2021年陕西省西安四校联考中考数学一模试卷

这是一份2021年陕西省西安四校联考中考数学一模试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）的倒数是（ ）
A．B．﹣2021C．2021D．﹣
2．（3分）如图所示的几何体，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）截止北京时间10月5日22点前，全球新冠肺炎累计确诊病例已超过35000000例，这个数字35000000可以用科学记数法表示为（ ）
A．0.35×108B．3.5×107C．35×108D．3.5×108
4．（3分）如图，将一个直角尺的顶点放在尺子的一边，若∠1＝24°，那么∠2的度数是（ ）
A．24°B．56°C．66°D．76°
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a2•2a3＝6a5B．（﹣a2）3＝a6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．x2+x2＝x4
6．（3分）在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过A（m，2），点B（5，n）两点，则m，n一定满足的关系式为（ ）
A．m﹣n＝3B．C．D．mn＝10
7．（3分）如图，在等边△ABC中，作点C关于直线AB的对称点P，过点P作PQ⊥BC，交CB的延长线于点Q，BQ＝5，则AC的长为（ ）
A．5B．5C．10D．15
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，FG＝，AE平分∠BAD交BC于点E．点F，G分别是AD，AE的中点，则BC的长为（ ）
A．3B．5C．7D．8
9．（3分）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（ ）m．
A．3B．6C．8D．9
10．（3分）若直线y＝n截抛物线y＝x2+bx+c所得线段AB＝4，且该抛物线与x轴只有一个交点，则n的值为（ ）
A．﹣1B．2C．25D．4
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
11．（3分）把多项式3ax2﹣12a分解因式的结果是 ．
12．（3分）如图，以正五边形ABCDE的边CD为边作正方形CDFH，使点F，H在其内部，连接FE，则∠DFE＝ ．
13．（3分）如图，以平行四边形ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点C的坐标是（2，0），tan∠AOC＝2，过点A的反比例函数y＝的图象过BC边的中点D，则k的值是 ．
14．（3分）已知矩形ABCD中有一点P，满足PA＝1，PB＝2，PC＝3，则PD＝ ．
三、解答题（共78分）
15．（5分）计算：﹣2sin60°．
16．（5分）化简：．
17．（5分）如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，请用尺规过点A作直线AD交BC于点D，使△ABD与△CAD相似（保留作图痕迹，不写作法）．
18．（5分）如图，已知正方形ABCD，点E在边BC上，点F在CD的延长线上，且DF＝BE，求证：AF⊥AE．
19．（7分）某中学数学兴趣小组为了了解参加数学学科节学生的年龄情况，随机抽取了其中部分学生的年龄，经过数据整理，绘制出不完整的统计图，依据相关信息解答以下问题：
（1）写出被抽取的学生人数 ，并补全条形统计图．
（2）被抽取的学生的年龄的众数是 岁，中位数是 岁．
（3）若共有600名学生参加了本次数学学科节活动，请估计活动中年龄在15岁及以上的学生人数．
20．（7分）如图，AB，CD为两栋建筑物，从建物CD顶端C处测得建筑物AB顶端A的俯角为22°，BM为此时阳光下建筑物AB在地面上的影子，且获知此时刻长为1米的标杆影长为1.1米，建筑物AB顶端A在地面上的影子M与墙角D的距离为10m（B、M、D在同一直线上），建筑物CD的高28米，求建筑物AB的高度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40）
21．（7分）早晨六点，小张开车去距出发地路程为150km的A地，车匀速行驶，在行驶过程中，前方发生交通事故，被堵了一些时间，事故处理后，小张提高速度，继续匀速前进；整个过程中小张出发后行驶的路程y（km）与其行驶时间x（h）的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）求小张提高速度后y与x的函数表达式；
（2）小张能否在早晨九点之前赶到A地？请说明理由．
22．（7分）周天，苗苗准备了5盒外包装完全相同的橡皮泥，准备和好朋友一起做手工，其中2盒红色，2盒黄色，1盒绿色．
（1）若苗苗随机打开一盒橡皮泥，恰巧是红色的概率是 ；
