2021年陕西省西安市莲湖区中考数学二模试卷

2021年陕西省西安市莲湖区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡.上将该项涂黑）

1．（3分）计算的结果是（    ）

A．2021  B．1 C．0 D．

2．（3分）下列图形中可以作为一个三棱柱的展开图的是（    ）

A．  B． C．  D．

3．（3分）2020年，陕西省实现社会消费品零售总额9605.92亿元，将数字9605.92亿用科学记数法表示为（    ）

A． B． 

C． D．

4．（3分）如图，直线与相交于点O，与互余，，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

5．（3分）下列运算正确的是（    ）

A． B． 

C． D．

6．（3分）在平面直角坐标系中，将直线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，则平移后的新直线为（    ）

A． B． C． D．

7．（3分）如图，在中，M，N是上两点，，连接，，，，添加一个条件，使四边形是菱形，这个条件是（    ）

A．  B．  C．  D．

8．（3分）如图，是的内接三角形，作与相交于点C，且，则的大小为（    ）

A．  B．  C．  D．

9．（3分）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则下列结论错误的是（    ）

A．   B． 

C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2

10．（3分）若抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于A、B两点，若的长是6，则该抛物线的顶点坐标为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）

11．（3分）比较大小：______．（填“>”、“<”或“=”）

12．（3分）圆内接正六边形的边长为6，则该正六边形的边心距为____________．

13．（3分）如图，的顶点O在坐标原点上，，若点B在反比例函数的图象上，点A在反比例函数的图象上，则k的值为______．

14．（3分）如图，在正方形中，以为边，在正方形内部作等边三角形△，点P在对角线上，且，则的最小值为__________________．

三、解答题（本大题共11个小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（5分）计算：．

16．（5分）化简：．

17．（5分）如图，在中．请用尺规作图法，求作一个以为内角的菱形，使顶点E、F、G分别在、、边上．

18．（5分）如图，，，．求证：．

19．（7分）第十四届全运会圣火将在西安点燃，西安将再次惊艳全国．2019年8月2日，“朱朱”“熊熊”“羚羚”“金金”问世，成为2021年第十四届全国运动会的吉祥物．某校为了让学生进一步了解2021年“吉祥物”相关知识，计划开展“吉祥物知识进课堂”活动，开展活动之前，学校老师随机抽取若干名学生，对“你最感兴趣的吉祥物”进行了调查，经调查统计，结合学生自身的兴趣，每人从“A．朱朱、B．熊熊、C．羚羚、D．金金”中选择一项．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

结合图中信息解答下列问题：

（1）请将两幅统计图补充完整，所抽取学生最感兴趣的吉祥物是____________；

（2）在这次调查中，A、B、C、D哪项选择人数少于调查总人数的平均数？

（3）若本校一共有2000名学生，请估计“对B．熊熊最感兴趣”的人数．

20．（7分）在学习了相似三角形的应用知识点后，小丽为了测量某建筑的高度，在地面上的点D与同学们一同竖直放了一根标杆，并在地面上放置一块平面镜E，已知建筑底端B、E、D点在同一条水平直线上，在标杆顶端点C恰好通过平面镜E观测到建筑顶点A，在点C观测建筑顶点A的仰角为，平面镜E的俯角为，其中标杆的长度为1米，问建筑的高度为多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：）

21．（7分）为进一步落实精准扶贫工作．某农科所李教授选择乘坐客车前往目的地．经了解，长途汽车客运站规定乘客可以免费携带一定质量的行李，若携带行李质量超出免费的范围．乘客需自行购买行李票，行李票y（元）与行李质量x（千克）之间的关系如图所示．

（1）求y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围．

（2）当李教授携带72千克行李时，行李费需要多少钱？

22．（7分）小红和小兵进行摸球试验，在一个不透明的空布袋中放有4个小球．分别标号1，2，3，4，小球除数字不同外其他都相同．试验规则：摸球前先搅拌均匀，每次随机摸一个小球，记下数字后，称为摸球一次．

（1）若小兵随机摸球一次，摸到标号为奇数的概率为__________________；

（2）若小红从袋中不放回地随机摸两次，请用列表法或画树状图法求出两球标号均为偶数的概率．

23．（8分）如图，为的直径，、是的两条弦，是的切线，且交于点D．

（1）求证：．

（2）若的半径为8，，求弦的长．

24．（10分）如图，抛物线：与抛物线：关于y轴对称，与x轴交于A，B两点，其中点A在点B的左侧．

（1）求抛物线，的函数表达式．

（2）在抛物线上是否存在一点N，在抛物线上是否存在一点M，使得以为边，且以A、B、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（12分）（1）如图1，在等边中，．点P、D、E分别为边、、上（均不与端点重合）的动点．

