第16讲 余角和补角 知识点及练习题 -小升初衔接数学教材

第16讲余角和补角

【知识衔接】

————小学初中课程解读————

————小学知识回顾————

（1）1平角=180°，1周角=360°，1直角=90°，1周角=2平角=4直角.

（2）锐角：小于90°的角叫做锐角；钝角：大于90°小于180°的角叫做钝角.

————初中知识链接————

1.余角与补角的概念

一般情况下,如果两个角的和等于90度(直角),我们就说这两个角互为余角,即其中每一个角是另一个角的余角.例如,∠1与∠2互为余角,∠1是∠2的余角,∠2也是∠1的余角.

同样,如果两个角的和等于180度 (平角),就说这两个角互为补角,即其中一个角是另一个角的补角.

2.余角与补角的性质

等角(同角)的余角相等;等角(同角)的补角相等.

3.方位角

表示方位的角叫做方位角，是由标准方向线北端或者南端开始顺时针方向到某一直线的夹角.

方位的表示通常用“北偏东多少度”、“北偏西多少度”或者“南偏东多少度”、“南偏西多少度”来表示.“北偏东45度”、“北偏西45度"、“南偏东45度”、“南偏西45度”,分别称为“东北方向”、“西北方向”,“东南方向”、“西南方向”.

说明:用量角器画射线要注意两点:一是先从正南或正北方向作角的始边,二要分清东南西北,理解偏东、偏西的意义.

【经典题型】

初中经典题型

1．一个角的余角比这个角的多30°，请你计算出这个角的大小．

【答案】48°．

【解析】

试题分析：设这个角的度数为度，则余角为度，根据这个角的余角比这个角的还多即可列方程求解．

试题解析：设这个角为，则其余角为，依题意得：，解方程得：． 

考点：余角和补角．

2．如图，∠AOB=35°，∠BOC=90°，OD是∠AOC的平分线，求∠BOD的度数．

【答案】27.5°．

【解析】

3．如图，已知OB的方向是南偏东60°，OA、OC分别平分∠NOB和∠NOE，

（1）请直接写出OA的方向是      ，OC的方向是      ．

（2）求∠AOC的度数．

【答案】（1）OA的方向是北偏东60°；OC的方向是北偏东45°；（2）15°

【解析】

试题分析：（1）先计算出∠NOC与∠NOA的度数，然后得到OC与OA的方向；

（2）由OB的方向是南偏东60°得到∠BOE=30°，则∠NOB=120°，根据OA平分∠NOB得到∠NOA=60°，再由OC分别平分∠NOE得到∠NOC=∠NOE=45°，然后利用∠AOC=∠NOA﹣∠NOC进行计算．

解：（1）OA的方向是北偏东60°；OC的方向是北偏东45°；[来源:学§科§网Z§X§X§K]

（2）∵OB的方向是南偏东60°，

∴∠BOE=30°，

∴∠NOB=30°+90°=120°，

∵OA平分∠NOB，

∴∠NOA=∠NOB=60°，

∵OC分别平分∠NOE，

∴∠NOC=∠NOE=45°，

∴∠AOC=∠NOA﹣∠NOC=60°﹣45°=15°．[来源:Zxxk.Com]

故答案为北偏东60°；北偏东45°．

考点：方位角．

【实战演练】

————再战初中题 —— 能力提升————

1．若∠A=64°，则它的余角等于（  ）

A．116°    B．26°    C．64°    D．50°

【答案】B

【解析】

试题分析：根据两个角的和为90°，则这两个角互余计算即可．

解：∵∠A=64°，

∴90°﹣∠A=26°，

∴∠A的余角等于26°，

故选：B．

考点：余角和补角．[来源:Z。xx。k.Com]

2．甲看乙的方向是北偏东30°，那么乙看甲的方向是（  ）

A．南偏东60°    B．南偏西60°    C．南偏东30°    D．南偏西30°

【答案】D

考点：方位角．

3．如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③（∠α+∠β）；④（∠α﹣∠β）．正确的有（  ）