（2）若苗苗同时打开两盒橡皮泥，请你计算两盒颜色恰好相同的概率（请用画树状图或列表的方法求解）．
23．（8分）已知二次函数y＝x2+bx+c（a≠0）自变量x的值和它对应的函数值y如表所示：
（1）请写出关于该二次函数图象的相关信息：
抛物线解析式为 ；抛物线开口向 （填“上”或“下”）；顶点坐标为 ；m的值为 ．
（2）设该二次函数图象与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图象上点C的横坐标为4，求△ABC的面积．
24．（10分）如图，已知直线y＝x﹣4与坐标轴分别交于点B、点C，二次函数y＝﹣x2+2x的图象经过点C．
（1）求直线与抛物线的另一个交点A的坐标及线段AB的长；
（2）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D，C，B构成的三角形与△OAB相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）（1）如图1，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，点M是CD的中点，连接AM并延长交BC的延长线于点E，若S四边形ABCD＝10，那么S△ABE＝ ．
（2）如图2，已知，锐角∠AOB内有一点M，过点M作直线l分别交OA，OB于点P、Q，将直线l绕点M旋转时，发现：当点M恰好是PQ中点时，S△OPQ最小，请证明这个结论．
（3）如图3，已知在直角坐标系中，OA是第一象限的角分线，∠MOx＝30°，且OM＝3，过点M作直线l交OA于点P，交x轴正半轴于点Q，求S△OPQ的最小值及此时直线l的表达式．
2021年陕西省西安四校联考中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）的倒数是（ ）
A．B．﹣2021C．2021D．﹣
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：的倒数是2021．
故选：C．
2．（3分）如图所示的几何体，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看是一个矩形，矩形的中间处有两条纵向的实线，实线的两旁有两条纵向的虚线．
故选：A．
3．（3分）截止北京时间10月5日22点前，全球新冠肺炎累计确诊病例已超过35000000例，这个数字35000000可以用科学记数法表示为（ ）
A．0.35×108B．3.5×107C．35×108D．3.5×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【解答】解：35000000＝3.5×107．
故选：B．
4．（3分）如图，将一个直角尺的顶点放在尺子的一边，若∠1＝24°，那么∠2的度数是（ ）
A．24°B．56°C．66°D．76°
【分析】先根据两角互余的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：如图，
∵∠1＝24°，
∴∠3＝90°﹣24°＝66°，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2＝∠3＝66°．
故选：C．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a2•2a3＝6a5B．（﹣a2）3＝a6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．x2+x2＝x4
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（B）原式＝﹣a6，故B错误．
（C）原式＝a2﹣2ab+b2，故C错误．
（D）原式＝2x2，故D错误．
故选：A．
6．（3分）在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过A（m，2），点B（5，n）两点，则m，n一定满足的关系式为（ ）
A．m﹣n＝3B．C．D．mn＝10
【分析】设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），再把A、B点的坐标代入得到mk＝2，5k＝n，然后消去k得到m、n的关系式．
【解答】解：设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），
把A（m，2），点B（5，n）代入得mk＝2，5k＝n，
所以m•＝2，
所以mn＝10．
故选：D．
7．（3分）如图，在等边△ABC中，作点C关于直线AB的对称点P，过点P作PQ⊥BC，交CB的延长线于点Q，BQ＝5，则AC的长为（ ）
A．5B．5C．10D．15
【分析】连接BP，根据等腰三角形的性质和轴对称的性质得到平PB＝2BQ，从而求得答案．
【解答】解：连接PB，
