第15讲 角与角的运算 知识点及练习题 -小升初数学衔接教材

第15讲角与角的运算

【知识衔接】

————小学初中课程解读————

————小学知识回顾————

（1）1平角=180°，1周角=360°，1直角=90°，1周角=2平角=4直角.

（2）锐角：小于90°的角叫做锐角；钝角：大于90°小于180°的角叫做钝角.

————初中知识链接————

1. 角的概念

(1)    有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．

(2)角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．

2. 角的表示

1、角通常用三个大写字母及符号“∠”表示．三个大写字母应分别写在顶点和两边上的任意点，顶点的字母必须写在中间．如∠AOB，“O”表示顶点，"A、B"表示两边上的任意点．

2、角也可用一个大写字母表示．这个字母应写在顶点上．但当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能用一个大写字母表示．

3、角还可用一个数字或一个希腊字母表示．在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上数字或希腊字母．

3.度分秒

我们把1度的角60等分，每份就是1分的角，记作；把1分的角60等份，每份就是1秒的角，记作的角60等分，每份就是1秒的角，记作1".

    即：

    归纳：以度、分、秒为单位的角的度量制叫做角度制．

1平角=180°，1周角=360°.

4.角的大小比较

(1)度量方法：用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小。

(2)叠合方法：把两个角叠合在一起比较大小。

5.角的平分线

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．

6.尺规作图

熟练掌握用尺规作一个角等于已知角．

【经典题型】

小学经典题型

1．用10倍的放大镜看一个30°的角，这个角是（  ）

A. 30°    B. 300°    C. 3000°

【答案】A

2．角的大小和两条边的长短（       ）

A、有关     B、 无关    C、  不能确定

【答案】B

3．一个三角板有（      ）个直角

A、 1     B、 2     C、 3

【答案】A

4．一个等腰三角形，顶角是112度，它的两个底角是（      ）度。

某三角形中，∠A=40°，∠B=80°，   ∠C=（      ）。

【答案】34度  60度

5．锐角比直角（______），钝角比直角（______）。

【答案】  小  大

6．3：25时，时针和分针组成了一个（______）角；（______）时整，时针和分针组成了一个直角。

【答案】  锐  3或9

7．在钟面上，分针转动一周，时针转动的角度是（____）度。

【答案】30

初中经典题型

1．如图所示，如果∠AOD＞∠BOC，那么下列说法正确的是(　　)

A．∠AOB＜∠COD

B．∠AOB＞∠COD

C．∠AOB＝∠COD

D．∠AOB与∠COD的大小关系不能确定

【答案】B

【解析】

解：因为∠AOD与∠BOC中都包含∠BOD，所以都减去它，不等式仍成立，

∵∠AOD＞∠BOC，

∴∠AOD-∠BOD＞∠BOC-∠BOD，

即∠AOB＞∠COD．

故选：B．

2．如图，∠AOD－∠AOC等于(　　)

A．∠AOC B．∠BOC

C．∠BOD D．∠COD

【答案】D

【解析】

解：如右图所示，

∵∠AOD =∠AOC+∠COD，

∴∠AOD－∠AOC=∠COD，

故选：D．

3．时钟在2时40分时，时针与分针所夹的角的度数是（      ）

A．180° B．170° C．160° D．150°

【答案】C

【解析】

解：2点40分钟时，钟表的时针与分针形成的夹角的度数=40×6°-2×30°-40×0.5°=160°．

4．如图，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且OB恰好平分∠COD，则∠AOD的度数是

A．120° B．125°

C．135° D．150°

【答案】C

【解析】

∵OB平分∠COD,

∴∠COB=∠BOD=45°

∵∠AOB=90°

∴∠AOC=45°

∴∠AOD=135°

故选:C.