A．4个    B．3个    C．2个    D．1个

【答案】B

【解析】

试题分析：根据角的性质，互补两角之和为180°，互余两角之和为90°，可将，①②③④中的式子化为含有∠α+∠β的式子，再将∠α+∠β=180°代入即可解出此题．

解：∵∠α和∠β互补，

∴∠α+∠β=180°．因为90°﹣∠β+∠β=90°，所以①正确；

又∠α﹣90°+∠β=∠α+∠β﹣90°=180°﹣90°=90°，②也正确；

（∠α+∠β）+∠β=×180°+∠β=90°+∠β≠90°，所以③错误；

（∠α﹣∠β）+∠β=（∠α+∠β）=×180°=90°，所以④正确．

综上可知，①②④均正确．

故选B．

考点：余角和补角．

4．如图，南偏东15°和北偏东25°的两条射线组成的角（即∠AOB）等于（  ）度．

A．40°    B．80°    C．50°    D．140°

【答案】D

【解析】

试题分析：根据角的和差，可得答案．

解：如图

，

南偏东15°和北偏东25°，得∠AOC=25°，∠BOD=15°．[来源:Zxxk.Com]

由角的和差，得

∠AOB=180°﹣∠AOC﹣∠BOD

=180°﹣25°﹣15°

=140°，

故选：D．

考点：方位角．

5．如图，∠AOB是直角，∠AOC=38°，OD平分∠BOC，则∠AOD的度数为（  ）

A．52°    B．38°    C．64°    D．26°

【答案】C

【解析】

试题分析：先求得∠BOC的度数，然后由角平分线的定义可求得∠BOD的度数，最后根据∠AOD=∠AOB﹣∠BOD求解即可．

解：∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=90°﹣38°=52°，

∵OD平分∠BOC，

∴∠BOD=∠BOC=26°．

∴∠AOD=∠AOB﹣∠BOD=90°﹣26°=64°．

故选：C．

考点：角平分线的定义．

6．下列说法中正确的个数是（  ）

①锐角的补角一定是钝角；

②一个角的补角一定大于这个角；

③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等；

④锐角和钝角互补：

⑤如果互补的两个角相等，那么这两个角都是90°．

A．1    B．2    C．3    D．4

【答案】C

【解析】

考点：余角和补角．

7．已知∠A=75°，则∠A的补角等于（  ）

A．125°    B．105°    C．15°    D．95°

【答案】B

【解析】

试题分析：根据补角的定义求解即可．

解：∠A的补角=180°﹣∠A=180°﹣75°=105°．

故选：B．

考点：余角和补角．

8．一个角的度数比它的余角的度数大20°，则这个角的度数是（  ）

A．20°    B．35°    C．45°    D．55°

【答案】

【解析】D

试题分析：设这个角为x，则它的余角为90°﹣x，根据题意可得出x的值．

解：设这个角为x，则它的余角为90°﹣x，

由题意得，x﹣（90°﹣x）=20°，

解得：x=55°．

故选D．

考点：余角和补角．

9．如果一个角的补角是120°，那么这个角的余角是（  ）

A．150°        B．90°           C．60°             D．30°

【答案】D．

【解析】

试题分析：根据题意可得这个角是60°，60°的余角是30°，可得D项．

考点：补角和余角的概念．

10．∠1的余角是50°，∠2的补角是150°，则∠1与∠2的大小关系是      ．

【答案】∠1＞∠2

【解析】

试题分析：根据余角定义：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角可得∠1的度数，根据补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角可得∠2的度数，进而可得答案．

