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2021年陕西省西安市莲湖区中考数学二模试卷
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这是一份2021年陕西省西安市莲湖区中考数学二模试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年陕西省西安市莲湖区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡.上将该项涂黑）
1．（3分）计算20210的结果是（ ）
A．2021 B．1 C．0 D．
2．（3分）下列图形中可以作为一个三棱柱的展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）2020年，陕西省实现社会消费品零售总额9605.92亿元，将数字9605.92亿用科学记数法表示为（ ）
A．9.60592×108 B．9.60592×109
C．9.60592×1010 D．9.60592×1011
4．（3分）如图，直线DE与BC相交于点O，∠1与∠2互余，∠BOE＝150°，则∠AOE的度数是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a6+a3＝a9 B．a2•a3＝a6
C．（2a）3＝8a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
6．（3分）在平面直角坐标系中，将直线y＝3x先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，则平移后的新直线为（ ）
A．y＝3x﹣1 B．y＝3x+11 C．y＝3x+5 D．y＝3x+3
7．（3分）如图，在▱ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件是（ ）
A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
8．（3分）如图，△ABD是⊙O的内接三角形，作AD∥OC与⊙O相交于点C，且∠BOC＝110°，则∠ABD的大小为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
9．（3分）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．AB＝2 B．∠BAC＝90°
C．△ABC的面积为10 D．点A到直线BC的距离是2
10．（3分）若抛物线y＝2x2﹣bx+c的对称轴为直线x＝2，且该抛物线与x轴交于A、B两点，若AB的长是6，则该抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（2，10） B．（2，18） C．（2，﹣10） D．（2，﹣18）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
11．（3分）比较大小：2 ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
12．（3分）圆内接正六边形的边长为6，则该正六边形的边心距为 ．
13．（3分）如图，Rt△AOB的顶点O在坐标原点上，∠OBA＝60°，若点B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则k的值为 ．
14．（3分）如图，在正方形ABCD中，以AB为边，在正方形ABCD内部作等边三角形△ABE，点P在对角线AC上，且AC＝6，则PD+PE的最小值为 ．
三、解答题（本大题共11个小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（5分）计算：﹣12021﹣|1﹣tan30°|+（﹣）﹣2×．
16．（5分）化简：÷（﹣a﹣1）．
17．（5分）如图，在△ABC中．请用尺规作图法，求作一个以∠B为内角的菱形BEFG，使顶点E、F、G分别在BC、AC、AB边上．
18．（5分）如图，DE＝BC，∠AED＝∠C，∠1＝∠2＝60°．求证：AE＝CE．
19．（7分）第十四届全运会圣火将在西安点燃，西安将再次惊艳全国．2019年8月2日，“朱朱”“熊熊”“羚羚”“金金”问世，成为2021年第十四届全国运动会的吉祥物．某校为了让学生进一步了解2021年“吉祥物”相关知识，计划开展“吉祥物知识进课堂”活动，开展活动之前，学校老师随机抽取若干名学生，对“你最感兴趣的吉祥物”进行了调查，经调查统计，结合学生自身的兴趣，每人从“A．朱朱、B．熊熊、C．羚羚、D．金金”中选择一项．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
结合图中信息解答下列问题：
（1）请将两幅统计图补充完整，所抽取学生最感兴趣的吉祥物是 ；
（2）在这次调查中，A、B、C、D哪项选择人数少于调查总人数的平均数？
（3）若本校一共有2000名学生，请估计“对B．熊熊最感兴趣”的人数．
20．（7分）在学习了相似三角形的应用知识点后，小丽为了测量某建筑AB的高度，在地面上的点D与同学们一同竖直放了一根标杆CD，并在地面上放置一块平面镜E，已知建筑底端B、E、D点在同一条水平直线上，在标杆顶端点C恰好通过平面镜E观测到建筑顶点A，在点C观测建筑顶点A的仰角为30°，平面镜E的俯角为45°，其中标杆CD的长度为1米，问建筑AB的高度为多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73）
21．（7分）为进一步落实精准扶贫工作．某农科所李教授选择乘坐客车前往目的地．经了解，长途汽车客运站规定乘客可以免费携带一定质量的行李，若携带行李质量超出免费的范围．乘客需自行购买行李票，行李票y（元）与行李质量x（千克）之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围．
（2）当李教授携带72千克行李时，行李费需要多少钱？
22．（7分）小红和小兵进行摸球试验，在一个不透明的空布袋中放有4个小球．分别标号1，2，3，4，小球除数字不同外其他都相同．试验规则：摸球前先搅拌均匀，每次随机摸一个小球，记下数字后，称为摸球一次．
（1）若小兵随机摸球一次，摸到标号为奇数的概率为 ；
（2）若小红从袋中不放回地随机摸两次，请用列表法或画树状图法求出两球标号均为偶数的概率．
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，AC、BC是⊙O的两条弦，CE是⊙O的切线，且OE⊥AB交AC于点D．
（1）求证：CE＝DE．
（2）若⊙O的半径为8，CE＝6，求弦AC的长．
24．（10分）如图，抛物线C1：y＝﹣x2+mx+n与抛物线C2：y＝ax2﹣4x+5（a≠0）关于y轴对称，C1与x轴交于A，B两点，其中点A在点B的左侧．
（1）求抛物线C1，C2的函数表达式．
（2）在抛物线C1上是否存在一点N，在抛物线C2上是否存在一点M，使得以AB为边，且以A、B、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）（1）如图1，在等边△ABC中，BC＝6．点P、D、E分别为边BC、AB、AC上（均不与端点重合）的动点．
①当点P为BC的中点时，在图1中，作出△PDE，使△PDE的周长最小，并直接写出△PDE的周长的最小值；
②如图2，当PB＝2时，求△PDE的周长的最小值．
（2）如图3，在等腰△ABC中．∠BAC＝30°，AB＝AC，BC＝4，点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上（均不与端点重合）的动点，求△PQR周长的最小值并简要说明理由．
