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人教B版 (2019)选择性必修 第二册第三章 排列、组合与二项式定理3.1 排列与组合3.1.2 排列与排列数第2课时导学案
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这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第二册第三章 排列、组合与二项式定理3.1 排列与组合3.1.2 排列与排列数第2课时导学案，共13页。
第2课时 排列数的应用
(教师独具内容)
课程标准：通过实例，理解排列的概念与排列数公式的应用.
教学重点：进一步加深对排列概念的理解.
教学难点：掌握几种有限制条件的排列问题的处理方法，能应用排列数公式解决简单的实际问题.
知识点 排列应用题的最基本的解法
1.直接法：先满足特殊对象的要求，再考虑一般对象(又称为对象分析法)；或先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法).
2.排除法：先计算出无限制条件的所有排法种数，然后再减去不符合条件的排法种数.
3.从位置(或对象)出发的“特殊位置(或对象)优先考虑法”和对不相邻问题采用的“插空法”以及对相邻问题采用的“捆绑法”，是解答排列问题常用的有效方法.
1.解排列问题的基本思路
解简单的排列应用题首先必须认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序，如果是，再进一步分析，这里n个不同的对象指的是什么，以及从n个不同的对象中任取m个对象的每一种排列对应的是什么事情，最后运用排列数公式求解.
2.排列应用题的类型及解法
排列中具有典型意义的两类问题是“排数”问题和“排队”问题，绝大多数排列问题都可转化为这两种形式.
(1)无限制条件的排列应用题，直接利用排列数公式计算.
(2)有限制条件的排列应用题，采用直接法或排除法．应注意以下几种常见类型：
①含有特殊对象(或位置)，通常优先安排特殊对象(或位置)，称为“特殊对象(或位置)优先考虑法”.
②某些对象要求必须相邻时可以先将这些对象看作一个整体，与其他对象排列后，再考虑相邻对象的内部排序，这种方法称为“捆绑法”，即“相邻对象捆绑法”.
③某些对象要求不相邻时，可以先安排其他对象，再将这些不相邻对象插入空档，这种方法称为“插空法”，即“不相邻对象插空法”.
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)从3,5,7,9中任取两个数做指数运算，可以得到多少个幂是排列问题．( )
(2)把12名学生分成三组参加植树活动，共有多少分组方法是排列问题．( )
(3)从1,2,3中任选两个数相除可以得到的不同的结果数为6.( )
答案 (1)√ (2)× (3)√
2.做一做
(1)中超联赛共有16支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，则一共进行的比赛的场次为( )
A.240 B．120 C．16 D．256
(2)将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法种数是________.
(3)一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有________种.
答案 (1)A (2)720 (3)20
题型一 排队问题
例1 有5名男生，4名女生排成一排.
(1)从中选出3人排成一排，有多少种排法？
(2)若甲男生不站排头也不站排尾，则有多少种不同的排法？
(3)要求女生必须站在一起，有多少种不同的排法？
(4)若4名女生互不相邻，则有多少种不同的排法？
[解] (1)只要从5名男生，4名女生中任选3人排列即可.
所以共有A＝9×8×7＝504种排法.
(2)解法一：(对象分析法)甲是特殊对象，第一步甲站在中间7个位置中的任意一个上，有A种排法；第二步其余8人站在剩余8个位置上，有A种排法.
由分步乘法计数原理知，共有AA＝282240种排法.
解法二：(位置分析法)第一步从甲以外的8人中任选2人站在首、尾位置，有A种排法；第二步排其余7人，有A种排法．由分步乘法计数原理知，共有AA＝282240种排法.
解法三：(排除法)5名男生，4名女生排成一排，共有A种排法，其中甲站排头的排法有A种，甲站排尾的排法有A种.
所以符合条件的排法有A－2A＝282240种.
(3)女生先站在一起，有A种排法，全体女生视为一个元素与其他男生全排列有A种排法．由分步乘法计数原理知，共有AA＝17280种排法.
(4)分两步．第一步：5名男生全排列有A种排法；第二步：男生排好后，男生之间有4个空，加上男生排列的两端共6个空，4名女生在这6个空的位置进行排列，有A种排法.
由分步乘法计数原理知，共有AA＝43200种排法.
点睛
排队问题的解题策略
(1)“排队”问题与“排数”问题有些类似，主要是从特殊位置或特殊元素两个方面考虑，当正面考虑情况复杂时，可考虑用排除法；
(2)直接法解题一般采用对象分析法和位置分析法，要注意分类时不重不漏，分步要连续、独立；排除法要注意不符合条件的情形，做到不重不漏；
(3)某些对象要求必须相邻时，可以先将这些对象看成一个整体，与其他对象排列后，再考虑相邻对象的内部排列，这种方法称为“捆绑法”，即“相邻对象捆绑法”；
(4)某些对象要求不相邻时，可以先安排其他对象，再将这些不相邻对象插入空位中，这种方法称为“插空法”，即“不相邻对象插空法”.
3名男生，4名女生，按照不同的要求排队拍照，求不同的排队方案的方法种数.
(1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；
(2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；
(3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；
(4)全体站成一排，男生、女生各站在一起；
(5)全体站成一排，男生必须站在一起；
(6)全体站成一排，男生不能站在一起；
(7)全体站成一排，男生、女生各不相邻；
(8)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；
(9)排成前后两排，前排3人，后排4人.
