全国统考2022版高考数学大一轮复习第4章三角函数解三角形第3讲三角函数的图象与性质1备考试题（含解析）

第四章　三角函数、解三角形

第三讲　三角函数的图象与性质

练好题·考点自测 

1.[2021惠州市调考]将函数y=sin x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是 (　　)

A.y=f(x)是奇函数

B.y=f(x)的最小正周期为π

C.y=f(x)的图象关于直线x=对称

D.y=f(x)的图象关于点(,0)对称

2.[2019全国卷Ⅱ,8,5分][文]若x1=,x2=是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω= (　　)

A.2 B. C.1 D.

3.[2019全国卷Ⅱ,9,5分]下列函数中,以为周期且在区间(,)上单调递增的是 (　　)

A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x|

C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|

图4-3-1

4.[2020全国卷Ⅰ,7,5分][文]设函数f(x)=cos(ωx+)在[-π,π]的图象大致如图4-3-1,则f(x)的最小正周期为              (　　)

A. B. C. D.

5.[2020全国卷Ⅲ,12,5分][文]已知函数f(x)=sin x+,则 (　　)

A.f(x)的最小值为2

B.f(x)的图象关于y轴对称

C.f(x)的图象关于直线x=π对称

D.f(x)的图象关于直线x=对称

6.[2020江苏,10,5分]将函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是　　　　. 

7.[2018北京,11,5分]设函数f(x)=cos(ωx)(ω>0).若f(x)≤f()对任意的实数x都成立,则ω的最小值为　　　　. 

拓展变式

1.[2021河北六校第一次联考]函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图4-3-3所示,若将函数f(x)的图象沿x轴向右平移b(0<b<)个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则b=　　　　. 

图4-3-3

2.[2021湖南四校联考]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图4-3-4所示,则函数f(x)的单调递减区间为              (　　)

A.[2kπ,2kπ+](k∈Z)

B.[kπ,kπ+](k∈Z)

C.[2kπ+,2kπ+](k∈Z)

D.[kπ+,kπ+](k∈Z)图4-3-4

3.[2017全国卷Ⅱ,14,5分]函数f(x)=sin2x+cos x(x∈[0,])的最大值是　　　. 

4.[2021云南省部分学校统一检测]已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),对于满足|f(x1)-f(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|min=,又f()=0,则下列说法正确的是              (　　)

A.ω=2

B.函数y=f(x)为偶函数

C.函数f(x)在[,]上单调递增

D.函数y=f(x)的图象关于点(,0)对称

5.[2019全国卷Ⅰ,11,5分]关于函数 f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:

①f(x)是偶函数;②f(x)在区间(,π)上单调递增;

③f(x)在[-π,π]上有4个零点;④f(x)的最大值为2.

其中所有正确结论的编号是 (　　)

A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③

6.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<)的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,9月份价格最低,则7月份的出厂价格为　　　　元. 

7.[2016天津,8,5分][文]已知函数f(x)=sin2sin ωx(ω>0),x∈R.若f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是              (　　)

A.(0,] B.(0,]∪[,1)

C.(0,] D.(0,]∪[,]

8.(1)已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0),若f(x)在[0,]上恰有两个零点,则ω的取值范围是 (　　)

A.(1,) B.[1,) C.(,4) D.[,4)

(2)[2020大连6月二模]已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|≤), 其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π,若f(x)>1对任意的x∈(,)恒成立,则φ的取值范围是              (　　)

A.(,) B.[,] C.[,] D.[,]

答  案

第四章　三角函数、解三角形

第三讲　三角函数的图象与性质

1.D　将函数y=sin x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=f(x)=sin(x+)=cos x的图象,所以y=f(x)是偶函数,排除A;y=f(x)的最小正周期T==2π,排除B;y=f(x)的图象关于直线x=kπ(k∈Z)对称,排除C.故选D.

2.A　依题意得函数f(x)的最小正周期T==2×()=π,解得ω=2,故选A.

3.A　对于A,作出y=|cos 2x|的图象如图D 4-3-1所示,由图象知,其周期为,在区间(,)上单调递增,A正确;

图D 4-3-1

对于B,作出y=|sin 2x|的图象如图D 4-3-2所示,由图象知,其周期为,在区间(,)上单调递减,B错误;

图D 4-3-2

对于C,y=cos|x|=cos x,周期为2π,C错误;

对于D,作出y=sin|x|的图象如图D 4-3-3所示,由图象知,其不是周期函数,D错误.

图D 4-3-3

故选A.

4.C　解法一　由题图知, f()=0,∴ω++kπ(k∈Z),解得ω=(k∈Z).设f(x)的最小正周期为T,易知T<2π<2T,∴<2π<,∴1<|ω|<2,由ω=(k∈Z)知当且仅当k=-1时,符合题意,此时ω=,∴T=.故选C.

解法二　由题图知,f()=0且f(-π)<0,f(0)>0,∴ω+=(ω>0),解得ω=,∴f(x)的最小正周期T=.故选C.

