2021年中考数学冲刺小题过关训练---矩形的性质和判定 （含详解）

这是一份2021年中考数学冲刺小题过关训练---矩形的性质和判定 （含详解），共16页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。

1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝6cm，则四边形CODE的周长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
2．如图，把一块含有30°角的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝50°，那么∠AFE的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
3．如图，矩形ABCD，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA．若∠ACB＝24°，则∠ECD的度数是（ ）
A．21°B．22°C．23°D．24°
4．在矩形ABCD中，以A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于F点，以C为圆心，CD长为半径画弧，交AB于E点，若AD＝2，CD＝，则EF＝（ ）
A．1B．4﹣C．﹣2D．3﹣
5．如图，点E在矩形ABCD的边CD上，满足CE：ED＝7：4，连接BE，过E作BE的垂线交边AD于点F，已知BE＝4EF，DF＝a，则AB等于（ ）
A．aB．aC．4aD．7a
6．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BC上取BE＝BO，连接AE，OE．若∠BOE＝75°，则∠CAE的度数等于（ ）
A．30°B．45°C．20°D．15
二．填空题
7．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝38°，则∠E的值是 ．
8．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为 ．
9．将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的倍（木条宽度忽略不计），则这个平行四边形的最小内角为 度．
三．解答题
10．已知：如图，过矩形ABCD的顶点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E．
（1）求证：∠CAE＝∠CEA；
（2）若AD＝1，∠E＝30°，求△ACE的周长．
11．如图，已知▱ABCD，延长AB到E，使BE＝AB，连接BD，ED，EC，若ED＝AD．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（2）连接AC，若AD＝6，CD＝3，求AC的长．
12．如图，已知E、F是矩形ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AE：EF：FC＝1：2：1，试求∠ACB的度数．
13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，作DE∥AC，CE∥BD，DE，CE相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是菱形．
（2）若矩形ABCD的面积为50，sin∠EDC＝，求点E到直线AB的距离．
14．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于点F，设＝λ（λ＞0）．
（1）若λ＝1，求证：CE＝FE；
（2）若AB＝3，AD＝4，且D、B、F在同一直线上时，求λ的值．
15．如图，在▱ABCD中，∠ABD＝90°，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是矩形．
（2）连接DE交BC于点F，连接AF，若CE＝3，∠DAB＝30°：求AF的长．
16．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC边于点E，点F在边AD上，且DF＝BE．
（1）求证：四边形AECF是矩形．
（2）若BF平分∠ABC，且DF＝1，AF＝3，求线段BF的长．
17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠C＝60°，E是BC的中点，BC＝2AD＝，△DEF是等边三角形，连接BF、AF．
（1）求证：四边形ADEB为矩形．
（2）求△BEF的面积．
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝2，求△OEC的面积．
参考答案
一．选择题
1．解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝6，OA＝OC，OB＝OD，
∴OD＝OC＝AC＝3，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为＝4OC＝4×3＝12．
故选：D．
2．解：∵四边形CDEF为矩形，
∴EF∥DC，
∴∠AGE＝∠1＝50°，
∵∠AGE为△AGF的外角，且∠A＝30°，
∴∠AFE＝∠AGE﹣∠A＝20°．
故选：B．
3．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝24°，
∴∠ACD＝90°﹣24°＝66°，
∵∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠E，∠AFC＝∠FAE+∠E
∴∠AFC＝2∠E
∵AB∥CD
∴∠E＝∠DCE
∴∠ACD＝3∠DCE＝66°，
∴∠DCE＝22°
故选：B．
4．解：连接CE，则CE＝CD＝，BC＝AD＝2，
∵△BCE为直角三角形，
∴BE＝，
又∵BF＝AB﹣AF＝﹣2，
∴EF＝BE﹣BF＝1﹣（）＝3﹣．
故选：D．
5．解：设DE＝4x，EC＝7x，则AB＝DC＝11x，
∵∠BEF＝90°，
∴∠BEC+∠FED＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠C＝90°，
∴∠FED+∠EFD＝90°，
∴∠BEC＝∠EFD，
∴△BCE∽△EDF，
∴，
∵BE＝4EF，
∴，
∴x＝，
∴AB＝11x＝11×＝，
故选：B．
6．解：∵BE＝BO，∠BOE＝75°，
∴∠OBE＝180°﹣2×75°＝30°，
∴∠ABO＝∠ABC﹣∠OBE＝90°﹣30°＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝BO，∠BAO＝60°，
∵BO＝BE，
∴AB＝BE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，
∴∠CAE＝∠BAO﹣∠BAE＝60°﹣45°＝15°．
故选：D．
二．填空题
7．解：连接AC，交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠CBD＝∠ADB＝38°，OB＝OC，
∴∠ACB＝∠CBD＝38°，