2021年陕西省西安市莲湖区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡.上将该项涂黑）
1．（3分）计算20210的结果是（ ）
A．2021 B．1 C．0 D．
【分析】根据零指数幂的意义即可求出答案．
【解答】解：原式＝1，
故选：B．
2．（3分）下列图形中可以作为一个三棱柱的展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】三棱柱展开后，侧面是三个长方形，上下底各是一个三角形．
【解答】解：三棱柱展开后，侧面是三个长方形，上下底各是一个三角形由此可得：
只有A是三棱柱的展开图．
故选：A．
3．（3分）2020年，陕西省实现社会消费品零售总额9605.92亿元，将数字9605.92亿用科学记数法表示为（ ）
A．9.60592×108 B．9.60592×109
C．9.60592×1010 D．9.60592×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：9605.92亿＝960592000000＝9.60592×1011．
故选：D．
4．（3分）如图，直线DE与BC相交于点O，∠1与∠2互余，∠BOE＝150°，则∠AOE的度数是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【分析】直接利用互余的定义以及结合平角的定义得出∠AOC以及∠EOC的度数，进而得出答案．
【解答】解：∵∠1与∠2互余，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠AOC＝90°，
∵∠BOE＝150°，
∴∠EOC＝180°﹣150°＝30°，
∴∠AOE＝∠AOC+∠EOC＝90°+30°＝120°．
故选：A．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a6+a3＝a9 B．a2•a3＝a6
C．（2a）3＝8a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方与完全平方公式逐一计算可得．
【解答】解：A、a6与a3不是同类项，不能合并，此选项错误；
B、a2•a3＝a5，此选项错误；
C、（2a）3＝8a3，此选项正确；
D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，此选项错误；
故选：C．
6．（3分）在平面直角坐标系中，将直线y＝3x先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，则平移后的新直线为（ ）
A．y＝3x﹣1 B．y＝3x+11 C．y＝3x+5 D．y＝3x+3
【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．
【解答】解：将直线y＝3x向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，平移后所得新直线的表达式为y＝3（x+2）+5，即y＝3x+11，
故选：B．
7．（3分）如图，在▱ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件是（ ）
A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
【分析】由平行四边形的性质可知：OA＝OC，OB＝OD，再证明OM＝ON即可证明四边形AMCN是平行四边形，由对角线互相垂直的平行四边形可得到菱形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴MN⊥AC，
∴四边形AMCN是菱形．
故选：C．
8．（3分）如图，△ABD是⊙O的内接三角形，作AD∥OC与⊙O相交于点C，且∠BOC＝110°，则∠ABD的大小为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】根据平行线的性质、等腰三角形的性质求出∠AOD，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵∠BOC＝110°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝70°，
∵AD∥OC，
∴∠BAD＝∠AOC＝70°，
∵OA＝OC，
∴∠ODA＝∠BAD＝70°，
∴∠AOD＝40°，
由圆周角定理得，∠ABD＝∠AOD＝20°，
故选：A．
9．（3分）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．AB＝2 B．∠BAC＝90°
C．△ABC的面积为10 D．点A到直线BC的距离是2
【分析】根据三角形的面积公式、勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可．
【解答】解：A、∵AB2＝22+42＝20，
∴AB＝2，本选项结论正确，不符合题意；
B、∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，本选项结论正确，不符合题意；
C、S△ABC＝4×4﹣×3×4﹣×1×2﹣×2×4＝5，本选项结论错误，符合题意；
D、设点A到直线BC的距离为h，
∵BC2＝32+42＝25，
∴BC＝5，
则×5×h＝5，
解得，h＝2，即点A到直线BC的距离是2，本选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
10．（3分）若抛物线y＝2x2﹣bx+c的对称轴为直线x＝2，且该抛物线与x轴交于A、B两点，若AB的长是6，则该抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（2，10） B．（2，18） C．（2，﹣10） D．（2，﹣18）
【分析】用待定系数法求出抛物线表达式，进而求解．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣bx+c的对称轴为直线x＝2，
∴x＝2＝﹣，解得b＝8，
故抛物线的表达式为y＝2x2﹣8x+c，
令y＝2x2﹣8x+c＝0，解得x＝2±，
则AB＝x＝2+﹣2+＝2＝6，
解得c＝﹣10，
故抛物线的表达式为y＝2x2﹣8x﹣10，
当x＝2时，y＝2x2﹣8x﹣10＝﹣18，
故顶点的坐标为（2，﹣18），
故选：D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
11．（3分）比较大小：2 ＜ ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】比较这两个正数的平方，哪一个数的平方大，数就大．
【解答】解：∵（2）2＝8，（）2＝9，8＜9，
∴2＜．
故答案为：＜．
12．（3分）圆内接正六边形的边长为6，则该正六边形的边心距为 3 ．
【分析】根据题意画出图形，利用等边三角形的性质及锐角三角函数的定义直接计算即可．
【解答】解：如图所示，连接OB、OC，过O作OG⊥BC于G，
∵此多边形是正六边形，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBG＝60°，
∴边心距OG＝OB•sin∠OBG＝6×＝3（cm）；
故答案为：3．
13．（3分）如图，Rt△AOB的顶点O在坐标原点上，∠OBA＝60°，若点B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则k的值为 6 ．
【分析】过A、B作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，设B（m，﹣），由△OCA∽△BDO且相似比为＝tan60°＝，可用m的代数式表示A的坐标，从而可求k的值．
