全国统考2022版高考数学大一轮复习第4章三角函数解三角形第4讲正余弦定理及解三角形2备考试题（含解析）

第四章　三角函数、解三角形

第四讲　正、余弦定理及解三角形

1.[2021湖北省四地七校联考]在一幢20 m高的楼顶测得对面一座塔吊顶的仰角为60°,塔基的俯角为45°,如图4-4-1,那么这座塔吊的高是(　　)

A.20(1+) m

B.20(1+) m

C.10() m

D.20() m

图4-4-1

2.[2021南京市学情调研]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2bcos C≤2a-c,则角B的取值范围是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　

A.(0,] B.(0,] C.[,π) D.[,π)

3.[2021贵阳市四校第二次联考]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若bsinA=2csin B,cosB=,b=3,则△ABC的面积为              (　　)

A.9 B. C. D.

4.[2020南昌三模]在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若=1,则下列说法不一定成立的是 (　　)

A.△ABC可能为正三角形 B.角A,B,C成等差数列

C.角B可能小于 D.B+C为定值

5.[2020大同市高三调研]在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin∠BAC=　　　　. 

6.[2021洛阳市统考]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=sin CtanA-cos C.

(1)求A;

(2)若b=3,c=2,点D为BC的中点,求a及AD.

7.[2020长春市质检]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA,a>b.

(1)求证:△ABC是直角三角形.

(2)若c=10,求△ABC的周长的取值范围.

8.[2020惠州市模拟]已知△ABC的内角A,B,C满足.

(1)求角A;

(2)若△ABC的外接圆的半径为1,求△ABC的面积S的最大值.

9.[2021江西重点中学第二次联考]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin BsinC=sin A,△ABC的面积为,a+b=3,则c=              (　　)

A. B. C.或 　D.或3

10.[2021晋南高中联考]平面四边形ABCD为凸四边形,且∠A=60°,AD⊥DC,AB=,BD=2,则BC的取值范围为 (　　)

A.[,2) B.(,2)

C.(2,) D.[,)

11.[2021福建五校第二次联考]锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且a=1, bcosA-cos B=1,若A,B变化时,sin B-2λsin2A存在最大值,则正数λ的取值范围是              (　　)

A.(0,) B.(0,)C.(,) D.(,1)

12.[2020四川五校联考]在△ABC中,角A的平分线交BC于点D,BD=2CD=2,则△ABC面积的最大值为 (　　)

A.3 B.2 C.3 D.4

13.[2020陕西省百校联考]在△ABC中,D为AC的中点,若AB=,BC=2,BD=,则cos∠ABC=　　　　,sin C=. 

14.[2020福建宁德模拟]海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞.若要测量如图4-4-2所示的海洋蓝洞的口径(即A,B两点间的距离),现取两点C,D,测得CD=80 m,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则图4-4-2中海洋蓝洞的口径为　　　　m. 

图4-4-2

15.[2021陕西百校联考]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.

(1)若A≠,且csin 2A=4cos AsinC,求a的值;

(2)若sin A,sinB,sinC成等差数列,求B的最大值.

16.在△ABC中,角A与角B的内角平分线交于点I,且5+4cos(A+B)=4sin2C.

(1)求角C的大小;

(2)若△ABC的外接圆半径为4,求△ABI周长的最大值.

17.在△ABC中,AB=4,BC=3,则当函数f(B)=cos 2B-cos(B+)-sin(B+)+5取得最小值时,AC= (　　)

A. B.2 C.4 D.2

18.在△ABC中,若sin(-B)=cos 2A,则的取值范围为 (　　)

A.(-1,) B.(,)

C.(,) D.(,)

19.[2020洛阳市联考]已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,且满足(a+b+c)(sin B+sinC-sin A)=

bsinC.

(1)求角A的大小;

(2)设a=,S为△ABC的面积,求S+cos BcosC的最大值.

答 案

第四章　三角函数、解三角形

第四讲　正、余弦定理及解三角形

1.B　由题图知BE的长度即所求塔吊的高.

易知四边形ABCD为正方形,∴CD=BC=AD=20 m.在Rt△DCE中,∠EDC=60°,∴EC=CD·tan∠EDC=20(m),∴这座塔吊的高BE=BC+CE=(20+20) =20(1+)(m).故选B.

2.A　由2bcos C≤2a-c及余弦定理,得2b·≤2a-c,整理,得≥1,即2cos B≥1,所以cos B≥,所以B∈(0,],故选A.

