人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.3.2 等比数列的前 n项和导学案

5.3.2　等比数列的前n项和

第1课时　等比数列的前n项和

必备知识·素养奠基

　等比数列的前n项和公式

对于等比数列的前n项和Sn==一定成立吗?

提示:不一定,当q=1时不成立.

1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)

(1)若等比数列的首项a1=1,公比为2,则前n项和Sn=. (　　)

(2)已知等比数列的a1,q,an,则Sn=. (　　)

(3)等比数列1,-1,1,-1,…的前n项和等于0. (　　)

提示:(1)×.Sn=.

(2)×.Sn=.(q≠1)

(3)×.Sn==.

2.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=3(a1+a2),则公比q的值为(　　)

A.2   B.    C.    D.

【解析】选D.因为S4=3(a1+a2),所以q≠1.

所以=3a1(1+q),

化为q2=2,解得q=(负值舍去).

3.在等比数列{an}中,a2=1,a5=8,则数列{an}的前n项和Sn=________. 

【解析】因为a2=1,a5=8,所以a5=a2q3,

即q3==8,即q=2,首项a1=,

则数列{an}的前n项和Sn==2n-1-.

答案:2n-1-

关键能力·素养形成

类型一　等比数列前n项和的计算

【典例】1.(2020·福州高二检测)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4=2(a1+a3),且a1a3a5=512,则S10=              (　　)

A.1 022   B.2 046   C.2 048   D.4 094

2.设Sn是等比数列{an}的前n项和,若S3=6,S6=54,则a1=________. 

【思维·引】1.利用已知项的关系解出a1和q代入公式求S10.

2.先求出数列的公比,代入前n项和公式求首项.

【解析】1.选B.由等比数列的性质可知,a1a3a5==512,

所以a3=8,

因为a2+a4=2(a1+a3),所以+8q=2,

整理可得,q3+q=2(1+q2),

所以q=2,a1=2,S10==2 046.

2.因为S3==6,S6==54,

所以=1+q3=9,解得q3=8,则q=2,

所以=6,解得a1=.

答案:

【内化·悟】

　本例2中的消元方法是什么?有什么优点?

提示:利用两式相除消元,消去a1的同时起到了降低次数的作用.

【类题·通】

等比数列前n项和的运算技巧

　(1)注意考查条件,公比为1时是否成立.

(2)涉及的基本量有a1,q,n,an,Sn共五个,“知三求二”,常常列方程组来求解.

(3)消元解方程组的过程中,常常用到两式相除、整体代入的方法.

【习练·破】

1.(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则= (　　)

A.2n-1     B.2-21-n

C.2-2n-1    D.21-n-1

【解析】选B.设等比数列的公比为q,

由a5-a3=12,a6-a4=24可得:

⇒,

所以an=a1qn-1=2n-1,Sn===2n-1,

因此==2-21-n.

2.(2020·吉林高二检测)已知数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,a1=,6=a6,则S5=________. 

【解析】设等比数列{an}的公比为q.

因为a1=,6=a6,所以6×=q5,

解得,q=2,则S5==.

答案:

【加练·固】

　 (2020·株洲高二检测)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=,=a6,则S4=________. 

【解析】设等比数列{an}的公比为q.

因为a1=,=a6,

所以=q5,

解得,q=2,则S4==.

答案:

类型二　等比数列前n项和的实际应用

【典例】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行数里,请公仔细算相还”.其意思为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,请问从第几天开始,走的路程少于30里              (　　)

A.3   B.4   C.5   D.6

【思维·引】首先判断数列类型,其次确定数列的基本量计算.

【解析】选B.此人每天走的步数构成以为公比的等比数列,所以=378,解得a1=192,

所以an=192×=384×,

因为384×<30,

所以2n>12.8,经验证可得n≥4,

即从第4天开始,走的路程少于30里.

【内化·悟】

从本例条件中可以提取哪些等比数列的基本量?

提示:Sn=378,q=,n=6.

【类题·通】

　解答数列应用问题的方法

(1)判断、建立数列模型

①变化“量”是同一个常数:等差数列;

②变化“率”是同一个常数:等比数列.

(2)提取基本量

从条件中提取相应数列的基本量a1,q(d),n,an,Sn,

列出方程(组)求解.

【习练·破】

　(2020·汕尾高二检测)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?该问题中,1斗为10升,则羊主人应偿还多少升粟?              (　　)

A.   B.   C.    D.

【解析】选C.设牛、马、羊所吃禾苗分别为a1,a2,a3,

则{an}是公比为的等比数列,

所以S3==50,解得a1=,

所以羊主人应偿还:a3=×=升粟.