5.D　由题意得sin x∈[-1,0)∪(0,1].对于A,当sin x∈(0,1]时,f(x)=sin x+≥2=2,当且仅当sin x=1时取等号;当sin x∈[-1,0)时,f(x)=sin x+=-(-sin x+)≤-2=-2,当且仅当sin x=-1时取等号,所以A错误.对于B, f(-x)=sin(-x)+=-(sin x+)=-f(x),所以f(x)是奇函数,图象关于原点对称,所以B错误.对于C,f(x+π)=sin(x+π)+=-(sin x+),f(π-x)=sin(π-x)+=sin x+,则f(x+π)≠f(π-x),f(x)的图象不关于直线x=π对称,所以C错误.对于D,f(x+)=sin(x+)+=cos x+,f(x)=sin(x)+=cos x+,所以f(x+)=f(x),f(x)的图象关于直线x=对称,所以D正确.故选D.

6.x=　将函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,得到y=3sin[2(x)+]=3sin(2x)的图象,由2x+kπ,k∈Z,得对称轴方程为x=kπ,k∈Z,其中与y轴最近的对称轴的方程为x=.

7.　由于对任意的实数x都有f(x)≤f()成立,故当x=时,函数f(x)有最大值,故f()=1,∴=2kπ(k∈Z),∴ω=8k+(k∈Z),又ω>0,∴ωmin=.

1.　根据函数的图象可得T=,所以T=π,所以=π,所以ω=2,又f()=1,所以sin(2×+φ)=1,所以φ+=2kπ+,k∈Z,所以φ=2kπ+,k∈Z,因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=sin(2x+).将f(x)的图象沿x轴向右平移b个单位长度得到函数y=sin[2(x-b)+]=sin(2x+2b)的图象,因为函数y=sin(2x+2b)是偶函数,所以2b=kπ+,k∈Z,所以b=,k∈Z,因为0<b<,所以b=.

2.D　由题中图象,得即由“五点作图法”知点(,0)为第一个零点,所以解得所以f(x)=sin(2x).由+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z)得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),即函数f(x)的单调递减区间为[+kπ,+kπ](k∈Z),故选D.

3.1　f(x)=sin2x+cos x=-cos2x+cos x+=-(cos x)2+1.因为x∈[0,],所以cos x∈[0,1],因此当cos x=时,f(x)max=1.

4.C　由题意知,|f(x)|≤2,且|f(x1)-f(x2)|=4,不妨设f(x1),f(x2)分别为函数f(x)的最大值、最小值.因为|x1-x2|min=,所以T=,得ω=.又f()=0,所以sin(+φ)=0,又|φ|<,所以φ=,即f(x)=2sin(x),所以f(x)=2sin(x)不是偶函数.由2kπ≤x≤2kπ+(k∈Z),得3kπ≤x≤3kπ+(k∈Z),当k=0时,≤x≤,所以f(x)在[,]上单调递增.当x=时,f(x)=2sin()=-1≠0,所以f(x)的图象不关于点(,0)对称.故选C.

5.C　因为f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)为偶函数,故①正确;当x∈(,π)时,f(x)=sin|x|+|sin x|=2sin x,所以f(x)在区间(,π)上单调递减,故②错误;当x∈(0,π)时,f(x)=2sin x,结合函数f(x)为偶函数可画出f(x)在[-π,π]上的大致图象(如图D 4-3-4所示),由图可知f(x)在[-π,π]上有3个零点,故③错误;因为y=sin|x|与y=|sin x|的最大值都为1且可以同时取到,所以f(x)的最大值为2,故④正确.故选C.

图D 4-3-4

6.6 000　三角函数模型为y=f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<),由题意知,B=7 000,A+B=9 000,故A=2 000.

可作出函数简图如图D 4-3-5所示.

T=2×(9-3)=12,∴ω=.则f(x)=2 000sin(x+φ)+7 000,则有×3+φ=kπ+,k∈Z,∴φ=kπ,k∈Z,又|φ|<,∴φ=0,故f(x)=2 000sinx+7 000(1≤x≤12,x∈N*),∴f(7)=2 000×sin+7 000=6 000.故7月份的出厂价格为6 000元.

图D 4-3-5

7.D　f(x)=(1-cos ωx)+sin ωxsin ωxcos ωx=sin(ωx).

解法一　因为x∈(π,2π),所以ωx∈(ωπ,2ωπ).因为f(x)在(π,2π)内无零点,故≥π,即0<ω≤1,且(k∈Z).当k=-1时,解得ω∈(0,];当k=0时,解得ω∈[,],当k≤-1或k≥1时,不满足题意,故ω∈(0,]∪[,].故选D.

解法二　当ω=时, f(x)=sin(x),x∈(π,2π)时,f(x)∈(,],无零点,排除A,B;当ω=时,f(x)=sin(x),x∈(π,2π)时,当x=π时,f(x)=0,所以f(x)有零点,排除C.选D.

8.(1)D　当0≤x≤时,≤ωx+≤.若f(x)在[0,]上恰有两个零点,则2π≤<3π,解得≤ω<4.

(2)D　由题意知,函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|≤),其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π,故函数的最小正周期为T==π,解得ω=2.所以f(x)=2sin(2x+φ)+1.

由题意,f(x)>1对任意的x∈(,)恒成立,即当x∈(,)时,sin(2x+φ)>0恒成立.令t=2x+φ,因为x∈(,),所以t∈(φ,φ+).故要使sin t>0恒成立,只需(k∈Z),解得2kπ+≤φ≤2kπ+(k∈Z).显然,当k=0时,≤φ≤,故选D.