE＝DF＝2.5，
∴FN＝2.5﹣1.5＝1，则DE＝AF＝．
33．解：（1）∵AD∥BC
∴∠QDM＝∠PCM
∵M是CD的中点，
∴DM＝CM，
∵∠DMQ＝∠CMP，DM＝CM，∠QDM＝∠PCM
∴△PCM≌△QDM（ASA）．
∴DQ＝PC，
∵AD∥BC，
∴四边形PCQD是平行四边形，
∴不管点P在何位置，四边形PCQD始终是平行四边形；
（2）当四边形ABPQ是平行四边形时，PB＝AQ，
∵BC﹣CP＝AD+QD，
∴9﹣CP＝5+CP，
∴CP＝（9﹣5）÷2＝2．
∴当PC＝2时，四边形ABPQ是平行四边形．
34．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵DE＝AD，F是BC边的中点，
∴DE＝FC，DE∥FC，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）解：过点D作DN⊥BC于点N，如图：
则∠DNC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝60°，
∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝7，∠BCD＝∠A＝60°，∠CDN＝30°，
∵F是BC边的中点，
∴FC＝BC＝，NC＝DC＝3，DN＝NC＝3，
∴四边形CEDF的面积＝CF×DN＝×3＝．
35．（1）证明：连接AF、EC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△AEB和△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：在Rt△ABE中，∵AB＝6，∠ABE＝30°，
∴AE＝AB＝3，BE＝AE＝3，
在Rt△ADE中，DE＝＝5，
∵△AEB≌△CFD，
∴BE＝DF＝3，
∴EF＝2，
∴S平行四边形AECF＝2•S△AEF＝2××＝6．
36．（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
在△AGE与△CHF中，，
∴△AGE≌△CHF（SAS）；
（2）∵△AGE≌△CHF，
∴∠EG＝FH，∠AEG＝∠HFC，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
37．（1）证明：∵D、E分别是AB，AC中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF，
∴四边形CDEF是平行四边形，
（2）解：∵四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，
∴DC＝EF＝＝，
∴四边形BDEF的周长是1+1+2+1+＝5+．
2021年中考数学冲刺小题过关训练---多边形与平行四边形
一．多边形内角与外角
1．在四边形ABCD中，∠A+∠C＝160°，∠B比∠D大60°，则∠B的度数为（ ）
A．70° B．80° C．120° D．130°
2．一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是 边形，它的外角和等于 ．
3．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为 ．
二．平行四边形的性质
4．如图所示，点E为▱ABCD内一点，连接EA，EB，EC，ED，AC，已知△BCE的面积为2，△CED的面积为10，则阴影部分△ACE的面积为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．如图，▱ABCD的周长是24cm，对角线AC与BD交于点O，BD⊥AD，E是AB中点，△COD的周长比△BOC的周长多4cm，则DE的长为（ ）cm．
A．5 B．5 C．4 D．4
6．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连接DF、EF．若∠EFD＝90°，则AE长为（ ）
A．2 B． C． D．
7．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，且点A（0，﹣2），点B（m，m+1），点C（6，2）．
（1）线段AC的中点E的坐标为 ；
（2）对角线BD长的最小值为 ．
8．如图，E是直线CD上的一点，且CE＝CD．已知▱ABCD的面积为42cm2，则△ACE的面积为 ．
9．在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE＝4，AB＝5，EC＝7，则平行四边形ABCD的周长等于 ．
10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝，AD＝4，AC⊥BC．则BD＝ ．
11．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足为E、F，若∠1＝60°，BE＝2cm，DF＝3cm，则AB＝ ，AD＝ ，平行四边形ABCD的周长为 ．
12．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝135°，AD＝4，AB＝8，作对角线AC的垂直平分线EF，分别交对边AB、CD于点E和点F，则AE的长为 ．
13．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为 平方单位．
14．在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，BC＝2，则AB与CD之间的距离为 ．
15．如图所示，在▱ABCD中，点E在线段BC上且BE＝2CE，点F是CD边的中点，若AE＝4，AF＝4，且∠EAF＝45°，则AB的长是 ．