解：∵∠1的余角是50°，

∴∠1=90°﹣50°=40°，

∵∠2的补角是150°，

∴∠2=180°﹣150°=30°，

∴∠1＞∠2，

故答案为：∠1＞∠2．

考点：余角和补角．

11．若一个角的余角比它的补角的还多1°，则这个角的大小是            ．

【答案】63°．

【解析】

试题分析：设这个角为x°，则它的余角为（90-x）°，它的的补角为（180-x）°，根据题意得90-x=（180-x）+1，解得x=63°．

故答案为：63°．

考点：角度的计算；补角；余角．

12．一个角的余角是54°38′，则这个角的补角是      ．

【答案】144°38′

【解析】

试题分析：根据余角是两个角的和为90°，这两个角互为余角，两个角的和为180°，这两个角互为补角，可得答案．

解：∵一个角的余角是54°38′

∴这个角为：90°﹣54°38′=35°22′，

∴这个角的补角为：180°﹣35°22′=144°38′．

故答案为：144°38′．

考点：余角和补角；度分秒的换算．

13．南偏东25°和北偏东35°的两条射线组成的角等于      度．

【答案】120

【解析】

试题分析：根据方位角的概念和平角的定义解答．

解：如图，

南偏东25°和北偏东35°的两条射线组成的角等于：180°﹣25°﹣35°=120°，

故答案为：120．

考点：方位角．

14．如果一个角的补角是142°，那么这个角的余角是      ．

【答案】52°

【解析】

试题分析：根据余角和补角的概念列式计算即可．

解：∵一个角的补角是142°，

∴这个角为：180°﹣142°=38°，

∴这个角的余角是：90°﹣38°=52°．

故答案为：52°．

考点：余角和补角．

15.若一个角的余角与这个角的补角之比是2：7，求这个角的邻补角．

【答案】126°

【解析】

考点：余角和补角；一元一次方程的应用．

16．如图，O是直线AB上一点，OC为任意一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．

（1）指出图中∠AOD与∠BOE的补角；

（2）试判断∠COD与∠COE具有怎样的数量关系．并说明理由．

【答案】（1）∠AOD的补角为∠BOD，∠COD；∠BOE的补角为∠AOE，∠COE；

（2）∠COD+∠COE=90º，理由参见解析．

【解析】

试题分析：（1）两个角相加等于180度即为互为补角，由互为补角意义，和已知的角平分线即可得出结论；（2）利用平角是180度和角平分线意义即可得出结论．

试题解析：（1）因为∠AOD+∠BOD=180º，所以∠AOD的补角为∠BOD，又因为OD平分∠BOC，所以∠COD=∠BOD，所以∠AOD的补角为∠BOD，∠COD；同理因为∠AOE+∠BOE=180º，所以∠BOE的补角为∠AOE，又因为OE平分∠AOC，所以∠COE=∠AOE，所以∠BOE的补角为∠AOE，∠COE；（2）∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠COE=∠AOC，∠COD=∠BOC， ∴∠COD+∠COE=∠BOC+∠AOC=∠AOB=90º，即∠COD与∠COE的数量关系是∠COD+∠COE=90º．

考点：1．互为补角意义；2．互余的意义．

17．如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上，同时，在它北偏东30°、西北（即北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B和海岛C．

（1）仿照表示灯塔方位的方法，分别画出表示客轮B和海岛C方向的射线OB，OC（不写作法）；[来源:Zxxk.Com]

（2）若图中有一艘渔船D，且∠AOD的补角是它的余角的3倍，画出表示渔船D方向的射线OD，则渔船D在货轮O的      （写出方位角）学科网

【答案】（1）见解析；（2）D在O南偏东15°或北偏东75°．

【解析】

试题分析：（1）根据方位角的度数，可得答案；

（2）根据余角与补角的关系，可得∠AOD的度数，根据角的和差，可得方位角．

解：（1）如图1：

，

（2）如图2：

，

由∠AOD的补角是它的余角的3倍，得

180°﹣∠AOD=3（180°﹣∠AOD）．

解得∠AOD=45°．

故D在O南偏东15°或北偏东75°．

故答案为：D在O南偏东15°或北偏东75°．

考点：方位角．