①当点P为的中点时，在图1中，作出，使的周长最小，并直接写出的周长的最小值；

②如图2，当时，求的周长的最小值．

（2）如图3，在等腰中．，，，点P、Q、R分别为边、、上（均不与端点重合）的动点，求周长的最小值并简要说明理由．

2021年陕西省西安市莲湖区中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡.上将该项涂黑）

1．B    2．A．

3．D  解：．

4．A

解：∵∠1与∠2互余，

∴，

∴°，

∵，

∴°，

∴．

5．C

解：A、与不是同类项，不能合并，此选项错误；

B、，此选项错误；

C、，此选项正确；

D、，此选项错误；

6．B

【解答】解：将直线向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，平移后所得新直线的表达式为，即，

7．C

【解答】证明：∵四边形是平行四边形，

∴，

∵对角线上的两点M、N满足，

∴，即，

∴四边形是平行四边形，

∵，

∴，

∴四边形是菱形．

8．A

【解答】解：∵，

∴°，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

由圆周角定理得，，

9．C

【解答】解：A、∵，

∴，本选项结论正确，不符合题意；

B、∵，，，

∴，

∴，本选项结论正确，不符合题意；

C、，本选项结论错误，符合题意；

D、设点A到直线的距离为h，

∵，

∴，

则，

解得，，即点A到直线的距离是2，本选项结论正确，不符合题意；

10．D

【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，

∴，解得，

故抛物线的表达式为，

令，解得，

则，

解得，

故抛物线的表达式为，

当时，，

故顶点的坐标为，

二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）

11．<

【解答】解：∵，，，

∴．

12．

【解答】解：如图所示，连接、，过O作于G，

∵此多边形是正六边形，

∴是等边三角形，

∴，

∴边心距；

13．6

【解答】解：过A、B作轴于C，轴于D，如图：

B在反比例函数的图象上，

设，则，，

∵，，

∴，

∵，

且，

∴，

∴，

∴，，

∴，

把代入得：

，

14．

【解答】解：∵四边形是正方形，

∴B，D关于对称，

∴，

∴，

∴的最小值为，

在中，

，

∵等边，

∴，

三、解答题（本大题共11个小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．【解答】解：原式

．

16．【解答】解：原式

．

17．【解答】解：如图，四边形为所作．

18．【解答】证明：∵，

∴，

即，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴是等边三角形，

∴．

19．【解答】解：（1）（人），（人），，，补全统计图如图：

从两个统计图中均可以看出，从两个统计图中可以得出，最感兴趣的吉祥物为“C．羚羚”的人数最多，是120人，

因此所抽取学生最感兴趣的吉祥物是“C．羚羚”，

故答案为：C．羚羚；

（2）各项讲内容选择人数的平均数是（人）．

所以“B．熊熊、D．金金”的选择人数少于调查总人数的平均数；

（3）（人），

答：“对B．熊熊最感兴趣”的人数大约有400人．

20．【解答】解：由题意可得，

米，，，

∵，，

∴，

∵，，，

∴，，

设米，则米，米，

∴米，

∵，，，

∴，

解得，

即建筑的高度约为3.7米．

21．【解答】解：（1）①由图象可知当时，费用；

②当时，设行李费y（元）关于行李质量x（千克）的一次函数关系式为，

由题意得：，

解得，，

∴该一次函数关系式为：，

（2）当时，（元），

答：（1）行李费y（元）关于行李质量x（千克）的一次函数关系式为；

（2）当李教授携带72千克行李时，行李费需要7元．

22．【解答】解：（1）∵标号为1，2，3，4的四个小球中，标号为奇数的是1号和3号，

∴摸出一个球，摸到标号为奇数的概率为，

故答案为：；

（2）树状图如下所示，

共有12个等可能的结果，其中两球标号数字均为偶数的结果有2个，

∴从袋中不放回地摸两次，两球标号数字均为偶数的概率为．

23．【解答】（1）证明：连接，

∵是的切线，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）在中，，

∴，

在中，，

∵为的直径，

∴，

∵，，

∴，

∴，即，

解得，．

24．【解答】解：（1）∵、关于y轴对称，

∴与的交点一定在y轴上，且与的形状、大小均相同，

∴，

∴：，当时，，

∴：，当时，，

∴，

∵，

∴的对称轴为，

故的对称轴为，

得，（对称轴关于y轴对称，则的对称轴为2）

∴：，：；

（2）∵的中点为（2，0），且点N在抛物线上，点M在抛物线上，

∴只能为平行四边形的一边，

∴且，

：，

令，得，

解得，，

∴，，

则，

∴，

设，则或，

①当时，

则，解得，

∴，

∴，；

②当时，

则，解得，

∴，

∴，；

综上可知存在满足条件的点M、N，其坐标为，或，．

25．【解答】解：（1）①作点P关于的对称点M，关于的对称点N，连接，交于点D，于点E，连接交于J，连接，交于H，连接，交于点G，

∵是等边三角形，，

∴，，

∴，同法可得，

由对称的性质可知，，，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

②作点P关于的对称点M，关于的对称点N，连接，交于点D，于点E，则的周长的最小值即为线段的长，

如图2，过点M作直线于F，过点N作直线于G，过点M作于H，

∴四边形是矩形，

∴，，

∵，，

∴，，，

∵，，

∴，，，

∴，，

∴，

∴的周长的最小值为；

（2）过点P作，的对称点M，N，连接交于Q，交于R，

则，，

∴周长为，

∴当点P是的中点时，的周长最小，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∴，，

同理，

∵，

∴．

∵，

∴，

∴周长的最小值是．