16．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若＝m（0＜m＜1），AC＝4，连接OE；
①若m＝，求平行四边ABCD的面积；
②设＝k，试求k与m满足的关系．
三．平行四边形的判定与性质
17．如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使四边形AECF是平行四边形，则添加的条件不能是（ ）
A．AE＝CF B．BE＝FD C．BF＝DE D．∠1＝∠2
18．下列说法正确的是（ ）
A．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．平行四边形的对角线相等
C．平行四边形的对角互补，邻角相等
D．平行四边形的两组对边分别平行且相等
19．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是（ ）
A．AE＝CF B．DE＝BF C．∠ADE＝∠CBF D．∠AED＝∠CFB
20．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，有下列条件：①BF＝DE；②AE＝CF；③∠EAB＝∠FCO；④AF∥CE．其中一定能判定四边形AECF是平行四边形的是 ．
21．如图所示，在▱ABCD中E，F分别在BC，AD上，若想使四边形AFCE为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是 ，
①AF＝CF；②AE＝CF；③∠BAE＝∠FCD；④∠BEA＝∠FCE．
22．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，延长AE，CF分别交CD，AB于点M，N．
（1）求证：四边形CMAN是平行四边形；
（2）已知DE＝4，FN＝3，求△BFN的周长．
23．如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交边AB于点F，连接AD，CF．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）若AF＝2BF，四边形AFCD的面积为S1，四边形FBCE的面积为S2，求S1：S2．
24．如图所示，在▱ABCD中，点E，点F分别是AD，BC的中点，连接BE，DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．
（2）若BE平分∠ABC，AB＝3，求平行四边形ABCD的周长．
25．已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，EF与BD相交于点O，AE＝CF．求证：BD、EF互相平分．
26．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．
27．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，且AB＝BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠E＝60°，AB＝6，求四边形ABCD的面积．
28．如图，E、F是▱ABCD对角线AC上两点，AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
29．如图，在▱ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，若BD＝10，AE+CF＝EF，求EG的长．
30．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE＝BE，CE∥AD
（1）求证：DE＝AC；
（2）连接AE，若AC＝2，BC＝6，求△AEB的周长．
31．如图，已知△ABC为等边三角形，动点P在△ABC内，以PB，PC为边向外作等边三角形△PBD，△PCE．
（1）若PB＝8，PC＝6，BC＝10，
①求证：四边形PEAD是平行四边形；
②求出四边形PEAD的面积；
（2）随着点P在△ABC所在平面上运动时，当△PBC满足什么条件时，平行四边形PEAD一定存在？（直接写出答案）
32．如图，将平行四边形ABCD的BA边延长至点E，使，连接DE，F是DC边的中点，连接AF．
（1）求证：四边形AFDE是平行四边形．
（2）若AB＝5，BC＝3，∠B＝60°，求DE的长．
33．如图在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5cm，BC＝9cm．M是CD的中点P是BC边上的一动点P与B，C不重合），连接PM并延长交AD的延长线于Q．
（1）试说明不管点P在何位置，四边形PCQD始终是平行四边形．
（2）当点P在点B．C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．
34．如图，将平行四边形ABCD的AD边延长至点E，使DE＝AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB＝6，AD＝7，∠A＝60°，求四边形CEDF的面积．
35．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB＝6，AD＝2，∠ABD＝30°，求四边形AECF的面积．
36．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在AC上，且AE＝CF．
（1）求证：△AGE≌△CHF；
（2）求证：四边形EGFH是平行四边形．
37．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；
（2）求四边形BDEF的周长．
