2021年陕西省西安四校联考中考数学二模试卷

这是一份2021年陕西省西安四校联考中考数学二模试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年陕西省西安四校联考中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分。共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣
2．（3分）如图，已知AC∥DE，∠B＝50°，∠C＝20°，则∠E的度数是（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
3．（3分）在2019年底，新型冠状病毒肺炎在全球迅猛传播，被世界卫生组织定为“国际关注的突发公共卫生事件“．据研究，这次疫情的冠状病毒微粒直径在0.1微米左右，0.1微米等于0.0000001米，数字0.0000001用科学记数法表示为是（　　）
A．1×10﹣7 B．1×10﹣6 C．1×10﹣7 D．0.1×10﹣5
4．（3分）在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（　　）
销售价/元
90
100
110
120
130
140
销售量/件
90
80
70
60
50
40
A．63 B．59 C．53 D．43
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（﹣2a）（﹣a）2＝2a3 B．4a2÷2b2＝2a2
C．﹣（﹣a2）3＝a6 D．（a﹣b）（﹣a+b）＝b2﹣a2
6．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD＝ED＝3，则BC的长为（　　）

A．3 B．3 C．6 D．6
7．（3分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣3x+a与直线y＝bx相交于点B．若B点坐标为（1，2），则ab的值为（　　）
A．2 B．5 C．10 D．
8．（3分）如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．4
9．（3分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂足为E．若∠ADC＝30°，AE＝1，则BC＝（　　）

A．2 B．4 C． D．2
10．（3分）对于二次函数y＝x2+2x﹣3，有下列结论：①对称轴为x＝﹣1，②当x≥﹣3时，y随x的增大而增大，③y的最小道为﹣3，④若A（m，y1），B（﹣2﹣m，y2）是二次函数图象上两点，则有y1＞y2，其中正确的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
11．（3分）不等式组的解集是　 　．
12．（3分）如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFG为　 　度．

13．（3分）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，过点C的反比例函数解析式为y＝，若OC＝2OA，则k的值为　 　．

14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝36°，AD平分∠CAB，AB＝2．当△ABC面积最大时，BD的长为　 　．

三、解答题（本大题11小题，共计78分）
15．（5分）计算：+（﹣）﹣2﹣|﹣2|．
16．（5分）解方程：．
17．（5分）如图△ABC，求作直线MN，使△ABC沿该直线折叠后点A落在边BC上的点P处．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

18．（5分）如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过O的直线交AD，BC分别于点E，F，连接CE，AF．求证：AF＝CE．

19．（7分）为了解某校学生的睡眠情况，该校数学小组随机调查了部分学生一周的平均每天睡眠时间，设每名学生的平均每天睡眠时间为x时，共分为四组：A．6≤x＜7，B．7≤x＜8，C．8≤x＜9，D．9≤x≤10，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
注：学生的平均每天睡眠时间不低于6时且不高于10时．

（1）本次共调查了　 　名学生：
（2）请补全频数分布直方图；
（3）求扇形统计图中C组所对应的扇形的圆心角度数；
（4）若该校有1500名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生平均每天睡眠时间不足8小时的人数．
20．（7分）如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平线AE垂直，AB＝154cm，∠A＝30°，另一根辅助支架DE＝80cm，∠E＝53°．求OD的长度．（sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）

21．（7分）“绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉树．经调查，购买2棵柏树和3棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元．
（1）求柏树和杉树的单价各是多少元；
（2）本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共80棵，且柏树的棵数不少于杉树的2倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？
22．（7分）在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字1，2，3，4的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀．
（1）从中随机摸出一个小球，小球上写的数字不大于3的概率是　 　．
（2）若从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的概率．
23．（8分）如图，直角△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线OD交BC的延长线于点D，与⊙O的切线CE交于点E．
（1）求证：EC＝ED；
（2）如果AC＝2BC＝4，求BD的长．

24．（10分）已知抛物线L：y＝a（x﹣1）（x+3）（a≠0）交x轴于A、B两点（A在B的左侧），点O为坐标原点．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）将抛物线L向右平移，平移后的抛物线L经过点B，且与Y轴交于点D，当△AOD为等腰三角形时，求a的值．