【解答】解：过A、B作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如图：
B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，
设B（m，﹣），则OD＝﹣m，BD＝﹣，
∵Rt△AOB，∠OBA＝60°，
∴tan∠OBA＝＝tan60°＝，
∵∠AOC＝90°﹣∠BOD＝∠OBD，
且∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴△BDO∽△OCA，
∴＝＝＝，
∴OC＝BD＝﹣，AC＝OD＝﹣m，
∴A（﹣，﹣m），
把A（﹣，﹣m）代入y＝得：
k＝﹣×（﹣m）＝6，
故答案为：6．
14．（3分）如图，在正方形ABCD中，以AB为边，在正方形ABCD内部作等边三角形△ABE，点P在对角线AC上，且AC＝6，则PD+PE的最小值为 3 ．
【分析】由正方形的轴对称性知：PD＝PB，从而转化为PB+PE最小即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴B，D关于AC对称，
∴PD＝PB，
∴PD+PE＝PB+PE，
∴PD+PE的最小值为BE，
在Rt△ABC中，
AB＝sin45°×AC＝，
∵等边△ABE，
∴BE＝AB＝3，
故答案为：3．
三、解答题（本大题共11个小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（5分）计算：﹣12021﹣|1﹣tan30°|+（﹣）﹣2×．
【分析】直接利用绝对值的性质以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1﹣|1﹣×|+4×2
＝﹣1﹣0+8
＝7．
16．（5分）化简：÷（﹣a﹣1）．
【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出答案即可．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝•
＝．
17．（5分）如图，在△ABC中．请用尺规作图法，求作一个以∠B为内角的菱形BEFG，使顶点E、F、G分别在BC、AC、AB边上．
【分析】作∠ABC的平分线交AC于F，再作BF的垂直平分线交AB于G，交BC于E，则四边形BEFG满足条件．
【解答】解：如图，四边形BEFG为所作．
18．（5分）如图，DE＝BC，∠AED＝∠C，∠1＝∠2＝60°．求证：AE＝CE．
【分析】先证△ADE≌△ABC（AAS），得AE＝AC，再证△ACE是等边三角形，即可得出结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
即∠DAE＝∠BAC，
在△ADE和△ABC中，
，
∴△ADE≌△ABC（AAS），
∴AE＝AC，
∵∠2＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE＝CE．
19．（7分）第十四届全运会圣火将在西安点燃，西安将再次惊艳全国．2019年8月2日，“朱朱”“熊熊”“羚羚”“金金”问世，成为2021年第十四届全国运动会的吉祥物．某校为了让学生进一步了解2021年“吉祥物”相关知识，计划开展“吉祥物知识进课堂”活动，开展活动之前，学校老师随机抽取若干名学生，对“你最感兴趣的吉祥物”进行了调查，经调查统计，结合学生自身的兴趣，每人从“A．朱朱、B．熊熊、C．羚羚、D．金金”中选择一项．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
结合图中信息解答下列问题：
（1）请将两幅统计图补充完整，所抽取学生最感兴趣的吉祥物是 C．羚羚 ；
（2）在这次调查中，A、B、C、D哪项选择人数少于调查总人数的平均数？
（3）若本校一共有2000名学生，请估计“对B．熊熊最感兴趣”的人数．
【分析】（1）从两个统计图中可以得出，所抽取学生最感兴趣的吉祥物是“C．羚羚”．对D．金金最感兴趣的有30人，占调查人数的10%，可求出得出人数，进而求出“B．熊熊”的人数，以及“A．朱朱“，”B．熊熊”所占的百分比，进而补全两个统计图；
（2）通过计算平均数，比较得出答案；
（3）对“B．熊熊”最感兴趣的占20%，因此计算2000人的20%即可．
【解答】解：（1）120÷40%＝300（人），300﹣120﹣90﹣30＝60（人），
90÷300＝30%，60÷300＝20%，补全统计图如图：
从两个统计图中均可以看出，从两个统计图中可以得出，最感兴趣的吉祥物为“C．羚羚”的人数最多，是120人，
因此所抽取学生最感兴趣的吉祥物是“C．羚羚”，
故答案为：C．羚羚；
（2）各项讲内容选择人数的平均数是（90+60+120+30）÷4＝75（人）．
所以“B．熊熊、D．金金”的选择人数少于调查总人数的平均数；
（3）2000×20%＝400（人），
答：“对B．熊熊最感兴趣”的人数大约有400人．
20．（7分）在学习了相似三角形的应用知识点后，小丽为了测量某建筑AB的高度，在地面上的点D与同学们一同竖直放了一根标杆CD，并在地面上放置一块平面镜E，已知建筑底端B、E、D点在同一条水平直线上，在标杆顶端点C恰好通过平面镜E观测到建筑顶点A，在点C观测建筑顶点A的仰角为30°，平面镜E的俯角为45°，其中标杆CD的长度为1米，问建筑AB的高度为多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73）
【分析】根据题意和题目中的数据，利用锐角三角函数，可以计算出建筑AB的高度，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
CD＝BH＝1米，CH∥CD，CH＝CD，
∵∠HCE＝45°，CH∥BD，
∴∠CED＝∠HCE＝45°，
∵CD⊥DB，AB⊥DB，∠CED＝∠AEB，
∴∠DCE＝∠DEC＝45°，∠AEB＝∠EAB＝45°，
设BE＝x米，则BD＝（x+1）米，AH＝（x﹣1）米，
∴CH＝（x+1）米，
∵∠ACH＝30°，∠AHC＝90°，tan∠ACH＝，
∴＝，
解得x≈3.7，
即建筑AB的高度约为3.7米．
21．（7分）为进一步落实精准扶贫工作．某农科所李教授选择乘坐客车前往目的地．经了解，长途汽车客运站规定乘客可以免费携带一定质量的行李，若携带行李质量超出免费的范围．乘客需自行购买行李票，行李票y（元）与行李质量x（千克）之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围．
（2）当李教授携带72千克行李时，行李费需要多少钱？
【分析】（1）由图象首先设行李费y（元）关于行李质量x（千克）的一次函数关系式为y＝kx+b，再把x＝60，y＝5和x＝90，y＝10代入y＝kx+b中，求出k，b即可．
（2）把x＝72代入（1）中解析式即可．
【解答】解：（1）①由图象可知当0≤x＜30时，费用y＝0；
②当x＞30时，设行李费y（元）关于行李质量x（千克）的一次函数关系式为y＝kx+b，
由题意得：，
解得k＝，b＝﹣5，
∴该一次函数关系式为：y＝，
（2）当x＝72时，y＝×72﹣5＝7（元），
答：（1）行李费y（元）关于行李质量x（千克）的一次函数关系式为y＝；
（2）当李教授携带72千克行李时，行李费需要7元．
22．（7分）小红和小兵进行摸球试验，在一个不透明的空布袋中放有4个小球．分别标号1，2，3，4，小球除数字不同外其他都相同．试验规则：摸球前先搅拌均匀，每次随机摸一个小球，记下数字后，称为摸球一次．
（1）若小兵随机摸球一次，摸到标号为奇数的概率为 ；
（2）若小红从袋中不放回地随机摸两次，请用列表法或画树状图法求出两球标号均为偶数的概率．