参考答案
一．多边形内角与外角
1．解：∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠A+∠C＝160°，
∴∠B+∠D＝200°，
∵∠B﹣∠D＝60°，
∴2∠B＝260°，
∴∠B＝130°．
故选：D．
2．解：设这个多边形是n边形，
根据题意得：（n﹣2）•180°＝900°，
解得n＝7．
它的外角和等于360°．
故答案为：七，360°．
3．解：多边形的边数是：360÷72＝5．
故答案为：5．
二．平行四边形的性质
4．解：如图，过点B作BF⊥CD于点F，
设△ABE和△CDE的AB和CD边上的高分别为a和b，
∴S△ABE＝×AB×a，S△CDE＝CD×b，
∵a+b＝BF，AB＝CD，
∴S△ABE+S△CDE＝（AB×a+CD×b）＝AB•BF，
∵S平行四边形ABCD＝CD•BF，
∴S△ABE+S△CDE＝S平行四边形ABCD，
∵S△ABE+S△CBE+S阴影＝S平行四边形ABCD，
∴S△ABE+S△CDE＝S△ABE+S△CBE+S阴影，
∴S阴影＝S△CDE﹣S△CBE＝10﹣2＝8．
故选：D．
5．解：∵四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD的周长是24，
∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，AD+AB＝CD+BC＝12，
∵△COD的周长比△BOC的周长多4，
∴（CD+OD+OC）﹣（CB+OB+OC）＝4，即CD﹣BC＝4，
，
解得，CD＝8，BC＝4，
∴AB＝CD＝8，
∵BD⊥AD，E是AB中点，
∴DE＝AB＝4，
故选：C．
6．解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DQ∥BC，
∴∠Q＝∠BEF，
∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，
∴△QFA≌△EFB（AAS），
∴AQ＝BE＝x，QF＝EF，
∵∠EFD＝90°，
∴DF⊥QE，
∴DQ＝DE＝x+2，
∵AE⊥BC，BC∥AD，
∴AE⊥AD，
∴∠AEB＝∠EAD＝90°，
∵AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，
∴（x+2）2﹣4＝6﹣x2，
整理得：2x2+4x﹣6＝0，
解得x＝1或﹣3（舍弃），
∴BE＝1，
∴AE＝，
故选：B．
7．解：（1）∵点A（0，﹣2），点C（6，2），
∴线段AC中点E的坐标为（3，0），
故答案为：（3，0）；
（2）∵点B（m，m+1），
∴点B在直线y＝x+1上运动，
则直线y＝x+1与x轴交于点F（﹣1，0），∠BFO＝45°，
如图，当BE⊥直线y＝x+1时，BE有最小值，即BD有最小值，
此时，EF＝3﹣（﹣1）＝4，
∵∠BFE＝45°，∠EBF＝90°，
∴∠BFE＝∠BEF，
∴BE＝BF，EF＝BE，
∴BE＝2，
∴BD的最小值＝4，
故答案为4．
8．解：∵▱ABCD的面积为42cm2，
∴△ACD的面积为21cm2，AB∥CD，
∵CE＝CD．
∴S△ACE＝S△ACD＝（cm2），
故答案为：cm2．
9．解：如图1，当∠ABC是锐角时，
在直角△ABE中，AB＝5，AE＝4，
由勾股定理得，BE＝3，又EC＝7，
∴BC＝10，
∴▱ABCD的周长等于30；
如图2，当∠ABC是钝角时，
在直角△ABE中，AB＝5，AE＝4，
由勾股定理得，BE＝3，又EC＝7，
∴BC＝4，
∴▱ABCD的周长等于18；
故答案为18或30．
10．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝4，OB＝OD，OA＝OC，
∵AC⊥BC，
∴由勾股定理得：AC＝＝＝6，
∴OC＝AC＝3，
∵在Rt△BCO中，∠BCO＝90°，
∴OB＝＝＝5，
∴BD＝2OB＝10，
故答案为：10．
11．解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF＝60°，
∴∠AEB＝∠AEC＝∠AFC＝∠AFD＝90°，
∴∠C＝120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠D，
∴∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝∠D＝60°，
∴∠BAE＝∠FAD＝30°，
∵BE＝2cm，FD＝3cm，
∴AB＝4cm，BC＝AD＝6cm，
∴▱ABCD的周长为＝2（AB+BC）＝20cm．
故答案为：4cm，6cm，20cm．
12．解：如图，连接CE，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，
∵平行四边形ABCD中，∠ABC＝135°，AD＝4，
∴∠CBH＝45°，BC＝4，
又∵∠H＝90°，
∴∠BCH＝45°，
∴CH＝BH＝4，
设AE＝x，则BE＝8﹣x，
∵EF垂直平分AC，
∴CE＝AE＝x，
∵在Rt△CEH中，CH2+EH2＝EC2，
∴42+（8﹣x+4）2＝x2，
解得x＝，
∴AE的长为．
故答案为：．
13．解：如图，延长DC和FE交于点G，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠B＝∠ECG，
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝×4＝2，
在△BEF和△CEG中，
，
∴△BEF≌△CEG（ASA），
∴BF＝CG，
∵∠B＝60°，
∴∠FEB＝30°，
∴BF＝BE＝1，
∴EF＝，
∵CG＝BF＝1，CD＝AB＝3，
∴DG＝CD+CG＝3+1＝4，
∵EF⊥AB，AB∥CD，
