2022年陕西省西安市灞桥区中考数学二模试卷

2022年陕西省西安市灞桥区中考数学二模试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

(考试时间：120分钟  试卷满分：150分)

1. 等于

A. 2022 B.  C.  D.

2. 以下是四类垃圾分类的标志图案，则四幅标志图案中是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为
   
    

A.  B.  C.  D.

5. 若正比例函数的图象经过点和点，当时，，则m的取值范围是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点C的坐标为
   
    

A.  B.  C.  D.

7. 如图，的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，，，CD的长为
   
    

A. 2 B.  C. 4 D.

8. 如图，抛物线，其顶点坐标为，抛物线与x轴的一个交点为，直线与抛物线交于A，B两点，下列结论：①，②，③方程有两个相等的实数根，④抛物线与x轴的另一个交点是，⑤当时，有其中正确结论的个数是
    

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

9. 分解因式：______.
10. 三角形的一个外角是，则与它不相邻的两内角平分线夹角钝角是______.

11. 如图是边长为8cm的正方形纸片做成的七巧板，用这副七巧板拼成图所示的房屋形状，则该房屋形状的面积是______

12. 在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点，我们把点称为点A的“倒数点”.如图，矩形OCDE的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与DE交于点若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，则的面积为______ .
13. 如图，为等腰直角三角形，，，点D为所在平面内一点，，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为______.
    
     

14. 计算：
    
    
    
    
    
    
     
15. 解不等式组：
    
    
    
    
    
    
     
16. 解方程：
    
    
    
    
    
    
     
17. 尺规作图：过圆心O作弦AC的垂线DE，交弦AC于点D，交优弧ABC于点保留作图痕迹，不要求写作法
    
    
    
     

18. 如图所示，A、D、B、E四点在同一条直线上，若，，，求证：

19. 张先生准备租一处房屋开一家公司．现有甲、乙两家房屋出租，甲家房屋已装修好，每月租金3000元；乙家房屋没有装修，每月租金2000元，但要装修成甲家房屋的模样，需要花费40000元．设张先生租房时间为x个月，总费用为y元；
    请你利用所学知识写出甲乙两家公司的总费用y与x的函数关系式；
    若张先生打算先租3年，请你帮他算一算去甲乙哪家更合算？
    
    
    
    
    
    
     
20. 甲、乙两人用手指玩游戏，规则如下：①每次游戏时，两人同时随机地各伸出一根手指；②两人伸出的手指中，大拇指只胜食指、食指只胜中指、中指只胜无名指、无名指只胜小拇指、小拇指只胜大拇指，否则不分胜负，依据上述规则，当甲、乙两人同时随机地各伸出一根手指时．
    求甲伸出小拇指取胜的概率；
    请通过列表格或画树状图的方式求出乙取胜的概率为多少？
    
    
    
    
    
    
     
21. 周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．

已知：，，测得，，测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽

22. 如图，在中，，以AB为直径的经过点过点C作的切线交AB的延长线于点是圆上一点，且，弦AD的延长线交切线PC于点
    判断OB和BP的数量关系，并说明理由．
    若的半径为2，求AE的长．

23. 如图①，已知抛物线经过点，，与x轴的另一个交点为
    求抛物线的解析式；
    如图②，将绕AB的中点M旋转得到，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
     

24. 问题研究
    若等边边长为3，则的面积为______；
    如图1，在中，，CD为AB边上的高，若，试判断的面积是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
    问题解决
    如图2，四边形ABCD中，，，，，点E、F分别为边BC、CD上的动点，且，求四边形AECF面积的最大值．
     

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：
故选：
先算的绝对值，再求其相反数．
本题考查绝对值和相反数，判断出运算顺序是解题关键．
 

2.【答案】D
 

【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选：
根据中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
 

3.【答案】D
 

【解析】解：A、和不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意．
故选：
利用合并同项类，负整数指数幂的运算法则，积的乘方的法则，单项式除以单项式的法则对各选项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，积的乘方，负整数指数幂，单项式除以单项式，解答的关键是对合并同类项的法则，积的乘方的法则，负整数指数幂的法则，单项式除以单项式的法则的掌握与运用．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：，
直尺的上下两边平行，
故选：
由平角等于结合三角板各角的度数，可求出的度数，由直尺的上下两边平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出的度数．
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
 