【分析】（1）根据一个不透明的口袋中有标号为1，2，3，4的四个小球，可知标号为奇数的有2个，再由概率公式求解即可；
（2）画出相应的树状图，得到从袋中不放回地摸两次，两球标号数字均为偶的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵标号为1，2，3，4的四个小球中，标号为奇数的是1号和3号，
∴摸出一个球，摸到标号为奇数的概率为＝，
故答案为：；
（2）树状图如下所示，
共有12个等可能的结果，其中两球标号数字均为偶数的结果有2个，
∴从袋中不放回地摸两次，两球标号数字均为偶数的概率为＝．
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，AC、BC是⊙O的两条弦，CE是⊙O的切线，且OE⊥AB交AC于点D．
（1）求证：CE＝DE．
（2）若⊙O的半径为8，CE＝6，求弦AC的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CE，根据垂直的定义得到∠ODA+∠OAC＝90°，进而得到∠EDC＝∠ECD，根据等腰三角形的判定定理证明结论；
（2）根据勾股定理求出OE，求出OD，再根据勾股定理求出AD，证明△AOD∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠ECD+∠OCA＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠ECD+∠OAC＝90°，
∵OE⊥AB，
∴∠ODA+∠OAC＝90°，
∴∠ECD＝∠ODA，
∵∠ODA＝∠EDC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴CE＝DE；
（2）在Rt△OCE中，OE＝＝＝10，
∴OD＝OE﹣DE＝OE﹣CE＝4，
在Rt△OAD中，AD＝＝4，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠A，∠AOD＝∠ACB，
∴△AOD∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得，AC＝．
24．（10分）如图，抛物线C1：y＝﹣x2+mx+n与抛物线C2：y＝ax2﹣4x+5（a≠0）关于y轴对称，C1与x轴交于A，B两点，其中点A在点B的左侧．
（1）求抛物线C1，C2的函数表达式．
（2）在抛物线C1上是否存在一点N，在抛物线C2上是否存在一点M，使得以AB为边，且以A、B、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意C1与C2关于y轴对称，即C1与C2的形状，开口大小和开口方向，和最大值都一样，而对称轴互为相反数，即可得C1、C2的表达式；
（2）令C1的纵坐标为0，可得A、B的横坐标，由AB中点坐标为（2，0），N在抛物线C1上，M在抛物线C2上，所以AB只能为平行四边形一边，由MN∥AB且MN＝AB，可得MN＝AB＝6，设N（t，﹣t2+4t+5），M在x轴左半轴或在x轴右半轴，则M（t+6，﹣t2+4t+5）或（t﹣6，﹣t2+4t+5），当M（t﹣6，﹣t2+4t+5）时，由M、N纵坐标相等，可得t＝3，即得M、N坐标，当M（t+6，﹣t2+4t+5）时，由M、N纵坐标相等，可得t＝﹣3即得M、N坐标．
【解答】解：（1）∵C1、C2关于y轴对称，
∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，
∴a＝﹣1，
∴C2：y＝ax2﹣4x+5，当x＝0时，y＝5，
∴C1：y＝﹣x2+mx+n，当x＝0时，y＝n，
∴n＝5，
∵a＝﹣1，
∴C2的对称轴为x＝﹣＝﹣2，
故C1的对称轴为x＝＝2，
得m＝4，（对称轴关于y轴对称，则C1的对称轴为2）
∴C1：y＝﹣x2+4x+5，C2：y＝﹣x2﹣4x+5；
（2）∵AB的中点为（2，0），且点N在抛物线C1上，点M在抛物线C2上，
∴AB只能为平行四边形的一边，
∴MN∥AB且MN＝AB，
C1：y＝﹣x2+4x+5，
令y＝0，得x2﹣4x﹣5＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
则AB＝5﹣（﹣1）＝6，
∴MN＝6，
设N（t，﹣t2+4t+5），则M（t+6，﹣t2+4t+5）或（t﹣6，﹣t2+4t+5），
①当M（t+6，﹣t2+4t+5）时，
则﹣（t+6）2﹣4（t+6）+5＝﹣t2+4t+5，解得t＝﹣3，
∴﹣t2+4t+5＝﹣16，
∴N（﹣3，﹣16），M（3，﹣16）；
②当M（t﹣6，﹣t2+4t+5）时，
则﹣（t﹣6）2﹣4（t﹣6）+5＝﹣t2+4t+5，解得t＝3，
∴﹣t2+4t+5＝8，
∴N（3，8），M（﹣3，8）；
综上可知存在满足条件的点M、N，其坐标为M（3，﹣16），N（﹣3，﹣16）或M（﹣3，8），N（3，8）．
25．（12分）（1）如图1，在等边△ABC中，BC＝6．点P、D、E分别为边BC、AB、AC上（均不与端点重合）的动点．
①当点P为BC的中点时，在图1中，作出△PDE，使△PDE的周长最小，并直接写出△PDE的周长的最小值；
②如图2，当PB＝2时，求△PDE的周长的最小值．
（2）如图3，在等腰△ABC中．∠BAC＝30°，AB＝AC，BC＝4，点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上（均不与端点重合）的动点，求△PQR周长的最小值并简要说明理由．
【分析】（1）①作点P关于AB的对称点M，关于AC的对称点N，连接MN，交AB于点D，AC于点E，利用等边三角形的性质和轴对称的性质可求PM＝PN＝3，由直角三角形的性质可求解；
②先求NH，MH的值，由勾股定理可求解；
（2）过BC的中点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB与Q，交AC于R，则此时△PQR周长最小，求出MQ，RQ，RN即可解决问题．
【解答】解：（1）①作点P关于AB的对称点M，关于AC的对称点N，连接MN，交AB于点D，AC于点E，连接AP交MN于J，连接MP，交AB于H，连接PN，交AC于点G，
∵△ABC是等边三角形，BP＝PC＝3，
∴AP⊥BC，∠B＝∠C＝60°，
∴PH＝PB•sin60°＝，同法可得PG＝，
由对称的性质可知，PH＝HM＝，PG＝GN＝，
∴PM＝PN＝3，
∵∠BPH＝∠CPG＝30°，
∴∠MPN＝120°，∠M＝∠N＝30°，
∴∠M＝∠BPM，
∴MN∥BC，
∵PA⊥BC，
∴PA⊥MN，
∴MJ＝JN＝PM•cos30°＝，
∴MN＝2MJ＝9；
②作点P关于AB的对称点M，关于AC的对称点N，连接MN，交AB于点D，AC于点E，则△PDE的周长的最小值即为线段MN的长，
如图2，过点M作MF⊥直线BC于F，过点N作NG⊥直线BC于G，过点M作MH⊥NG于H，
∴四边形MFGH是矩形，
∴MF＝HG，FG＝MH，
∵PB＝2，∠BPM＝30°，
∴PM＝2×PB•cos30°＝2，MF＝PM＝，PF＝MF＝3，
∵PC＝BC﹣BP＝4，∠CPN＝30°，
∴PN＝2×PC•cos30°＝4，NG＝PN＝2，PG＝NG＝6，
∴NH＝2﹣＝，MH＝FG＝6+3＝9，
∴MN＝＝＝2，
∴△PDE的周长的最小值为2；
（2）过点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB于Q，交AC于R，
则PQ＝MQ，PR＝RN，
∴△PQR周长为PQ+QR+PR＝MQ+QR+EN＝MN，
∴当点P是BC的中点时，△PQR的周长最小，
∵∠BAC＝30°，
∴∠B＝∠C＝75°，∠MPN＝150°，
∴∠M＝∠N＝15°，
∴∠MQB＝∠PQB＝∠B＝75°，
∴MN∥BC，PQ＝PB＝2，
同理PR＝PC＝2，
∵AP⊥BC，
∴AP⊥MN．