解 (1)(特殊对象优先法)先考虑甲的位置，有A种方法，再考虑其余6人的位置，有A种方法.
故共有AA＝2160种方法.
(2)(特殊对象优先法)先安排甲、乙的位置，有A种方法，再安排其余5人的位置，有A种方法.
故共有AA＝240种方法.
(3)解法一：(特殊对象优先法)按甲是否在最右端分两类：
第一类，甲在最右端，有A种方法；
第二类，甲不在最右端，甲有A种排法，乙也有A种排法，其余5人有A种排法，即AAA种方法.
故共有A＋AAA＝3720种方法.
解法二：(排除法)无限制条件的排列方法共有A种，
而甲在最左端，乙在最右端的排法分别有A种，
甲在最左端且乙在最右端的排法有A种.
故共有A－2A＋A＝3720种方法.
解法三：(特殊位置优先法)按最左端先安排分步．对于最左端，除甲外有A种排法，余下六个位置全排列有A种排法，其中甲不在最左端，且乙在最右端的排法有AA种．故共有AA－AA＝3720种方法.
(4)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有A种排法，
女生必须站在一起，即把4名女生进行全排列，有A种排法，
全体男生、女生各看成一个对象全排列有A种排法，
由分步乘法计数原理知共有AAA＝288种排法.
(5)(捆绑法)把所有男生看成一个对象，与4名女生组成5个对象全排列，
故共有AA＝720种不同的排法.
(6)(不相邻问题插空法)先排女生有A种排法，
把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有A种排法，
故共有AA＝1440种不同的排法.
(7)对比(6)，让女生插空，有AA＝144种不同的排法.
(8)(捆绑法)除甲、乙外，从其余的5人中任取2人，并站在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下的3个人进行全排列，
故共有AAA＝960种不同的排法.
(9)直接分步完成，共有AA＝5040种不同的排法.
题型二 数字问题
例2 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数？
(1)六位数且是奇数；
(2)个位上的数字不是5的六位数；
(3)不大于4310的四位数且是偶数.
[解] (1)解法一：从特殊位置入手(直接法)
第一步：排个位，从1,3,5三个数字中选1个，有A种排法；
第二步：排十万位，有A种排法；
第三步：排其他位，有A种排法.
故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有AAA＝288个.
解法二：从特殊对象入手(直接法)
0不在两端有A种排法；
从1,3,5中任选一个排在个位上，有A种排法；
其他数字全排列有A种排法.
故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有AAA＝288个.
解法三：(排除法)
6个数字全排列有A种排法，
0,2,4在个位上的排法有3A种，
1,3,5在个位上且0在十万位上的排法有3A种，故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的有A－3A－3A＝288个.
(2)解法一：(排除法)
0在十万位上的排列，5在个位上的排列都是不符合题意的六位数，故符合题意的六位数共有A－2A＋A＝504个.
解法二：(直接法)
十万位上的数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此分两类.
第一类：当个位上排0时，有A种排法；
第二类：当个位上不排0时，有AAA种排法.
故符合题意的六位数共有A＋AAA＝504个.
(3)当千位上排1,3时，各有AA种排法；
当千位上排2时，有AA种排法；
当千位上排4时，形如40××，42××的偶数各有A个，形如41××的偶数有AA个，形如43××的偶数只有4310和4302这两个数满足题意.
故不大于4310的四位数且是偶数的共有
2AA＋AA＋2A＋AA＋2＝110个.
点睛
不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题．其常见的附加条件有：奇偶数、倍数、大小关系等，也可以有相邻、插空问题．解决这类问题的关键是搞清事件是什么，对象是什么，位置是什么，给出了什么样的附加条件；然后按特殊对象(或位置)的性质分类(每一类的各种方法都能保证事件的完成)，按事件发生的连续过程合理分步来解决．这类问题的隐含条件“0不能在首位”尤其不能疏忽.
用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数.
(1)可组成多少个不同的四位数？
(2)可组成多少个不同的四位偶数？
(3)将所组成的四位数按从小到大的顺序排列，则第85个数为多少？
解 (1)(直接法)AA＝300个.
(间接法)A－A＝300个.
(2)(直接法)因为0为特殊元素，故先考虑0.若0在个位有A个；0不在个位时，从2,4中选一个放在个位，再从余下的四个数中选一个放在首位，有AAA个，故可组成A＋AAA＝156个不同的四位偶数.
(间接法)从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法有AA个，其中第一位是0的有AA个.
故可组成AA－AA＝156个不同的四位偶数.
(3)1在首位的四位数的个数为A＝60.
2在首位且0在第二位的四位数的个数为A＝12.
2在首位且1在第二位的四位数的个数为A＝12.
以上四位数共有84个，故第85个数为2301.
题型三 定序问题
例3 7人站成一排.
(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？
(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法？
[解] (1)甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半，故有＝2520种不同的排法.
(2)甲、乙、丙自左向右顺序不变的排法种数占全排列种数的，故有＝840种不同的排法.
点睛
这类问题采用分类法．n个不同对象的全排列有A种排法，m个对象的全排列有A种排法．因此A种排法中，关于m个对象的不同分法有A类，而且每一分类的排法数是一样的．当这m个对象顺序确定时，共有种排法.
