2021年陕西省西安五校联考中考数学模拟试卷

这是一份2021年陕西省西安五校联考中考数学模拟试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年陕西省西安五校联考中考数学模拟试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）﹣2021的相反数是（　　）
A．﹣2021 B．﹣ C． D．2021
2．（3分）据国家邮政局统计，2021年农历除夕和初一两天，全国快递处理超130 000 000件，与去年同期相比增长223%，快递的春节“不打烊”服务确保了广大用户能够顺利收到年货，欢度佳节．将130 000 000用科学记数法表示应为（　　）
A．1.3×107 B．13×107 C．1.3×108 D．0.13×109
3．（3分）如图，O为直线AB上一点，已知OC⊥OD，∠AOC＝35°．则∠BOD＝（　　）

A．35° B．45° C．55° D．60°
4．（3分）教育部规定，初中生每天的唾眠时间应为9个小时．小欣同学记录了她一周的睡眠时间．并将统计结果绘制成如图所示的折线统计图，则小欣这一周的睡眠够 9个小时的有（　　）

A．4天 B．3天 C．2天 D．1天
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．x5﹣x2＝x3 B．3x2y÷3xy＝x
C．（m2n）3＝m5n3 D．（x+2）2＝x2+4
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． BD平分∠ABC，AB＝5 cm，BC＝3 cm，则AD的长等于（　　）

A．2.5cm B．2cm C．1.5cm D．3cm
7．（3分）已知正比例函数y1＝﹣2x与一次函数y2＝kx+3的图象交于点A（a，2），则k的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，O、E分别是AC、AD的中点，连接OE，若AB＝3，AC＝4，则tan∠AOE的值为（　　）

A． B． C． D．
9．（3分）如图，BD、CE是⊙O的直径，弦AE∥BD，AD交CE于点F，若∠A＝20°．则∠AFC的度数为（　　）

A．80° B．75° C．60° D．50°
10．（3分）已知抛物线L1：y＝mx2﹣2mx+5（m≠0）的顶点为A，抛物线L2与抛物线L1关于点B（2，0）成中心对称．若抛物线L2经过点A．则m的值为（　　）
A．﹣5 B．﹣2 C． D．
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
11．（3分）计算：﹣（1﹣）0+（）﹣1＝　 　．
12．（3分）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝　 　度．

13．（3分）如图，已知点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AC⊥y轴于点C，点B在x轴的负半轴上，若S△ABC＝2，则k的值为　 　．

14．（3分）如图．在矩形ABCD中，AD＝2AB＝6，点E是AD的中点．连接BE．点M是BE上一动点，取CM的中点为N．连接AN，则AN的最小值是　 　．

三、解答题（共11小题，满分78分）
15．（5分）解不等式组．
16．（5分）化简：（a+）÷．
17．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．请用尺规作图法求作∠CPB＝∠A．使得顶点P在AB的垂直平分线上．

18．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC、点E为CD边上的中点，连接AE并延长，与BC的延长线交于点F，连接AC、DF，求证：四边形ACFD是平行四边形．

19．（7分）阳光中学为了解学生零花钱的使用情况，校团委随机调查了本校部分学生每人一周的零花钱数额，并绘制了如下两幅不完整的统计图．

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）随机调查的学生人数是　 　，并补全条形统计图；
（2）求被调查的学生每人一周零花钱数额的中位数及众数；
（3）为捐助贫困山区儿童学习，全校800名学生每人自发地捐出一周的零花钱，请估计全校学生共捐款钱数．
20．（7分）如图，某编辑部办公楼（矩形ABCD）前有一旗杆MN，旗杆垂直于地面，即MN⊥DN，已知旗杆高为12m，在办公楼底A处测得旗杆顶的仰角为30°，在办公楼天台B处测得旗杆顶的俯角为45°，请你帮忙求出该编辑部办公楼的高度AB．

