第15讲 角与角的运算 知识点及练习题 -小升初数学衔接教材

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第15讲角与角的运算【知识衔接】————小学初中课程解读————小学课程初中课程 小学数学中，要求知道平角与周角，了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系;能用量角器量指定角的度数，能画指定度数的角，会用三角尺画30°，45°，60°，90°角。初中数学中，理解角的概念，能比较角的大小;认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差;理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等的性质。————小学知识回顾————（1）1平角=180°，1周角=360°，1直角=90°，1周角=2平角=4直角.（2）锐角：小于90°的角叫做锐角；钝角：大于90°小于180°的角叫做钝角. ————初中知识链接———— 角的概念(1)    有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．(2)角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． 角的表示1、角通常用三个大写字母及符号“∠”表示．三个大写字母应分别写在顶点和两边上的任意点，顶点的字母必须写在中间．如∠AOB，“O”表示顶点，"A、B"表示两边上的任意点．2、角也可用一个大写字母表示．这个字母应写在顶点上．但当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能用一个大写字母表示．3、角还可用一个数字或一个希腊字母表示．在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上数字或希腊字母．3.度分秒我们把1度的角60等分，每份就是1分的角，记作；把1分的角60等份，每份就是1秒的角，记作的角60等分，每份就是1秒的角，记作1".    即：    归纳：以度、分、秒为单位的角的度量制叫做角度制．1平角=180°，1周角=360°.4.角的大小比较(1)度量方法：用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小。(2)叠合方法：把两个角叠合在一起比较大小。5.角的平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．6.尺规作图熟练掌握用尺规作一个角等于已知角．【经典题型】小学经典题型1．用10倍的放大镜看一个30°的角，这个角是（  ）A. 30°    B. 300°    C. 3000°【答案】A2．角的大小和两条边的长短（       ）A、有关     B、 无关    C、  不能确定【答案】B3．一个三角板有（      ）个直角A、 1     B、 2     C、 3【答案】A4．一个等腰三角形，顶角是112度，它的两个底角是（      ）度。某三角形中，∠A=40°，∠B=80°，   ∠C=（      ）。【答案】34度  60度5．锐角比直角（______），钝角比直角（______）。【答案】  小  大6．3：25时，时针和分针组成了一个（______）角；（______）时整，时针和分针组成了一个直角。【答案】  锐  3或97．在钟面上，分针转动一周，时针转动的角度是（____）度。【答案】30 初中经典题型1．如图所示，如果∠AOD＞∠BOC，那么下列说法正确的是(　　)A．∠AOB＜∠CODB．∠AOB＞∠CODC．∠AOB＝∠CODD．∠AOB与∠COD的大小关系不能确定【答案】B【解析】解：因为∠AOD与∠BOC中都包含∠BOD，所以都减去它，不等式仍成立，∵∠AOD＞∠BOC，∴∠AOD-∠BOD＞∠BOC-∠BOD，即∠AOB＞∠COD．故选：B．2．如图，∠AOD－∠AOC等于(　　)A．∠AOC B．∠BOCC．∠BOD D．∠COD【答案】D【解析】解：如右图所示， ∵∠AOD =∠AOC+∠COD，∴∠AOD－∠AOC=∠COD，故选：D．3．时钟在2时40分时，时针与分针所夹的角的度数是（      ）A．180° B．170° C．160° D．150°【答案】C【解析】解：2点40分钟时，钟表的时针与分针形成的夹角的度数=40×6°-2×30°-40×0.5°=160°．4．如图，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且OB恰好平分∠COD，则∠AOD的度数是A．120° B．125°C．135° D．150°【答案】C【解析】∵OB平分∠COD,∴∠COB=∠BOD=45°∵∠AOB=90°∴∠AOC=45°∴∠AOD=135°故选:C.5．    当时刻为下午3：30时，钟表上的时针与分针间的夹角是（　　）A．60° B．70° C．75° D．85°【答案】C【解析】下午3：30时时针与分针相距2+＝份，每份之间相距30°，下午3：30时，钟表上的时针与分针间的夹角是30×＝75°，故选：C．6．