∵△ABC是等边三角形，点C关于直线AB的对称点P，
∴BP＝BC，∠PCB＝∠BPC＝30°，∠PBC＝120°，
∴∠PBQ＝60°，
∴∠QPB＝30°，
∵PQ⊥BC，BQ＝5，
∴BP＝2BQ＝2×5＝10，
∴AC＝BC＝PB＝10，
故选：C．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，FG＝，AE平分∠BAD交BC于点E．点F，G分别是AD，AE的中点，则BC的长为（ ）
A．3B．5C．7D．8
【分析】连接DE，由三角形中位线定理求出DE，再根据勾股定理求出CE，角平分线的性质得出△ABE是等腰有直角三角形，求出BE，从而求出BC．
【解答】
解：连接DE，
∵FG＝且F、G分别为AD、AE中点，
∴FG是△ADE的中位线，
∴DE＝2FG＝5，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝4，
在△CDE中，CE＝＝3，
∵AE平分∠BAD，四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE＝∠BAD＝45°，
在△ABE中，∠AEB＝90°﹣∠AEB＝45°，
∴∠BAE＝∠AEB＝45°，
△ABE为等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝4，
又∵CE＝3，
∴BC＝BE+CE＝4+3＝7．
故选：C．
9．（3分）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（ ）m．
A．3B．6C．8D．9
【分析】根据已知确定平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：
﹣2.5＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±3，
∴水面宽度为3﹣（﹣3）＝6（m）．
故选：B．
10．（3分）若直线y＝n截抛物线y＝x2+bx+c所得线段AB＝4，且该抛物线与x轴只有一个交点，则n的值为（ ）
A．﹣1B．2C．25D．4
【分析】由抛物线与x轴只有一个交点，得出b2﹣4c＝0，设A、B的交点的横坐标为x1、x2，则x1+x2＝﹣b，x1x2＝c﹣n，由AB＝4，即可得出（x1﹣x2）2＝（x1+x2）﹣4x1x2＝16，即可得出4n＝16，解得n＝4．
【解答】解：∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴b2﹣4c＝0，
设A、B的交点的横坐标为x1、x2，
∴x1、x2是方程x2+bx+c＝n的两个根，
∴x1+x2＝﹣b，x1x2＝c﹣n，
∵AB＝4，
∴|x1﹣x2|＝4，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）﹣4x1x2＝16，
∴（﹣b）2﹣4（c﹣n）＝16，即b2﹣4c+4n＝16，
∴4n＝16，
∴n＝4，
故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
11．（3分）把多项式3ax2﹣12a分解因式的结果是 3a（x+2）（x﹣2） ．
【分析】先提公因式，再利用公式法进行因式分解．
【解答】解：3ax2﹣12a＝3a（x2﹣4）＝3a（x+2）（x﹣2），
故答案为：3a（x+2）（x﹣2）．
12．（3分）如图，以正五边形ABCDE的边CD为边作正方形CDFH，使点F，H在其内部，连接FE，则∠DFE＝ 81° ．
【分析】根据多边形的内角和公式可得∠CDE的度数，根据正方形的性质可得∠CDF＝90°，再根据角的和差关系计算即可．
【解答】解：∠CDE＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∠CDF＝90°，
∴∠FDE＝108°﹣90°＝18°．
∵DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE＝＝＝81°．
故答案为：81°．
13．（3分）如图，以平行四边形ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点C的坐标是（2，0），tan∠AOC＝2，过点A的反比例函数y＝的图象过BC边的中点D，则k的值是 ．
【分析】作AM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，解直角三角形表示出A、D的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝a•2a＝（2+）•a，解得a＝，进而即可求得k的值．
【解答】解：∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OA∥BC，OA＝BC，
∴∠DCN＝∠AOC，
∵tan∠AOC＝2，
∴＝2，＝2，