某校高二学生进行演讲比赛，原有5名同学参加，后又增加两名同学，如果保持原来5名同学顺序不变，那么不同的比赛顺序有( )
A.12种 B．30种 C．36种 D．42种
答案 D
解析 解法一：由于原来5名同学顺序不变，这5名同学共有6个空位，再增加两名同学时，可分两步进行，第一步安排第一名同学，有6种不同的方法，此时变成7个空位，再把最后一名同学放进去，共有7种不同的方法，故共有6×7＝42种不同的比赛顺序.
解法二：先将所有同学重排，共有A种方法，而原来5名同学共有A种不同顺序，因此共有＝42种不同的比赛顺序.
题型四 排列的综合应用
例4 从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？其中有实根的方程有多少个？
[解] 先考虑组成一元二次方程的问题.
首先确定a，只能从1,3,5,7中选一个，有A种，然后从余下的4个数中任选两个作b，c，有A种.
所以由分步乘法计数原理知，共可以组成一元二次方程AA＝48个，
方程要有实根，必须满足Δ＝b2－4ac≥0.
分类讨论如下：
当c＝0时，a，b可在1,3,5,7中任取两个排列，有A个；
当c≠0时，分析判别式知b只能取5,7.当b取5时，a，c只能取1,3这两个数，有A种；当b取7时，a，c可取1,3或1,5这两组数，有2A种．此时共有A＋2A个.
由分类加法计数原理知，有实根的一元二次方程共有A＋A＋2A＝18个.
点睛
本例的限制条件较隐蔽，需仔细分析．一元二次方程中a≠0需要考虑到，而对有实根的一元二次方程需有Δ≥0.这里有两层意思：一是a不能为0；二是要保证b2－4ac≥0，所以需先对c能否取0进行分类讨论．实际问题中，既要能观察出是排列问题，又要能搞清哪些是特殊对象，还要根据问题进行合理分类、分步，选择合适的解法．因此需做一定量的排列应用题，逐渐掌握解决问题的基本思想.
四棱锥的八条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为( )
A.96 B．48 C．24 D．0
答案 B
解析 8种化工产品分4组，对应于四棱锥的8条棱分4组(每组的两条棱没有公共点)，只有2种情况．如图(PA，DC；PB，AD；PC，AB；PD，BC)或(PA，BC；PD，AB；PC，AD；PB，DC)，那么安全存放的不同方法种数为2A＝48.
1.6个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使3个空位连在一起，则停放的方法种数为 ( )
A.A B．A C．A D．A
答案 D
解析 3个空位连在一起作为1个对象与3辆汽车看成4个不同对象的全排列，故有A种停放方法.
2.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A.8 B．24 C．48 D．120
答案 C
解析 AA＝2×4×3×2＝48.
3.将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列有( )
A.12种 B．20种 C．40种 D．60种
答案 C
解析 5个字母排成一列，A，B，C按照顺序“A，B，C”或“C，B，A”排列的有2×＝40种.
4.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种.
答案 11
解析 因为good有两个相同字母，则其不同的排列有A＝12种，而正确的排列只有1种，则可能出现的错误共有11种.
5.(1)5本相同的书全部送给6个人，每人至多1本，有多少种送书方案？
(2)5本不同的书全部送给6个人，每人至多1本，有多少种送书方案？
(3)5本不同的书全部送给6个人，有多少种送书方案？
解 (1)5本相同的书全部送给6个人，每人至多1本，相当于6个人中有且仅有1个人得不到书，所以不同的送书方案共有6种.
(2)5本不同的书全部送给6个人，每人至多1本，相当于从6个不同的对象中取出5个对象的排列，所以不同的送书方案共有A＝720种.
(3)5本不同的书全部送给6个人，每本书都有6种送法，由分步乘法计数原理知，共有65＝7776种不同的送书方案.
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1.把15人分成前、中、后三排，每排5人，则共有不同的排法种数为( )
A. B．AAAA
C.A D．AA
答案 C
解析 将15人排成三排，可按一排处理，故共有A种.
2.一个长椅上共有10个座位，现有4人去坐，其中恰有5个连续空位的坐法共有( )
A.240种 B．600种
C.408种 D．480种
答案 D
解析 将四人排成一排共有A种排法，产生5个空位，将五个空位和一个空位构成的两个对象插入共A种放法．由分步乘法计数原理知满足条件的坐法共有AA＝480种.
3.某高中的4名高三学生计划在高考结束后到西藏、新疆、香港这3个地区去旅游，要求每个地区都要有学生去，每个学生只能去1个地区旅游，且学生甲不去香港，则不同的旅游安排方案有( )
A.36种 B．28种
C.24种 D．22种
答案 C
解析 学生甲不去香港，则甲有2种安排方案，另外3名同学可以在3个地区进行全排列，即有A种安排方案，也可以将另3名同学分为两组，一组2名同学，一组1名同学，然后在甲选过后剩余的地区进行排列，即有A种安排方案．所以不同的旅游安排方案有2(A＋A) ＝24种．故选C.
4.用1,2,3,4,5这五个数字可以组成比20000大，且百位数字不是3的没有重复数字的五位数的个数是( )
A.96 B．78 C．72 D．64
答案 B
解析 题目有两层含义：一是万位不是1，二是5个数字全用上，故问题等价于“由1,2,3,4,5这五个数字组成万位不是1，百位不是3的无重复数字的个数”，万位是3时，有A个，万位不是3时，有3×3×A个，所以共有A＋3×3×A＝78个．故选B.