3.B　因为bsinA=2csin B,所以由正弦定理得a=2c,因为cos B=,b=3,所以由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得9=4c2+c2-2×2c×c×,解得c=,所以a=3.因为B∈(0,π),所以sin B=,所以△ABC的面积S△ABC=acsin B=×3×,故选B.

4.B　由=1,得=1,即c2+b2+ac+ab=a2+bc+ab+ac,即a2=b2+c2-bc,由余弦定理得cos A=,由于0<A<π,所以A=,所以B+C=为定值.当且仅当A=B=C=时,△ABC是正三角形,故△ABC可能为正三角形.若角A,B,C成等差数列,则 2B=A+C=+C,又B+C=,所以B=C=,即当且仅当B=C=A=时,角A,B,C成等差数列,故角A,B,C可能成等差数列,故B选项错误.因为B+C=,所以角B可能小于.故选B.

5.　解法一　记内角A,B,C的对边分别为a,b,c,作AD⊥BC交BC于点D,则AD=a,△ABC的面积S=×a×a=acsin B,可得a=c.由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得b=c.由正弦定理得,所以sin∠BAC=.

解法二　作AD⊥BC交BC于点D,则AD=BC,设BC=3,则AD=1.由B=,可知BD=1,则DC=2,AC=.由正弦定理得,所以sin∠BAC=.

6.(1)由题意及正弦定理,原式可化为

sinC-sin B=sin A(sin CtanA-cos C),

即sin C-sin (A+C)=sin A(sin CtanA-cos C),

所以sin C-sin AcosC-cos AsinC=sin Csin AcosC,

化简可得sin C-cos AsinC=sin C,

因为sin C≠0,(此条件不能省略)

所以+cos A=,

即sin2A+cos2A=cos A,所以cos A=,

又0<A<π,所以A=.

(2)由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=18+4-12=10,

所以a=.

解法一　因为D是BC的中点,所以BD=.

又cos B==,

所以AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos B=,

所以AD=.

解法二　因为D为BC中点,所以(),所以()2,即(+2·)=(4+18+2×3×2×)=,所以AD=.

7.(1)在△ABC中,由正弦定理可知sin A=sin B·,因为sin A≠0,所以sin B=cos A.

所以sin B=sin(A+),所以B=A+或B+A+=π,由a>b,知A>B,所以B+A+=π,即A+B=,所以△ABC是直角三角形.

(2)△ABC的周长L=10+10sin A+10cos A=10+10sin(A+),由a>b可知,<A<,因此<sin(A+)<1,即20<L<10+10.

故△ABC的周长的取值范围为(20,10+10).

8.(1)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由正弦定理和已知条件,得,

化简得b2+c2-a2=bc,

由余弦定理得cos A=,

∵0<A<π,∴A=.

(2)记△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理得=2R,得a=2Rsin A=2sin,

由余弦定理得a2=3=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,

即bc≤3(当且仅当b=c时取等号),

故S=bcsin A≤×3×(当且仅当b=c时取等号).

即△ABC的面积S的最大值为.

9.D　因为sin BsinC=sin A,sinB≠0,所以sin C=,又△ABC的面积为,所以absin C=a2=,解得a=.又a+b=3,所以b=2,sin C=,当0<C<π,所以cos C=或cos C=.当cos C=时,c==3,当cos C=时,c=.故选D.

10.D　在△ABD中,设AD=x,则由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠A,即x2x-1=0,得AD=x=.

已知AD⊥CD,∠A=60°,延长AB,DC交于点E,所以在Rt△ADE中,∠E=30°,AE=2AD=,

因为AB=,所以BE=,所以当BC⊥CD时,BC最短,

此时,在Rt△BCE中,BC=BE=.在△BDE中,BD=2,BE=,所以BC<BE=,所以BC的取值范围是[,).故选D.

11.A　∵a=1,∴bcos A-acosB=a,由正弦定理得sin B·cosA-sin A·cosB=sin A,即sin(B-A)=sin A,∴B-A=A或B-A=π-A,∴B=2A或B=π(舍).∵△ABC为锐角三角形,∴0<A<,0<B=2A<,<A+B=3A<π,解得<A<.

解法一　sin B-2λsin2A=sin 2A-λ(1-cos 2A)=sin 2A+λcos 2A-λ=sin(2A+φ)-λ(其中

tanφ=λ).∵<2A<,∴要使sin B-2λsin2A取得最大值,只需存在φ,满足2A+φ=,∴0<φ<,∴tan 0<λ=tan φ<tan ,即0<λ<.故选A.