∴设A（a，2a），
∴OM＝a，AM＝2a，
∵D是BC的中点，
∴DN＝a，
∵CN＝a，
∵顶点C的坐标是（2，0），
∴ON＝2+a，
∴D（2+，a），
∵过点A的反比例函数y＝的图象过BC边的中点D，
∴k＝a•2a＝（2+）•a，
解得a＝或a＝0（舍去），
∴k＝a•2a＝，
故答案为．
14．（3分）已知矩形ABCD中有一点P，满足PA＝1，PB＝2，PC＝3，则PD＝ ．
【分析】由ABCD是矩形，过P作GH∥BC交AB、CD于点G、H，过P作EF∥AB交AD、BC于点E、F，在所形成的直角三角形中，由勾股定理得出AP2+CP2＝BP2+DP2，从而求出DP．
【解答】解：过点P作GH∥BC交AB、CD于点G、H，
过P作EF∥AB交AD、BC于点E、F，
设AE＝BF＝c，AG＝DH＝a，
GB＝HC＝b，ED＝FC＝d，
∴AP2＝a2+c2，
CP2＝b2+d2，
BP2＝b2+c2，
DP2＝d2+a2，
∵AP＝1，BP＝2，CP＝3，
∴AP2+CP2＝BP2+DP2，
1+9＝4+DP2，
DP2＝6，
DP＝．
故答案为：．
三、解答题（共78分）
15．（5分）计算：﹣2sin60°．
【分析】要根据实数的运算法则进行计算．
【解答】解：原式＝2+2﹣2×
＝2+2﹣
＝+2．
16．（5分）化简：．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝﹣•
＝﹣．
17．（5分）如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，请用尺规过点A作直线AD交BC于点D，使△ABD与△CAD相似（保留作图痕迹，不写作法）．
【分析】过点A作AD⊥BC于D，直线AD即为所求作．
【解答】解：如图，直线AD即为所求作．
18．（5分）如图，已知正方形ABCD，点E在边BC上，点F在CD的延长线上，且DF＝BE，求证：AF⊥AE．
【分析】根据正方形的性质得到∠B＝∠ADF＝90°，AD＝AB，求出∠ADF，根据SAS即可推出答案，再利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：由正方形ABCD，得 AB＝AD，∠B＝∠ADF＝∠BAD＝90°．
在△ABE和△ADF中，
．
∴△ABE≌△ADF（SAS）．
∴∠BAE＝∠FAD，AE＝AF．
∴∠BAD＝∠BAE+∠EAD＝∠FAD+∠EAD＝90°．
即∠EAF＝90°．
∴AF⊥AE．
19．（7分）某中学数学兴趣小组为了了解参加数学学科节学生的年龄情况，随机抽取了其中部分学生的年龄，经过数据整理，绘制出不完整的统计图，依据相关信息解答以下问题：
（1）写出被抽取的学生人数 50 ，并补全条形统计图．
（2）被抽取的学生的年龄的众数是 15 岁，中位数是 14 岁．
（3）若共有600名学生参加了本次数学学科节活动，请估计活动中年龄在15岁及以上的学生人数．
【分析】（1）根据12岁的人数和所占的百分比，可以计算出本次被抽查的学生人数，然后即可计算出户14岁和16岁的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据条形统计图中的数据，可以得到被抽取的学生的年龄的众数和中位数；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出活动中年龄在15岁及以上的学生人数．
【解答】解：（1）被抽取的学生人数：6÷12%＝50，
故答案为：50，
14岁的学生有：50×28%＝14（人），
16岁的学生有50﹣6﹣10﹣14﹣18＝2（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（2）由条形统计图可知，
被抽取的学生的年龄的众数是15岁，中位数是14岁，
故答案为：15，14；
（3）600×＝240（人），
即估计活动中年龄在15岁及以上的学生有240人．
20．（7分）如图，AB，CD为两栋建筑物，从建物CD顶端C处测得建筑物AB顶端A的俯角为22°，BM为此时阳光下建筑物AB在地面上的影子，且获知此时刻长为1米的标杆影长为1.1米，建筑物AB顶端A在地面上的影子M与墙角D的距离为10m（B、M、D在同一直线上），建筑物CD的高28米，求建筑物AB的高度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40）
【分析】过点A作AN⊥CD于点N，则四边形ABDN是矩形，设AB＝x，则DN＝x，根据此时刻长为1米的标杆影长为1.1米，可得AB：BM＝1：1.1，所以BM＝1.1x（米），可得AN＝BD＝BM+MD＝（1.1x+10）米，CN＝CD﹣DN＝（28﹣x）米，根据锐角三角函数即可求出x的值．
【解答】解：如图，过点A作AN⊥CD于点N，
则四边形ABDN是矩形，
∴AB＝DN，AN＝BD，
设AB＝x，
则DN＝x，
∵此时刻长为1米的标杆影长为1.1米，
∴AB：BM＝1：1.1，
