高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.2 离散型随机变量的分布列学案设计

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要掌握一个离散型随机变量X的取值规律，必须知道：
(1)X所有可能取的值x1，x2，…，xn；(2)X取每一个值xi的概率p1，p2，…，pn，需要列出下表：
此表称为离散型随机变量X的________，或称为离散型随机变量X的________．
知识点二 离散型随机变量的分布列性质
(1)pi____0，i＝1,2,3，…，n；
(2)p1＋p2＋…＋pn＝____.
知识点三 随机变量X与随机变量Y＝aX＋b的分布列的关系
一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量．由于X＝t的充要条件是Y＝at＋b；因此P(X＝t)＝P(Y＝at＋b)所以它们分布列的第二行的概率值是一样的．
知识点四 两点分布
如果随机变量X的分布列为
其中0＜p＜1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布．
[基础自测]
1．设某项试验成功的概率是失败概率的2倍，记Y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，试验失败，,1，试验成功，))则P(Y＝0)＝( )
A．0 B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
2．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
则常数a的值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(1,3)或eq \f(2,3) D．－eq \f(1,3)或－eq \f(2,3)
3．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq \f(1,2k)，k＝1,2，….则P(2＜X≤4)等于( )
A.eq \f(3,16) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,16) D.eq \f(1,5)
4．随机变量η的分布列如下：
则x＝________，P(η≤3)＝________.
题型一 分布列及其性质的应用
例1 设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝eq \f(i,a)(i＝1,2,3,4)，求：
(1)P(X＝1或X＝2)；
(2)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)eq \x(状元随笔) 先由分布列的性质求a，再根据X＝1或X＝2，eq \f(1,2)方法归纳
利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：
(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．
(2)不仅要注意所有概率和等于1，而且要注意pk≥0，k＝1,2，…，n.
跟踪训练1 若离散型随机变量X的分布列为：
求常数a及相应的分布列．
题型二 求离散型随机变量的分布列
例2 口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列．
eq \x(状元随笔) X的可能取值为3,4,5,6，是离散型随机变量．可以利用组合数公式与古典概型概率公式求各种取值的概率．
方法归纳
1．求离散型随机变量的分布列的步骤
(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1,2，…，n)．
(2)求出取每一个值的概率P(ξ＝xi)＝pi.
(3)列出表格．
2．求离散型随机变量分布列时应注意的问题
(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．对于随机变量ξ取值较多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．
(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确．跟踪训练2 (1)从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值呢？求X的分布列．
(2)某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用ξ表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，求ξ的分布列．
题型三 两点分布
eq \x(状元随笔) 1.利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些问题有什么共同点？
[提示] 这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果．定义一个随机变量，使其中一个结果对应于1，另一个结果对应于0，即得到服从两点分布的随机变量．
2．只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？
[提示] 不一定．如随机变量X的分布列由下表给出
X不服从两点分布，因为X的取值不是0或1.
例3 袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，两球全红，,1，两球非全红.))求X的分布列．
eq \x(状元随笔) X只有两个可能取值，属于两点分布，应用概率知识求出X＝0的概率，最后列出表格的形式即可．
方法归纳
两步法判断一个分布是否为两点分布
1．看取值：随机变量只取两个值0和1.
2．验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立．
如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布．跟踪训练3 若离散型随机变量X的分布列为
则a＝( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,5) D.eq \f(1,10)
教材反思
4．2.2 离散型随机变量的分布列
新知初探·自主学习
知识点一
概率分布 分布列
知识点二
(1)≥ (2)1
知识点四
q p
[基础自测]
1．解析：由题意知，可设P(Y＝1)＝p，则P(Y＝0)＝1－p，
又p＝2(1－p)，解得p＝eq \f(2,3)，故P(Y＝0)＝eq \f(1,3).
答案：C
2．解析：由离散型随机变量分布列的性质可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9a2－a＋3－8a＝1，,0≤9a2－a≤1，,0≤3－8a≤1，))
解得a＝eq \f(1,3).
答案：A
3．解析：2＜X≤4时，X＝3,4.
所以P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq \f(1,23)＋eq \f(1,24)＝eq \f(3,16).
答案：A
4．解析：由分布列的性质得
0．2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，
解得x＝0.故P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.
答案：0 0.55
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)∵eq \f(1,a)＋eq \f(2,a)＋eq \f(3,a)＋eq \f(4,a)＝1，
∴a＝10，
则P(X＝1或X＝2)
＝P(X＝1)＋P(X＝2)
＝eq \f(1,10)＋eq \f(2,10)＝eq \f(3,10).