又∵CE＝BD，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝38°，
∴∠E＝19°．
故答案为：19°．
8．解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴OM＝CD＝AB＝2.5，
∵AB＝5，AD＝12，
∴AC＝＝13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BO＝AC＝6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，
故答案为：20．
9．解：过点C作AB的垂线垂足是E，如图所示：
∵将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形木框ABCD的形状，并使其面积为矩形木框的，
∴BC＝CE，
∵sin∠CBE＝＝，
∴∠CBE＝∠A＝45°．
故答案为：45．
三．解答题
10．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥BE，AC＝BD．
又EC∥BD，
∴四边形DBEC是平行四边形．
∴CE＝DB．
∴AC＝EC．
∴∠CAE＝∠CEA；
（2）由（1）得∠DBA＝∠E＝30°，
∴BD＝2AD＝2，AB＝．
∴AC＝CE＝BD＝2，AE＝2AB＝2．
所以△ACE周长为4+2．
11．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵BE＝AB，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵AD＝BC，AD＝DE，
∴BC＝DE，
∴▱BECD是矩形；
（2）如图，
∵CD＝3，
∴AB＝BE＝3．
∵AD＝6，∠ABD＝90°，
∴BD＝＝＝3，
∴CE＝3，
∴AC＝＝＝3．
12．（1）证明：∵E、F是矩形ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°，∠BAE＝∠DCF，AB＝DC，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）解：∵∠BAE+∠ABE＝90°，∠ABE+∠EBC＝90°，
∴∠BAE＝∠CBE，
又∵∠AEB＝∠BEC，
∴△ABE∽△BCE，
∴＝，
∵AE：EF：FC＝1：2：1，
∴设AE＝x，EF＝2x，FC＝x，
∴＝，
∴BE＝x，
∴tan∠ECB＝＝＝，
∴∠ECB＝30°即∠ACB的度数为30°．
13．解：（1）∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵ABCD为矩形，
∴AC＝BD，OB＝OD，AO＝CO，
∴OC＝OD，
∴四边形OCED是菱形．
（2）连接EO并延长交CD于G交AB于F，
∵四边形OCED是菱形，
∴EO⊥CD，且EO＝2EG，
∠EDC＝∠BDC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴EF⊥AB，
设EG＝m，
∵sin∠EDC＝，
∴DE＝3EG＝3m，DG＝，
∴CD＝2DG＝4m，
∵EG＝GO＝OF，
∴GF＝2EG＝2m，
∴矩形ABCD的面积为CD•GF，即2m•4m＝50，
解得m＝或m＝﹣（舍）．
∴点E到AB的距离为3m＝．
解法二：依据菱形的性质得出sin∠EDC＝sin角BDC＝BC比BD，从而得出BC长度，再根据中位线定理得出OG，从而得出EF．
14．解：（1）证明：连接DE，如图：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C＝90°，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∵DF⊥AE，
∴∠DFE＝90°，
∴∠DFE＝∠C，
∵＝λ＝1，
∴AD＝AE，
∴∠ADE＝∠FED，
∴∠FED＝∠CED，
在△DFE和△DCE中，
，
∴△DFE≌△DCE（AAS），
∴CE＝FE；
（2）当D、B、F在同一直线上时，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，
在Rt△ADB中，AB＝3，AD＝4，
∴tan∠ABD＝＝，
∵DF⊥AE，
∴∠BFE＝90°，
∵∠ABD+∠DBC＝90°，∠DBC+∠FEB＝90°，
∴∠FEB＝∠ABD，
∴＝tan∠FEB＝tan∠ABD＝，
∵AB＝3，
∴BE＝，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，AE＝＝，
∴λ＝
＝
＝
＝．
15．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∵BE＝AB，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ABD＝90°，
∴∠DBE＝90°．
∴▱BECD是矩形；
（2）解：如图，取BE中点G，连接FG．
由（1）可知，FB＝FC＝FE，
∴FG＝CE＝1.5，FG⊥BE，
∵在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠CBE＝∠DAB＝30°．
∴BG＝．
∴AB＝BE＝3．
∴AG＝，
∴在Rt△AGF中，由勾股定理可求AF＝＝3．
16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
（2）解：∵BF平分∠ABC，AD∥BC，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠AFB，
∴AB＝AF＝3，AD＝BC＝4，
在Rt△ABE中，AE＝CF＝＝2，
在Rt△BFC中，BF＝＝＝2．
17．（1）证明：∵E是BC的中点，BC＝2AD，
∴AD＝BE，
∵AD∥BC，
∴AD∥BE，
∴四边形ADEB是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ADEB是矩形；
（2）解：过F作FM⊥BE，交EB的延长线于M，则∠M＝90°，
∵四边形ADEB是矩形，
∴∠DEB＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∵BC＝2，E为BC的中点，
∴CE＝BE＝，
∵∠C＝60°，
∴DE＝CE＝3，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠DEF＝60°，EF＝DE＝3，
∴∠FEB＝90°﹣60°＝30°，
∴FM＝EF＝×3＝，
∴△BEF的面积是×BE×FM＝××＝．
18．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：作OF⊥BC于F，如图所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴BF＝FC，
∴OF＝CD＝1，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝45°，
在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，
∴△OEC的面积＝•EC•OF＝1．