5．    当时刻为下午3：30时，钟表上的时针与分针间的夹角是（　　）

A．60° B．70° C．75° D．85°

【答案】C

【解析】

下午3：30时时针与分针相距2+＝份，

每份之间相距30°，

下午3：30时，钟表上的时针与分针间的夹角是30×＝75°，

故选：C．

6．如图所示，平分，平分，，，则的度数为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，

∴∠CON＝∠DON，∠BOM＝∠AOM，

∵∠CON＋∠BOM＝∠MON−∠BOC＝（m−n）°，

∴∠COD＋∠AOB＝2（∠CON＋∠BOM）＝2（m−n）°，

则∠AOD＝∠COD＋∠AOB＋∠BOC＝（2m−2n＋n）°＝（2m−n）°．

故选：C．

7．把15°48′36″化成以度为单位是（  ）

A．15.8°    B．15.4836°    C．15.81°    D．15.36°

【答案】C

【解析】

试题分析：根据度、分、秒之间的换算关系求解．

解：15°48′36″，

=15°+48′+（36÷60）′，

=15°+（48.6÷60）°，

=15.81°．

故选C．

考点：度分秒的换算．

8．已知∠AOB=80°，OM是∠AOB的平分线，∠BOC=20°，ON是∠BOC的平分线，则∠MON的度数为（  ）

A．30°    B．40°    C．50°    D．30°或50°

【答案】D

【解析】

试题分析：由于OA与∠BOC的位置关系不能确定，故应分OA在∠BOC内和在∠BOC外两种情况进行讨论．

解：当OA与∠BOC的位置关系如图1所示时，

∵OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠AOB=80°，∠COB=20°，

∴∠AOM=∠AOB=×80°=40°，∠BON=∠COB=×20°=10°，

∴∠MON=∠BON﹣∠AOM=40°﹣10°=30°；

当OA与∠BOC的位置关系如图2所示时，

∵OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠AOB=80°，∠COB=20°，

∴∠BOM=∠AOB=×80°=40°，∠BON=∠BOC=×20°=10°，

∴∠MON=∠BOM+∠BON=10°+40°=50°．

故选：D．

考点：角平分线的定义．

9．时钟的时针经过1小时，旋转的角度为______．

【答案】30°．

【解析】

因为时钟上的时针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的时针匀速旋转一周需要12小时，

则时钟上的时针匀速旋转一小时的度数为：360÷12=30°，

故答案为：30°．

10．如图,将一副三角板的直角顶点重合,摆放在桌面上,若∠BOC=∠AOD，则∠AOD=______°.

【答案】144°

【解析】

∵∠AOB=∠COD=90°，

∴∠AOD+∠BOC

=∠AOB+DOB+∠BOC

=∠AOB+∠COD

=90°+90°

=180°，

∵∠BOC=∠AOD，

∴∠AOD+∠AOD=180°，

∴∠AOD=144°．

故答案为：144°．

11如图，CB⊥AB，∠CBA与∠CBD的度数比是5：1，则∠DBA＝_____．

【答案】72°

【解析】

∵CB⊥AB，

∴∠CBA＝90°，

∵∠CBA与∠CBD的度数比是5：1，

∴∠DBA＝∠CBA＝×90°＝72°．

故答案为：72°．

12．把30°30′用度表示为__________．

【答案】30.5°

【解析】

∵30′=30÷60=0.5°

∴30°30′=30.5°

13．如图，已知OE平分∠AOB，OD平分∠BOC，∠AOB为直角，∠EOD＝70°，则∠BOC＝________°.

【答案】50

【解析】

解：∵OE平分∠AOB，OD平分∠BOC，

，

∴，即，

解得：∠BOC=50°．

故答案是：50

14．如图，通过测量，用“>”“<”或“＝”填空：

(1)∠AOD________∠BOC；

(2)∠AOC________∠COD；

(3)∠AOD________∠COD；

(4)∠AOB________∠BOD.

【答案】>    >    <    >   

【解析】

解：∵通过测量可知∠AOB>∠AOC >∠BOD>∠COD>∠AOD>∠BOC，

∴∠AOD>∠BOC，

∠AOC>∠COD，

∠AOD<∠COD，

∠AOB>∠BOD.

15．计算

（1）25°34′48″﹣15°26′37″

（2）105°18′48″+35.285°．

【答案】（1）10°8′11″；（2）140°35′54″．

【解析】

试题分析：（1）根据度分秒的计算，度、分、秒同一单位分别相减即可；

（2）先把35.285°的小数部分乘以60化为分，再把小数部分乘以60化为秒，然后度、分、秒同一单位相加，超过60的部分进1即可．

解：（1）25°34′48″﹣15°26′37″=10°8′11″；

（2）105°18′48″+35.285°

=105°18′48″+35°17′6″

=140°35′54″．

考点：度分秒的换算．

16．如图：O为直线AB上一点，，OC是的平分线.求：的度数

【答案】45

【解析】

解：∵∠AOC=∠BOC, ∠AOC+∠BOC=180

∴4 ∠AOC=180, ∠AOC =45

∵OC平分∠AOD

∴∠COD=∠AOC =45

17．如图所示，是从的顶点处引出的一条射线，分别平分，，，求的大小.

【答案】

【解析】

解：∵，

∴

又∵，

所以.

18．如图1，从的顶点处引一条射线，分别为的角平分线，.

（1）射线在内部时，求的度数；

（2）射线在外部时，如图2，求的度数.

