高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习，共6页。


1．已知A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝132，则n＝( )
A．11B．12
C．13D．14
2．3位女生和2位男生站成一排照相，其中男生不能站在一起的排法种数为( )
A．72B．60
C．36D．3
3．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有( )
A．12种B．24种
C．48种D．120种
4．有3名女生、4名男生站成一排，女生必须相邻，男生也必须相邻，则不同排法的种数为( )
A．72B．96
C．144D．288
5．把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程安排在一天的五节课里，如果数学必须比历史先上，则不同的排法有( )
A．48种B．24种
C．60种D．120种
6．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有( )
A．280种B．240种
C．180种D．96种
7．用1，2，3，4，5这5个数字组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的数的个数为________．(用数字作答)
8．有4本不同的书，其中语文书1本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地摆成一排，则同一科目的书不相邻的摆法有________种．(用数字作答)
9．将4位司机、4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，每辆汽车分别有1位司机和1位售票员，则共有________种不同的分配方案．
10．喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判它们握手言和，准备合影留念(排成一排).
(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种不同的排法？
(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种不同的排法？
[提能力]
11．一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )
A．3×3! B．3×(3！)3
C．(3！)4D．9!
12．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
A．72B．120
C．144D．168
13．用0，1，2，3，4，5六个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是________；可以组成有重复数字的三位数的个数为________．
14．安排5名歌手的演出顺序时，要求甲歌手不第一个出场，另一名歌手乙不最后一个出场，不同的排法种数是________．(用数字作答)
15．某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相．
(1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？
(2)3位老者与2位年轻人都要分别按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？
[战疑难]
16．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种．(用数字作答)
课时作业(三)
1．解析：因为A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝132，所以n(n－1)＝132，整理，得n2－n－132＝0，解得n＝12，或n＝－11(不合题意，舍去)，所以n的值为12.故选B.
答案：B
2．解析：先排3位女生，再把2位男生插入空档中，因此排法种数A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝72.故选A.
答案：A
3．解析：因为同学甲只能在周一值日，所以除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，所以5名同学值日顺序的编排方案共有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝24(种).故选B.
答案：B
4．解析：第1步，把3名女生作为一个整体，看成一个元素，4名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排成一排有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) 种排法；
第2步，对男生、女生“内部”分别进行排列，女生“内部”的排法有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) 种，男生“内部”的排法有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) 种．
故符合题意的排法共有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ·A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ·A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝288(种).
答案：D
5．解析：五门课程随意安排有A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) 种排法，数学课在历史课前和历史课在数学课前各占总排法数的一半，所以数学课排在历史课前的排法有 eq \f(1,2)A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) ＝60(种).故选C.
答案：C
6．解析：根据题意，从事翻译工作的为特殊位置，有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) 种可能方案，其余三项工作，从剩余的5人中选取，有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) 种可能方案，根据分步乘法计数原理知，选派方案共有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ＝4×5×4×3＝240(种)，故选B.
答案：B
7．解析：由题意知，能被5整除的四位数末位必为5，只有1种方法，其它位的数字从剩余的四个数中任选三个全排列有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ＝4×3×2＝24.
答案：24
8．解析：先摆语文和物理书，不同的摆法为A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝2(种)；再把两本数学书插空，不同的摆法为A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝6(种).
由分步乘法计数原理可得，符合题意的摆法为2×6＝12(种).
答案：12
9．解析：解决这个问题可以分为两步：
第1步，把4位司机分配到4辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) 种方法；
第2步，把4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，也有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) 种方法，
由分步乘法计数原理知，分配方案共有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ·A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝576(种).
答案：576
10．解析：(1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，排法种数为A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) .因为喜羊羊家族的四位成员交换顺序会产生不同排列，所以不同的排法共有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝144(种).
(2)第一步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) 种排法；第二步，让灰太狼、红太狼插入喜羊羊家族的四位成员形成的空(包括两端)中，有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) 种排法，不同的排法共有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＝480(种).
11．解析：第1步，把3个家庭各自看成一个整体全排列，不同排法有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝3！(种).
第2步，把3个家庭分别排列，每个家庭的不同排法有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝3！(种)，3个家庭的不同排法共有(3！)3种．
由分步乘法计数原理知，不同的坐法种数为3！×(3！)3＝(3！)4.故选C.
答案：C
12．解析：先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻．先安排2个小品类节目和1个相声类节目，然后在3个节目中间及两端的4个位置中选3个安排歌舞类节目，共有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ×A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ＝144种排法，再剔除小品类节目相邻的情况．首先将两个小品类节目“捆绑”看成是一个元素，然后和相声类节目进行全排列，最后“插空”安排歌舞类节目，共有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ×A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ×A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝24种排法，于是符合题意的排法共有144－24＝120(种).
答案：B
13．解析：百位的数字可以选择的种数为5种，十位，个位可以选的种数分别为5种，4种，
则可组成无重复数字的三位数的种数为5×5×4＝100；
可组成有重复数字的三位数的种数为5×6×6＝180.
答案：100 180
14．解析：当甲在最后一个位置时，乙在剩下的位置中任意选择，方法种数为A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝24；当甲不在第一个和最后一个位置时，甲有3种选择，乙也有3种选择，剩下的人全排列，方法种数为3×3×A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝54，则不同的排法种数是54＋24＝78.
答案：78
15．解析：(1)第一步排年轻人，共有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) 种方法，第二步排3位老者，只有一种排法，出场顺序有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ×1＝20种．
(2)设符合条件的排法共有x种，则x·A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ·A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) ，解得x＝ eq \f(A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) ,A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ·A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )＝10，即出场顺序有10种．
16．解析：从左往右看，若C排在第1位，则其他字母可以进行全排列，共有排法A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) ＝120种；若C排在第2位，A，B只能在C右侧的4个位置中选2个，D，E，F安排在剩下的3个位置中，共有排法A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ×A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝72种；若C排在第3位，则A，B可排在C的左侧或右侧，共有排法A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ×A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＋A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ×A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝48种；若C排在第4，5，6位，其排法数与C排在第3，2，1位时相同，故共有排法2×(120＋72＋48)＝480(种).
答案：480