5.(多选)6个人站成一排，则下列说法正确的是( )
A.甲不站左端，也不站右端有480种
B.甲、乙站在两端有48种
C.甲不站左端，乙不站右端有540种
D.甲、乙相邻的站法有240种
答案 ABD
解析 对于A，解法一：(位置分析法)因为甲不站左、右两端，故先从甲以外的5个人中任选2个人站在左、右两端，有A种站法；再让剩下的4个人站在中间的4个位置上，有A种站法，由分步乘法计数原理知，共有AA＝480种站法.
解法二：(对象分析法)因为甲不能站左、右两端，故先让甲站在除左、右两端之外的任一位置上，有A种站法；再让余下的5个人站在其他5个位置上，有A种站法，故共有AA＝480种站法.
解法三：(排除法)在排列时，我们不考虑甲站位的要求，对6个人进行全排列，有A种站法，但其中包含甲站在左端或右端的情况，甲在左端或右端有2A种站法，于是共有A－2A＝480种站法.
对于B，解法一：(对象分析法)首先考虑特殊对象，让甲、乙先站两端，有A种站法；再让其他4个人在中间4个位置进行全排列，有A种站法，根据分步乘法计数原理知，共有AA＝48种站法.
解法二：(位置分析法)首先考虑两端的两个位置，由甲、乙去站，有A种站法；再考虑中间的4个位置，由剩下的4个人去站，有A种站法，根据分步乘法计数原理知，共有AA＝48种站法.
对于C，解法一：(排除法)甲在左端的站法有A种，乙在右端的站法有A种，而甲在左端且乙在右端的站法有A种，故共有A－2A＋A＝504种站法.
解法二：(直接法)以甲的位置进行考虑，可分两类：第1类，甲在右端，有A种站法；第2类，甲站在中间4个位置中的任一位置，且乙不在右端，则可先排甲后排乙，再排其余4个人，有AAA种站法，故共有A＋AAA＝504种站法.
对于D，解法一：(排除法)甲、乙不相邻的站法有AA种，6个人的全排列为A种，故共有A－AA＝240种站法.
解法二：(捆绑法)将甲、乙看成一个整体，则全排列为A种，甲、乙互换位有A种，故共有AA＝240种．故选ABD.
二、填空题
6.从集合{0,1,2,5,7,9,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的系数A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条.
答案 30
解析 易知过原点的直线方程的常数项为0，则C＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A，B，有A种，而且其中没有相同的直线，所以符合条件的直线有A＝30条.
7.将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答).
答案 480
解析 不考虑A，B，C的位置限定时有A＝720种，只考虑A，B，C三个字母的顺序有A＝6种，而A，B在C的同侧有2A＝4种，故满足条件的排法有A×＝480种.
8.3名男生和3名女生站成一排，任何2名男生都不相邻，任何2名女生也不相邻，共有________种排法(用数字作答).
答案 72
解析 第1步，3名男生站成一排，有A种排法；
第2步，插入女生，女生只能插入3名男生形成的前3个空当或后3个空当中，有2A种插法.
由分步乘法计数原理可知，共有2AA＝72种排法.
三、解答题
9.分配5人担任5种不同的工作，如果甲不担任第一种工作，乙不担任第二种工作，那么共有多少种不同的分配方法？
解 让甲、乙都担任后三种工作有AA种不同的方法；在甲(或乙)担任后三种工作中的一种，这时乙(或甲)只担任第一种(或甲担任第二种)工作有2AA种不同的方法；甲担任第二种工作，乙担任第一种工作有A种不同的方法．∴共有AA＋2AA＋A＝78种不同的分配方法.
10.三个女生和五个男生排成一排，
(1)如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？
(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？
(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？
解 (1)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有六个对象，排成一排有A种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A种排法，因此共有AA＝4320种不同的排法.
(2)先排5个男生，有A种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A种排法，因此共有AA＝14400种不同的排法.
(3)因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法，因此共有AA＝14400种不同的排法.
B级：“四能”提升训练
1.用1,2,3,4,5,6,7排出无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？
(1)偶数不相邻；
(2)偶数一定在奇数位上；
(3)1和2之间恰夹有一个奇数，没有偶数；
(4)三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列.
解 (1)用插空法，共有AA＝1440个.
(2)先把偶数排在奇数位上有A种排法，再排奇数有A种排法，所以共有AA＝576个.
(3)在1和2之间放一个奇数有A种方法，把1,2和相应的奇数看成整体和其他4个数进行排列有A种排法，所以共有AAA＝720个.
(4)七个数的全排列为A，三个数的全排列为A，所以满足要求的七位数有＝840个.
2.编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，不同的放法有多少种？
解 根据A球所在位置分三类：
第一类，若A球放在3号盒子中，则B球只能放在4号盒子中，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得，此时有A＝6种不同的放法；
第二类，若A球放在5号盒子中，则B球只能放在4号盒子中，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得，此时有A＝6种不同的放法；
第三类，若A球放在4号盒子中，则B球可以放在2号，3号，5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E，有A＝6种不同的放法，根据分步乘法计数原理得，此时有AA＝18种不同的放法.
