高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.2 离散型随机变量的分布列导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.2 离散型随机变量的分布列导学案，共14页。

4.2.2　离散型随机变量的分布列
(教师独具内容)
课程标准：通过具体实例，了解伯努利试验，理解离散型随机变量的分布列．
教学重点：掌握离散型随机变量分布列的概念．
教学难点：求简单的离散型随机变量的分布列.



知识点一　　　离散型随机变量的分布列
1．离散型随机变量的分布列的概念
一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1,2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的．离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列．

X
x1
x2
…
xk
…
xn
P
p1
p2
…
pk
…
pn

2．离散型随机变量的分布列必须满足：
(1)pk≥0，k＝1,2，…，n；
(2)pk＝p1＋p2＋…＋pn＝1.
知识点二　　　两点分布
(1)形式与定义

W
1
0
P
p
1－p

一般地，如果随机变量的分布列能写成上述表格的形式(其中0＜p＜1)，则称这个随机变量服从参数为p的两点分布(或0－1分布)．
(2)一个所有可能结果只有两种的随机试验，通常称为伯努利试验．不难看出，如果将伯努利试验的结果分别看成“成功”与“不成功”，并设“成功”出现的概率为p，一次伯努利试验中“成功”出现的次数为X，则X服从参数为p的两点分布，因此两点分布也常称为伯努利分布，两点分布中的p也常被称为成功概率．


　离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能看出取每一个值的概率的大小．求离散型随机变量的分布列的步骤：
(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1,2，…)；
(2)求出取每一个值的概率P(ξ＝xi)＝pi；
(3)列出表格．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．(　　)
(2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．(　　)
(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)在射击试验中，令X＝如果射中的概率是0.9，则随机变量的分布列为________．
(2)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3，则C＝________.
(3)若随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________.
答案　(1)

X
0
1
P
0.1
0.9

(2)　(3)0.8

　　　
题型一 离散型随机变量的分布列
例1　一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码．
(1)求X的分布列；
(2)求X的取值不小于4的概率．
[解]　(1)随机变量X的可能取值为3,4,5,6，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
所以随机变量X的分布列为

X
3
4
5
6
P





(2)X的取值不小于4的概率为P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝＋＋＝.

点睛
离散型随机变量分布列的求解步骤
(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且明确每一个取值所表示的意义．
(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．
(3)画表格：按规范要求形式写出分布列．
(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．



　袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列．
解　X的可能取值为1,2,3,4,5，
则第1次取到白球的概率为P(X＝1)＝，
第2次取到白球的概率为P(X＝2)＝＝，
第3次取到白球的概率为P(X＝3)＝＝，
第4次取到白球的概率为P(X＝4)＝＝，
第5次取到白球的概率为P(X＝5)＝＝，
所以X的分布列为

X
1
2
3
4
5
P







题型二 离散型随机变量分布列的性质
例2　下面是某同学求得的离散型随机变量X的分布列．

X
－1
0
1
P




试说明该同学的计算结果是否正确．
[解]　因为p1＋p2＋p3＝P(X＝－1)＋P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＋＝<1，不满足概率之和为1这一性质，因此该同学的计算结果不正确．

点睛
应熟悉分布列的基本性质：若随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，取这些值的概率为P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n，则①pi≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝1.此外，利用分布列的性质检验所求分布列的正误，是非常重要的思想方法；③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．

　设随机变量ξ的分布列P＝ak(k＝1，2,3,4,5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P；
(3)求P.
解　题目所给分布列为

ξ




1
P
a
2a
3a
4a
5a

(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝.
(2)P＝P＋P＋P＝＋＋＝或P＝1－P＝1－＋＝.
(3)因为<ξ<，所以ξ的取值为，，.
故P＝P＋P＋P
＝＋＋＝.
　　
题型三 两点分布
例3　袋中有红球10个，白球5个，从中摸出2个球，如果只关心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量X，才能使X满足两点分布，并求分布列．
[解]　从含有10个红球，5个白球的袋中摸出2个球，其结果是随机的，可能是一红一白、两红、两白三种情况，为此我们定义随机变量如下：
X＝
则X显然服从两点分布，且P(X＝1)＝＝，
∴P(X＝0)＝1－＝，
∴X的分布列为

X
0
1
P




点睛
两点分布的特点
(1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的；
(2)两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0；
(3)由互斥事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))；
(4)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它(如本例中随机变量X)．



　一批产品的次品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量X来描述次品出现的情况，即X＝0表示产品为合格品，X＝1表示产品为次品，则X的分布列为

X
0
1
P
a
b

求a，b的值．
解　X＝0表示抽取的一个产品为合格品，概率为95%，即a＝；X＝1表示抽取的一个产品为次品，概率为5%，即b＝.