解法二　sin B-2λsin2A=sin 2A-2λsin2A,令f(A)=sin 2A-2λsin2A(<A<),则f'(A)=2cos 2A-2λsin 2A=2λcos 2A(tan 2A).当tan 2A<时,f'(A)>0,f(A)单调递增,当tan 2A>时,f'(A)<0,f(A)单调递减,∴当tan 2A=时,f(A)取得最大值,∵=tan 2A∈(,+∞),∴λ∈(0,),故选A.

12.C　如图D 4-4-3,由BD=2CD=2,知BC=3,由角平分线定理,得=2,设AC=x,∠BAC=2α,α∈(0,),则AB=2x,由余弦定理,得32=4x2+x2-2·2x·x·cos 2α,即x2=.S△ABC=·2x·x·sin 2α=x2·sin 2α=≤=3,当且仅当=9tan α,即tan α=时取等号.故△ABC面积的最大值为3.

图D 4-4-3

13.　　依题意得(),所以()2,即+2·=4,即()2+22+2××2cos∠ABC=4×()2,解得cos∠ABC=,所以sin∠ABC=.因为()2+()2=2(),所以4×()2+||2=2[()2+22],解得||=.由正弦定理,得sin C=.

14.80　由已知得,在△ACD中,∠ACD=15°,∠ADC=150°,

所以∠DAC=15°,

由正弦定理得AC==40()(m).

在△BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=135°,所以∠DBC=30°,

由正弦定理,得BC==160sin 15°=40()(m).

在△ABC中,由余弦定理,得AB2=1 600×(8+4)+1 600×(8-4)+2×1 600×()×()×=1 600×16+1 600×4=1 600×20=32 000,

解得AB=80 m.

故题图中海洋蓝洞的口径为80 m.

15.(1)因为csin 2A=4cos AsinC,所以2csin AcosA=4cos AsinC,

因为A≠,所以cos A≠0,所以csinA=2sin C,

所以c=,所以a=2.

(2)因为sin A,sinB,sinC成等差数列,所以2sin B=sin A+sinC,由正弦定理可得2b=a+c,

由余弦定理可得cos B=().

因为>0,>0,所以cos B=()≥×2,当且仅当,即a=c时,“=”成立.

因为cos B<1,所以cos B∈[,1),因为B∈(0,π),(角B的范围要写上)

所以B∈(0,],所以B的最大值为.

16.(1)∵A+B+C=π,∴A+B=π-C,∴cos(A+B)=-cos C.

∵5+4cos(A+B)=4sin2C,

∴5-4cos C=4(1-cos2C),

即4cos2C-4cos C+1=0,解得cos C=,

又0<C<π,∴C=.

(2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,

∵△ABC的外接圆半径为4,∴由正弦定理得=8.

∵C=,∴c=4,∠ABC+∠BAC=,

又角A与角B的内角平分线交于点I,∴∠ABI+∠BAI=,

∴∠AIB=.

设∠ABI=θ,则0<θ<,∠BAI=θ.

在△ABI中,由正弦定理=8,

得BI=8sin(θ),AI=8sin θ,

∴△ABI的周长为4+8sin(θ)+8sin θ=8sin(θ+)+4.

∵0<θ<,∴<θ+,

∴当θ+,即θ=时,△ABI的周长取得最大值,为8+4,

∴△ABI周长的最大值为8+4.

17.A　由题意知函数f(B)=2cos2B-1-2cos(B+)+5=2cos2B-2cos B+4=2(cos B)2+,所以当cos B=时,函数f(B)取得最小值,此时,由余弦定理,得AC=.

18.B　因为sin(B)=cos 2A,所以cos B=cos 2A,又A,B,C为△ABC的内角,所以B=2A,A≠.由正弦定理得,由得得0<A<,故<cos A<1,所以的取值范围为(,),故选B.

19.(1)∵(a+b+c)(sin B+sinC-sin A)=bsinC,

∴由正弦定理,得(a+b+c)(b+c-a)=bc,即b2+c2-a2=-bc.

由余弦定理,得cos A==.又A∈(0,π),∴A=π.

(2)根据a=,A=π及正弦定理可得=2,

∴b=2sin B,c=2sin C,

∴S=bcsin A=×2sin B×2sin C×sin BsinC,

∴S+cos BcosC=sin BsinC+cos BcosC=cos(B-C).

故当即B=C=时,S+cos BcosC取得最大值.