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全国统考2022版高考数学大一轮复习第4章三角函数解三角形第3讲三角函数的图象与性质2备考试题（含解析）
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这是一份全国统考2022版高考数学大一轮复习第4章三角函数解三角形第3讲三角函数的图象与性质2备考试题（含解析），共11页。
第四章 三角函数、解三角形
第三讲 三角函数的图象与性质
1.[2021贵阳市四校第二次联考]将函数f(x)=sin(2x-π3)的图象向左平移a(a>0)个单位长度得到函数g(x)=cos 2x的图象,则a的最小值为( )
A.π3 B.5π12 C.2π3 D.π
2.[2021南昌市高三测试]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)的部分图象如图4-3-1所示,若f(π2)=f(2π3),则( )
图4-3-1
A.ω=2,φ=π6
B.ω=53,φ=5π18
C.ω=2,φ=π3
D.ω=53,φ=π6
3.[2021安徽省四校联考]函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π,将f(x)的图象向左平移π6个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则( )
A.φ=π3 B.φ=π6
C.φ=-π3 D.φ=-π6
4.[2018天津,6,5分]将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数( )
A.在区间[3π4,5π4]上单调递增
B.在区间[3π4,π]上单调递减
C.在区间[5π4,3π2]上单调递增
D.在区间[3π2,2π]上单调递减
5.[2021惠州市模拟]函数f(x)=2cos2ωx-sin2ωx+2(ω>0)的最小正周期为π,则ω=( )
A.32 B.2 C.1 D.12
6.[条件创新]函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图4-3-2所示,B,C分别为函数f(x)的图象与x轴、y轴的交点,|BC|=332.若函数f(x)的图象与直线y=54在(0,3)内的两个交点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),则f(x1+x2)=( )
A.-1 B.-2 C.-3 D.-2
图4-3-2
7.[2020惠州市二调]已知直线x=π3是函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<π2)图象的一条对称轴,则( )
A.φ=π6
B.f(x)在[0,π2]上单调递增
C.f(x)的图象向左平移π6个单位长度可得到y=2sin 2x的图象
D.f(x)的图象向左平移π12个单位长度可得到y=2sin 2x的图象
8.[2021江西省重点中学第二次联考]函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图4-3-3所示,该图象与y轴相交于点F(0,1),与x轴相交于点B,C,点M为图象最高点,且三角形MBC的面积为π,则y=f(x)图象的一个对称中心是 .(写出一个符合题意的即可)
图4-3-3
9.[2020武汉市六月模拟]已知函数f(x)=Acos2(ωx+φ)+1(A>0,ω>0,0<φ<π2)的最大值为3,f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2),其相邻两条对称轴间的距离为2,则f(1)+f(2)= .
10.[2019浙江,18,14分]设函数f(x)=sin x,x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值;
(2)求函数y=[f(x+π12)]2+[f(x+π4)]2的值域.
11.[2021四省八校联考]若θ是△ABC的一个内角,且cos θ<-13,则下列结论错误的是( )
A.sinθ<223 B.tan θ>-22
C.cos 2θ>-79 D.sin 2θ<-429
12.[2021安徽省示范高中联考]将函数f(x)=2sin(x+π3)图象上的各点横坐标缩短为原来的12,并保持纵坐标不变,得到函数h(x)的图象,若h(x1)h(x2)=-4,其中x1,x2∈[-π,π],则|x1-x2|的最大值是( )
A.π2 B.π C.54π D.32π
13.[2021洛阳市统考]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2),其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2,且函数f(x+π12)是偶函数,则下列判断正确的是( )
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)的图象关于点(7π12,0)对称
C.函数f(x)在[3π4,π]上单调递增
D.函数f(x)的图象关于直线x=-7π12对称
14.[2021山东开学质量检测改编]将函数f(x)=cos(ωx-π2)(ω>0)的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g(x)的图象,且g(0)=-1,则下列说法正确的是( )
A.g(x)为奇函数
B.g(-π2)=0
C.当ω=5时,g(x)在(0,π)上有4个零点
D.若g(x)在[0,π5]上单调递增,则ω的最大值为6
15.[2020武汉市部分学校质量监测]已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|<π2), f(π3)=1且f(π4)=-1,当ω取最小值时,函数f(x)的单调递减区间为( )
A.[π12+kπ3,π4+kπ3],k∈Z
B.[π12+2kπ,π4+2kπ],k∈Z
C.[-π12+kπ3,π12+kπ3],k∈Z
D.[-π12+2kπ,π4+2kπ],k∈Z
16.已知函数f(x)=asinωx+cos(ωx-π6)(a>0,ω>0),对于任意的x1,x2∈R,都有f(x1)+f(x2)-23≤0,若f(x)在[0,π]上的值域为[32,3],则实数ω的取值范围为( )
A.[13,12] B.[13,23]
C.[14,23] D.[14,12]
17.[2020唐山市模拟]已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0),若f(x)在[0,2π]上恰有3个极值点,则ω的取值范围是 .
