新人教B版 必修2 高中数学模块素养评价（含解析）

模块素养评价

(120分钟　150分)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.设函数f(x)=则f(-3)+f(log23)= (　　)

A.9  B.11  C.13  D.15

【解析】选B.因为函数

f(x)=

所以f(-3)+f(log23)=log24+=2+9=11.

2.(2020·莆田高一检测)设向量a=(1,4),b=(2,x),c=a+b.若a∥c,则实数x的值是 (　　)

A.-4  B.2  C.4  D.8

【解析】选D.因为a=,b=,

所以c=a+b=(3,4+x),

因为a∥c,所以4+x=12,得x=8.

3.(2020·天津高考)设a=30.7,b=,c=log0.70.8,则a,b,c的大小关系为

 (　　)

A.a<b<c  B.b<a<c  C.b<c<a  D.c<a<b

【解析】选D.因为a=30.7>1,b==30.8>30.7=a,c=log0.70.8<log0.70.7=1,所以c<1<a<b.

【方法技巧】一般比较大小的题目,常用的方法有:先估算一下每个数值,看能否根据估算值直接比较大小;估算不行的话再找中间量,经常和0,1,-1,比较;还可以构造函数,利用函数的单调性来比较大小.

4.(2020·汕尾高一检测)某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示,在该学期的水、电、交通开支(单位:万元)如图2所示,则该学期的电费开支占总开支的百分比为              (　　)

A.12.25%    B.11.25%

C.10.25%    D.9.25%

【解析】选B.由题图1,题图2可知:该学期的电费开支占总开支的百分比为×20%=11.25%.

5.在△ABC中,G为△ABC的重心,M为AC上一点,且满足=3,则 (　　)

A.=+

B.=--

C.=-+

D.=-

【解析】

选B.由题意,画出几何图形如图所示:

根据向量加法运算可得=+ ,

因为G为△ABC的重心,M满足=3,

所以=×(+)=(+),

=,

所以=-+

=--.

6.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 (　　)

A.   B.    C.    D.

【解析】选D.如图所示,从正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选4个顶点,有15种选法.若要构成矩形,则有3种选法,故其概率为=.

7.某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为              (　　)

A.略有盈利       B.略有亏损

C.没有盈利也没有亏损    D.无法判断盈亏情况

【解析】选B.设该股民购进这只股票的价格为a元,则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)n=a×1.1n元,经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n·a<a,故该股民这只股票略有亏损.

8.(2020·南宁高一检测)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上单调递增.若实数m满足f+f(-1)<0,则m的取值范围是              (　　)

A.(-2,1)∪(1,4)   B.(-2,1)

C.(-2,4)      D.

【解析】选A.因为f(x)是定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上单调递增,

所以函数f(x)是R上的增函数,

由题得f(log3|m-1|)+f(-1)<0,

所以f(log3|m-1|)<-f(-1)=f(1),

所以log3|m-1|<1=log33,

所以|m-1|<3,所以-3<m-1<3,

所以-2<m<4,

因为|m-1|>0,所以m≠1,故m∈(-2,1)∪(1,4).

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

9.已知向量a,b是两个非零向量,在下列条件中,一定能使a,b共线的是(　　)

A.2a-3b=4e且a+2b=-2e

B.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0

C.x a+y b=0(其中实数x,y满足x+y=0)

D.已知梯形ABCD,其中=a,=b

【解析】选AB.对于A,因为向量a,b是两个非零向量,2a-3b=4e且a+2b=-2e,所以a=e,b=-e ,此时能使a,b共线,故A正确;对于B,存在相异实数λ,μ,使

λa-μb=0,要使非零向量a,b是共线向量,由共线向量基本定理知成立,故B正确;对于C,x a+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0),如果x=y=0,则不能使a,b共线,故C不正确;对于D,已知梯形ABCD中,=a,=b,如果AB,CD是梯形的上下底,则正确,否则错误.

10.(2020·福州高一检测)“悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用,用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况,某人根据2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程(单位:十公里)的数据绘制了如图的折线图,根据该折线图,下列结论正确的是              (　　)

A.月跑步里程逐月增加

B.月跑步里程最大值出现在9月

C.月跑步里程的中位数为8月份对应的里程数

D.1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小,变化比较平稳

【解析】选BCD.根据折线图可知,2月,7月,10月 ,11月跑步里程下降了,故A选项错误.根据折线图可知,9月的跑步里程最大,故B选项正确.一共11个月份,里程中位数是从小到大排列的第6个,根据折线图可知,跑步里程的中位数为8月份对应的里程数,故C选项正确.根据折线图可知,1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小,变化比较平稳,故D选项正确.

11.(2020·临沂高一检测)定义运算a?b=设函数f(x)=1?2-x,则下列正确的有 (　　)

A.f(x)的值域为

B.f(x)的值域为

C.不等式f<f成立的范围是

D.不等式f<f成立的范围是

【解析】选AC.由函数f(x)=1?2-x,

有f(x)=

即f(x)=作出函数f(x)的图像如图,

根据函数图像可知,f(x)的值域为[1,+∞),

若不等式f<f成立,由函数图像可知,

当2x<x+1≤0,即x≤-1时成立,

当即-1<x<0时也成立.

所以不等式f<f成立时,x<0.