25．（12分）（1）观察猜想：平面内有三个点A，B，C连接AB，AC，BC．测得AB＝6，AC＝4，则BC的最大值是　 　．
（2）探究证明：如图①，在ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10，点D为△ABC内一点，∠BAD＝30°，AD＝6，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，求CF的长．
（3）拓展延伸：如图②，在公园内有一个等边三角形的支架△ABC，在顶点A处悬挂一个等边三角形的旋转座椅△AMN，旋转座椅△AMN绕顶点A旋转，连接CM，点D，E，F分别为CM，BC，MN的中点，已知支架△ABC边长10米，旋转座椅△AMN边长2米，若要在D，E，F三点处连接弹性灯光彩带，那么在旋转过程中，彩带的最大长度是多少？（支架，旋转座椅厚度忽略不计）


2021年陕西省西安四校联考中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分。共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣
【分析】直接利用只有符号不同的两个数叫做互为相反数，分析得出答案．
【解答】解：﹣的相反数是：．
故选：C．
2．（3分）如图，已知AC∥DE，∠B＝50°，∠C＝20°，则∠E的度数是（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，可以得到∠CAE的度数，再根据平行线的性质，可以得到∠CAE＝∠E，从而可以得到∠E的度数，本题得以解决．
【解答】解：∵∠B＝50°，∠C＝20°，
∴∠CAE＝∠B+∠C＝70°，
∵AC∥DE，
∴∠CAE＝∠E，
∴∠E＝70°，
故选：D．
3．（3分）在2019年底，新型冠状病毒肺炎在全球迅猛传播，被世界卫生组织定为“国际关注的突发公共卫生事件“．据研究，这次疫情的冠状病毒微粒直径在0.1微米左右，0.1微米等于0.0000001米，数字0.0000001用科学记数法表示为是（　　）
A．1×10﹣7 B．1×10﹣6 C．1×10﹣7 D．0.1×10﹣5
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000001＝1×10﹣7，
故选：C．
4．（3分）在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（　　）
销售价/元
90
100
110
120
130
140
销售量/件
90
80
70
60
50
40
A．63 B．59 C．53 D．43
【分析】通过待定系数法求出y与x的函数关系式，再将x＝137代入求解．
【解答】解：设售量y件与销售价x元之间的关系为y＝kx+b，
将x＝90，y＝90与x＝100，y＝80分别代入可得：
，
解得，
∴y＝﹣x+180，
将x＝137代入可得y＝43，
故选：D．
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（﹣2a）（﹣a）2＝2a3 B．4a2÷2b2＝2a2
C．﹣（﹣a2）3＝a6 D．（a﹣b）（﹣a+b）＝b2﹣a2
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝﹣2a3，故A错误．
B、原式＝，故B错误．
C、原式＝﹣（﹣a6）＝a6，故C正确．
D、原式＝﹣（a﹣b）2＝﹣a2+2ab﹣b2，故D错误．
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD＝ED＝3，则BC的长为（　　）

A．3 B．3 C．6 D．6
【分析】由题意得到三角形ADE为等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE的长，再利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，求出BC即可．
【解答】解：∵AD＝ED＝3，AD⊥BC，
∴△ADE为等腰直角三角形，
根据勾股定理得：AE＝＝3，
∵Rt△ABC中，E为BC的中点，
∴AE＝BC，
则BC＝2AE＝6，
故选：D．
7．（3分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣3x+a与直线y＝bx相交于点B．若B点坐标为（1，2），则ab的值为（　　）
A．2 B．5 C．10 D．
【分析】把B点坐标代入直线y＝﹣3x+a与直线y＝bx求出a，b即可．
【解答】解：∵直线y＝﹣3x+a与直线y＝bx相交于点B，B点坐标为（2，1），
∴﹣3×1+a＝2，b＝2，
∴a＝5，b＝2，
∴ab＝5×2＝10，
故选：C．
8．（3分）如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．4
【分析】因为DE是AC的垂直的平分线，所以D是AC的中点，F是AB的中点，所以DF∥BC，所以∠C＝90°，所以四边形BCDE是矩形，因为∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，能求出AB的长，根据勾股定理求出AC的长，从而求出DC的长，从而求出面积．
【解答】解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，
∴DF∥BC，
∴∠C＝90°，
∴四边形BCDE是矩形．
∵∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，
∴AB＝4，
∴AC＝＝2．
∴BE＝CD＝．
∴四边形BCDE的面积为：2×＝2．
故选：A．

9．（3分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂足为E．若∠ADC＝30°，AE＝1，则BC＝（　　）