∵∠PQR＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴QR＝2×PQ＝2，
∴△PQR周长的最小值是4+2．
2021年陕西省西安市莲湖区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡.上将该项涂黑）
1．（3分）计算20210的结果是（ ）
A．2021 B．1 C．0 D．
2．（3分）下列图形中可以作为一个三棱柱的展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）2020年，陕西省实现社会消费品零售总额9605.92亿元，将数字9605.92亿用科学记数法表示为（ ）
A．9.60592×108 B．9.60592×109
C．9.60592×1010 D．9.60592×1011
4．（3分）如图，直线DE与BC相交于点O，∠1与∠2互余，∠BOE＝150°，则∠AOE的度数是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a6+a3＝a9 B．a2•a3＝a6
C．（2a）3＝8a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
6．（3分）在平面直角坐标系中，将直线y＝3x先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，则平移后的新直线为（ ）
A．y＝3x﹣1 B．y＝3x+11 C．y＝3x+5 D．y＝3x+3
7．（3分）如图，在▱ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件是（ ）
A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
8．（3分）如图，△ABD是⊙O的内接三角形，作AD∥OC与⊙O相交于点C，且∠BOC＝110°，则∠ABD的大小为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
9．（3分）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．AB＝2 B．∠BAC＝90°
C．△ABC的面积为10 D．点A到直线BC的距离是2
10．（3分）若抛物线y＝2x2﹣bx+c的对称轴为直线x＝2，且该抛物线与x轴交于A、B两点，若AB的长是6，则该抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（2，10） B．（2，18） C．（2，﹣10） D．（2，﹣18）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
11．（3分）比较大小：2 ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
12．（3分）圆内接正六边形的边长为6，则该正六边形的边心距为 ．
13．（3分）如图，Rt△AOB的顶点O在坐标原点上，∠OBA＝60°，若点B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则k的值为 ．
14．（3分）如图，在正方形ABCD中，以AB为边，在正方形ABCD内部作等边三角形△ABE，点P在对角线AC上，且AC＝6，则PD+PE的最小值为 ．
三、解答题（本大题共11个小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（5分）计算：﹣12021﹣|1﹣tan30°|+（﹣）﹣2×．
16．（5分）化简：÷（﹣a﹣1）．
17．（5分）如图，在△ABC中．请用尺规作图法，求作一个以∠B为内角的菱形BEFG，使顶点E、F、G分别在BC、AC、AB边上．
18．（5分）如图，DE＝BC，∠AED＝∠C，∠1＝∠2＝60°．求证：AE＝CE．
19．（7分）第十四届全运会圣火将在西安点燃，西安将再次惊艳全国．2019年8月2日，“朱朱”“熊熊”“羚羚”“金金”问世，成为2021年第十四届全国运动会的吉祥物．某校为了让学生进一步了解2021年“吉祥物”相关知识，计划开展“吉祥物知识进课堂”活动，开展活动之前，学校老师随机抽取若干名学生，对“你最感兴趣的吉祥物”进行了调查，经调查统计，结合学生自身的兴趣，每人从“A．朱朱、B．熊熊、C．羚羚、D．金金”中选择一项．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
结合图中信息解答下列问题：
（1）请将两幅统计图补充完整，所抽取学生最感兴趣的吉祥物是 ；
（2）在这次调查中，A、B、C、D哪项选择人数少于调查总人数的平均数？
（3）若本校一共有2000名学生，请估计“对B．熊熊最感兴趣”的人数．
20．（7分）在学习了相似三角形的应用知识点后，小丽为了测量某建筑AB的高度，在地面上的点D与同学们一同竖直放了一根标杆CD，并在地面上放置一块平面镜E，已知建筑底端B、E、D点在同一条水平直线上，在标杆顶端点C恰好通过平面镜E观测到建筑顶点A，在点C观测建筑顶点A的仰角为30°，平面镜E的俯角为45°，其中标杆CD的长度为1米，问建筑AB的高度为多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73）
21．（7分）为进一步落实精准扶贫工作．某农科所李教授选择乘坐客车前往目的地．经了解，长途汽车客运站规定乘客可以免费携带一定质量的行李，若携带行李质量超出免费的范围．乘客需自行购买行李票，行李票y（元）与行李质量x（千克）之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围．
（2）当李教授携带72千克行李时，行李费需要多少钱？
22．（7分）小红和小兵进行摸球试验，在一个不透明的空布袋中放有4个小球．分别标号1，2，3，4，小球除数字不同外其他都相同．试验规则：摸球前先搅拌均匀，每次随机摸一个小球，记下数字后，称为摸球一次．
（1）若小兵随机摸球一次，摸到标号为奇数的概率为 ；
（2）若小红从袋中不放回地随机摸两次，请用列表法或画树状图法求出两球标号均为偶数的概率．
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，AC、BC是⊙O的两条弦，CE是⊙O的切线，且OE⊥AB交AC于点D．
（1）求证：CE＝DE．
（2）若⊙O的半径为8，CE＝6，求弦AC的长．
24．（10分）如图，抛物线C1：y＝﹣x2+mx+n与抛物线C2：y＝ax2﹣4x+5（a≠0）关于y轴对称，C1与x轴交于A，B两点，其中点A在点B的左侧．
（1）求抛物线C1，C2的函数表达式．
（2）在抛物线C1上是否存在一点N，在抛物线C2上是否存在一点M，使得以AB为边，且以A、B、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）（1）如图1，在等边△ABC中，BC＝6．点P、D、E分别为边BC、AB、AC上（均不与端点重合）的动点．
①当点P为BC的中点时，在图1中，作出△PDE，使△PDE的周长最小，并直接写出△PDE的周长的最小值；
②如图2，当PB＝2时，求△PDE的周长的最小值．
（2）如图3，在等腰△ABC中．∠BAC＝30°，AB＝AC，BC＝4，点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上（均不与端点重合）的动点，求△PQR周长的最小值并简要说明理由．
2021年陕西省西安市莲湖区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡.上将该项涂黑）
1．（3分）计算20210的结果是（ ）
A．2021 B．1 C．0 D．
【分析】根据零指数幂的意义即可求出答案．