21．（7分）由于疫情的影响，“地摊经济“成为了很多人经济来原的一种形式．李叔叔从市场得知如下信息：

A商品
B商品
进价（元/件）
35
5
售价（元/件）
45
8
李叔叔计划购进A．B商品共100件进行销售，设购进A商品x件，A．B商品全部销售完后获得利润为y元．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）若李叔叔用不超过2000元资金一次性购进A．B两种商品，则如何进货，才能使得获利最大？并求出最大利润．
22．（7分）某市合唱团为开展“百人合唱爱国歌”网络“线上云演出“活动，需招收新成员，乐乐、笑笑、小舞、小希四名学生报名参加了应聘活动，其中乐乐、笑笑来自七年级，小舞、小希来自八年级．现对这四名学生采取随机抽取的方式进行网络线上面试．
（1）若随机抽取一名学生，求恰好抽到学生笑笑的概率；
（2）若随机抽取两名学生，请用列表法或画树状图法求抽中两名学生均来自八年级的概率．
23．（8分）如图，在⊙O中，AB为直径，过圆上一点C作切线CD交AB的延长线于点D．
（1）求证：∠BAC＝∠BCD；
（2）若∠BAC＝30°，AD＝4，求CD的长．

24．（10分）如图．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（1，0）、B两点，与y轴交于点C．对称轴为直线x＝﹣1，P为顶点．
（1）求出点B的坐标及抛物线的表达式；
（2）在x轴上是否存在点M，使得△MOC与△BCP相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（12分）问题提出
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4cm，点E为AB的中点，点F在BC上，过点E作EG∥BC交FD于点G．若EG＝5cm，则△EFD的面积为　 　．

问题探究
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝9cm，点P是AD边上一动点，点Q是CD的中点，将△ABP沿着BP折叠，点A的对应点是A'，将△QDP沿着PQ折叠，点D的对应点是D'．请问是否存在这样的点P，使得点P、A'、D'在同一条直线上？若存在，求出此时AP的长度；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形ABCD中，BC＝4cm，点D到BC的距离为5cm，AD⊥CD，且CD＝AD．若过点D作MN∥BC，过点A作MN的垂线，交MN于点E，交CB的延长线于点H，过点C作CF⊥MN于点F，连接AC．设AE的长为x（cm），四边形ABCD的面积为y（cm2）．
①根据题意求出y与x之间的函数关系式；
②在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低．已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用．（≈1.73）

2021年陕西省西安五校联考中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）﹣2021的相反数是（　　）
A．﹣2021 B．﹣ C． D．2021
【分析】利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：﹣2021的相反数是：2021．
故选：D．
2．（3分）据国家邮政局统计，2021年农历除夕和初一两天，全国快递处理超130 000 000件，与去年同期相比增长223%，快递的春节“不打烊”服务确保了广大用户能够顺利收到年货，欢度佳节．将130 000 000用科学记数法表示应为（　　）
A．1.3×107 B．13×107 C．1.3×108 D．0.13×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：130000000＝1.3×108．
故选：C．
3．（3分）如图，O为直线AB上一点，已知OC⊥OD，∠AOC＝35°．则∠BOD＝（　　）

A．35° B．45° C．55° D．60°
【分析】首先根据垂线的定义可知：∠COD＝90°，从而可得到∠AOC+∠BOD＝90°，然后求解即可．
【解答】解：∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°．
∴∠AOC+∠BOD＝90°
∵∠AOC＝35°，
∴∠BOD＝55°，
故选：C．
4．（3分）教育部规定，初中生每天的唾眠时间应为9个小时．小欣同学记录了她一周的睡眠时间．并将统计结果绘制成如图所示的折线统计图，则小欣这一周的睡眠够 9个小时的有（　　）

A．4天 B．3天 C．2天 D．1天
【分析】根据统计图中的数据可知，小欣同学这一周的睡眠够9个小时的有几天，本题得以解决．
【解答】解：由图可知，
小欣同学周一到周日的睡眠时间分别是：6小时，8小时，7小时，7小时，9小时，10小时，8小时，
则小欣同学这一周的睡眠够9个小时的有2天，
故选：C．
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．x5﹣x2＝x3 B．3x2y÷3xy＝x
C．（m2n）3＝m5n3 D．（x+2）2＝x2+4
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：x5﹣x2不能合并，故选项A错误；
3x2y÷3xy＝x，故选项B正确；
（m2n）3＝m6n3，故选项C错误；
（x+2）2＝x2+4x+4，故选项D错误；
故选：B．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． BD平分∠ABC，AB＝5 cm，BC＝3 cm，则AD的长等于（　　）

