全国统考2022版高考数学大一轮复习第3章导数及其应用第1讲导数的概念及运算1备考试题（含解析）

第三章　导数及其应用

第一讲　导数的概念及运算

练好题·考点自测 

1.下列说法正确的是 (　　)

(1)f'(x)与f'(x0)(x0为常数)表示的意义相同.

(2)在曲线y=f(x)上某点处的切线与曲线y=f(x)过某点的切线意义相同.

(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.

(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.

(5)(sin )'=cos .

(6)(3x)'=3xlog3e.

(7)(log2x)'=.

A.(1)(2)(3)(5)(7) B.(4)(5)(7)

C.(3)(7) D.(6)(7)

2.某质点的位移s(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数是s=2t3gt2(g=10 m/s2),则当t=2 s时,它的加速度是 (　　)

A.14 m/s2 B.4 m/s2 C.10 m/s2 D.-4 m/s2

3.设正弦函数y=sin x在x=0和x=附近的平均变化率分别为k1,k2,则k1,k2的大小关系为 (　　)

A.k1>k2 B.k1<k2 

C.k1=k2 D.不确定

4.[2020全国卷Ⅰ,15,5分][文]曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为　　　　. 

5.[2020全国卷Ⅲ,15,5分][文]设函数f(x)=.若f'(1)=,则a=　　　　. 

6.[2018天津,10,5分][文]已知函数f(x)=exlnx,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为　　　　. 

7.[陕西高考,5分]设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为　　　　. 

拓展变式

1.[2021四省八校联考]设函数f(x)=x+g(x)在R上可导,且在f(x)图象上的点(1,f(1))处的切线方程为y=-x+2,则g(1)+g'(1)的值为              (　　)

A.-2 B.0  C.1 D.2

2.(1)[2021贵阳市摸底测试]已知直线y=kx-2与曲线y=xlnx在x=e处的切线平行,则实数k的值为　　　　. 

(2)[2021安徽省四校联考]已知曲线y=在x=x1处的切线为l1,曲线y=ln x在x=x2处的切线为l2,且l1⊥l2,则x2-x1的取值范围是　　　　. 

答  案

第三章　导数及其应用

第一讲　导数的概念及运算

1.C　由导数的概念、几何意义及导数公式可得(3)(7)正确.

2.A　由质点在时刻t的速度v(t)=s'(t)=6t2-gt,加速度a(t)=v'(t)=12t-g,得当t=2 s时,a(2)=v'(2)=12×2-10=14(m/s2).

3.A　∵y=sin x,∴y'=(sin x)'=cos x.k1=cos 0=1,k2=cos=0,∴k1>k2.

4.y=2x　设切点坐标为(x0,ln x0+x0+1).由题意得y'=+1,则该切线的斜率k=(+1)+1=2,解得x0=1,所以切点坐标为(1,2),所以该切线的方程为y-2=2(x-1),即y=2x.

5.1　由于f'(x)=,故f'(1)=,解得a=1.

6.e　由题意得f'(x)=exlnx+ex·,则f'(1)=e.

7.(1,1)　y'=ex,则曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k切=1,又曲线y=(x>0)上点P处的切线与曲线y=ex在点(0,1)处的切线垂直,所以曲线y=(x>0)在点P处的切线的斜率为-1,设P(a,b)(a,b>0),则曲线y=(x>0)上点P处的切线的斜率为=-a-2=-1,可得a=1,又P(a,b)在曲线y=上,所以b=1,故P(1,1).

1.A　∵点(1,f(1))在切线y=-x+2上,∴f(1)=-1+2=1.又f'(1)=-1,∴f(1)+f'(1)=0.∵f(x)=x+g(x),∴f'(x)=1+g'(x),∴f(1)+f'(1)=1+g(1)+1+g'(1)=0,故g(1)+g'(1)=-2.故选A.

2.(1)2　由y=xlnx,得y'=ln x+1,所以当x=e时,y'=ln e+1=2,所以曲线y=xlnx在x=e处的切线的斜率为2.又该切线与直线y=kx-2平行,所以k=2.

(2)(-∞,-1)　令f(x)=,g(x)=ln x,则切线l1的斜率k1=f'(x1)=,切线l2的斜率k2=g'(x2)=.∵l1⊥l2,∴k1k2=·=-1,即x2=,∵x2>0,∴x1>1,x2-x1=x1.令h(x)=x(x>1),则h'(x)=.当x>1时,y=2-x-ex为减函数,故2-x-ex<2-1-e1<0,∴h'(x)<0,∴h(x)在(1,+∞)上单调递减,∴h(x)<h(1)=-1,∴x2-x1<-1.