如图所示，平分，平分，，，则的度数为（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，∴∠CON＝∠DON，∠BOM＝∠AOM，∵∠CON＋∠BOM＝∠MON−∠BOC＝（m−n）°，∴∠COD＋∠AOB＝2（∠CON＋∠BOM）＝2（m−n）°，则∠AOD＝∠COD＋∠AOB＋∠BOC＝（2m−2n＋n）°＝（2m−n）°．故选：C．7．把15°48′36″化成以度为单位是（  ）A．15.8°    B．15.4836°    C．15.81°    D．15.36°【答案】C【解析】试题分析：根据度、分、秒之间的换算关系求解．解：15°48′36″，=15°+48′+（36÷60）′，=15°+（48.6÷60）°，=15.81°．故选C．考点：度分秒的换算．8．已知∠AOB=80°，OM是∠AOB的平分线，∠BOC=20°，ON是∠BOC的平分线，则∠MON的度数为（  ）A．30°    B．40°    C．50°    D．30°或50°【答案】D【解析】试题分析：由于OA与∠BOC的位置关系不能确定，故应分OA在∠BOC内和在∠BOC外两种情况进行讨论．解：当OA与∠BOC的位置关系如图1所示时，∵OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠AOB=80°，∠COB=20°，∴∠AOM=∠AOB=×80°=40°，∠BON=∠COB=×20°=10°，∴∠MON=∠BON﹣∠AOM=40°﹣10°=30°；当OA与∠BOC的位置关系如图2所示时，∵OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠AOB=80°，∠COB=20°，∴∠BOM=∠AOB=×80°=40°，∠BON=∠BOC=×20°=10°，∴∠MON=∠BOM+∠BON=10°+40°=50°．故选：D．考点：角平分线的定义．9．时钟的时针经过1小时，旋转的角度为______．【答案】30°．【解析】因为时钟上的时针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的时针匀速旋转一周需要12小时， 则时钟上的时针匀速旋转一小时的度数为：360÷12=30°， 故答案为：30°．10．如图,将一副三角板的直角顶点重合,摆放在桌面上,若∠BOC=∠AOD，则∠AOD=______°.【答案】144°【解析】∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+DOB+∠BOC=∠AOB+∠COD=90°+90°=180°，∵∠BOC=∠AOD，∴∠AOD+∠AOD=180°，∴∠AOD=144°．故答案为：144°．11如图，CB⊥AB，∠CBA与∠CBD的度数比是5：1，则∠DBA＝_____．【答案】72°【解析】∵CB⊥AB，∴∠CBA＝90°，∵∠CBA与∠CBD的度数比是5：1，∴∠DBA＝∠CBA＝×90°＝72°．故答案为：72°．12．把30°30′用度表示为__________．【答案】30.5°【解析】∵30′=30÷60=0.5°∴30°30′=30.5°13．如图，已知OE平分∠AOB，OD平分∠BOC，∠AOB为直角，∠EOD＝70°，则∠BOC＝________°.【答案】50【解析】解：∵OE平分∠AOB，OD平分∠BOC，，∴，即，解得：∠BOC=50°．故答案是：5014．如图，通过测量，用“>”“<”或“＝”填空：(1)∠AOD________∠BOC；(2)∠AOC________∠COD；(3)∠AOD________∠COD；(4)∠AOB________∠BOD.【答案】>    >    <    >    【解析】解：∵通过测量可知∠AOB>∠AOC >∠BOD>∠COD>∠AOD>∠BOC，∴∠AOD>∠BOC，∠AOC>∠COD，∠AOD<∠COD，∠AOB>∠BOD.15．计算（1）25°34′48″﹣15°26′37″（2）105°18′48″+35.285°．【答案】（1）10°8′11″；（2）140°35′54″．【解析】试题分析：（1）根据度分秒的计算，度、分、秒同一单位分别相减即可；（2）先把35.285°的小数部分乘以60化为分，再把小数部分乘以60化为秒，然后度、分、秒同一单位相加，超过60的部分进1即可．解：（1）25°34′48″﹣15°26′37″=10°8′11″；（2）105°18′48″+35.285°=105°18′48″+35°17′6″=140°35′54″．考点：度分秒的换算．16．如图：O为直线AB上一点，，OC是的平分线.求：的度数【答案】45【解析】解：∵∠AOC=∠BOC, ∠AOC+∠BOC=180∴4 ∠AOC=180, ∠AOC =45∵OC平分∠AOD∴∠COD=∠AOC =4517．如图所示，是从的顶点处引出的一条射线，分别平分，，，求的大小.【答案】【解析】解：∵，∴又∵，所以.18．如图1，从的顶点处引一条射线，分别为的角平分线，.（1）射线在内部时，求的度数；（2）射线在外部时，如图2，求的度数.【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）（2）【实战演练】1．下列说法中正确的是（  ）A．两点之间的所有连线中，线段最短B．