5.【答案】D
 

【解析】[分析]
根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
本题考查正比例函数的增减性，解题关键是根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号.
[详解]
解：当时，，
随x的增大而减小，
则，解得
故选
 

6.【答案】B
 

【解析】解：作轴于点D，
则，
四边形OABC是菱形，，
，
又，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
则点C的坐标为，
故选：
作轴，根据菱形的性质得到，在中，根据勾股定理求出OD的值，即可得到C点的坐标．
此题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求出是解决问题的关键．
 

7.【答案】D
 

【解析】解：由圆周角定理得：，
的直径，
，
，
，，
，
故选：
由圆周角定理得出，根据垂径定理得出，由直角三角形的性质得出，，即可得到结论．
本题考查了垂径定理、圆周角定理以及含角的直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理，由垂径定理好直角三角形的性质求出CE是解决问题的关键．
 

8.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线的对称性和从函数观点看方程和不等式，解答关键是数形结合．
根据抛物线的图象特征和对称性可得①②④；将方程转化为函数图象求交点问题可得③；通过数形结合可得⑤.
【解答】
解：由抛物线对称轴为直线，，则①正确；
由图象，ab同号，，则，则②正确；
方程可以看做是抛物线与直线求交点横坐标，
由抛物线顶点为，则直线过抛物线顶点．
方程有两个相等的实数根．故③正确；
由抛物线对称轴为直线，与x轴的一个交点，
由对称性得抛物线与x轴的另一个交点为，则④正确；
，，直线与抛物线交于A，B两点
当时，抛物线的图象在直线上方，则，故⑤正确．
故选：  

9.【答案】
 

【解析】解：
故答案为：
先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解是解题的关键，分解要彻底．
 

10.【答案】
 

【解析】解：是的外角，且，
，
平分，BD平分，
，，
，
故答案为：
由三角形的外角性质可得，再由角平分线的定义得，，从而可求得，再利用三角形的内角和定理即可求解．
本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
 

11.【答案】56
 

【解析】解：房屋的面积，
故答案为：
根据七巧板的构成，两个大三角形分别占大正方形的，一个中三角形占正方形的，一个小正方形占正方形的，一个平行四边形都是占正方形的，两个小三角形分别占正方形的，即可解答．
本题主要考查七巧板，根据图形之间的关系得出面积之间的关系是解题关键．
 

12.【答案】或
 

【解析】解：设点A的坐标为，
点B是点A的“倒数点”，
点B坐标为，
点B的横纵坐标满足，
点B在某个反比例函数上，
点B不可能在OE，OC上，
分两种情况：
①点B在ED上，
由轴，
点B、点A的纵坐标相等，即，
舍去，
点B纵坐标为1，
此时，；
②点B在DC上，
点B横坐标为3，即，
点B纵坐标为：，
此时，；
故答案为：或
设点A的坐标为，由“倒数点”的定义，得点B坐标为，分析出点B在某个反比例函数上，分两种情况：①点B在ED上，由轴，得，解出，舍去，得点B纵坐标为1，此时，；②点B在DC上，得点B横坐标为3，即，求出点B纵坐标为：，此时，
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，新定义的阅读理解能力，三角形面积的求法．解题关键是理解“倒数点”的定义．
 

13.【答案】
 

【解析】解：如图，延长AE交BD于点F，连接BE，

四边形ACDE是平行四边形，
，，，
，，，
，，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
点E的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点E所在圆的圆心为M，
连接MB，MA，MC，MC与圆M交于点，
则根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得：
即为CE的最小值，如图，

，
，，
，，
，
在中，，
即CE的最小值为
故选：
延长AE交BD于点F，根据平行四边形的性质可得，可得，可以证明≌，可得，点E的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点E所在圆的圆心为M，连接MB，MA，MC，MC与圆M交于点，根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得，即为CE的最小值，利用勾股定理可得CM的值，进而可得CE的最小值．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、最短路径问题、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
 

14.【答案】解：原式
故答案为：
 

【解析】分别根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质及0指数幂计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行解答即可．
本题考查的是实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
 