1．设随机变量X的分布列如下：

X
1
2
3
4
5
P




p

则p为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由分布列的性质知，＋＋＋＋p＝1，∴p＝.
2．设随机变量Y的分布列为

Y
－1
2
3
P

m


则“≤Y≤”的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　∵＋m＋＝1，∴m＝，∴P≤Y≤＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝.
3．若离散型随机变量X的分布列为

X
0
1
P
9c2－c
3－8c

则常数c的值为(　　)
A.或 B.
C. D．1
答案　C
解析　根据离散型随机变量分布列的性质知
解得c＝.
4．若随机变量X的分布列为

X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1

则当P(X A．(－∞，2] B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
答案　C
解析　由随机变量X的分布列知P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，P(X＝2)＝0.1，则当P(X 5．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为

ξ
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．若η表示经销一件该商品的利润，求η的分布列．
解　依题意，η的可能取值为200,250,300，且
P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4，
P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，
P(η＝300)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2.
所以随机变量η的分布列为

η
200
250
300
P
0.4
0.4
0.2




A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．设随机变量的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1,2,3,4)，其中c为常数，则P等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝1，可得c＝.∴P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝＋＝×＝.
2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于(　　)
A．0 B. C. D.
答案　C
解析　ξ的分布列为

ξ
1
0
P
2p
p

即“ξ＝0”表示试验失败，“ξ＝1”表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p，由p＋2p＝1，得p＝，∴P(ξ＝0)＝.
3．设随机变量ξ的取值i的概率为P(ξ＝i)＝ai，i＝1，2,3，则a的值为(　　)
A．1 B. C. D.
答案　C
解析　∵随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝ak，k＝1,2,3，∴根据分布列的性质有a×＋a×2＋a×3＝1，∴a＝.
4．若某一射手射击所得环数X的分布列为

X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22

则“此射手射击一次命中环数X≥7”的概率是(　　)
A．0.88 B．0.12 C．0.79 D．0.09
答案　A
解析　P(X≥7)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.
5．随机变量ξ的分布列如下：

ξ
－1
0
1
P
a
b
c

其中2b＝a＋c，则P(|ξ|＝1)等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　∵2b＝a＋c，又a＋b＋c＝1，∴b＝，∴P(|ξ|＝1)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝1)＝a＋c＝2b＝.
二、填空题
6．随机变量X的分布列为

X
0
1
2
3
4
5
P







则X为奇数的概率为________．
答案　
解析　X为奇数的概率为＋＋＝.
7．已知随机变量ξ的分布列为

ξ
－2
－1
0
1
2
3
P







设η＝ξ2－2ξ，则P(η＝3)＝________.
答案　
解析　由题意，可知P(η＝3)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝3)＝＋＝.
8．一批产品分为一、二、三级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品为二级产品的一半．从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P≤ξ≤＝________.
答案　
解析　设二级产品有k个，从而得一级产品有2k个，三级产品有个，总数为个．得ξ的分布列为

ξ
1
2
3
P




所以P≤ξ≤＝P(ξ＝1)＝.
三、解答题
9．甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．
解　由题意知随机变量ξ的所有可能取值为1,2，且P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝2)＝.
所以ξ的分布列为

ξ
1
2
P



10．为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，某校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙两班)进行经典美文诵读比赛决赛，决赛通过随机抽签方式决定出场顺序．
(1)求甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；
(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求X的分布列．
解　(1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A，
则P(A)＝＝，
所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为.
(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4，
而且P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
故随机变量X的分布列为

X
0
1
2
3
4

P







B级：“四能”提升训练

1．设离散型随机变量X的分布列为

X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m

(1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列；
(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列；
(3)求随机变量ξ＝X2的分布列．
解　(1)由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.
首先列表为

X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9

从而Y＝2X＋1的分布列为

Y
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3

(2)列表为

X
0
1
2
3
4
|X－1|
1
0
1
2
3

P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，
P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，
P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，
P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.
故η＝|X－1|的分布列为

η
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3

(3)首先列表为

X
0
1
2
3
4
X2
0
1
4
9
16

从而ξ＝X2的分布列为

ξ
0
1
4
9
16
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3

2．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．
解　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，
则P(A)＝＝.
故第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为.
(2)X的可能取值为200,300,400.
P(X＝200)＝＝，
P(X＝300)＝＝，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝.
故X的分布列为

X
200
300
400
P