全国统考2022版高考数学大一轮复习第4章三角函数解三角形第4讲正余弦定理及解三角形1备考试题（含解析）

第四章　三角函数、解三角形

第四讲　正、余弦定理及解三角形

练好题·考点自测 

1.[2020全国卷Ⅲ,11,5分][文]在△ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,则tan B= (　　)

A. B.2 

C.4 D.8

2.[2017 山东,9, 5分]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin AcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是(　　)

A.a=2b B.b=2a 

C.A=2B D.B=2A

3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=18,b=24,A=45°,则此三角形 (　　)

A.无解 B.有一解

C.有两解 D.解的个数不确定

4.下列说法正确的是(△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c) (　　)

①在△ABC中,若A>B,则必有sin A>sin B;

②在△ABC中,若b2+c2>a2,则△ABC为锐角三角形;

③在△ABC中,若A=60°,a=4,b=4,则B=45°或B=135°;

④若满足条件C=60°,AB=,BC=a的△ABC有两个,则实数a的取值范围是(,2);

⑤在△ABC中,若acosB=bcosA,则△ABC是等腰三角形.

A.①③④⑤ B.①②③④

C.①④⑤ D.①③⑤

5.[2019全国卷Ⅱ,15,5分]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC的面积为　　　　. 

6.[2019浙江,14,6分]在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若∠BDC=45°,则BD=　　　　,cos∠ABD=　　　　. 

7.[2016全国卷Ⅱ,15,5分][文]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=　　　　. 

8.[2020深圳市高三统一测试]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b)(sin A-sin B)= (a-c)sin C,b=2,则△ABC的外接圆面积为　　　　. 

9.[湖北高考,5分][文]如图4-4-1,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度

CD=　　　m. 

图4-4-1

拓展变式

1.(1)[2020江淮十校联考]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2asin A-bsinB=2csin C,cosA=,则= (　　)

A.4 B.3 C.2 D.1

(2)在锐角三角形ABC中,b=2,a+c=(a>c),且满足2asin BcosC+2csin BcosA=b,则a-c=　　　　.

2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

(1)若<cos A,则△ABC的形状为　　　　. 

(2)若c-acosB=(2a-b)cos A,则△ABC的形状为　　　　. 

3.[2020河南洛阳4月模拟]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.

(1)若△ABC的面积S满足4S+c2=a2+b2,c=,a=4,且b>c,求b的值;

(2)若a=,A=,且△ABC为锐角三角形,求△ABC周长的取值范围.

4.[2018全国卷Ⅰ,17,12分]在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.

(1)求cos∠ADB;

(2)若DC=2,求BC.

5.(1)[解三角形与数列、基本不等式综合]设△ABC的角A,B,C成等差数列,且满足sin(A-C)-sinB=,BC延长线上有一点D,满足BD=2,则△ACD面积的最大值为(　　)

A.1 B. 

C. D.

(2)[新课标全国Ⅰ,5分]在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是　　　　. 

6.[2020山东,15,5分]某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图4-4-5所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=,BH∥DG,EF=12 cm,DE=2 cm,A到直线DE和EF的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为　　　　cm2. 

图4-4-5

答  案

第四章　三角函数、解三角形

第四讲　正、余弦定理及解三角形

1.C　解法一　在△ABC中,cos C=,则sin C=,所以C∈(,).由余弦定理知AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos C=16+9-2×4×3×=9,所以AB=3.由正弦定理,得sin B=,易知B∈(0,),所以cos B=,tan B==4.故选C.

解法二　在△ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,所以由余弦定理知AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos C=16+9-2×4×3×=9,所以AB=3,所以△ABC是等腰三角形.过点B作BD⊥AC于点D,则BD=,tan,所以tan B==4.故选C.

2.A　由题意可知sin B+2sin BcosC=sin AcosC+sin(A+C),即2sin BcosC=sin AcosC,又cos C≠0,故2sin B=sin A,由正弦定理可知a=2b.故选A.

3.C　∵bsinA=12<a<b,∴三角形有两解.

4.C　对于①,在△ABC中,若A>B,则a>b,(R为△ABC的外接圆的半径),即sin A>sin B,①正确;对于②,在△ABC中,若b2+c2>a2,则A是锐角,但△ABC不一定是锐角三角形,②错误;对于③,由得sin B=sin A=,因为a>b,所以B<A,所以B=45°,③错误;对于④,由条件可得BCsinC<AB<BC,即a<<a,解得<a<2,④正确;对于⑤,由acosB=bcosA得sin AcosB=sin BcosA,即sin(A-B)=0,又A,B为三角形的内角,所以A=B,故△ABC是等腰三角形,⑤正确.故选C.

5.6　因为a=2c,b=6,B=,所以由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得62=(2c)2+c2-2×2c×ccos,得c=2 ,所以a=4,所以△ABC的面积S=acsin B=×4 ×2×sin=6.