∴BM＝1.1x（米），
∴AN＝BD＝BM+MD＝（1.1x+10）米，
CN＝CD﹣DN＝（28﹣x）米，
在Rt△ACN中，
tan∠CAN＝，
∴≈0.40，
解得x≈16.7，
∴AB≈16.7（米）．
答：建筑物AB的高度约为16.7米．
21．（7分）早晨六点，小张开车去距出发地路程为150km的A地，车匀速行驶，在行驶过程中，前方发生交通事故，被堵了一些时间，事故处理后，小张提高速度，继续匀速前进；整个过程中小张出发后行驶的路程y（km）与其行驶时间x（h）的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）求小张提高速度后y与x的函数表达式；
（2）小张能否在早晨九点之前赶到A地？请说明理由．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到小张提高速度后y与x的函数表达式；
（3）将y＝150代入（1）中的函数解析式，求出对应的x的值，然后即可得到小张能否在九点之前赶到A地．
【解答】解：（1）由图可知，
设小张提速后y与x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
∴，
解得：，
即小张提速后y与x的函数表达式为y＝60x﹣40；
（3）小张不能在九点前赶到A地，
理由：当y＝150时，
150＝60x﹣40，
解得，x＝，
∵＞9﹣6，
∴小张不能在九点前赶到某地．
22．（7分）周天，苗苗准备了5盒外包装完全相同的橡皮泥，准备和好朋友一起做手工，其中2盒红色，2盒黄色，1盒绿色．
（1）若苗苗随机打开一盒橡皮泥，恰巧是红色的概率是 ；
（2）若苗苗同时打开两盒橡皮泥，请你计算两盒颜色恰好相同的概率（请用画树状图或列表的方法求解）．
【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）若苗苗随机打开一盒橡皮泥，恰巧是红色的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：
由表知，共有20种等可能结果，其中两盒颜色恰好相同的有4种结果，
所以两盒颜色恰好相同的概率为＝．
23．（8分）已知二次函数y＝x2+bx+c（a≠0）自变量x的值和它对应的函数值y如表所示：
（1）请写出关于该二次函数图象的相关信息：
抛物线解析式为 y＝x2﹣4x+3 ；抛物线开口向 上 （填“上”或“下”）；顶点坐标为 （2，﹣1） ；m的值为 3 ．
（2）设该二次函数图象与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图象上点C的横坐标为4，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和m的值；
（2）根据表格中的数据和题意，可以写出点B、点A和点C的坐标，再求出直线AC和x轴的交点，即可得到△ABC的面积．
【解答】解：（1）由表格可知，x＝1和x＝3时的函数值相同，都是0，
∴对称轴为直线x＝＝2，
∴当x＝4和x＝0时的函数值相等，则m＝3，顶点为（2，﹣1），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，
把（0，3）代入得，3＝4a﹣1，则a＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3，
即该二次函数图象的开口方向向上，
故答案为y＝x2﹣4x+3，上，（2，﹣1），3；
（2）由题意可得，
点B的坐标为（1，0），点A的坐标为（2，﹣1），点C的坐标为（4，3），
设直线AC的函数解析式为y＝kx+b，
∴，得，
所以直线AC的函数解析式为y＝2x﹣5，
当y＝0时，0＝2x﹣5，得x＝2.5，
则直线AC与x轴的交点为（2.5，0），
故△ABC的面积是：＝3．
24．（10分）如图，已知直线y＝x﹣4与坐标轴分别交于点B、点C，二次函数y＝﹣x2+2x的图象经过点C．
（1）求直线与抛物线的另一个交点A的坐标及线段AB的长；
（2）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D，C，B构成的三角形与△OAB相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由直线y＝x﹣4与坐标轴分别交于点B、点C，求出点B、C的坐标，由y＝x﹣4与y＝﹣x2+2x组成方程组，求得方程组的解即可求得点A的坐标，再由点A、B的坐标根据勾股定理，求出线段AB的长；
（2）由OB＝OC＝4，∠BOC＝90°，可得∠BCD＝∠ABO＝135°，若△BCD与△OAB相似，则∠BCD与∠ABO一定是对应角，点D一定在OC的延长线上，再根据相似三角形的对应边成比例列出方程，即可求出线段CD的长，从而求得点D的坐标．
【解答】解：（1）∵直线y＝x﹣4与y轴、x轴分别交于点B、点C，
∴B（0，﹣4），C（4，0）.