A．2 B．4 C． D．2
【分析】连接OC，根据圆周角定理求得∠AOC＝60°，在Rt△COE中可得OE＝OC＝OC﹣1得到OC＝2，从而得到CE＝，然后根据垂径定理得到BC的长．
【解答】解：连接OC，如图，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA⊥BC，
∴CE＝BE，
在Rt△COE中，OE＝OC，CE＝OE，
∵OE＝OA﹣AE＝OC﹣1，
∴OC﹣1＝OC，
∴OC＝2，
∴OE＝1，
∴CE＝，
∴BC＝2CE＝2．
故选：D．

10．（3分）对于二次函数y＝x2+2x﹣3，有下列结论：①对称轴为x＝﹣1，②当x≥﹣3时，y随x的增大而增大，③y的最小道为﹣3，④若A（m，y1），B（﹣2﹣m，y2）是二次函数图象上两点，则有y1＞y2，其中正确的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴该函数的对称轴是直线x＝﹣1，故①正确；
当﹣3≤x＜﹣1时，y随x的增大而减小，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，故②不正确；
当x＝﹣1，该函数取得最小值﹣4，故③不正确；
若A（m，y1），B（﹣2﹣m，y2）是二次函数图象上两点，无法判断y1和y2的大小关系，故④不正确；
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
11．（3分）不等式组的解集是　﹣2≤x＜﹣1　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+4＜3，得：x＜﹣1，
解不等式≤1，得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜﹣1，
故答案为：﹣2≤x＜﹣1．
12．（3分）如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFG为　36　度．

【分析】首先求得正五边形内角∠C的度数，然后根据CD＝CB求得∠CDB的度数，然后利用平行线的性质求得∠DFG的度数即可．
【解答】解：∵正五边形的外角为360°÷5＝72°，
∴∠C＝180°﹣72°＝108°，
∵CD＝CB，
∴∠CDB＝36°，
∵AF∥CD，
∴∠DFG＝∠CDB＝36°．
故答案为：36．
13．（3分）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，过点C的反比例函数解析式为y＝，若OC＝2OA，则k的值为　1　．

【分析】根据三角形相似的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可求得．
【解答】解：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，
∵顶点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，反比例函数y＝过点C，
∴S△AOD＝|k|，S△COE＝×|﹣4|＝2，
∵矩形OABC中，∠AOC＝90°，
∴∠COE+∠AOD＝90°，
∵∠COE+∠OCE＝90°，
∴∠OCE＝∠AOD，
∵∠OEC＝∠ADO＝90°，
∴△AOD∽△OCE，
∴＝（）2，
∵OC＝2OA，
∴＝，
∴|k|＝1，
∵k＞0，
∴k＝1，
故答案为1．

14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝36°，AD平分∠CAB，AB＝2．当△ABC面积最大时，BD的长为　　．

【分析】设EF为⊙O直径，AB为弦，使△ABC面积最大时候的点C位置，当CG⊥AB且CG过圆心O时，CG最大．再证明△CAB∽△ABD，利用相似比例式求出BD的长．
【解答】解：如图，设EF为⊙O直径，AB为弦，圆周角∠C＝36°，
此时点C在圆周上运动，显然要使△ABC面积最大，
则C到AB距离CG最大即可．由图可知，
当CG⊥AB且CG过圆心O时，CG最大，即AC＝BC．
则在△ABC中，∠C＝36°，
∴∠CAB＝∠CBA＝72°，
又AD平分∠CAB，
∴∠DAB＝∠DAC＝∠CAB＝36°＝∠C，
∴∠CBA＝∠ADB＝72°，
∴AB＝AD，CD＝AD．
∴△CAB∽△ABD
∴，
即AB2＝AC×BD＝（BD+CD）×BD＝（BD+AB）×BD，
即4＝（2+BD）×BD，解得：BD＝．
故答案为：．

三、解答题（本大题11小题，共计78分）
15．（5分）计算：+（﹣）﹣2﹣|﹣2|．
【分析】直接利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2+4﹣（2﹣）
＝2+4﹣2+
＝3+2．
16．（5分）解方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：分式方程整理得：﹣＝3，
去分母得：2﹣x﹣2＝3x﹣3，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
17．（5分）如图△ABC，求作直线MN，使△ABC沿该直线折叠后点A落在边BC上的点P处．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

【分析】作AP的垂直平分线得到MN．
【解答】解：如图，MN为所作．

18．（5分）如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过O的直线交AD，BC分别于点E，F，连接CE，AF．求证：AF＝CE．