A．2.5cm B．2cm C．1.5cm D．3cm
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质定理可得DE＝DC，再判定Rt△BCD≌Rt△BED（HL），则可得BE＝BC＝3cm，结合AB＝5cm，可得AE的值，然后由勾股定理求得AC的长，最后在Rt△ADE中，由勾股定理列方程解得AD的值即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，

∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BE＝BC＝3cm，
∵AB＝5cm，
∴AE＝AB﹣BE＝2cm，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝＝4cm，
设AD＝xcm，则DE＝DC＝AC﹣AD＝（4﹣x）cm，
在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即22+（4﹣x）2＝x2，
解得x＝2.5，
∴AD＝2.5cm．
故选：A．
7．（3分）已知正比例函数y1＝﹣2x与一次函数y2＝kx+3的图象交于点A（a，2），则k的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
【分析】根据点A（a，2）在正比例函数y1＝﹣2x上求出a，把点A的坐标代入一次函数解析式，求出k．
【解答】解：∵点A（a，2）在正比例函数y1＝﹣2x上，
∴﹣2a＝2，
∴a＝﹣1，
由题意得，﹣k+3＝2，
解得，k＝1，
故选：D．
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，O、E分别是AC、AD的中点，连接OE，若AB＝3，AC＝4，则tan∠AOE的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】连接OD，由菱形的性质、勾股定理求出OD，再由三角形中位线定理得到∠AOE＝∠ACD，然后由锐角三角函数定义求解即可．
【解答】解：连接OD，如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝CD＝AB＝3，
∵O是AC的中点
∴OD⊥AC，OA＝OC＝AC＝2，
由勾股定理得，OD＝＝＝，
∵O、E分别是AC、AD的中点，
∴OE是△ACD的中位线，
∴OE∥CD，
∴∠AOE＝∠ACD，
∴tan∠AOE＝tan∠ACD＝＝，
故选：B．

9．（3分）如图，BD、CE是⊙O的直径，弦AE∥BD，AD交CE于点F，若∠A＝20°．则∠AFC的度数为（　　）

A．80° B．75° C．60° D．50°
【分析】先根据圆周角定理可得∠EOD＝2∠A＝40°，再根据平行线的性质可得∠ADB＝∠A＝20°，由三角形外角定理即可得出答案．
【解答】解：∵∠A＝20°，
∴∠EOD＝2∠A＝40°，
又∵AE∥BD，
∴∠ADB＝∠A＝20°，
∴∠AFC＝∠EOD+∠ADB＝40°+20°＝60°．
故选：C．
10．（3分）已知抛物线L1：y＝mx2﹣2mx+5（m≠0）的顶点为A，抛物线L2与抛物线L1关于点B（2，0）成中心对称．若抛物线L2经过点A．则m的值为（　　）
A．﹣5 B．﹣2 C． D．
【分析】，首先求出抛物线L1的顶点坐标，根据题意求得抛物线L2的顶点坐标，得出二次函数解析式，把A的坐标代入即可解得m的值．
【解答】解：∵已知抛物线L1：y＝mx2﹣2mx+5＝m（x﹣1）2+5﹣m，
∴顶点A（1，5﹣m），
∵抛物线L2与抛物线L1关于点B（2，0）成中心对称．
∴抛物线L2的开口大小相同，方向相反，顶点为（3，m﹣5）
∴抛物线L2的解析式是：y＝﹣m（x﹣3）2+m﹣5，
∵抛物线L2经过点A，
∴5﹣m＝﹣4m+m﹣5，解得m＝﹣5，
故选：A．
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
11．（3分）计算：﹣（1﹣）0+（）﹣1＝　2+1　．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣1+2
＝2+1．
故答案为：2+1．
12．（3分）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝　30　度．

【分析】由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出∠ABC的度数．
【解答】解：正六边形的每个内角的度数为：＝120°，
所以∠ABC＝120°﹣90°＝30°，
故答案为：30．
13．（3分）如图，已知点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AC⊥y轴于点C，点B在x轴的负半轴上，若S△ABC＝2，则k的值为　﹣4　．