综上所述，由分类加法计数原理得，不同的放法共有6＋6＋18＝30种.
第2课时 排列数的应用
(教师独具内容)
课程标准：通过实例，理解排列的概念与排列数公式的应用.
教学重点：进一步加深对排列概念的理解.
教学难点：掌握几种有限制条件的排列问题的处理方法，能应用排列数公式解决简单的实际问题.
知识点 排列应用题的最基本的解法
1.直接法：先满足特殊对象的要求，再考虑一般对象(又称为对象分析法)；或先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法).
2.排除法：先计算出无限制条件的所有排法种数，然后再减去不符合条件的排法种数.
3.从位置(或对象)出发的“特殊位置(或对象)优先考虑法”和对不相邻问题采用的“插空法”以及对相邻问题采用的“捆绑法”，是解答排列问题常用的有效方法.
1.解排列问题的基本思路
解简单的排列应用题首先必须认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序，如果是，再进一步分析，这里n个不同的对象指的是什么，以及从n个不同的对象中任取m个对象的每一种排列对应的是什么事情，最后运用排列数公式求解.
2.排列应用题的类型及解法
排列中具有典型意义的两类问题是“排数”问题和“排队”问题，绝大多数排列问题都可转化为这两种形式.
(1)无限制条件的排列应用题，直接利用排列数公式计算.
(2)有限制条件的排列应用题，采用直接法或排除法．应注意以下几种常见类型：
①含有特殊对象(或位置)，通常优先安排特殊对象(或位置)，称为“特殊对象(或位置)优先考虑法”.
②某些对象要求必须相邻时可以先将这些对象看作一个整体，与其他对象排列后，再考虑相邻对象的内部排序，这种方法称为“捆绑法”，即“相邻对象捆绑法”.
③某些对象要求不相邻时，可以先安排其他对象，再将这些不相邻对象插入空档，这种方法称为“插空法”，即“不相邻对象插空法”.
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)从3,5,7,9中任取两个数做指数运算，可以得到多少个幂是排列问题．( )
(2)把12名学生分成三组参加植树活动，共有多少分组方法是排列问题．( )
(3)从1,2,3中任选两个数相除可以得到的不同的结果数为6.( )
答案 (1)√ (2)× (3)√
2.做一做
(1)中超联赛共有16支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，则一共进行的比赛的场次为( )
A.240 B．120 C．16 D．256
(2)将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法种数是________.
(3)一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有________种.
答案 (1)A (2)720 (3)20
题型一 排队问题
例1 有5名男生，4名女生排成一排.
(1)从中选出3人排成一排，有多少种排法？
(2)若甲男生不站排头也不站排尾，则有多少种不同的排法？
(3)要求女生必须站在一起，有多少种不同的排法？
(4)若4名女生互不相邻，则有多少种不同的排法？
[解] (1)只要从5名男生，4名女生中任选3人排列即可.
所以共有A＝9×8×7＝504种排法.
(2)解法一：(对象分析法)甲是特殊对象，第一步甲站在中间7个位置中的任意一个上，有A种排法；第二步其余8人站在剩余8个位置上，有A种排法.
由分步乘法计数原理知，共有AA＝282240种排法.
解法二：(位置分析法)第一步从甲以外的8人中任选2人站在首、尾位置，有A种排法；第二步排其余7人，有A种排法．由分步乘法计数原理知，共有AA＝282240种排法.
解法三：(排除法)5名男生，4名女生排成一排，共有A种排法，其中甲站排头的排法有A种，甲站排尾的排法有A种.
所以符合条件的排法有A－2A＝282240种.
(3)女生先站在一起，有A种排法，全体女生视为一个元素与其他男生全排列有A种排法．由分步乘法计数原理知，共有AA＝17280种排法.
(4)分两步．第一步：5名男生全排列有A种排法；第二步：男生排好后，男生之间有4个空，加上男生排列的两端共6个空，4名女生在这6个空的位置进行排列，有A种排法.
由分步乘法计数原理知，共有AA＝43200种排法.
点睛
排队问题的解题策略
(1)“排队”问题与“排数”问题有些类似，主要是从特殊位置或特殊元素两个方面考虑，当正面考虑情况复杂时，可考虑用排除法；
(2)直接法解题一般采用对象分析法和位置分析法，要注意分类时不重不漏，分步要连续、独立；排除法要注意不符合条件的情形，做到不重不漏；
(3)某些对象要求必须相邻时，可以先将这些对象看成一个整体，与其他对象排列后，再考虑相邻对象的内部排列，这种方法称为“捆绑法”，即“相邻对象捆绑法”；
(4)某些对象要求不相邻时，可以先安排其他对象，再将这些不相邻对象插入空位中，这种方法称为“插空法”，即“不相邻对象插空法”.
3名男生，4名女生，按照不同的要求排队拍照，求不同的排队方案的方法种数.
(1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；
(2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；
(3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；
(4)全体站成一排，男生、女生各站在一起；
(5)全体站成一排，男生必须站在一起；
(6)全体站成一排，男生不能站在一起；
(7)全体站成一排，男生、女生各不相邻；
(8)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；
(9)排成前后两排，前排3人，后排4人.
解 (1)(特殊对象优先法)先考虑甲的位置，有A种方法，再考虑其余6人的位置，有A种方法.