12.下列对各事件发生的概率判断正确的是 (　　)

A.某学生在上学的路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为

B.甲、乙、丙三人独立地破译一份密码,他们能单独译出的概率分别为,,,假设他们破译密码是彼此独立的,则此密码被破译的概率为

C.甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中各任取一个球,则取到同色球的概率为

D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率是

【解析】选AC.对于A,该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为×=,故A正确;

对于B,用事件A,B,C分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码,

则P(A)=,P(B)=,P(C)=,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为××=,所以此密码被破译的概率为1-=,故B不正确;对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则P(A)==,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则P(B)==,故取到同色球的概率为×+×=,故C正确;

对于D,易得P(A∩)=P(B∩),

即P(A)P()=P(B)P(),

即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)],

所以P(A)=P(B),又P(∩)=,所以

P()=P()=,所以P(A)=,故D错误.

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)

13.从编号分别为1,2,3,4的四个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球,则恰有两个小球编号相邻的概率为________. 

【解析】从编号为1,2,3,4的四个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球,共有4种不同的取法,恰好有两个小球编号相邻的有:(1,2,4),(1,3,4),共有2种,所以概率为.

答案:

14.线段AB的端点为A(x,5),B(-2,y),直线AB上的点C(1,1),使||=2||,则x+y=________. 

【解析】由已知得=(1-x,-4),2=2(3,1-y).

由||=2||,可得=±2,

则当=2时,有

解得此时x+y=-2;

当=-2时,有

解得此时x+y=6.

综上可知,x+y=-2或6.

答案:-2或6

15.已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-eax.若f(ln 2)=8,则a=________. 

【解析】由题意知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-eax,又因为ln 2∈(0,1),f(ln 2)=8,所以-e-aln 2=-8,两边取以e为底数的对数,得-aln 2=3ln 2,所以-a=3,即a=-3.

答案:-3

16.(2019·北京高考改编)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、

90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.

(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付________元. 

(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为________. 

【解析】(1)价格为60+80=140元,达到120元,少付10元,所以需支付130元.

(2)设促销前总价为a元,a≥120,李明得到金额l(x)=(a-x)×80%≥0.7a,0≤x≤120,即x≤恒成立,又最小值为=15,所以x的最大值为15.

答案:(1)130　(2)15

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知向量a=,b=(1,-1).

(1)若实数m,n满足ma+nb=,求m+n的值.

(2)若∥(λa+b),求实数λ的值.

【解析】(1)由题意得m a+nb==(5,10),

所以解得

所以m+n=2.

(2)a+λb=,λa+b=,

因为∥,所以=,解得

λ=±1.

18.(12分)某中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩(满分150分),现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示:

(1)根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数,并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整.

(2)根据茎叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度(不要求计算出具体值,给出结论即可).

(3)现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩,记事件A为“其中2个成绩分别属于不同的同学”,求事件A发生的概率.

【解析】(1)甲的成绩的中位数是119,乙的成绩的中位数是128,

同学乙的成绩的频率分布直方图如图:

(2)从茎叶图可以看出,乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高,乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中.

(3)甲同学的不低于140分的成绩有2个,设为a,b,乙同学的不低于140分的成绩有3个,设为c,d,e,现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩有:

(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)共10种,

其中2个成绩分别属于不同同学的情况有:

(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e)共6种,

因此事件A发生的概率P(A)==.

19.(12分)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v=a+blog3(其中a,b是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s.

(1)求出a,b的值.

(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位?

【解析】(1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的飞行速度为0 m/s,此时耗氧量为30个单位,故有a+blog3=0,即a+b=0;当耗氧量为90个单位时,飞行速度为1 m/s,故a+blog3=1,整理得a+2b=1.

解方程组得

(2)由(1)知,v=-1+log3.所以要使飞行速度不低于2 m/s,则有v≥2,即-1+log3≥2,即log3≥3,解得Q≥270.

所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要270个单位.

20.(12分)一个盒子里装有三张卡片,分别标记数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.

(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率.

(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.

【解析】(1)由题意知,(a,b,c)所有的可能为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),

(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),

(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),

(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),

共27种.

设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),

(2,1,3),共3种.所以P(A)==.因此,“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为.

(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,则事件包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.

所以P(B)=1-P()=1-=.

因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为.

21.(12分)函数f(x)=log2.

(1)求函数f(x)的定义域.

(2)若x∈,函数g(x)=2f(x)-m·2x+1,是否存在实数m使得g(x)的最小值为,若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.

【解析】(1)由题意:4x-1>0,所以4x>1,则x>0,所以函数f(x)的定义域为.

(2)g(x)=2f(x)-m·2x+1=-m·2x+1=4x-1-m·2x+1=4x-m·2x,

令t=2x,因为x∈,所以t∈.则g(x)=h=t2-mt,t∈.对称轴为t=,

①若t=≤2,即m≤4时,h在上为增函数,此时当t=2时,最小,

即h(2)=4-2m=,解得m=成立;

②若t=≥4,即m≥8时,h在上为减函数,此时当t=4时,最小,即h=16-4m=,解得m=不满足条件;

③若t=∈,即4<m<8时,

h=h=-≠,即此时不满足条件.

综上,存在实数m=使得g(x)的最小值为.

22.(12分)

如图所示,在△ABO中,=,=,AD与BC相交于点M,设=a,=b.试用a和b表示向量.

【解析】设=ma+nb,则=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb.

=-=-=-a+b.

又因为A,M,D三点共线,所以与共线.

所以存在实数t,使得=t,

即(m-1)a+nb=t.

所以(m-1)a+nb=-ta+tb.

所以消去t得,m-1=-2n,

即m+2n=1.①

又因为=-=ma+nb-a

=a+nb,

=-=b-a=-a+b.

又因为C,M,B三点共线,所以与共线.

所以存在实数t1,使得=t1,

所以a+nb=t1,

所以消去t1得,4m+n=1.②

由①②得m=,n=,所以=a+b.