18.[设问创新]已知函数f(x)=asinωx-cos ωx(a>0,ω>0)的最大值为2,则a= ,若函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=πm,m∈N.则当ω取最小整数值时,函数f(x)在(0,10)之间取得最大值的次数为 .
19.[2020武汉市六月模拟]关于函数f(x)=|cos(2x-π3)|-|sin(2x-π3)|,有下列三个结论:
①π2是函数f(x)的周期;
②函数f(x)在x∈[0,π]时的所有零点和为13π12;
③函数f(x)的值域为[-1,1].
其中所有正确结论的编号是 .
20.[2021江苏省部分学校调考]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量m=(2sin(x-A),sin A),n=(cos x,1),f(x)=m·n,且对任意x∈R,都有f(x)≤f(5π12).
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若a=23,sin B+sinC=62,求△ABC的面积.
21.[2020合肥市三检]已知函数f(x)=cos ωx(sin ωx+3cos ωx)(ω>0).
(1)求函数f(x)的值域;
(2)若方程f(x)=32在区间[0,π]上恰有两个实数解,求ω的取值范围.
22.已知x1=π3,x2=5π6是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)相邻的两个零点,若函数g(x)=|f(x)-12|在[-π4,m]上的最大值为1,则m的取值范围是( )
A.(-π4,π3] B.(-π4,π2]
C.(-π4,5π12] D.(-π4,7π12]
23.[开放题]设定义在R上的函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π12<φ<π2).给出以下四个论断:①f(x)的最小正周期为π;②f(x)在区间(-π6,0)上是增函数;③f(x)的图象关于点(π3,0)对称;④f(x)的图象关于直线x=π12对称.以其中两个论断作为条件,另两个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题(写成“p⇒q”的形式).(用到的论断都用序号表示)
24.如图4-3-4,点A,点B分别是圆心在坐标原点,半径为1和2的圆上的动点.动点A从初始位置A0(cos π3,sin π3)开始,按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动,同时点B从初始位置B0(2,0)开始,按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动.记t时刻,点A,点B的纵坐标分别为y1,y2.
(1)求t=π4时,A,B两点间的距离;
(2)若y=y1+y2,求y关于时间t(t>0)的函数关系式,并求当t∈(0,π2]时,y的取值范围.
图4-3-4
答 案
第四章 三角函数、解三角形
第三讲 三角函数的图象与性质
1.B 将函数f(x)=sin(2x-π3)的图象向左平移a(a>0)个单位长度,可得函数y=sin[2(x+a)-π3]=sin[2x+(2a-π3)]的图象,所以y=sin[2x+(2a-π3)]的图象与g(x)=cos 2x的图象重合.
因为g(x)=cos 2x=sin(2x+π2),所以2a-π3=2kπ+π2,k∈Z,即a=kπ+5π12,k∈Z,当k=0时,可得amin=5π12,故选B.
2.C 由于f(π2)=f(2π3),所以直线x=π2+2π32=7π12是函数f(x)图象的对称轴.设f(x)的最小正周期为T,由图可知34T=7π12-(-π6)=3π4,所以T=π,ω=2πT=2,故f(x)=sin(2x+φ).由于f(-π6)=sin(-π6×2+φ)=sin(φ-π3)=0,且|φ|<π2,所以φ=π3.故选C.
【易错警示】 本题容易误以为f(π)=1导致结果错误,事实上f(π)<1.
3.B 由最小正周期T=2πω=π,可得ω=2,f(x)的图象向左平移π6个单位长度后为偶函数y=2sin(2x+π3+φ)的图象,故π3+φ=kπ+π2,k∈Z,∴φ=kπ+π6,k∈Z.∵|φ|<π2,∴φ=π6,故选B.
4.A 把函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度得函数g(x)=sin[2(x-π10)+π5]=sin 2x的图象,由-π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ(k∈Z)得-π4+kπ≤x≤π4+kπ(k∈Z),令k=1,得3π4≤x≤5π4,即函数g(x)=sin 2x的一个单调递增区间为[3π4,5π4].
5.C ∵f(x)=2cos2ωx-sin2ωx+2=32cos 2ωx+52(ω>0),∴f(x)的最小正周期T=2π2ω=π,∴ω=1.