故共有AA＝2160种方法.
(2)(特殊对象优先法)先安排甲、乙的位置，有A种方法，再安排其余5人的位置，有A种方法.
故共有AA＝240种方法.
(3)解法一：(特殊对象优先法)按甲是否在最右端分两类：
第一类，甲在最右端，有A种方法；
第二类，甲不在最右端，甲有A种排法，乙也有A种排法，其余5人有A种排法，即AAA种方法.
故共有A＋AAA＝3720种方法.
解法二：(排除法)无限制条件的排列方法共有A种，
而甲在最左端，乙在最右端的排法分别有A种，
甲在最左端且乙在最右端的排法有A种.
故共有A－2A＋A＝3720种方法.
解法三：(特殊位置优先法)按最左端先安排分步．对于最左端，除甲外有A种排法，余下六个位置全排列有A种排法，其中甲不在最左端，且乙在最右端的排法有AA种．故共有AA－AA＝3720种方法.
(4)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有A种排法，
女生必须站在一起，即把4名女生进行全排列，有A种排法，
全体男生、女生各看成一个对象全排列有A种排法，
由分步乘法计数原理知共有AAA＝288种排法.
(5)(捆绑法)把所有男生看成一个对象，与4名女生组成5个对象全排列，
故共有AA＝720种不同的排法.
(6)(不相邻问题插空法)先排女生有A种排法，
把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有A种排法，
故共有AA＝1440种不同的排法.
(7)对比(6)，让女生插空，有AA＝144种不同的排法.
(8)(捆绑法)除甲、乙外，从其余的5人中任取2人，并站在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下的3个人进行全排列，
故共有AAA＝960种不同的排法.
(9)直接分步完成，共有AA＝5040种不同的排法.
题型二 数字问题
例2 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数？
(1)六位数且是奇数；
(2)个位上的数字不是5的六位数；
(3)不大于4310的四位数且是偶数.
[解] (1)解法一：从特殊位置入手(直接法)
第一步：排个位，从1,3,5三个数字中选1个，有A种排法；
第二步：排十万位，有A种排法；
第三步：排其他位，有A种排法.
故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有AAA＝288个.
解法二：从特殊对象入手(直接法)
0不在两端有A种排法；
从1,3,5中任选一个排在个位上，有A种排法；
其他数字全排列有A种排法.
故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有AAA＝288个.
解法三：(排除法)
6个数字全排列有A种排法，
0,2,4在个位上的排法有3A种，
1,3,5在个位上且0在十万位上的排法有3A种，故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的有A－3A－3A＝288个.
(2)解法一：(排除法)
0在十万位上的排列，5在个位上的排列都是不符合题意的六位数，故符合题意的六位数共有A－2A＋A＝504个.
解法二：(直接法)
十万位上的数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此分两类.
第一类：当个位上排0时，有A种排法；
第二类：当个位上不排0时，有AAA种排法.
故符合题意的六位数共有A＋AAA＝504个.
(3)当千位上排1,3时，各有AA种排法；
当千位上排2时，有AA种排法；
当千位上排4时，形如40××，42××的偶数各有A个，形如41××的偶数有AA个，形如43××的偶数只有4310和4302这两个数满足题意.
故不大于4310的四位数且是偶数的共有
2AA＋AA＋2A＋AA＋2＝110个.
点睛
不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题．其常见的附加条件有：奇偶数、倍数、大小关系等，也可以有相邻、插空问题．解决这类问题的关键是搞清事件是什么，对象是什么，位置是什么，给出了什么样的附加条件；然后按特殊对象(或位置)的性质分类(每一类的各种方法都能保证事件的完成)，按事件发生的连续过程合理分步来解决．这类问题的隐含条件“0不能在首位”尤其不能疏忽.
用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数.
(1)可组成多少个不同的四位数？
(2)可组成多少个不同的四位偶数？
(3)将所组成的四位数按从小到大的顺序排列，则第85个数为多少？
解 (1)(直接法)AA＝300个.
(间接法)A－A＝300个.
(2)(直接法)因为0为特殊元素，故先考虑0.若0在个位有A个；0不在个位时，从2,4中选一个放在个位，再从余下的四个数中选一个放在首位，有AAA个，故可组成A＋AAA＝156个不同的四位偶数.
(间接法)从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法有AA个，其中第一位是0的有AA个.
故可组成AA－AA＝156个不同的四位偶数.
(3)1在首位的四位数的个数为A＝60.
2在首位且0在第二位的四位数的个数为A＝12.
2在首位且1在第二位的四位数的个数为A＝12.
以上四位数共有84个，故第85个数为2301.
题型三 定序问题
例3 7人站成一排.
(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？
(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法？
[解] (1)甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半，故有＝2520种不同的排法.
(2)甲、乙、丙自左向右顺序不变的排法种数占全排列种数的，故有＝840种不同的排法.
点睛
这类问题采用分类法．n个不同对象的全排列有A种排法，m个对象的全排列有A种排法．因此A种排法中，关于m个对象的不同分法有A类，而且每一分类的排法数是一样的．当这m个对象顺序确定时，共有种排法.