【分析】根据反比例函数系数k的几何意义求出三角形OAC的面积即可．
【解答】解：连接OA，
∵AC⊥y轴，
∴AC∥x轴，
∴S△AOC＝S△ABC＝2＝|k|，
又∵k＜0，
∴k＝﹣4，
故答案为：﹣4．

14．（3分）如图．在矩形ABCD中，AD＝2AB＝6，点E是AD的中点．连接BE．点M是BE上一动点，取CM的中点为N．连接AN，则AN的最小值是　3　．

【分析】取BC的中点N′，连接AN′、DN′，证明AN′⊥DN′，由于CM的中点为N，始终在DN′上，当N与N′重合时，AN的值就最小，求出AN′的值便可．
【解答】解：取BC的中点N′，连接AN′、DN′，如图所示：

∴BN′＝CN′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝DC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵AD＝2AB＝6，
∴AB＝BN′＝CN′＝CD＝3，
∴∠AN′B＝∠DN′C＝45°，AN′＝＝3，
∴∠AN′D＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E是AD的中点，N′是BC的中点，
∴DE＝BN′，DE∥BN′，
∴四边形BEDN′是平行四边形，
∴BE∥DN′，
∴DN′平分CM，即CM的中点N在DN′上，
∴当N与N′重合时，AN⊥DN′，
根据垂线段最短定理知，AN′的值就是AN的最小值为3．
故答案为：3．
三、解答题（共11小题，满分78分）
15．（5分）解不等式组．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得x＞﹣1，
解②得x≤4．
则不等式组的解集是﹣1＜x≤4．
16．（5分）化简：（a+）÷．
【分析】根据分式的加法和除法可以解答本题．
【解答】解：（a+）÷
＝
＝
＝
＝．
17．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．请用尺规作图法求作∠CPB＝∠A．使得顶点P在AB的垂直平分线上．

【分析】先作AB的垂直平分线l，再作△ABC的外接圆⊙O，则⊙O与直线l的交点（与A点在BC的同侧）为P点．
【解答】解：如图，∠CPB为所作．

18．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC、点E为CD边上的中点，连接AE并延长，与BC的延长线交于点F，连接AC、DF，求证：四边形ACFD是平行四边形．

【分析】根据平行线的性质得出∠ADE＝∠FCE，求出CE＝DE，根据ASA推出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质得出AE＝FE，根据平行四边形的判定得出即可．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FCE，
∵E为CD的中点，
∴CE＝DE，
在△ADE和△FCE中
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AE＝FE，
∵DE＝CE，
∴四边形ACFD是平行四边形．
19．（7分）阳光中学为了解学生零花钱的使用情况，校团委随机调查了本校部分学生每人一周的零花钱数额，并绘制了如下两幅不完整的统计图．

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）随机调查的学生人数是　40　，并补全条形统计图；
（2）求被调查的学生每人一周零花钱数额的中位数及众数；
（3）为捐助贫困山区儿童学习，全校800名学生每人自发地捐出一周的零花钱，请估计全校学生共捐款钱数．
【分析】（1）根据统计图可以求得校团委随机调查的学生数以及有20元零花钱的学生数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据中位数和众数的定义即可得出被调查的学生每人一周零花钱数额的中位数和众数；
（3）用总人数乘以每个学生共捐款数即可得出答案．
【解答】解：（1）校团委随机调查的学生有：10÷25%＝40（人），
零花钱有20元的学生有：40×15%＝6（人），
补全统计图如下：

故答案为：40；
（2）把这些数从小到大排列，中位数是第20、21个数的平均数，
则中位数是＝30（元）；
30元出现的次数最多，则众数是30元；
答：被调查的学生每人一周零花钱数额的中位数是30元，众数是30元；
（3）根据题意得：
800×＝26400（元），
答：估计全校学生共捐款26400元．
20．（7分）如图，某编辑部办公楼（矩形ABCD）前有一旗杆MN，旗杆垂直于地面，即MN⊥DN，已知旗杆高为12m，在办公楼底A处测得旗杆顶的仰角为30°，在办公楼天台B处测得旗杆顶的俯角为45°，请你帮忙求出该编辑部办公楼的高度AB．