类型三　等比数列前n项和的简单性质

角度1　前n项和公式的函数特征

【典例】已知等比数列{an}的前n项和Sn=λ·3n-1-1(λ∈R),则= (　　)

A.    B.3    C.6    D.9

【思维·引】利用前n项和公式的结构特征求出λ及公比,再利用Sn的表达式计算;也可由Sn表示出a1,a2,a3后求λ及公比,再利用Sn的表达式计算.

【解析】选D.方法一:Sn=λ·3n-1-1=·3n-1,

所以=1,λ=3且q=3,又a1=S1=3·3n-1-1=2,

==9;

方法二:等比数列{an}满足Sn=λ·3n-1-1,

当n=1时,有a1=S1=λ-1,

有a2=S2-S1=(3λ-1)-(λ-1)=2λ,

a3=S3-S2=(9λ-1)-(3λ-1)=6λ,

则有6λ×(λ-1)=(2λ)2,

解可得λ=3或0(舍),首项a1=2,

则==9.

【素养·探】

　等比数列的前n项和公式实质是关于n的函数,再利用其结构特征可以确定系数之间的关系,这用到了核心素养中的数学抽象.

将本例中的条件变为“Sn=3×2n+a”,则S5=________. 

【解析】数列{an}是等比数列,

①若q=1,显然Sn=3×2n+a,不成立.

②故数列{an}的公比q≠1,

所以Sn==- qn+,

故q=2,=-3,故a=-3.

所以S5=3×25-3=93.

答案:93

角度2　前n项和的性质

【典例】设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9= (　　)

A.    B.-    C.　    D.

【思维·引】利用S3,S6-S3,S9-S6的关系求值.

【解析】选A.方法一:由等比数列前n项和的性质知S3,

S6-S3,S9-S6成等比数列,

又a7+a8+a9=S9-S6,

则S3,S6-S3,a7+a8+a9成等比数列,

从而a7+a8+a9==.

方法二:因为S6=S3+S3q3,

所以q3==-,

所以a7+a8+a9=S9-S6=S3q6=8× =.

【类题·通】

1.等比数列前n项和公式的特征

数列{an}是非常数数列的等比数列

⇔Sn=-Aqn+A(A≠0,q≠0,1,n∈N+).

即指数式的系数与常数项互为相反数,

其中A=.

2.等比数列前n项和公式的性质

等比数列的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列.

【习练·破】

　(2020·重庆高二检测)已知公比不为1的正项等比数列{an}的前n项和,前2n项和,前3n项和分别为A,B,C,则              (　　)

A.A+C>2B    B.AC<B2

C.AC>B2    D.A+C<2B

【解析】选B.设等比数列{an}的公比为q,则B=A+Aqn,C=A+Aqn+Aq2n,则AC=A2(1+qn+q2n),B2=A2(1+2qn+q2n),又q>0,故AC<B2.A+C-2B=+- 2·=-=,当q>1时A+C>2B,当0<q<1时A+C<2B,故A,C不正确.

【加练·固】

　　　一个等比数列的首项是1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数.

【解析】因为S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…

+a2n-1q=(a1+a3+…+a2n-1)q=S奇·q.

所以q===2.

又Sn=85+170=255,据Sn=,得=255,

所以2n=256,所以n=8.

即公比q=2,项数n=8.

课堂检测·素养达标

1.等比数列1,a,a2,a3,…的前n项和为 (　　)

A.1+   B.

C.     D.以上都不对

【解析】选D.当a=1时,Sn=n.

2.在等比数列{an}中a1+a2=1,a4+a5=27,则{an}的前5项和为 (　　)

A.29   B.    C.30    D.

【解析】选D.设等比数列{an}的公比为q,

则,解得,

因此,数列{an}的前5项和S5===.

3.数列{2n-1}的前99项和为 (　　)

A.2100-1     B.1-2100

C.299-1     D.1-299

【解析】选C.数列{2n-1}为等比数列,首项为1,公比为2,故其前99项和为S99==299-1.

4.已知首项为3的等比数列{an}的前n项和为Sn,若2S2=S3+S4,则a2 020的值为________. 

【解析】设等比数列{an}的公比为q.

因为a1=3,2S2=S3+S4,

当q=1时显然不成立,故q≠1,

所以=+,整理可得,q2+q-2=0,

解得,q=-2或q=1(舍),

则a2 020=3×(-2)2 019=-3×22 019.

答案:-3×22 019

【新情境·新思维】

　已知等比数列{an}的各项均为正数,设其前n项和为Sn,若anan+1=4n(n∈N+),则S5= (　　)

A.30    B.31    C.15    D.62

【解析】选B.因为等比数列{an}的各项均为正数,且anan+1=4n(n∈N+),所以a1a2=4,a2a3=16,且q>0,a1>0,解得q=2,a1=,所以S5==31.