【解答】解：原式＝1，
故选：B．
2．（3分）下列图形中可以作为一个三棱柱的展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】三棱柱展开后，侧面是三个长方形，上下底各是一个三角形．
【解答】解：三棱柱展开后，侧面是三个长方形，上下底各是一个三角形由此可得：
只有A是三棱柱的展开图．
故选：A．
3．（3分）2020年，陕西省实现社会消费品零售总额9605.92亿元，将数字9605.92亿用科学记数法表示为（ ）
A．9.60592×108 B．9.60592×109
C．9.60592×1010 D．9.60592×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：9605.92亿＝960592000000＝9.60592×1011．
故选：D．
4．（3分）如图，直线DE与BC相交于点O，∠1与∠2互余，∠BOE＝150°，则∠AOE的度数是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【分析】直接利用互余的定义以及结合平角的定义得出∠AOC以及∠EOC的度数，进而得出答案．
【解答】解：∵∠1与∠2互余，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠AOC＝90°，
∵∠BOE＝150°，
∴∠EOC＝180°﹣150°＝30°，
∴∠AOE＝∠AOC+∠EOC＝90°+30°＝120°．
故选：A．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a6+a3＝a9 B．a2•a3＝a6
C．（2a）3＝8a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方与完全平方公式逐一计算可得．
【解答】解：A、a6与a3不是同类项，不能合并，此选项错误；
B、a2•a3＝a5，此选项错误；
C、（2a）3＝8a3，此选项正确；
D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，此选项错误；
故选：C．
6．（3分）在平面直角坐标系中，将直线y＝3x先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，则平移后的新直线为（ ）
A．y＝3x﹣1 B．y＝3x+11 C．y＝3x+5 D．y＝3x+3
【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．
【解答】解：将直线y＝3x向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，平移后所得新直线的表达式为y＝3（x+2）+5，即y＝3x+11，
故选：B．
7．（3分）如图，在▱ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件是（ ）
A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
【分析】由平行四边形的性质可知：OA＝OC，OB＝OD，再证明OM＝ON即可证明四边形AMCN是平行四边形，由对角线互相垂直的平行四边形可得到菱形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴MN⊥AC，
∴四边形AMCN是菱形．
故选：C．
8．（3分）如图，△ABD是⊙O的内接三角形，作AD∥OC与⊙O相交于点C，且∠BOC＝110°，则∠ABD的大小为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】根据平行线的性质、等腰三角形的性质求出∠AOD，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵∠BOC＝110°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝70°，
∵AD∥OC，
∴∠BAD＝∠AOC＝70°，
∵OA＝OC，
∴∠ODA＝∠BAD＝70°，
∴∠AOD＝40°，
由圆周角定理得，∠ABD＝∠AOD＝20°，
故选：A．
9．（3分）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．AB＝2 B．∠BAC＝90°
C．△ABC的面积为10 D．点A到直线BC的距离是2
【分析】根据三角形的面积公式、勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可．
【解答】解：A、∵AB2＝22+42＝20，
∴AB＝2，本选项结论正确，不符合题意；
B、∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，本选项结论正确，不符合题意；
C、S△ABC＝4×4﹣×3×4﹣×1×2﹣×2×4＝5，本选项结论错误，符合题意；
D、设点A到直线BC的距离为h，
∵BC2＝32+42＝25，
∴BC＝5，
则×5×h＝5，
解得，h＝2，即点A到直线BC的距离是2，本选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
10．（3分）若抛物线y＝2x2﹣bx+c的对称轴为直线x＝2，且该抛物线与x轴交于A、B两点，若AB的长是6，则该抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（2，10） B．（2，18） C．（2，﹣10） D．（2，﹣18）
【分析】用待定系数法求出抛物线表达式，进而求解．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣bx+c的对称轴为直线x＝2，
∴x＝2＝﹣，解得b＝8，
故抛物线的表达式为y＝2x2﹣8x+c，
令y＝2x2﹣8x+c＝0，解得x＝2±，
则AB＝x＝2+﹣2+＝2＝6，
解得c＝﹣10，
故抛物线的表达式为y＝2x2﹣8x﹣10，
当x＝2时，y＝2x2﹣8x﹣10＝﹣18，
故顶点的坐标为（2，﹣18），
故选：D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
11．（3分）比较大小：2 ＜ ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】比较这两个正数的平方，哪一个数的平方大，数就大．
【解答】解：∵（2）2＝8，（）2＝9，8＜9，
∴2＜．
故答案为：＜．
12．（3分）圆内接正六边形的边长为6，则该正六边形的边心距为 3 ．
【分析】根据题意画出图形，利用等边三角形的性质及锐角三角函数的定义直接计算即可．
【解答】解：如图所示，连接OB、OC，过O作OG⊥BC于G，
∵此多边形是正六边形，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBG＝60°，
∴边心距OG＝OB•sin∠OBG＝6×＝3（cm）；
故答案为：3．
13．（3分）如图，Rt△AOB的顶点O在坐标原点上，∠OBA＝60°，若点B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则k的值为 6 ．
【分析】过A、B作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，设B（m，﹣），由△OCA∽△BDO且相似比为＝tan60°＝，可用m的代数式表示A的坐标，从而可求k的值．
【解答】解：过A、B作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如图：