【分析】过点M作MH⊥AB于点H，可得四边形MNAH是矩形，再根据锐角三角函数即可求出办公楼的高度AB．
【解答】解：过点M作MH⊥AB于点H，

∵MN⊥DN，∠BAN＝90°，
∴四边形MNAH是矩形，
∴AH＝MN＝12（m），
MH∥AN∥BC，
∴∠AMH＝∠MAN＝30°，
在Rt△AMH中，MH＝＝12（m），
∵∠BMH＝45°，
∴BH＝MH＝12（m），
∴AB＝AH+BH＝（12+12）（m）．
答：办公楼的高度AB为（12+12）m．
21．（7分）由于疫情的影响，“地摊经济“成为了很多人经济来原的一种形式．李叔叔从市场得知如下信息：

A商品
B商品
进价（元/件）
35
5
售价（元/件）
45
8
李叔叔计划购进A．B商品共100件进行销售，设购进A商品x件，A．B商品全部销售完后获得利润为y元．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）若李叔叔用不超过2000元资金一次性购进A．B两种商品，则如何进货，才能使得获利最大？并求出最大利润．
【分析】（1）由y＝甲商品利润+乙商品利润，可得解析式；
（2）由用不超过2000元资金一次性购进A，B两种商品，求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性解决最大值问题．
【解答】解：（1）由题意可得：y＝（45﹣35）x+（8﹣5）（100﹣x）＝7x+300，
∴y与x之间的函数关系式为y＝7x+300；
（2）由题意可得：35x+5（100﹣x）≤2000，
解得：x≤50，
又∵x≥0，
∴0≤x≤50，
∵y＝7x+300，7＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝50时，可获得最大利润，最大利润为：
y＝7×50+300＝650（元），
100﹣x＝100﹣50＝50（件）．
答：当购进A种商品50件，B种商品50件时，可使得A、B商品全部销售完后获得的利润最大，最大利润650元．
22．（7分）某市合唱团为开展“百人合唱爱国歌”网络“线上云演出“活动，需招收新成员，乐乐、笑笑、小舞、小希四名学生报名参加了应聘活动，其中乐乐、笑笑来自七年级，小舞、小希来自八年级．现对这四名学生采取随机抽取的方式进行网络线上面试．
（1）若随机抽取一名学生，求恰好抽到学生笑笑的概率；
（2）若随机抽取两名学生，请用列表法或画树状图法求抽中两名学生均来自八年级的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图（七年级的两名学生用甲、乙表示，八年级的两名学生用丙、丁表示）展示所有12种等可能的结果，找出两名学生均来自八年级的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）随机抽取一名学生，恰好抽到学生笑笑的概率＝；
（2）画树状图为：（七年级的两名学生用甲、乙表示，八年级的两名学生用丙、丁表示）

共有12种等可能的结果，其中两名学生均来自八年级的结果数为2，
所以抽中两名学生均来自八年级的概率＝＝．
23．（8分）如图，在⊙O中，AB为直径，过圆上一点C作切线CD交AB的延长线于点D．
（1）求证：∠BAC＝∠BCD；
（2）若∠BAC＝30°，AD＝4，求CD的长．

【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据同角的余角相等证明结论；
（2）根据余弦的定义计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCB+∠BCD＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠ABC，
∴∠BAC＝∠BCD；
（2）解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，∠BCD＝30°，
∴∠D＝30°，
∴OC＝OD，
∴OA＝OB＝BD＝AD＝，
∴CD＝×cos30°＝．

24．（10分）如图．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（1，0）、B两点，与y轴交于点C．对称轴为直线x＝﹣1，P为顶点．
（1）求出点B的坐标及抛物线的表达式；
（2）在x轴上是否存在点M，使得△MOC与△BCP相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）构建方程组求解即可．
（2）首先证明∠PCB＝90°，由PC：BC＝1：3，推出OM：OC＝1：3或OC：OM＝1：3，推出OM＝1或9，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意，，
解得，
∴抛物线的解析式y＝﹣x2﹣2x+3，
令y＝0，则﹣x2﹣2x＝3＝0，解得x＝1或﹣3，
∴B（﹣3，0）．

