高中5.3.1 等比数列导学案

第2课时　等比数列习题课

关键能力·素养形成

类型一　等差、等比数列性质的应用

【典例】1.已知数列{an}为等比数列,满足a3a11=6a7;数列{bn}为等差数列,其前n项和为Sn,且b7=a7,则S13=              (　　)

A.13  B.48  C.78  D.156

2.由实数构成的等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,则S6= (　　)

A.62  B.124  C.126  D.154

【思维·引】1.利用等比数列的性质求出b7,即a7,同时求S13;

2.利用等差条件求出q,再求S6.

【解析】1.选C.因为数列{an}为等比数列,

满足a3a11=6a7,所以=6a7,解得a7=6,

因为数列{bn}为等差数列,其前n项和为Sn,

且b7=a7,所以b7=a7=6,

所以S13==13b7=13×6=78.

2.选C.因为数列{an}是由实数构成的等比数列,a1=2,

且a2-4,a3,a4成等差数列,

所以2a3=(a2-4)+a4,即2×2q2=2q-4+2q3,

整理,得(q-2)(q2+1)=0,所以{an}的公比q=2.

则S6==126.

【内化·悟】

本例2中的等差条件的作用是什么?

提示:利用等差中项构造方程求公比.

【类题·通】

等差、等比数列性质的综合应用

(1)等比、等差的条件可以分别利用等比、等差中项构造方程,求解基本量a1,d,q,n等;

(2)若涉及求和,一定要先分清求哪种数列的和,再明确该数列的基本量,然后计算.

【习练·破】

(2020·江苏高考)设是公差为d的等差数列,是公比为q的等比数列,已知数列的前n项和Sn=n2-n+2n-1,则d+q的值是______. 

【解析】设数列{an},{bn}的首项分别为a1,b1,前n项和分别为An,Bn,则An=n2+n,Bn=qn+,

结合Sn=n2-n+2n-1,

得解得所以d+q=4.

答案:4

【加练·固】

已知等差数列{an}的首项和公差都不为0,a1,a2,a4成等比数列,则=

(　　)

A.2　　　　B.3　　　　C.5　　　　D.7

【解析】选C.等差数列{an}的首项和公差d都不为0,a1,a2,a4成等比数列可得=a1a4,

即有(a1+d)2=a1(a1+3d),化为a1=d,

则===5.

类型二　错位相减法求和

【典例】已知等比数列{an}的公比q>0,a2a3=8a1,且a4,36,2a6成等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)记bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.

【思维·引】(1)利用a2a3=a1a4计算a4,进而计算a6,a1,q求通项.

(2)利用错位相减法求前n项和.

【解析】(1)因为a2a3=8a1,所以a1a4=8a1,所以a4=8,

又a4,36,2a6成等差数列,所以a4+2a6=72,

所以a6=32,q2==4,q>0,所以q=2,

所以an=8·2n-4=2n-1.

(2) bn===n·,

Tn=1·+2·+3·+…+(n-1)·+n·

·Tn=1·+2·+3·+…+(n-1)·+n·

两式相减得:

·Tn=+++…+-n·,

·Tn=-n·,

所以Tn=8-(n+2)·.

【内化·悟】

本例在错位相减法求和时,两式相减后会得到一个等比数列,这个等比数列的基本量有哪些?利用哪个求和公式较为方便?

提示:可以得到这个等比数列的首项、公比,利用公式Sn=.

【类题·通】

关于错位相减法求和

(1)适用范围:{an}是等差数列,{bn}是等比数列(q≠1),形如cn=anbn的数列适合利用错位相减法求和;

(2)求和步骤

①对求和式Sn=c1+c2+…+cn-1+cn(i),要写出倒数第二项cn-1;

②式子的两边同乘以等比数列的公比q,写成

qSn=c1q+c2q+…+cn-1q+cnq(ii)的形式,要空一位书写,

(i)(ii)式形成错位;

③(i)式-(ii)式,左边=(1-q)Sn,右边考查除了最后一项外的其他项,利用等比数列求和公式求和、整理;

④两边同除以1-q,整理得Sn.

【习练·破】

已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数列的前n项和Sn.

【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,

由已知条件可得解得

故数列{an}的通项公式为an=2-n.

(2)Sn=+++…++,

所以Sn=++…++,

两式相减得Sn=---…--,

所以Sn=--

=-+-+=,所以Sn=.

【加练·固】

已知递减的等比数列{an}各项均为正数,满足a1·a2·a3=8,a1+1,a2+1,a3构成等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)令bn=n·an,求数列{bn}的前n项和Sn.

【解析】(1)由等比数列性质可知a1 ·a2 ·a3 = = 8,

所以a2=2,a1·a3=4.