B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，
设B（m，﹣），则OD＝﹣m，BD＝﹣，
∵Rt△AOB，∠OBA＝60°，
∴tan∠OBA＝＝tan60°＝，
∵∠AOC＝90°﹣∠BOD＝∠OBD，
且∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴△BDO∽△OCA，
∴＝＝＝，
∴OC＝BD＝﹣，AC＝OD＝﹣m，
∴A（﹣，﹣m），
把A（﹣，﹣m）代入y＝得：
k＝﹣×（﹣m）＝6，
故答案为：6．
14．（3分）如图，在正方形ABCD中，以AB为边，在正方形ABCD内部作等边三角形△ABE，点P在对角线AC上，且AC＝6，则PD+PE的最小值为 3 ．
【分析】由正方形的轴对称性知：PD＝PB，从而转化为PB+PE最小即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴B，D关于AC对称，
∴PD＝PB，
∴PD+PE＝PB+PE，
∴PD+PE的最小值为BE，
在Rt△ABC中，
AB＝sin45°×AC＝，
∵等边△ABE，
∴BE＝AB＝3，
故答案为：3．
三、解答题（本大题共11个小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（5分）计算：﹣12021﹣|1﹣tan30°|+（﹣）﹣2×．
【分析】直接利用绝对值的性质以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1﹣|1﹣×|+4×2
＝﹣1﹣0+8
＝7．
16．（5分）化简：÷（﹣a﹣1）．
【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出答案即可．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝•
＝．
17．（5分）如图，在△ABC中．请用尺规作图法，求作一个以∠B为内角的菱形BEFG，使顶点E、F、G分别在BC、AC、AB边上．
【分析】作∠ABC的平分线交AC于F，再作BF的垂直平分线交AB于G，交BC于E，则四边形BEFG满足条件．
【解答】解：如图，四边形BEFG为所作．
18．（5分）如图，DE＝BC，∠AED＝∠C，∠1＝∠2＝60°．求证：AE＝CE．
【分析】先证△ADE≌△ABC（AAS），得AE＝AC，再证△ACE是等边三角形，即可得出结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
即∠DAE＝∠BAC，
在△ADE和△ABC中，
，
∴△ADE≌△ABC（AAS），
∴AE＝AC，
∵∠2＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE＝CE．
19．（7分）第十四届全运会圣火将在西安点燃，西安将再次惊艳全国．2019年8月2日，“朱朱”“熊熊”“羚羚”“金金”问世，成为2021年第十四届全国运动会的吉祥物．某校为了让学生进一步了解2021年“吉祥物”相关知识，计划开展“吉祥物知识进课堂”活动，开展活动之前，学校老师随机抽取若干名学生，对“你最感兴趣的吉祥物”进行了调查，经调查统计，结合学生自身的兴趣，每人从“A．朱朱、B．熊熊、C．羚羚、D．金金”中选择一项．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
结合图中信息解答下列问题：
（1）请将两幅统计图补充完整，所抽取学生最感兴趣的吉祥物是 C．羚羚 ；
（2）在这次调查中，A、B、C、D哪项选择人数少于调查总人数的平均数？
（3）若本校一共有2000名学生，请估计“对B．熊熊最感兴趣”的人数．
【分析】（1）从两个统计图中可以得出，所抽取学生最感兴趣的吉祥物是“C．羚羚”．对D．金金最感兴趣的有30人，占调查人数的10%，可求出得出人数，进而求出“B．熊熊”的人数，以及“A．朱朱“，”B．熊熊”所占的百分比，进而补全两个统计图；
（2）通过计算平均数，比较得出答案；
（3）对“B．熊熊”最感兴趣的占20%，因此计算2000人的20%即可．
【解答】解：（1）120÷40%＝300（人），300﹣120﹣90﹣30＝60（人），
90÷300＝30%，60÷300＝20%，补全统计图如图：
从两个统计图中均可以看出，从两个统计图中可以得出，最感兴趣的吉祥物为“C．羚羚”的人数最多，是120人，
因此所抽取学生最感兴趣的吉祥物是“C．羚羚”，
故答案为：C．羚羚；
（2）各项讲内容选择人数的平均数是（90+60+120+30）÷4＝75（人）．
所以“B．熊熊、D．金金”的选择人数少于调查总人数的平均数；
（3）2000×20%＝400（人），
答：“对B．熊熊最感兴趣”的人数大约有400人．
20．（7分）在学习了相似三角形的应用知识点后，小丽为了测量某建筑AB的高度，在地面上的点D与同学们一同竖直放了一根标杆CD，并在地面上放置一块平面镜E，已知建筑底端B、E、D点在同一条水平直线上，在标杆顶端点C恰好通过平面镜E观测到建筑顶点A，在点C观测建筑顶点A的仰角为30°，平面镜E的俯角为45°，其中标杆CD的长度为1米，问建筑AB的高度为多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73）
【分析】根据题意和题目中的数据，利用锐角三角函数，可以计算出建筑AB的高度，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
CD＝BH＝1米，CH∥CD，CH＝CD，
∵∠HCE＝45°，CH∥BD，
∴∠CED＝∠HCE＝45°，
∵CD⊥DB，AB⊥DB，∠CED＝∠AEB，
∴∠DCE＝∠DEC＝45°，∠AEB＝∠EAB＝45°，
设BE＝x米，则BD＝（x+1）米，AH＝（x﹣1）米，
∴CH＝（x+1）米，
∵∠ACH＝30°，∠AHC＝90°，tan∠ACH＝，
∴＝，
解得x≈3.7，
即建筑AB的高度约为3.7米．
21．（7分）为进一步落实精准扶贫工作．某农科所李教授选择乘坐客车前往目的地．经了解，长途汽车客运站规定乘客可以免费携带一定质量的行李，若携带行李质量超出免费的范围．乘客需自行购买行李票，行李票y（元）与行李质量x（千克）之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围．
（2）当李教授携带72千克行李时，行李费需要多少钱？
【分析】（1）由图象首先设行李费y（元）关于行李质量x（千克）的一次函数关系式为y＝kx+b，再把x＝60，y＝5和x＝90，y＝10代入y＝kx+b中，求出k，b即可．
（2）把x＝72代入（1）中解析式即可．
【解答】解：（1）①由图象可知当0≤x＜30时，费用y＝0；
②当x＞30时，设行李费y（元）关于行李质量x（千克）的一次函数关系式为y＝kx+b，
由题意得：，
解得k＝，b＝﹣5，
∴该一次函数关系式为：y＝，
（2）当x＝72时，y＝×72﹣5＝7（元），
答：（1）行李费y（元）关于行李质量x（千克）的一次函数关系式为y＝；
（2）当李教授携带72千克行李时，行李费需要7元．
22．（7分）小红和小兵进行摸球试验，在一个不透明的空布袋中放有4个小球．分别标号1，2，3，4，小球除数字不同外其他都相同．试验规则：摸球前先搅拌均匀，每次随机摸一个小球，记下数字后，称为摸球一次．
（1）若小兵随机摸球一次，摸到标号为奇数的概率为 ；
（2）若小红从袋中不放回地随机摸两次，请用列表法或画树状图法求出两球标号均为偶数的概率．
【分析】（1）根据一个不透明的口袋中有标号为1，2，3，4的四个小球，可知标号为奇数的有2个，再由概率公式求解即可；
（2）画出相应的树状图，得到从袋中不放回地摸两次，两球标号数字均为偶的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵标号为1，2，3，4的四个小球中，标号为奇数的是1号和3号，