（2）存在．如图，连接PB，PC．

∵B（﹣3，0），P（﹣1，4），C（0，3），
∴BC＝3，PC＝，PB＝2，
∴PB2＝PC2+CB2，
∴∠PCB＝90°，PC：BC＝：3＝1：3，
当MO：OC＝1：3或OC：MO＝1：3时，△COM与△BCP相似，
∴OM＝1或9，
∴满足条件的点M的坐标为（1，0）或（﹣1，0）或（9，0）或（﹣9，0）．
25．（12分）问题提出
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4cm，点E为AB的中点，点F在BC上，过点E作EG∥BC交FD于点G．若EG＝5cm，则△EFD的面积为　10cm2　．

问题探究
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝9cm，点P是AD边上一动点，点Q是CD的中点，将△ABP沿着BP折叠，点A的对应点是A'，将△QDP沿着PQ折叠，点D的对应点是D'．请问是否存在这样的点P，使得点P、A'、D'在同一条直线上？若存在，求出此时AP的长度；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形ABCD中，BC＝4cm，点D到BC的距离为5cm，AD⊥CD，且CD＝AD．若过点D作MN∥BC，过点A作MN的垂线，交MN于点E，交CB的延长线于点H，过点C作CF⊥MN于点F，连接AC．设AE的长为x（cm），四边形ABCD的面积为y（cm2）．
①根据题意求出y与x之间的函数关系式；
②在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低．已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用．（≈1.73）
【分析】（1）先由矩形的性质得AD∥BC，CD＝AB＝4cm，再由三角形面积公式求解即可；
（2）由折叠的性质得：∠BPA＝∠BPA′，∠DPQ＝∠D′PQ，再证△ABP∽△DPQ，可得＝，解得：AP＝6或AP＝3；
（3）①过点D作MN∥BC，过点A作MN的垂线，交MN于点E，交CB的延长线于点H，过点C作CF⊥MN于点F，连接AC，先证△DEA∽△CFD，得＝＝，由AE＝x，得AH＝5﹣x，求出DE＝，DF＝x，然后由梯形面积公式和三角形面积公式，即可解决问题；
②运用配方法可得y＝x2﹣2x++10＝（x﹣）2+10+，利用二次函数最值方法即可求得答案．
【解答】】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，CD＝AB＝4cm，
∵EG∥BC，
∴AD∥EG∥BC，
∵点E为AB的中点，
∴S△EFD＝S△EGD+S△EGF＝×EG×AB+×EG×AB＝×EG×AB＝×5×4＝10（cm2），
故答案为：10cm2；
（2）存在，理由如下：
如图2，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠CBA＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，
∵Q是CD的中点，
∴CQ＝3，
由折叠的性质得：∠BPA＝∠BPA′，∠DPQ＝∠D′PQ，
当点P、A′、D′三点在同一条直线上时，∠BPA+∠BPA′+∠DPQ+∠D′PQ＝180°，
∴∠BPA+∠DPQ＝90°，
∵∠BPA+∠ABP＝90°，
∴∠ABP＝∠DPQ，
∵∠BAP＝∠PDQ＝90°，
∴△ABP∽△DPQ，
∴＝，
即＝，
解得：AP＝6或AP＝3；
（3）①过点D作MN∥BC，过点A作MN的垂线，交MN于点E，交CB的延长线于点H，过点C作CF⊥MN于点F，连接AC，如图3所示：
则CF＝EH＝5cm，
∵AD⊥CD，
∴∠EDA+∠CDF＝90°，
∵CF⊥MN，
∴∠CDF+∠DCF＝90°，
∴∠EDA＝∠DCF，
又∵∠DEA＝∠CFD＝90°，
∴△DEA∽△CFD，
∴＝＝，
∵AE＝x，则AH＝5﹣x，
∵CF＝5，CD＝AD，
∴＝＝，
∴DE＝，DF＝x，
∴S四边形ABCD＝S四边形EACF﹣S△AED﹣S△CDF+S△ABC
＝（x+5）（+x）﹣x•﹣×x•5+×4（5﹣x）＝x2﹣2x++10，
∴y＝x2﹣2x++10（0＜x＜5）；
②∵y＝x2﹣2x++10＝（x﹣）2+10+，0＜x＜5，＞0，
∴当x＝时，y有最小值，且ymin＝10+，
即当x＝cm时，四边形ABCD的面积取得最小值（10+）cm2，
∴最低造价为（10+）×60≈963.30（元），
∴四边形金属部件每个的造价最低约为963.30元．