6.B 由题中图象可知A=2,且△BOC为直角三角形,所以|OC|=(332)2-(52)2=2,则f(0)=-2,则sin φ=-22,又|φ|<π2,所以φ=-π4,所以f(x)=2sin(ωx-π4).又点B(52,0)为“五点作图法”中的第三个点,所以52ω-π4=π,所以ω=π2,于是f(x)=2sin(π2x-π4).由π2x-π4=kπ+π2(k∈Z),得x=2k+32(k∈Z),所以函数y=f(x)的图象在(0,3)内的对称轴为直线x=32,则由题意知x1+x2=3,所以f(x1+x2)=f(3)=2sin(3π2-π4)=-2cosπ4=-2,故选B.
7.D 由题意可得2×π3+φ=kπ+π2(k∈Z),所以φ=kπ-π6(k∈Z),又|φ|<π2,所以φ=-π6,故选项A错误;函数的解析式为f(x)=2sin(2x-π6),若x∈[0,π2],则2x-π6∈[-π6,5π6],此时函数不具有单调性,故选项B错误;把f(x)的图象向左平移π6个单位长度可得到y=2sin[2(x+π6)-π6]=2sin(2x+π6)的图象,故选项C错误;把f(x)的图象向左平移π12个单位长度可得到y=2sin[2(x+π12)-π6]=2sin 2x的图象,故选项D正确.
8.(-7π6,0)(答案不唯一) 由已知得S△MBC=12×2×BC=BC=π,所以最小正周期T=2π=2πω,ω=1.由f(0)=2sin φ=1,得sin φ=12.因为0<φ<π2,所以φ=π6.所以f(x)=2sin(x+π6).令x+π6=kπ,得x=kπ-π6,k∈Z.
故y=f(x)图象的对称中心是(kπ-π6,0),k∈Z.
不妨取k=-1,则y=f(x)图象的一个对称中心是(-7π6,0).
(本题答案不唯一,填(-7π6,0),(-π6,0),(5π6,0),…均可)
9.3 由函数f(x)=Acos2(ωx+φ)+1(A>0)的最大值为3,可得A=2,则f(x)=2cos2(ωx+φ)+1=cos(2ωx+2φ)+2,其图象与y轴的交点为(0,2),则f(0)=cos 2φ+2=2,即cos 2φ=0,又0<φ<π2,所以φ=π4.又其相邻两条对称轴间的距离为2,故函数f(x)的最小正周期T=4,即2π2ω=4,所以ω=π4,f(x)=cos(π2x+π2)+2=-sin(π2x)+2,则f(1)+f(2)=1+2=3.
10.(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),
即sin xcosθ+cosxsinθ=-sin xcosθ+cosxsinθ,
故2sin xcosθ=0,所以cos θ=0.
又θ∈[0,2π),因此θ=π2或3π2.
(2)y=[f(x+π12)]2+[f(x+π4)]2
=sin2(x+π12)+sin2(x+π4)
=1-cos(2x+π6)2+1-cos(2x+π2)2
=1-12(32cos 2x-32sin 2x)
=1-32cos(2x+π3).
因此,函数的值域是[1-32,1+32].
11.D 因为θ是△ABC的一个内角,且cos θ<-13,所以π2<θ<π.设cos φ=-13(π2<φ<π),则sin φ=223,tan φ=sinφcosφ=-22.因为函数y=cos x在(π2,π)上单调递减,所以由cos θ<-13=cos φ,得π2<φ<θ<π.对于A,因为函数y=sin x在(π2,π)上单调递减,所以sin θtan φ,即tan θ>-22,故B正确;对于C,因为cos θ<-13,所以cos2θ>19,所以cos 2θ=2cos2θ-1>2×19-1=-79,故C正确;对于D,sin 2θ=2sin θcosθ,当cos θ=-223时,sin θ=13,sin 2θ=2×13×(-223)=-429,故D不正确.综上,选D.
12.D 解法一 由题意可知h(x)=2sin(2x+π3),所以-2≤h(x)≤2,因为h(x1)h(x2)=-4,所以h(x1)=2,h(x2)=-2或h(x1)=-2,h(x2)=2.当h(x1)=2,h(x2)=-2时,2x1+π3=2k1π+π2(k1∈Z),即x1=k1π+π12(k1∈Z),2x2+π3=2k2π-π2(k2∈Z),即x2=k2π-5π12(k2∈Z),因为x1,x2∈[-π,π],所以x1=-11π12或x1=π12,x2=-5π12或x2=7π12,所以当x1=-11π12,x2=7π12时,|x1-x2|取得最大值,最大值是3π2.同理,当h(x1)=-2,h(x2)=2时,|x1-x2|的最大值也是3π2.故选D.