由，得，，
∴A（﹣2，﹣6），
∴AB＝＝2；
（2）存在．
∵OB＝OC＝4，∠BOC＝90°，
∴BC＝＝2，∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠BCD＝∠ABO＝135°，
如图1，当∠CBD＝∠BOA时，则△CBD∽△BOA，
∴，
∴，
解得CD＝4，
∴OD＝4+4＝8，
∴D（8，0）；
如图2，当∠CBD＝∠BAO时，则△CBD∽△BAO，
∴，
∴，
解得DC＝8，
∴OD＝4+8＝12，
∴D（12，0）．
综上所述，点D的坐标为（8，0）或（12，0）．
25．（12分）（1）如图1，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，点M是CD的中点，连接AM并延长交BC的延长线于点E，若S四边形ABCD＝10，那么S△ABE＝ 10 ．
（2）如图2，已知，锐角∠AOB内有一点M，过点M作直线l分别交OA，OB于点P、Q，将直线l绕点M旋转时，发现：当点M恰好是PQ中点时，S△OPQ最小，请证明这个结论．
（3）如图3，已知在直角坐标系中，OA是第一象限的角分线，∠MOx＝30°，且OM＝3，过点M作直线l交OA于点P，交x轴正半轴于点Q，求S△OPQ的最小值及此时直线l的表达式．
【分析】（1）根据可以求得△ADE≌△FCE，就可以得出S△ADE＝S△FCE就可以得出结论．
（2）过点M作EF交AO于点E，交BO于点F，过点P作PG∥OB交EF于点G，利用（1）中结论可说明当M为PQ中点时S△OPQ最小．
（3）由（2）可知，当点M为PQ中点时，S△OPQ值最小．过点M作MR⊥x轴于点R，过点P作PS⊥x轴于点S，由∠MOx＝30°，可求点M坐标．由MQ∥PS，可证△MQR～△PQS，则，得PS＝3，由直线y＝x可求得点P坐标为（3，3），进而可得直线l的解析式，最后求出OQ的长利用三角形面积公式即可求S△OPQ的最小值．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FCE，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴S△ADE＝S△FCE，
∴S四边形ABCD＝S四边形ABCE+S△ADE＝S四边形ABCE+S△FCE＝S△ABF，
∵S四边形ABCD＝10，
∴S△ABE＝10，
故答案为：10．
（2）过点M作EF交AO于点E，交BO于点F，过点P作PG∥OB交EF于点G，如答图1．
设MF＜ME，由（1）可得，
当M为PQ中点时，可证明△MPG≌△MQF．
∴S四边形POFG＝S△OPQ，
∵S四边形POFG＜S△EOF，
∴S△OPQ＜S△EOF．
故结论得证．
（3）由（2）可知，当点M为PQ中点时，S△OPQ值最小．
过点M作MR⊥x轴于点R，过点P作PS⊥x轴于点S，如答图2．
∵∠MOx＝30°，OM＝3．
∴MR＝OM＝，
OR＝cs30°•OM＝．
∴点M坐标为（，）．
∵MQ∥PS，
∴△MQR～△PQS，
∴，
∴PS＝2MR＝3．
又直线OA表达式为y＝x，把y＝3代入得x＝3，
∴点P坐标为（3，3）．
设直线l的表达式为y＝kx+b，
∴，解得．
∴直线l的表达式为y＝（2+）x﹣3﹣3．
令y＝0，则x＝3﹣3．
即OQ＝3﹣3．
∴S△OPQ＝•OQ•PS
＝
＝．
故S△OPQ的面积最小为，此时直线l的表达式为y＝（2+）x﹣3﹣3．
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
﹣1
0
m
…
红
红
黄
黄
绿
红
（红，红）
（黄，红）
（黄，红）
（绿，红）
红
（红，红）
（黄，红）
（黄，红）
（绿，红）
黄
（红，黄）
（红，黄）
（黄，黄）
（绿，黄）
黄
（红，黄）
（红，黄）
（黄，黄）
（绿，黄）
绿
（红，绿）
（红，绿）
（黄，绿）
（黄，绿）
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
﹣1
0
m
…