由a1+1,a2+1,a3构成等差数列,

可知a1+1+a3=2(a2+1)=6,所以a1+a3=5.

联立 ,

解得 或 .

由等比数列{an}递减可知 ,于是q=.

所以an=a1·qn-1=4×=.

(2)由(1)可知bn=n·an=n·,

于是Sn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×,

Sn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×,

两式相减得

Sn=1×+1×+1×+1×+…+1×-n×

=-n×

=8-(n+2)×,

故Sn=16-(n+2).

类型三　等比数列Sn与an的关系

角度1　求Sn与an的关系

【典例】已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且-a3,a2,a4成等差数列,则Sn与an的关系是              (　　)

A.Sn=2an-1   B.Sn=2an+1

C.Sn=4an-3     D.Sn=4an-1

【思维·引】分别表示出Sn与an,再确定关系.

【解析】选A.设等比数列的公比为q(q>0),

由a1=1,且-a3,a2,a4成等差数列,

得2a2=a4-a3,即2q=q3-q2,得q=2.

所以Sn=,则Sn=2an-1.

【素养·探】

在确定Sn与an的过程中,常常用到核心素养中的数学运算,通过对Sn计算公式寻求二者之间的关系.

本例中的等比数列{an},若已知an=3n-1,则Sn与an的关系是什么?

提示:Sn==an-.

角度2　Sn与an的关系的应用

【典例】数列{an}的前n项和为Sn,对任意正整数n,an+1=3Sn,则下列关于{an}的论断中正确的是              (　　)

A.一定是等差数列

B.可能是等差数列,但不会是等比数列

C.一定是等比数列

D.可能是等比数列,但不会是等差数列

【思维·引】由Sn与an的关系,推导出an+1与an的关系,结合a1的取值进行判断.

【解析】选B.an+1=3Sn,an=3Sn-1,故an+1-an=3an,即an+1=4an(n≥2),而n=1时,a2=3S1=3a1,可知该数列不是等比数列.当an=0时,数列an为等差数列.故本题正确答案为B.

【类题·通】

　关于等比数列Sn与an的关系

(1)Sn与an的关系可以由Sn=得到,一般已知a1,q即可得到二者之间的关系,也可以通过特殊项验证判断;

(2)Sn-Sn-1=an(n≥2)是Sn与an之间的内在联系,既可以推出项an-1,an,an+1之间的关系,也可得到Sn-1,Sn,Sn+1之间的关系,体现了Sn与an关系的本质.

【习练·破】

已知等比数列{an}的公比q>0且q≠1,其前n项和为Sn,则S2a3与S3a2的大小关系为 (　　)

A.S2a3>S3a2   B.S2a3<S3a2

C.S2a3=S3a2   D.不能确定

【解析】选B.S3a2-S2a3=a1(1+q+q2)·a1q-a1(1+q)·a1q2=q>0,所以S2a3<S3a2.

【加练·固】

设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则 (　　)

A.Sn=2an-1   B.Sn=3an-2

C.Sn=4-3an   D.Sn=3-2an

【解析】选D.Sn===3-2an.

课堂检测·素养达标

1.已知数列{an}为等差数列,且,2,成等比数列,则{an}前6项的和为

(　　)

A.15  B.  C.6  D.3

【解析】选C.设数列{an}的公差为d,且,2,成等比数列,

可得4=·=,可得a1+a6=2,

即有{an}前6项的和为×6(a1+a6)=6.

2.等比数列{an}中,满足a1=2,且a1,a2+1,a3成等差数列,则数列{an}的公比为

(　　)

A.1  B.2  C.-2  D.4

【解析】选B.等比数列{an}的公比设为q,

满足a1=2,且a1,a2+1,a3成等差数列,

可得2(a2+1)=a1+a3,

即为2(2q+1)=2+2q2,解得q=2(0舍去).

3.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn.若2S1,S3,S2成等差数列,则数列{an}的公比为________. 

【解析】各项均为正数的等比数列{an}的公比设为q,由2S1,S3,S2成等差数列,

可得2S3=2S1+S2,

即为2(a1+a1q+a1q2)=2a1+a1+a1q,

即有2q2+q-1=0,解得q=(q=-1不合题意,舍去).

答案:

4.记等比数列{an}的前n项和为Sn,若=,则=________. 

【解析】根据题意,在等比数列{an}中,=,显然q≠1,

故===,变形可得q5=3,故==.

答案:

【新情境·新思维】

对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若{an}的“差数列”是首项为,公比为的等比数列,若a1=1,则a2 020=________. 

【解析】根据题意,an+1-an=,

则a2 020=(a2 020-a2 019)+(a2 019-a2 018)+…+(a2-a1)+a1=++……++1

=2-.

答案:2-