∴DG⊥FG，
∴S△DEF＝EF•DG＝××4＝2．
故答案为：2．
14．解：过点D作DE⊥AB于E，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC＝2，
∵∠A＝45°，DE⊥AB，
∴∠A＝∠ADE＝45°，
∴DE＝AE，
∵DE2+AE2＝AD2＝4，
∴DE＝，
故答案为．
15．解：如图，过点F作FM⊥AE于点M，过点M作MG∥AB交BC于点G，连接EF，
∵∠EAF＝45°，
∴△AMF是等腰直角三角形，
∴AM＝MF＝AF＝2，
∵AE＝4，
∴EM＝AE﹣AM＝2，
∴AM＝EM，
∵MG∥AB，
∴BG＝GE，
∴GM是三角形AEB的中位线，
∴GM∥AB，GM＝AB，
∴GM＝CD，
∵点F是CD边的中点，
∴CF＝CD，
∴GM∥CF，GM＝CF，
∴四边形GMFC是平行四边形，
∴GC＝MF＝2，
∵BE＝2BG＝2GE，BE＝2CE，
∴BG＝GE＝EC，
∴BE＝GC＝2，
∵FM⊥AE，FM∥GC，
∴AE⊥GC，
∵AE＝4，
∴AB＝＝＝2．
故答案为：2．
16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE；
（2）解：①∵＝m＝，
∴AB＝BC，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，
∵∠ABC＝60°，
∵cos∠ABC＝＝，
∴∠BAC＝90°，
当AC＝4时，AB＝4，
∴平行四边ABCD的面积＝2S△ABC＝2×AB•AC＝4×4＝16；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BOD，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝mBC，
∵△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，
设BC边上的高为h，BC的长为b，
∴S△BCD＝×bh，S△OBE＝××mb＝，
∴S四边形OECD＝S△BCD﹣S△OBE＝﹣＝（﹣）bh，
∵S△AOD＝×b＝，
∴＝（﹣）bh×＝k，
∴2﹣m＝k，
∴m+k＝2．
三．平行四边形的判定与性质
17．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠ABD＝∠CDB；
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE；
∴AE∥CF；
∴四边形AECF是平行四边形，故B正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠ABD＝∠CDB；
又∵BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF，
∴BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD；
∴∠AEF＝∠CFE；
∴AE∥CF；
∴四边形AECF是平行四边形，故C正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠ABD＝∠CDB；
又∵∠1＝∠2，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD；
∴∠AEF＝∠CFE；
∴AE∥CF；
∴四边形AECF是平行四边形，故D正确；
添加AE＝CF后，不能得出△ABE≌△CDF，进而得不出四边形AECF是平行四边形，
故选：A．
18．解：A、一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故A选项不合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，故B选项不合题意；
C、平行四边形的邻角互补，对角相等，故C选项不符合题意；
D、平行四边形的两组对边分别平行且相等，故D选项不合题意；
故选：D．
19．解：A、由AE＝CF，可以推出DF＝EB，DF∥EB，四边形DEBF是平行四边形；
B、由DE＝BF，不能推出四边形DEBF是平行四边形，有可能是等腰梯形；
C、由∠ADE＝∠CBF，可以推出△ADE≌△CBF，推出DF＝EB，DF∥EB，四边形DEBF是平行四边形；
D、由∠AED＝∠CFB，可以推出△ADE≌△CBF，推出DF＝EB，DF∥EB，四边形DEBF是平行四边形；
故选：B．
20．解：∵四边形ABD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，OB＝OD，OA＝OC，
∵BF＝DE，
∴BF﹣OB＝DE﹣OD，
即OF＝OE，
∴四边形AECF是平行四边形；
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE＝CF，
∵AO＝CO，BO＝DO，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
∵AF∥CE，
∴∠AFB＝∠CED，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴BF＝DE，
∴BF﹣OB＝DE﹣OD，
即OF＝OE，
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形；
∵AE＝CF，不能判定△ABE≌△CDF，
∴不能判定四边形AECF是平行四边形；
∴一定能判定四边形AECF是平行四边形的是①④，
故答案为：①④．
21．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠B＝∠D，AD∥BC，AD＝BC，
如果AF＝CF，
则无法证明四边形AFCE是平行四边形，