【分析】由“ASA”可证△AOE≌△COF，可得AE＝CF，可证四边形AECF是平行四边形，可得AF＝CE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵点O是AC的中点，
∴AO＝CO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE．
19．（7分）为了解某校学生的睡眠情况，该校数学小组随机调查了部分学生一周的平均每天睡眠时间，设每名学生的平均每天睡眠时间为x时，共分为四组：A．6≤x＜7，B．7≤x＜8，C．8≤x＜9，D．9≤x≤10，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
注：学生的平均每天睡眠时间不低于6时且不高于10时．

（1）本次共调查了　50　名学生：
（2）请补全频数分布直方图；
（3）求扇形统计图中C组所对应的扇形的圆心角度数；
（4）若该校有1500名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生平均每天睡眠时间不足8小时的人数．
【分析】（1）根据D组的人数和所占的百分比，可以计算出本次共调查了多少名学生；
（2）根据（1）中的结果和频数分布直方图中的数据，可以计算出C组的人数，然后即可将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布直方图中的数据，可以计算出扇形统计图中C组所对应的圆心角度数；
（4）根据直方图中的数据，可以计算出该校学生平均每天睡眠时间不足8小时的人数．
【解答】解：（1）本次共调查了17÷34%＝50名学生，
故答案为：50；
（2）C组学生有：50﹣5﹣18﹣17＝10（人），
补全的频数分布直方图如右图所示；
（3）360°×＝72°，
即扇形统计图中C组所对应的扇形的圆心角度数为72°；
（4）1500×＝690（人），
即估计该校学生平均每天睡眠时间不足8小时的有690人．

20．（7分）如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平线AE垂直，AB＝154cm，∠A＝30°，另一根辅助支架DE＝80cm，∠E＝53°．求OD的长度．（sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）

【分析】在Rt△CDE中，DE＝80cm，∠E＝53°．先求出CD的长，设水箱半径OD的长度为xcm，则CO＝CD+OD＝（48+x）cm，AO＝AB+OB＝（154+x）cm，根据30度角所对直角边等于斜边一半即可求出x的值，进而可得结果．
【解答】解：在Rt△CDE中，DE＝80cm，∠E＝53°．
∴sin53°＝＝≈0.8，
∴CD＝64（cm），
设水箱半径OD的长度为xcm，
则CO＝CD+OD＝（64+x）cm，AO＝AB+OB＝（154+x）cm，
∵∠BAC＝30°，
∴CO＝AO，
64+x＝（154+x），
解得：x＝26．
∴OD＝26cm．
答：OD的长度为26cm．
21．（7分）“绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉树．经调查，购买2棵柏树和3棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元．
（1）求柏树和杉树的单价各是多少元；
（2）本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共80棵，且柏树的棵数不少于杉树的2倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？
【分析】（1）设柏树的单价为x元/棵，杉树的单价是y元/棵，根据“购买2棵柏树和3棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元”列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设购买柏树a棵，则杉树为（80﹣a）棵，购树总费用为w元，根据题意求出w与a的函数关系式，然后根据总费用和两种树的棵数关系列出不等式组，求出a的取值范围，再根据a是正整数确定出购买方案．
【解答】解：（1）设柏树的单价为x元/棵，杉树的单价是y元/棵，
根据题意得：，
解得，
答：柏树的单价为200元/棵，杉树的单价是150元/棵；

（2）设购买柏树a棵，则杉树为（80﹣a）棵，购树总费用为w元，
根据题意：a≥2（80﹣a），解得，
w＝200a+150（80﹣a）＝50a+12000，
∵50＞0，
∴w随a的增大而增大，
又∵a为整数，
∴当a＝54时，w最小＝14700，
此时，80﹣a＝26，
即购买柏树54棵，杉树26棵时，总费用最小为14700元．
22．（7分）在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字1，2，3，4的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀．
（1）从中随机摸出一个小球，小球上写的数字不大于3的概率是　　．
（2）若从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的概率．
【分析】（1）列表确定出所有等可能的情况数，找出小球上写的数字不大于3的情况数，即可求出所求概率；
（2）列表确定出所有等可能的情况数，找出两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的情况数，即可求出所求概率．
【解答】解：（1）从中随机摸出一个小球，小球上写的数字所有等可能情况有：1，2，3，4，共4种，
其中数字不大于3的情况有：1，2，3，共3种，
则P（小球上写的数字不大于3）＝；
故答案为：；
（2）列表得：

1
2
3
4
1
﹣﹣﹣
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
﹣﹣﹣
（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）
﹣﹣﹣
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
﹣﹣﹣
所有等可能的数有12种，两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的情况有：（1，3），（2，4），（3，1），（4，2），共4种，
则P（两次摸出小球上的数字和恰好是偶数）＝＝．
23．（8分）如图，直角△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线OD交BC的延长线于点D，与⊙O的切线CE交于点E．
（1）求证：EC＝ED；
（2）如果AC＝2BC＝4，求BD的长．