15.【答案】解：，
由①得：，
由②得：，
不等式组解集为：
 

【解析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组的解集的规律找出不等式组的解集即可．
本题主要考查对解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据找不等式组的解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键．
 

16.【答案】解：方程两边都乘以得：，
解得，
检验：当时，，
所以是原方程的解．
 

【解析】方程两边都乘以得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

17.【答案】解：如图，点D、E为所作．

 

【解析】利用基本作图，作线段AC的垂直平分线即可．
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

18.【答案】证明：，，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
 

【解析】根据，，可得，根据可得，利用ASA证明≌，可得结论．
此题考查了全等三角形的判定与性质，根据ASA证明≌是解题的关键．
 

19.【答案】解：根据题意，
租用甲家房屋时：；
租用乙家房屋时：；
当租3年，即时，
，，
，
租甲家房屋更合算．
 

【解析】利用已知条件直接列出函数的解析式即可；
求出时，和的值，再比较即可．
本题考查一次函数的应用，解题关键是读懂题意，列出函数关系式．
 

20.【答案】解：设A，B，C，D，E分别表示大拇指、食指、中指、无名指、小拇指，
列表如下：

由表格可知，共有25种等可能的结果，甲伸出小拇指取胜只有一种可能，
故；

由表格可知，共有25种等可能的结果，乙取胜有5种可能，
故
 

【解析】首先根据题意画出表格，由表格求得所有等可能的结果，求出甲伸出小拇指取胜的概率；
首先根据题意画出表格，由表格求得所有等可能的结果，即可得出乙取胜的概率．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：，
∽，
，
，
，
经检验：是分式方程的解，
答：河宽AB的长为17米．
 

【解析】由，可得，构建方程即可解决问题．
本题考查相似三角形的应用、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：，
理由如下：连接OC，
的切线，
，
，
，
，
，
，
；
由可知，，
的半径为2，
，
，
，
，，
 

【解析】连接OC，根据切线的性质的，根据含角的直角三角形的性质证明即可；
由的结论求出AP，根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质计算即可．
本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

23.【答案】解：把，代入得，
解得，
四边形为矩形，证明如下：
令，
解得或，
点，点，
，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
，
为直角三角形，
由旋转的性质可得，，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形．
 

【解析】将A，C坐标代入解析式求解．
由函数解析式可得点B坐标，进而求出AB，AC，BC的长度可判断为直角三角形，进而求解．
本题考查二次函数与图形的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握直角三角形及平行四边形的判定及性质．
 

24.【答案】
 

【解析】解：过点C作于D，

等边边长为4，
，
在中，由勾股定理得，即，
解得：，
，
故答案为：；

为AB边上的高，若，
设，，，过A作于E，

，
，
又，，
，
在中，
由勾股定理得，即，
，
仅当时取等号，即为等边三角形时，
，
，
；

延长CB至M，使得，连接AM，过点作于点H，

，
，
，
，
，
≌，
，，，
，即，
，
，
，
，
延长BA、CD交于点G，过点G作于K，

，，，
，
，
，
，，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
，
，，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
当最小时，最大，作的外接圆，连接OA、OM、OE，过点O作于R，

，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
面积的最小值为，
四边形AECF面积的最大值为
过点C作于D，等边边长为4，可得，在中，由勾股定理，求出，利用面积公式计算即可；
由CD为AB边上的高，，设，，，过A作于D，利用面积可得，由三角函数求，，，在中由勾股定理得，仅当时取等号，即为等边三角形时即可；
延长CB至M，使得，连接AM，过点作于点H，证明≌，得，，，由角的和差得，则，延长BA、CD交于点G，过点G作于K，根据，由，当最小时，最大，作的外接圆，连接OA、OM、OE，过点O作于R，求出面积的最小值，即可得四边形AECF面积的最大值．
本题属于四边形综合题，考查等边三角形的面积，三角形面积最小值，四边形面积最大值，涉及的知识多，等边三角形性质，三角函数综合，三角形全等判定与性质，图形旋转变换，不等式性质，直角三角形性质，勾股定理，三点共线，难度相当大，利用辅助线准确作出图形是解题关键．