故①不合题意；
如图，作AM⊥BC交BC于点M，FN⊥BC交BC于点N，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AM＝FN，
∵AE＝CF，
∴△AME≌△FNC（HL）
∴∠AEM＝∠FCN，
∴AE∥FC，
∴四边形AFCE为平行四边形，
若点E在BM上，四边形AFCE为梯形，
故②不符合题意；
如果∠BAE＝∠FCD，
则△ABE≌△DFC（ASA）
∴BE＝DF，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
即AF＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形；
故③符合题意；
如果∠BEA＝∠FCE，
则AE∥CF，
∵AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形；
故④符合题意；
故答案为：③④
22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AM⊥BD，CN⊥BD，
∴AM∥CN，
∴四边形CMAN是平行四边形；
（2）解：∵四边形CMAN是平行四边形，
∴AN＝CM，
∵CD＝AB，
∴DM＝BN，
∵CD∥AB，
∴∠MDE＝∠NBF，
在△BNF和△DME中，
，
∴△DME≌△BNF（AAS），
∴BF＝DE＝4，
在Rt△BFN中，BN＝＝＝5，
∴△BFN的周长＝FN+BF+BN＝3+4+5＝12．
23．（1）证明：如图，
∵CD∥AB，
∴∠FAC＝∠DCA，
∵点E是AC的中点
∴AE＝CE，
又∵∠AEF＝∠CED，
∴△AEF≌△CED（ASA），
∴AF＝CD，
又∵AF∥CD，
∴四边形AFCD是平行四边形；
（2）解：设BF＝a，则AF＝2BF＝2a，
如图，过点C作CG⊥AB于点G，
设CG＝h，
∴S△ACF＝•AF•CG＝•2a•h＝ah，
S△ABF＝•BF•CG＝•a•h＝ah，
∴S1＝2S△ACF＝2ah，
S△ECF＝S1＝ah，
∴S2＝S△ECF+S△BCF＝ah，
∴S1：S2＝2ah：ah＝2．
24．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点E，点F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝DE＝AD，BF＝CF＝BC，
∴DE＝BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
又∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
∴AD＝2AE＝6，
∴平行四边形ABCD的周长＝2×（3+6）＝18．
25．证明：连接BE、DF，如图所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
又∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
∴四边形EBFD为平行四边形，
∴BD、EF互相平分．
26．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB，
∴BE＝CD；
（2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE，
∴AF＝EF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴DF＝CF，
又∵AF＝EF，
∴四边形ACED是平行四边形．
27．证明：（1）∵AB＝BE，
∴∠E＝∠BAE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAE，
∴∠DAF＝∠E，
∴AD∥BE，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵AB＝BE，∠E＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BA＝AE＝6，∠BAE＝60°，
又∵BF⊥AE，
∴AF＝EF＝3，
∴BF＝＝＝3，
∴S△ABF＝AF×BF＝×3×3＝，
∴▱ABCD的面积＝2×S△ABF＝9．
28．证明：连接BD，交AC于点O．
∵ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC OB＝OD，
又∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
29．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
∵AE＝CF，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE∥HF，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BD＝10，
∴OB＝OD＝5，
∵AE＝CF，OA＝OC，
∴OE＝OF，
∵AE+CF＝EF，
∴2AE＝EF＝2OE，
∴AE＝OE，
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
∴EG＝OB＝2.5．
∴EG的长为2.5．
30．解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥BC，
∴AC∥DE，
∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴DE＝AC；
（2）∵∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝6，
