全国统考2022版高考数学大一轮复习第4章三角函数解三角形第2讲三角恒等变换1备考试题（含解析）

第四章　三角函数、解三角形

第二讲　三角恒等变换

练好题·考点自测 

1.下列说法错误的是 (　　)

A.两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的

B.存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立

C.公式tan(α+β)=可以变形为tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意角α,β都成立

D.存在实数α,使tan 2α=2tan α

2.[2020全国卷Ⅲ,9,5分]已知2tan θ-tan(θ+)=7,则tan θ= (　　)

A.-2 B.-1 C.1 D.2

3.[2021大同市调研测试]已知tan=3,则=(　　)

A.3 B. C.-3 D.

4.[2019全国卷Ⅱ,11,5分][文]已知α∈(0,),2sin 2α=cos 2α+1,则sin α= (　　)

A. B. 

C. D.

5.[2020全国卷Ⅱ,13,5分][文]若sin x=,则cos 2x=　　　　. 

6.tan 67.5°-tan 22.5°=　　　　. 

7.[2019江苏,13,5分]已知=,则sin(2α+)的值是　　　　. 

拓展变式

1.[2020全国卷Ⅲ,5,5分][文]已知sin θ+sin(θ+)=1,则sin(θ+)= (　　)

A. B. C. D.

2.-sin 10°(-tan 5°)=　　　　. 

3.已知α∈(0,π),化简:=　　　　. 

4.[2021陕西省部分学校摸底检测]数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比m=的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin 18°,则=              (　　)

A.4 B.+1 C.2 D.1

5.[2021云南省部分学校统一检测]已知α为锐角,cos α=,则tan()= (　　)

A. B. C.2 D.3

6.(1)已知α∈(0,),β∈(0,),tan α=,则 (　　)

A.α+β= B.α-β= C.α+β= D.α+2β=

(2)已知α,β为锐角,且(1tan α)·(1tan β)=4,则α+β=　　　　. 

7.已知θ∈(0,π),sin θ+cosθ=,则tan θ的值为　　　　. 

答  案

第四章　三角函数、解三角形

第二讲　三角恒等变换

1.C　对于C,只有当α,β,α+β都不等于kπ+(k∈Z)时,公式才成立,故C错误,选C.

2.D　由已知得2tan θ=7,解得tan θ=2.

3.B　因为tan=3,所以,故选B.

4.B　因为2sin 2α=cos 2α+1,所以4sin αcos α=2cos2α.

因为α∈(0,),所以cos α>0,sin α>0,所以2sin α=cos α,所以4sin2α=cos2α.又sin2α+cos2α=1,所以sin2α+4sin2α=1,即sin2α=,所以sin α=.故选B.

5.　因为sin x=,所以由二倍角公式,得cos 2x=1-2sin2x=1-2×()2=.

6.2　由tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β)得tan 67.5°-tan 22.5°=tan 45°(1+tan 67.5°tan 22.5°)=tan 45°(1+tan 67.5°·)=1×2=2.

7.　=,解得tan α=2或tan α=.当tan α=2时,sin 2α=,cos 2α==,此时sin 2α+cos 2α=.同理当tan α=时,sin 2α=,cos 2α=,此时sin 2α+cos 2α=.所以sin(2α+)=(sin 2α+cos 2α)=.

1.B　∵sin θ+sin(θ+)=sin θ+cos θ=sin(θ+)=1,∴sin(θ+)=,故选B.

2.　原式=-sin 10°·(-)=-sin 10°·=-sin 10°·=-2cos 10°=====.

3.cos α　原式=.因为α∈(0,π),所以cos>0,所以原式==(cos+sin)·(cossin)=cos2sin2=cos α.

4.C　∵m==2sin 18°,∴=2,故选C.

5.D　　解法一　因为α为锐角,且cos α=,所以sin α=,tan .tan()==3.故选D.

解法二　因为α为锐角,且cos α=,所以sin α=,所以tan α=,解得tan或tan=-2(舍去) ,所以tan()==3.故选D.

6.(1)B　解法一　已知等式可化为,即sin α(1-sin 2β)=cos αcos 2β,整理得cos αcos 2β+sin αsin 2β=sin α,即cos(α-2β)=sin α.因为α∈(0,),β∈(0,),所以α-2β∈(-π,).又cos(α-2β)=sin α>0,所以α-2β∈(,).又cos(α-2β)=sin[(α-2β)+],且α-2β+∈(0,π),α∈(0,),所以α-2β+=α或α-2β+=π-α.当α-2β+=α时,β=,此时1-sin 2β=0,已知等式无意义,不符合题意,舍去;当α-2β+=π-α时,α-β=.故选B.

解法二　tan α== =tan(+β).因为α∈(0,),β∈(0,),所以α=+β,即α-β=.故选B.

(2)　将(1tan α)(1tan β)=4展开,得(tan α+tan β)=3(1-tan α·tan β),即=tan(α+β)=,由于α,β为锐角,所以0<α+β<π,故α+β=.

7.　解法一　将sin θ+cosθ=两边同时平方,得1+2sin θcosθ=1,即sin θcosθ=,易知θ≠.

故sin θcosθ==,

解得tan θ=或tan θ=.

∵θ∈(0,π),sin θcosθ=<0,∴θ∈(,π).由sin θ+cosθ=>0可知sin θ>-cos θ,即|sin θ|>|cos θ|,故θ∈(,),(题中隐含条件挖掘)

则tan θ<-1,∴tan θ=.

解法二　由sin θ+cosθ=　①,得sin θcosθ=<0,

又θ∈(0,π),∴sin θ>0,cos θ<0,∴sin θ-cos θ>0.

又(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcosθ=1+,

∴sin θ-cos θ=　②.

联立①②,解得∴tan θ=.