射线就是直线C．两条射线组成的图形叫做角D．小于平角的角可分为锐角和钝角两类【答案】A【解析】试题分析：根据线段、射线和角的概念，对选项一一分析，选择正确答案．解：A、两点之间的所有连线中，线段最短，选项正确；B、射线是直线的一部分，选项错误；C、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，选项错误；D、小于平角的角可分为锐角、钝角，还应包含直角，选项错误．故选A．考点：直线、射线、线段；角的概念．2．8点30分时，时钟的时针与分针所夹的锐角是（  ）A．70°          B．75°          C．80°         D．60°【答案】B．【解析】试题分析：钟面每份是30°，8点30分时针与分针相距2．5份，8点30分时，时钟的时针与分针所夹的锐角是30°×2．5=75°，故选B．考点：钟面角3．已知，∠AOC=90°，且∠AOB：∠AOC=2：3，则∠BOC的度数为（  ）A．30°     B．150°     C．30°或150°     D．90°【答案】C．【解析】试题分析：当在内部时，当在外部时，故选C．考点：角的计算．4．如图所示，已知O是直线AB上一点，∠1＝40°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是（    ）（A）20°     （B）25°     （C）30°     （D）70°【答案】D【解析】试题分析：∵∠1＝40°，∴∠BOC＝140°，∵OD平分∠BOC，∴∠2＝70°.5．如图，用一副三角板画角，不可能画出的角的度数是(   )A．120° B．85° C．135° D．165°【答案】B【解析】解：A、120°＝90°+30°，故本选项错误；B、85°不能写成90°、60°、45°、30°的和或差，故本选项正确；C、135°＝90°+45°，故本选项错误；D、165°＝90°+45°+30°，故本选项错误．故选：B．6．把用度、分、秒表示正确的是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据角的换算可得8.32°=8°+0.32×60′
=8°+19.2′
=8°+19′+0.2×60″
=8°19′12″．
故选D．7．已知∠A=25.12°，∠B=25°12′，∠C=1518′，那么的大小关系为（　　）A．∠A＞∠B＞∠C B．∠A＜∠B＜∠C C．∠B＞∠A＞∠C D．∠C＞∠A＞∠B【答案】B【解析】解：∠A=25.12°，∠B=25°12′=25.2°，∠C=1518′=25.3°，∠A＜∠B＜∠C，故选：B．8．下列说法正确的是（　　）A．若MN=2MC，则点C是线段MN的中点B．点到直线的距离是指从直线外一点到这条直线的垂线的长度C．有AB=MA+MB，AB<NA+NB，则点M在线段AB上，点N在线段AB外D．一条射线把一个角分成两个角，这条射线是这个角的平分线【答案】C【解析】A、点C不在线段MN上时，MN=2MC，则点C不是线段MN的中点，故A错误；
B、点到直线的距离是指从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，故B错误；
C、有AB=MA+MB，则点M在线段AB上，AB<NA+NB，点N在线段AB外，故C正确；
D、一条射线把一个角平均分成两个角，这条射线是这个角的平分线，故D错误；
故选：C．9．下列关系式正确的是（     ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以正确答案是：D故选：D10．如图，∠AOD﹣∠AOC＝（　　）A．∠ADC B．∠BOC C．∠BOD D．∠COD【答案】D【解析】解：结合图形，显然∠AOD﹣∠AOC＝∠COD．故选：D．11．计算：15°37′+42°51′=      ．【答案】58°28′．【解析】试题分析：把分相加，超过60的部分进为1度即可得解．解：∵37+51=88，∴15°37′+42°51′=58°28′．故答案为：58°28′．考点：度分秒的换算．12．直线AB、CD相交于点O，OE是∠AOD的平分线，∠AOC=26°，则∠AOE的度数为       ．【答案】77°【解析】试题分析：根据平角的性质可得：∠AOD=180°－26°=154°，根据角平分线的性质可得：∠AOE=154°÷2=77°．考点：角度的计算13．57.32°=      °      ′      ″．【答案】57°19′12″．【解析】试题分析：根据1度等于60分，1分等于60秒，不到一度的化成分，不到一分的化成秒，可得答案．解：57.32°=57°19′12″，故答案为：57°19′12″．考点：度分秒的换算．14．计算：（1）22°18′×5；（2）90°﹣57°23′27″．【答案】（1）111°30′；（2）32°36′33″．【解析】15．如图，平分，ON平分,若，，求度数.【答案】.【解析】解：∵平分，ON平分，∴∠AOM=∠BOM, ∠DON=∠CON,∴，∴.16．如图，是平角，分别平分，当射线绕点旋转时，的大小是否变化，如果不变，求的大小.【答案】不变， .【解析】解：不变，.理由如下：∵是平角，∴=180°，∵OM,ON分别平分，∴，,∴=== =90°.