(2)由a＝10，
可得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)
＝eq \f(1,10)＋eq \f(2,10)＋eq \f(3,10)＝eq \f(3,5).
跟踪训练1 解析：由分布列的性质可知：3a2＋a＋4a－1＝1，
即3a2＋5a－2＝0，解得a＝eq \f(1,3)或a＝－2，
又因4a－1>0，即a>eq \f(1,4)，故a≠－2.
所以a＝eq \f(1,3)，此时4a－1＝eq \f(1,3)，3a2＋a＝eq \f(2,3).
所以随机变量X的分布列为：
例2 【解析】 随机变量X的可能取值为3,4,5,6.
从袋中随机取3个球，包含的基本事件总数为Ceq \\al(3,6)，事件“X＝3”包含的基本事件总数为Ceq \\al(3,3)，事件“X＝4”包含的基本事件总数为Ceq \\al(1,1)Ceq \\al(2,3)，事件“X＝5”包含的基本事件总数为Ceq \\al(1,1)Ceq \\al(2,4)，事件“X＝6”包含的基本事件总数为Ceq \\al(1,1)Ceq \\al(2,5).
从而有P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,3),C\\al(3,6))＝eq \f(1,20)，
P(X＝4)＝eq \f(C\\al(1,1)C\\al(2,3),C\\al(3,6))＝eq \f(3,20)，
P(X＝5)＝eq \f(C\\al(1,1)C\\al(2,4),C\\al(3,6))＝eq \f(3,10)，
P(X＝6)＝eq \f(C\\al(1,1)C\\al(2,5),C\\al(3,6))＝eq \f(1,2)，
所以随机变量X的分布列为
跟踪训练2 解析：(1)从箱中取两个球的情形有以下6种：
{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}．
当取到2白时，随机变量X＝－2；
当取到1白1黄时，随机变量X＝－1；
当取到1白1黑时，随机变量X＝1；
当取到2黄时，X＝0；
当取到1黑1黄时，X＝2；
当取到2黑时，X＝4.
则X的可能取值为－2，－1,0,1,2,4.
P(X＝－2)＝eq \f(C\\al(2,6),C\\al(2,12))＝eq \f(5,22)，P(X＝－1)＝eq \f(C\\al(1,6)C\\al(1,2),C\\al(2,12))＝eq \f(2,11)，
P(X＝0)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,12))＝eq \f(1,66)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,6)C\\al(1,4),C\\al(2,12))＝eq \f(4,11)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(1,2),C\\al(2,12))＝eq \f(4,33)，P(X＝4)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(2,12))＝eq \f(1,11).
从而得到X的分布列如下：
(2)设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件A1，A2，A3，已知A1，A2，A3相互独立，且P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6，游客游览的景点数可能取值为0,1,2,3，相应的游客没有游览的景点数可能取值为3,2,1,0，所以ξ的可能取值为1,3.
则P(ξ＝3)＝P(A1∩A2∩A3)＋P(eq \(A,\s\up6(－))1∩eq \(A,\s\up6(－))2∩eq \(A,\s\up6(－))3)
＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＋P(eq \(A,\s\up6(－))1)·P(eq \(A,\s\up6(－))2)·P(eq \(A,\s\up6(－))3)
＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24.
P(ξ＝1)＝1－0.24＝0.76.
所以分布列为：
例3 【解析】 由题设可知X服从两点分布．
P(X＝0)＝eq \f(C\\al(2,5),C\\al(2,15))＝eq \f(2,21)，P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝eq \f(19,21).
∴X的分布列为
跟踪训练3 解析：由离散型随机变量分布列的性质可知，2a＋3a＝1，解得a＝eq \f(1,5).
答案：C最新课程标准
1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质．
2．会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．(重点)
3．理解两点分布的定义，并能简单的运用．(难点)
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
0
1
P
____
____
X
0
1
P
9a2－a
3－8a
η
1
2
3
4
5
6
P
0.2
x
0.35
0.1
0.15
0.2
X
0
1
P
4a－1
3a2＋a
X
2
5
P
0.3
0.7
X
0
1
P
2a
3a
X
0
1
P
eq \f(1,3)
eq \f(2,3)
X
3
4
5
6
P
eq \f(1,20)
eq \f(3,20)
eq \f(3,10)
eq \f(1,2)
X
－2
－1
0
1
2
4
P
eq \f(5,22)
eq \f(2,11)
eq \f(1,66)
eq \f(4,11)
eq \f(4,33)
eq \f(1,11)
ξ
1
3
P
0.76
0.24
X
0
1
P
eq \f(2,21)
eq \f(19,21)