∴AB＝＝＝2，
过E作EF⊥AC的延长线于F，
∴CF＝DE＝AC＝2，EF＝CD＝BC＝3，
∴AE＝＝＝5，
∵BE＝＝＝，
∴△AEB的周长＝AB+BE+AE＝2++5．
31．（1）①证明：∵△ABC、△PBD、△PCE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，BD＝BP＝DP，CP＝CE＝EP，∠ABC＝∠DBP＝60°，∠ACB＝∠ECP＝60°，
∴∠BCP＝∠ACE，∠DBA＝∠PBC，
在△DBA和△PBC中，，
∴△DBA≌△PBC（SAS），
∴AD＝CP，
∴AD＝EP，
同理：△BCP≌△ACE（SAS）
∴BP＝AE，
∴DP＝AE，
∴四边形PEAD是平行四边形；
②解：∵PB＝8，PC＝6，BC＝10，
∴BC2＝PB2+PC2，
∴△BPC是直角三角形，
∴∠BPC＝90°，
∵△PBD、△PCE都是等边三角形，
∴∠BPD＝∠CPE＝60°，
∴∠DPE＝360°﹣∠BPD﹣∠CPE﹣∠BPC＝360°﹣60°﹣60°﹣90°＝150°，
过点P作PH⊥AD于点H，如图1所示：
∵四边形PEAD是平行四边形，
∴AD∥PE，
∴∠HPE＝∠PHD＝90°，
∴∠DPH＝60°，
∴PH＝DP＝PB＝4，
∴四边形PEAD的面积＝PH•AD＝PH•PC＝4×6＝24；
（2）解：当△PBC满足点P在直线BC的上方，且∠BPC≠60°时，平行四边形PEAD一定存在；理由如下：
当点P在△ABC内部时，
由（1）①得：四边形PEAD是平行四边形；
当点P在△ABC外部，且∠BPC≠60°时，如图2所示：
同（1）①得：△DBA≌△PBC（SAS），△BCP≌△ACE（SAS），
∴AD＝CP，BP＝AE，
∴AD＝EP，DP＝AE，
∴四边形PEAD是平行四边形；
当点P在△ABC外部，且∠BPC＝60°时，如图3所示：
∵△PBD、△PCE都是等边三角形，
∴∠BPD＝∠CPE＝60°，
∵∠BPC＝60°，
∴∠BPD+∠BPC+∠CPE＝180°，
∴点P、D、E三点共线，
∴P、E、A、D不能构成四边形；
当点P在直线BC下方时，如图4所示：
很明显，四边形PEAD不是平行四边形；
综上所述，当△PBC满足点P在直线BC的上方，且∠BPC≠60°时，即点P不在三角形ABC的外接圆上时，平行四边形PEAD一定存在．
32．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∵，F是DC边的中点，
∴AE＝DF，AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形；
（2）过点A作AN⊥DC于点N，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，
∴∠ADN＝∠B＝60°，
∵AB＝5，BC＝3，
∴AD＝3，DN＝AD＝1.5，AE＝DF＝2.5，
∴FN＝2.5﹣1.5＝1，则DE＝AF＝．
33．解：（1）∵AD∥BC
∴∠QDM＝∠PCM
∵M是CD的中点，
∴DM＝CM，
∵∠DMQ＝∠CMP，DM＝CM，∠QDM＝∠PCM
∴△PCM≌△QDM（ASA）．
∴DQ＝PC，
∵AD∥BC，
∴四边形PCQD是平行四边形，
∴不管点P在何位置，四边形PCQD始终是平行四边形；
（2）当四边形ABPQ是平行四边形时，PB＝AQ，
∵BC﹣CP＝AD+QD，
∴9﹣CP＝5+CP，
∴CP＝（9﹣5）÷2＝2．
∴当PC＝2时，四边形ABPQ是平行四边形．
34．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵DE＝AD，F是BC边的中点，
∴DE＝FC，DE∥FC，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）解：过点D作DN⊥BC于点N，如图：
则∠DNC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝60°，
∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝7，∠BCD＝∠A＝60°，∠CDN＝30°，
∵F是BC边的中点，
∴FC＝BC＝，NC＝DC＝3，DN＝NC＝3，
∴四边形CEDF的面积＝CF×DN＝×3＝．
35．（1）证明：连接AF、EC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△AEB和△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：在Rt△ABE中，∵AB＝6，∠ABE＝30°，
∴AE＝AB＝3，BE＝AE＝3，
在Rt△ADE中，DE＝＝5，
∵△AEB≌△CFD，
∴BE＝DF＝3，
∴EF＝2，
∴S平行四边形AECF＝2•S△AEF＝2××＝6．
36．（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
在△AGE与△CHF中，，
∴△AGE≌△CHF（SAS）；
（2）∵△AGE≌△CHF，
∴∠EG＝FH，∠AEG＝∠HFC，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
37．（1）证明：∵D、E分别是AB，AC中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF，
∴四边形CDEF是平行四边形，
（2）解：∵四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，
∴DC＝EF＝＝，
∴四边形BDEF的周长是1+1+2+1+＝5+．
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