某校高二学生进行演讲比赛，原有5名同学参加，后又增加两名同学，如果保持原来5名同学顺序不变，那么不同的比赛顺序有( )
A.12种 B．30种 C．36种 D．42种
答案 D
解析 解法一：由于原来5名同学顺序不变，这5名同学共有6个空位，再增加两名同学时，可分两步进行，第一步安排第一名同学，有6种不同的方法，此时变成7个空位，再把最后一名同学放进去，共有7种不同的方法，故共有6×7＝42种不同的比赛顺序.
解法二：先将所有同学重排，共有A种方法，而原来5名同学共有A种不同顺序，因此共有＝42种不同的比赛顺序.
题型四 排列的综合应用
例4 从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？其中有实根的方程有多少个？
[解] 先考虑组成一元二次方程的问题.
首先确定a，只能从1,3,5,7中选一个，有A种，然后从余下的4个数中任选两个作b，c，有A种.
所以由分步乘法计数原理知，共可以组成一元二次方程AA＝48个，
方程要有实根，必须满足Δ＝b2－4ac≥0.
分类讨论如下：
当c＝0时，a，b可在1,3,5,7中任取两个排列，有A个；
当c≠0时，分析判别式知b只能取5,7.当b取5时，a，c只能取1,3这两个数，有A种；当b取7时，a，c可取1,3或1,5这两组数，有2A种．此时共有A＋2A个.
由分类加法计数原理知，有实根的一元二次方程共有A＋A＋2A＝18个.
点睛
本例的限制条件较隐蔽，需仔细分析．一元二次方程中a≠0需要考虑到，而对有实根的一元二次方程需有Δ≥0.这里有两层意思：一是a不能为0；二是要保证b2－4ac≥0，所以需先对c能否取0进行分类讨论．实际问题中，既要能观察出是排列问题，又要能搞清哪些是特殊对象，还要根据问题进行合理分类、分步，选择合适的解法．因此需做一定量的排列应用题，逐渐掌握解决问题的基本思想.
四棱锥的八条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为( )
A.96 B．48 C．24 D．0
答案 B
解析 8种化工产品分4组，对应于四棱锥的8条棱分4组(每组的两条棱没有公共点)，只有2种情况．如图(PA，DC；PB，AD；PC，AB；PD，BC)或(PA，BC；PD，AB；PC，AD；PB，DC)，那么安全存放的不同方法种数为2A＝48.
1.6个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使3个空位连在一起，则停放的方法种数为 ( )
A.A B．A C．A D．A
答案 D
解析 3个空位连在一起作为1个对象与3辆汽车看成4个不同对象的全排列，故有A种停放方法.
2.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A.8 B．24 C．48 D．120
答案 C
解析 AA＝2×4×3×2＝48.
3.将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列有( )
A.12种 B．20种 C．40种 D．60种
答案 C
解析 5个字母排成一列，A，B，C按照顺序“A，B，C”或“C，B，A”排列的有2×＝40种.
4.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种.
答案 11
解析 因为good有两个相同字母，则其不同的排列有A＝12种，而正确的排列只有1种，则可能出现的错误共有11种.
5.(1)5本相同的书全部送给6个人，每人至多1本，有多少种送书方案？
(2)5本不同的书全部送给6个人，每人至多1本，有多少种送书方案？
(3)5本不同的书全部送给6个人，有多少种送书方案？
解 (1)5本相同的书全部送给6个人，每人至多1本，相当于6个人中有且仅有1个人得不到书，所以不同的送书方案共有6种.
(2)5本不同的书全部送给6个人，每人至多1本，相当于从6个不同的对象中取出5个对象的排列，所以不同的送书方案共有A＝720种.
(3)5本不同的书全部送给6个人，每本书都有6种送法，由分步乘法计数原理知，共有65＝7776种不同的送书方案.
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1.把15人分成前、中、后三排，每排5人，则共有不同的排法种数为( )
A. B．AAAA
C.A D．AA
答案 C
解析 将15人排成三排，可按一排处理，故共有A种.
2.一个长椅上共有10个座位，现有4人去坐，其中恰有5个连续空位的坐法共有( )
A.240种 B．600种
C.408种 D．480种
答案 D
解析 将四人排成一排共有A种排法，产生5个空位，将五个空位和一个空位构成的两个对象插入共A种放法．由分步乘法计数原理知满足条件的坐法共有AA＝480种.
3.某高中的4名高三学生计划在高考结束后到西藏、新疆、香港这3个地区去旅游，要求每个地区都要有学生去，每个学生只能去1个地区旅游，且学生甲不去香港，则不同的旅游安排方案有( )
A.36种 B．28种
C.24种 D．22种
答案 C
解析 学生甲不去香港，则甲有2种安排方案，另外3名同学可以在3个地区进行全排列，即有A种安排方案，也可以将另3名同学分为两组，一组2名同学，一组1名同学，然后在甲选过后剩余的地区进行排列，即有A种安排方案．所以不同的旅游安排方案有2(A＋A) ＝24种．故选C.
4.用1,2,3,4,5这五个数字可以组成比20000大，且百位数字不是3的没有重复数字的五位数的个数是( )
A.96 B．78 C．72 D．64
答案 B
解析 题目有两层含义：一是万位不是1，二是5个数字全用上，故问题等价于“由1,2,3,4,5这五个数字组成万位不是1，百位不是3的无重复数字的个数”，万位是3时，有A个，万位不是3时，有3×3×A个，所以共有A＋3×3×A＝78个．故选B.