∴摸出一个球，摸到标号为奇数的概率为＝，
故答案为：；
（2）树状图如下所示，
共有12个等可能的结果，其中两球标号数字均为偶数的结果有2个，
∴从袋中不放回地摸两次，两球标号数字均为偶数的概率为＝．
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，AC、BC是⊙O的两条弦，CE是⊙O的切线，且OE⊥AB交AC于点D．
（1）求证：CE＝DE．
（2）若⊙O的半径为8，CE＝6，求弦AC的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CE，根据垂直的定义得到∠ODA+∠OAC＝90°，进而得到∠EDC＝∠ECD，根据等腰三角形的判定定理证明结论；
（2）根据勾股定理求出OE，求出OD，再根据勾股定理求出AD，证明△AOD∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠ECD+∠OCA＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠ECD+∠OAC＝90°，
∵OE⊥AB，
∴∠ODA+∠OAC＝90°，
∴∠ECD＝∠ODA，
∵∠ODA＝∠EDC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴CE＝DE；
（2）在Rt△OCE中，OE＝＝＝10，
∴OD＝OE﹣DE＝OE﹣CE＝4，
在Rt△OAD中，AD＝＝4，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠A，∠AOD＝∠ACB，
∴△AOD∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得，AC＝．
24．（10分）如图，抛物线C1：y＝﹣x2+mx+n与抛物线C2：y＝ax2﹣4x+5（a≠0）关于y轴对称，C1与x轴交于A，B两点，其中点A在点B的左侧．
（1）求抛物线C1，C2的函数表达式．
（2）在抛物线C1上是否存在一点N，在抛物线C2上是否存在一点M，使得以AB为边，且以A、B、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意C1与C2关于y轴对称，即C1与C2的形状，开口大小和开口方向，和最大值都一样，而对称轴互为相反数，即可得C1、C2的表达式；
（2）令C1的纵坐标为0，可得A、B的横坐标，由AB中点坐标为（2，0），N在抛物线C1上，M在抛物线C2上，所以AB只能为平行四边形一边，由MN∥AB且MN＝AB，可得MN＝AB＝6，设N（t，﹣t2+4t+5），M在x轴左半轴或在x轴右半轴，则M（t+6，﹣t2+4t+5）或（t﹣6，﹣t2+4t+5），当M（t﹣6，﹣t2+4t+5）时，由M、N纵坐标相等，可得t＝3，即得M、N坐标，当M（t+6，﹣t2+4t+5）时，由M、N纵坐标相等，可得t＝﹣3即得M、N坐标．
【解答】解：（1）∵C1、C2关于y轴对称，
∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，
∴a＝﹣1，
∴C2：y＝ax2﹣4x+5，当x＝0时，y＝5，
∴C1：y＝﹣x2+mx+n，当x＝0时，y＝n，
∴n＝5，
∵a＝﹣1，
∴C2的对称轴为x＝﹣＝﹣2，
故C1的对称轴为x＝＝2，
得m＝4，（对称轴关于y轴对称，则C1的对称轴为2）
∴C1：y＝﹣x2+4x+5，C2：y＝﹣x2﹣4x+5；
（2）∵AB的中点为（2，0），且点N在抛物线C1上，点M在抛物线C2上，
∴AB只能为平行四边形的一边，
∴MN∥AB且MN＝AB，
C1：y＝﹣x2+4x+5，
令y＝0，得x2﹣4x﹣5＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
则AB＝5﹣（﹣1）＝6，
∴MN＝6，
设N（t，﹣t2+4t+5），则M（t+6，﹣t2+4t+5）或（t﹣6，﹣t2+4t+5），
①当M（t+6，﹣t2+4t+5）时，
则﹣（t+6）2﹣4（t+6）+5＝﹣t2+4t+5，解得t＝﹣3，
∴﹣t2+4t+5＝﹣16，
∴N（﹣3，﹣16），M（3，﹣16）；
②当M（t﹣6，﹣t2+4t+5）时，
则﹣（t﹣6）2﹣4（t﹣6）+5＝﹣t2+4t+5，解得t＝3，
∴﹣t2+4t+5＝8，
∴N（3，8），M（﹣3，8）；
综上可知存在满足条件的点M、N，其坐标为M（3，﹣16），N（﹣3，﹣16）或M（﹣3，8），N（3，8）．
25．（12分）（1）如图1，在等边△ABC中，BC＝6．点P、D、E分别为边BC、AB、AC上（均不与端点重合）的动点．
①当点P为BC的中点时，在图1中，作出△PDE，使△PDE的周长最小，并直接写出△PDE的周长的最小值；
②如图2，当PB＝2时，求△PDE的周长的最小值．
（2）如图3，在等腰△ABC中．∠BAC＝30°，AB＝AC，BC＝4，点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上（均不与端点重合）的动点，求△PQR周长的最小值并简要说明理由．
【分析】（1）①作点P关于AB的对称点M，关于AC的对称点N，连接MN，交AB于点D，AC于点E，利用等边三角形的性质和轴对称的性质可求PM＝PN＝3，由直角三角形的性质可求解；
②先求NH，MH的值，由勾股定理可求解；
（2）过BC的中点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB与Q，交AC于R，则此时△PQR周长最小，求出MQ，RQ，RN即可解决问题．
【解答】解：（1）①作点P关于AB的对称点M，关于AC的对称点N，连接MN，交AB于点D，AC于点E，连接AP交MN于J，连接MP，交AB于H，连接PN，交AC于点G，
∵△ABC是等边三角形，BP＝PC＝3，
∴AP⊥BC，∠B＝∠C＝60°，
∴PH＝PB•sin60°＝，同法可得PG＝，
由对称的性质可知，PH＝HM＝，PG＝GN＝，
∴PM＝PN＝3，
∵∠BPH＝∠CPG＝30°，
∴∠MPN＝120°，∠M＝∠N＝30°，
∴∠M＝∠BPM，
∴MN∥BC，
∵PA⊥BC，
∴PA⊥MN，
∴MJ＝JN＝PM•cos30°＝，
∴MN＝2MJ＝9；
②作点P关于AB的对称点M，关于AC的对称点N，连接MN，交AB于点D，AC于点E，则△PDE的周长的最小值即为线段MN的长，
如图2，过点M作MF⊥直线BC于F，过点N作NG⊥直线BC于G，过点M作MH⊥NG于H，
∴四边形MFGH是矩形，
∴MF＝HG，FG＝MH，
∵PB＝2，∠BPM＝30°，
∴PM＝2×PB•cos30°＝2，MF＝PM＝，PF＝MF＝3，
∵PC＝BC﹣BP＝4，∠CPN＝30°，
∴PN＝2×PC•cos30°＝4，NG＝PN＝2，PG＝NG＝6，
∴NH＝2﹣＝，MH＝FG＝6+3＝9，
∴MN＝＝＝2，
∴△PDE的周长的最小值为2；
（2）过点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB于Q，交AC于R，
则PQ＝MQ，PR＝RN，
∴△PQR周长为PQ+QR+PR＝MQ+QR+EN＝MN，
∴当点P是BC的中点时，△PQR的周长最小，
∵∠BAC＝30°，
∴∠B＝∠C＝75°，∠MPN＝150°，
∴∠M＝∠N＝15°，
∴∠MQB＝∠PQB＝∠B＝75°，
∴MN∥BC，PQ＝PB＝2，
同理PR＝PC＝2，
∵AP⊥BC，
∴AP⊥MN．
∵∠PQR＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴QR＝2×PQ＝2，
∴△PQR周长的最小值是4+2．
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