【答案】（1）；（2）

【解析】

解：（1）

（2）

【实战演练】

1．下列说法中正确的是（  ）

A．两点之间的所有连线中，线段最短

B．射线就是直线

C．两条射线组成的图形叫做角

D．小于平角的角可分为锐角和钝角两类

【答案】A

【解析】

试题分析：根据线段、射线和角的概念，对选项一一分析，选择正确答案．

解：A、两点之间的所有连线中，线段最短，选项正确；

B、射线是直线的一部分，选项错误；

C、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，选项错误；

D、小于平角的角可分为锐角、钝角，还应包含直角，选项错误．

故选A．

考点：直线、射线、线段；角的概念．

2．8点30分时，时钟的时针与分针所夹的锐角是（  ）

A．70°          B．75°          C．80°         D．60°

【答案】B．

【解析】

试题分析：钟面每份是30°，8点30分时针与分针相距2．5份，8点30分时，时钟的时针与分针所夹的锐角是30°×2．5=75°，故选B．

考点：钟面角

3．已知，∠AOC=90°，且∠AOB：∠AOC=2：3，则∠BOC的度数为（  ）

A．30°     B．150°     C．30°或150°     D．90°

【答案】C．

【解析】

试题分析：当在内部时，当在外部时，故选C．

考点：角的计算．

4．如图所示，已知O是直线AB上一点，∠1＝40°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是（    ）

（A）20°     （B）25°     （C）30°     （D）70°

【答案】D

【解析】

试题分析：∵∠1＝40°，∴∠BOC＝140°，∵OD平分∠BOC，∴∠2＝70°.

5．如图，用一副三角板画角，不可能画出的角的度数是(   )

A．120° B．85° C．135° D．165°

【答案】B

【解析】

解：A、120°＝90°+30°，故本选项错误；

B、85°不能写成90°、60°、45°、30°的和或差，故本选项正确；

C、135°＝90°+45°，故本选项错误；

D、165°＝90°+45°+30°，故本选项错误．

故选：B．

6．把用度、分、秒表示正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

根据角的换算可得8.32°=8°+0.32×60′
=8°+19.2′
=8°+19′+0.2×60″
=8°19′12″．
故选D．

7．已知∠A=25.12°，∠B=25°12′，∠C=1518′，那么的大小关系为（　　）

A．∠A＞∠B＞∠C B．∠A＜∠B＜∠C C．∠B＞∠A＞∠C D．∠C＞∠A＞∠B

【答案】B

【解析】

解：∠A=25.12°，∠B=25°12′=25.2°，∠C=1518′=25.3°，

∠A＜∠B＜∠C，

故选：B．

8．下列说法正确的是（　　）

A．若MN=2MC，则点C是线段MN的中点

B．点到直线的距离是指从直线外一点到这条直线的垂线的长度

C．有AB=MA+MB，AB<NA+NB，则点M在线段AB上，点N在线段AB外

D．一条射线把一个角分成两个角，这条射线是这个角的平分线

【答案】C

【解析】

A、点C不在线段MN上时，MN=2MC，则点C不是线段MN的中点，故A错误；
B、点到直线的距离是指从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，故B错误；
C、有AB=MA+MB，则点M在线段AB上，AB<NA+NB，点N在线段AB外，故C正确；
D、一条射线把一个角平均分成两个角，这条射线是这个角的平分线，故D错误；
故选：C．

9．下列关系式正确的是（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

因为，

所以正确答案是：D

故选：D

10．如图，∠AOD﹣∠AOC＝（　　）

A．∠ADC B．∠BOC C．∠BOD D．∠COD

【答案】D

【解析】

解：结合图形，显然∠AOD﹣∠AOC＝∠COD．

故选：D．

11．计算：15°37′+42°51′=      ．

【答案】58°28′．

【解析】

试题分析：把分相加，超过60的部分进为1度即可得解．

解：∵37+51=88，

∴15°37′+42°51′=58°28′．

故答案为：58°28′．

考点：度分秒的换算．

12．直线AB、CD相交于点O，OE是∠AOD的平分线，∠AOC=26°，则∠AOE的度数为       ．

【答案】77°

【解析】

试题分析：根据平角的性质可得：∠AOD=180°－26°=154°，根据角平分线的性质可得：∠AOE=154°÷2=77°．

考点：角度的计算

13．57.32°=      °      ′      ″．

【答案】57°19′12″．

【解析】

试题分析：根据1度等于60分，1分等于60秒，不到一度的化成分，不到一分的化成秒，可得答案．

解：57.32°=57°19′12″，

故答案为：57°19′12″．

考点：度分秒的换算．

14．计算：

（1）22°18′×5；

（2）90°﹣57°23′27″．

【答案】（1）111°30′；（2）32°36′33″．

【解析】

15．如图，平分，ON平分,若，，求度数.

【答案】.

【解析】

解：∵平分，ON平分，

∴∠AOM=∠BOM, ∠DON=∠CON,

∴，

∴.

16．如图，是平角，分别平分，当射线绕点旋转时，的大小是否变化，如果不变，求的大小.

【答案】不变， .

【解析】

解：不变，.理由如下：

∵是平角，

∴=180°，

∵OM,ON分别平分，

∴，,

∴=== =90°.