5.(多选)6个人站成一排，则下列说法正确的是( )
A.甲不站左端，也不站右端有480种
B.甲、乙站在两端有48种
C.甲不站左端，乙不站右端有540种
D.甲、乙相邻的站法有240种
答案 ABD
解析 对于A，解法一：(位置分析法)因为甲不站左、右两端，故先从甲以外的5个人中任选2个人站在左、右两端，有A种站法；再让剩下的4个人站在中间的4个位置上，有A种站法，由分步乘法计数原理知，共有AA＝480种站法.
解法二：(对象分析法)因为甲不能站左、右两端，故先让甲站在除左、右两端之外的任一位置上，有A种站法；再让余下的5个人站在其他5个位置上，有A种站法，故共有AA＝480种站法.
解法三：(排除法)在排列时，我们不考虑甲站位的要求，对6个人进行全排列，有A种站法，但其中包含甲站在左端或右端的情况，甲在左端或右端有2A种站法，于是共有A－2A＝480种站法.
对于B，解法一：(对象分析法)首先考虑特殊对象，让甲、乙先站两端，有A种站法；再让其他4个人在中间4个位置进行全排列，有A种站法，根据分步乘法计数原理知，共有AA＝48种站法.
解法二：(位置分析法)首先考虑两端的两个位置，由甲、乙去站，有A种站法；再考虑中间的4个位置，由剩下的4个人去站，有A种站法，根据分步乘法计数原理知，共有AA＝48种站法.
对于C，解法一：(排除法)甲在左端的站法有A种，乙在右端的站法有A种，而甲在左端且乙在右端的站法有A种，故共有A－2A＋A＝504种站法.
解法二：(直接法)以甲的位置进行考虑，可分两类：第1类，甲在右端，有A种站法；第2类，甲站在中间4个位置中的任一位置，且乙不在右端，则可先排甲后排乙，再排其余4个人，有AAA种站法，故共有A＋AAA＝504种站法.
对于D，解法一：(排除法)甲、乙不相邻的站法有AA种，6个人的全排列为A种，故共有A－AA＝240种站法.
解法二：(捆绑法)将甲、乙看成一个整体，则全排列为A种，甲、乙互换位有A种，故共有AA＝240种．故选ABD.
二、填空题
6.从集合{0,1,2,5,7,9,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的系数A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条.
答案 30
解析 易知过原点的直线方程的常数项为0，则C＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A，B，有A种，而且其中没有相同的直线，所以符合条件的直线有A＝30条.
7.将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答).
答案 480
解析 不考虑A，B，C的位置限定时有A＝720种，只考虑A，B，C三个字母的顺序有A＝6种，而A，B在C的同侧有2A＝4种，故满足条件的排法有A×＝480种.
8.3名男生和3名女生站成一排，任何2名男生都不相邻，任何2名女生也不相邻，共有________种排法(用数字作答).
答案 72
解析 第1步，3名男生站成一排，有A种排法；
第2步，插入女生，女生只能插入3名男生形成的前3个空当或后3个空当中，有2A种插法.
由分步乘法计数原理可知，共有2AA＝72种排法.
三、解答题
9.分配5人担任5种不同的工作，如果甲不担任第一种工作，乙不担任第二种工作，那么共有多少种不同的分配方法？
解 让甲、乙都担任后三种工作有AA种不同的方法；在甲(或乙)担任后三种工作中的一种，这时乙(或甲)只担任第一种(或甲担任第二种)工作有2AA种不同的方法；甲担任第二种工作，乙担任第一种工作有A种不同的方法．∴共有AA＋2AA＋A＝78种不同的分配方法.
10.三个女生和五个男生排成一排，
(1)如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？
(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？
(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？
解 (1)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有六个对象，排成一排有A种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A种排法，因此共有AA＝4320种不同的排法.
(2)先排5个男生，有A种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A种排法，因此共有AA＝14400种不同的排法.
(3)因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法，因此共有AA＝14400种不同的排法.
B级：“四能”提升训练
1.用1,2,3,4,5,6,7排出无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？
(1)偶数不相邻；
(2)偶数一定在奇数位上；
(3)1和2之间恰夹有一个奇数，没有偶数；
(4)三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列.
解 (1)用插空法，共有AA＝1440个.
(2)先把偶数排在奇数位上有A种排法，再排奇数有A种排法，所以共有AA＝576个.
(3)在1和2之间放一个奇数有A种方法，把1,2和相应的奇数看成整体和其他4个数进行排列有A种排法，所以共有AAA＝720个.
(4)七个数的全排列为A，三个数的全排列为A，所以满足要求的七位数有＝840个.
2.编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，不同的放法有多少种？
解 根据A球所在位置分三类：
第一类，若A球放在3号盒子中，则B球只能放在4号盒子中，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得，此时有A＝6种不同的放法；
第二类，若A球放在5号盒子中，则B球只能放在4号盒子中，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得，此时有A＝6种不同的放法；
第三类，若A球放在4号盒子中，则B球可以放在2号，3号，5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E，有A＝6种不同的放法，根据分步乘法计数原理得，此时有AA＝18种不同的放法.
综上所述，由分类加法计数原理得，不同的放法共有6＋6＋18＝30种.
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