6.　　在Rt△ABC中,易得AC=5,sin C=.在△BCD中,由正弦定理得BD=×sin∠BCD=,sin∠DBC=sin[180°-(∠BCD+∠BDC)]=sin(∠BCD+∠BDC)=sin∠BCDcos∠BDC+cos∠BCDsin∠BDC=.又∠ABD+∠DBC=90°,所以cos∠ABD=sin∠DBC=.

7.　解法一　因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=,从而sin B=sin(A+C)=sin AcosC+cosAsinC=.由正弦定理,得b=.

解法二　因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=,从而cos B=-cos(A+C)=-cos AcosC+sinAsinC=.由正弦定理,得c=.

由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得b=.

解法三　因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=,

由正弦定理,得c=.

从而b=acosC+ccosA=.

8.π　利用正弦定理将已知等式转化为(a+b)(a-b)=(a-c)c,即a2+c2-b2=ac,所以由余弦定理得cos B=,因为0°<B<180°,所以B=60°.设△ABC的外接圆半径为R,则由正弦定理知,2R=,R=,所以△ABC的外接圆面积S=πR2 =π.

9.100　由题意,得∠BAC=30°,∠ABC=105°.在△ABC中,因为∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°,所以∠ACB=45°.

因为AB=600 m,由正弦定理可得,即BC=300 m.在Rt△BCD中,因为∠CBD=30°,BC=300 m,所以tan 30°=,所以CD=100 m.

1.(1)D　因为△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2asin A-bsinB=2csin C,利用正弦定理将角化为边可得2a2-b2=2c2　①,

由①及余弦定理可得cos A=,化简得=1,即=1,故选D.

(2)　因为2asin BcosC+2csin BcosA=b,所以2sin AsinBcosC+2sin CsinBcosA=sin B.在锐角三角形ABC中,sin B>0,所以2sin AcosC+2sin CcosA=,即sin(A+C)=,所以sin B=,cos B=.因为b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2accos B,所以ac=1.因为(a-c)2=(a+c)2-4ac=7-4=3,且a>c,所以a-c=.

2.(1)钝角三角形　已知<cos A,由正弦定理,得 <cos A,即sin C<sin BcosA,所以sin(A+B)<sin BcosA,即sin BcosA+cosBsinA-sin BcosA<0,所以cos BsinA<0.又sin A>0,于是有cos B<0,即B为钝角,所以△ABC是钝角三角形.

(2)等腰三角形或直角三角形　因为c-acosB=(2a-b)cos A,所以由正弦定理得sin C-sin AcosB=2sin AcosA-sin BcosA,又C=π-(A+B),所以sin C=sin(A+B ),所以sin AcosB+cosAsinB-sin AcosB=2sin AcosA-sin BcosA,所以cos A(sin B-sin A)=0,所以cos A=0或sin B=sin A,所以A=或B=A(B=π-A舍去),所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.

3.(1)因为4S=a2+b2-c2,所以4absin C=2abcos C,

所以tan C=,又0<C<π,所以C=.

由余弦定理及c=,a=4,得cos,解得b=3或b=.

因为b>c=,所以b=3.

(2)由正弦定理及a=,A=得,

故b=2sin B,c=2sin C=2sin(B).

则△ABC的周长为+2sin B+2sin(B)=cos B+3sin B=+2sin(B+).

由题意可知解得<B<.

所以<B+,故<sin(B+)≤1,

因此三角形ABC周长的取值范围为(3+,3].

4.(1)在△ABD中,由正弦定理得.

由题设知,,所以sin∠ADB=.

由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=.

(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=.

在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2×BD×DC×cos∠BDC=25+8-2×5×2=25,所以BC=5.

5.(1)B　因为△ABC的角A,B,C成等差数列,所以B=,又sin(A-C)-sin B=,所以A=B=C=,设△ABC的边长为x,由已知有0<x<2,则S△ACD=x(2-x)sinx(2-x)≤()2=(当且仅当x=2-x,即x=1时取等号),故选B.

(2)(,)　如图D 4-4-1,作△PBC,使∠B=∠C=75°,BC=2,作直线AD分别交线段PB,PC于A,D两点(不与端点重合),且使∠BAD=75°,则四边形ABCD就是符合题意的四边形.过C作AD的平行线交PB于点Q,在△PBC中,可求得BP=,在△QBC中,可求得BQ=,所以AB的取值范围是(,).

图D 4-4-1图D 4-4-2

6.+4　如图D 4-4-2,连接OA,作AQ⊥DE,交ED的延长线于Q,AM⊥EF于M,交DG于E',交BH于F',记过O且垂直于DG的直线与DG的交点为P,设OP=3m,则DP=5m,不难得出AQ=7,AM=7,于是AE'=5,E'G=5,∴∠AGE'=∠AHF'=,△AOH为等腰直角三角形,又AF'=5-3m,OF'=7-5m,AF'=OF',∴5-3m=7-5m,得m=1,∴AF'=5-3m=2,OF'=7-5m=2,∴OA=2,则阴影部分的面积S=×π×(2)2+×2×2=(+4)(cm2).