【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CE，根据等角的余角相等得到∠ECD＝∠D，根据等腰三角形的判定定理证明结论；
（2）证明△ACB∽△DOB，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠ECD+∠OCB＝90°，
∵OD⊥AB，
∴∠D+∠OBC＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠ECD＝∠D，
∴EC＝ED；
（2）在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝2，
由勾股定理得，AB＝＝＝2，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠D＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△ACB∽△DOB，
∴＝，即＝，
解得，BD＝10．

24．（10分）已知抛物线L：y＝a（x﹣1）（x+3）（a≠0）交x轴于A、B两点（A在B的左侧），点O为坐标原点．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）将抛物线L向右平移，平移后的抛物线L经过点B，且与Y轴交于点D，当△AOD为等腰三角形时，求a的值．

【分析】（1）令y＝0，解方程可求解；
（2）由等腰三角形的性质可求OA＝OD＝3，可求点D坐标，由平移的性质可求点D平移前的坐标，代入解析式可求解．
【解答】解：（1）令y＝0，则0＝a（x﹣1）（x+3），
∴x1＝1，x2＝﹣3，
∴点A（﹣3，0），点B（1，0）；
（2）∵点A（﹣3，0），
∴AO＝3，
∵△AOD为等腰三角形，
∴OA＝OD＝3，
∴点D（0，3）或（0，﹣3），
∵将抛物线L向右平移，平移后的抛物线L经过点B，
∴向右平移4个单位，
∴点（﹣4，3）或点（﹣4，﹣3）在抛物线上，
∴3＝a（﹣4﹣1）（﹣4+3）或﹣3＝a（﹣4﹣1）（﹣4+3），
∴a＝或﹣．
25．（12分）（1）观察猜想：平面内有三个点A，B，C连接AB，AC，BC．测得AB＝6，AC＝4，则BC的最大值是　10　．
（2）探究证明：如图①，在ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10，点D为△ABC内一点，∠BAD＝30°，AD＝6，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，求CF的长．
（3）拓展延伸：如图②，在公园内有一个等边三角形的支架△ABC，在顶点A处悬挂一个等边三角形的旋转座椅△AMN，旋转座椅△AMN绕顶点A旋转，连接CM，点D，E，F分别为CM，BC，MN的中点，已知支架△ABC边长10米，旋转座椅△AMN边长2米，若要在D，E，F三点处连接弹性灯光彩带，那么在旋转过程中，彩带的最大长度是多少？（支架，旋转座椅厚度忽略不计）

【分析】（1）根据BC≤AB+BC，可得结论．
（2）如图①中，过点F作FH⊥AE于H．奖学金三角形求出AF，可得结论．
（3）如图②中，连接BM，CN，AE，AF．利用全等三角形的性质证明BM＝CN，再利用三角形的中位线定理，可得DE＝BM，DF＝CN，求出BM，EF的最大值，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵AB＝6，AC＝4，
∴BC≤AB+AC，
∴BC≤10，
∴BC的最大值为10，
故答案为：10．

（2）如图①中，过点F作FH⊥AE于H．

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE＝30°，
∵AD＝AE＝6，
∴∠AED＝45°，
∵∠FHE＝90°，
∴FH＝EH，
设FH＝EH＝x，则AH＝x，
∵AH+EH＝6，
∴x+x＝6，
∴x＝3﹣3，
∴AF＝2FH＝6﹣6，
∴CF＝AC﹣AF＝10﹣（6﹣6）＝16﹣6．

（3）如图②中，连接BM，CN，AE，AF．

∵△ABC，△AMN都是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM≌△CAN（SAS），
∴BM＝CN，
∵BE＝CE，DC＝DM，
∴DE＝BM，
∵MF＝NF，DM＝DC，
∴DN＝CN，
∴当BM的值最大时，DE，DF的值最大
∵AB＝AC，BE＝EC，
∴AE⊥BC，
∴AE＝AB•sin60°＝10×＝5（米），
同法可得AF＝（米），
∵当点M在BA的延长线上时，BM的值最大，此时BM＝CN＝12（米），此时EF的值也最大，最大值EF＝6（米），
∴DE，DF的最大值都是6米，
∴△DEF的周长的最大值为（12+6）（米），
∴彩带的最大长度是（12+6）米．