解法二 由题意可知h(x)=2sin(2x+π3),所以-2≤h(x)≤2,因为h(x1)h(x2)=-4,所以h(x1)=2,h(x2)=-2或h(x1)=-2,h(x2)=2.因为函数h(x)的最小正周期T=π,当x∈[-π,π]时,h(x)有两个周期,即出现两次最大值和最小值,所以|x1-x2|的最大值为32T=32π.故选D.
13.C 解法一 因为函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2,所以最小正周期T=π,ω=2πT=2,所以f(x)=sin(2x+φ),f(x+π12)=sin[2(x+π12)+φ]=sin(2x+π6+φ),因为f(x+π12)是偶函数,所以π6+φ=π2+kπ,k∈Z,故φ=kπ+π3,k∈Z,又|φ|<π2,所以φ=π3,所以f(x)=sin(2x+π3).函数f(x)的最小正周期为π,故选项A错误;因为f(7π12)=sin3π2=-1,选项B错误;因为当3π4≤x≤π时,11π6≤2x+π3≤7π3,所以f(x)=sin(2x+π3)在[3π4,π]上单调递增,选项C正确;因为f(-7π12)=sin(-5π6)=-12,所以选项D错误.故选C.
解法二 因为函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2,所以最小正周期T=π,故选项A错误;因为f(x+π12)是偶函数,所以f(x+π12)=f(-x+π12),即直线x=π12是函数f(x)图象的对称轴,而7π12-π12=π2,所以直线x=7π12是函数f(x)图象的对称轴,故选项B错误;π12-(-7π12)=2π3,所以直线x=-7π12不是函数f(x)图象的对称轴,所以选项D错误.故选C.
14.B 由题意得f(x)=cos(ωx-π2)=sin ωx,则g(x)=sin ω(x-π2),g(0)=sin(-π2ω)=-1,即sinπ2ω=1,cosπ2ω=0.
对于A项,g(x)=sin(ωx-π2ω)=sin ωxcosπ2ω-cos ωxsinπ2ω=-cos ωx,又g(x)的定义域为R,故g(x)为偶函数,A错误.
对于B项,g(-π2)=-cosπ2ω=0,B正确.
对于C项,当ω=5时,g(x)=-cos 5x,由5x=π2+kπ,k∈Z,得x=π10+kπ5,k∈Z,
因为x∈(0,π),所以x可以取π10,3π10,π2,7π10,9π10,即当ω=5时,g(x)在(0,π)上有5个零点,C错误;
对于D项,由2kπ≤ωx≤2kπ+π,k∈Z,得2kπω≤x≤2kπω+πω,k∈Z,则函数g(x)在区间[2kπω,2kπω+πω](k∈Z)上单调递增,因为g(x)在[0,π5]上单调递增,所以π5≤πω,解得0<ω≤5,即ω的最大值为5,故D不正确.故选B.
15.A 因为f(x)∈[-1,3],所以(π3,1)为函数的一个对称中心,x=π4为其一条对称轴,要使ω最小,则周期最大,此时(π3,1)与x=π4为相邻对称轴与对称中心,所以π3-π4=14T=14·2πω,所以ω=6,f(π4)=2sin(6×π4+φ)+1=2sin(3π2+φ)+1=-1,因为|φ|<π2,所以φ=0,f(x)=2sin 6x+1.令2kπ+π2≤6x≤2kπ+32π,k∈Z,则kπ3+π12≤x≤kπ3+π4,k∈Z,所以f(x)的单调递减区间为[kπ3+π12,kπ3+π4],k∈Z,故选A.
16.B f(x)=asinωx+cos(ωx-π6)=asinωx+cosωxcosπ6+sin ωxsinπ6=(12+a)sin ωx+32cos ωx=(12+a)2+(32)2·sin(ωx+φ),其中tan φ=3212+a.对于任意的x1,x2∈R,都有f(x1)+f(x2)-23≤0,即f(x1)+f(x2)≤23,当且仅当f(x1)=f(x2)=f(x)max时取等号,故2(12+a)2+(32)2=23,解得a=1或a=-2(舍去),故f(x)=32sin ωx+32cos ωx=3sin(ωx+π6).因为0≤x≤π,所以π6≤ωx+π6≤ωπ+π6.又f(x)在[0,π]上的值域为[32,3],所以π2≤ωπ+π6≤5π6,解得13≤ω≤23,选B.
17.(98,138] 令t=ωx+π4,∵x∈[0,2π],ω>0,∴t∈[π4,2ωπ+π4],又f(x)在[0,2π]上恰有3个极值点,结合y=sin t的图象得5π2<2ωπ+π4≤7π2,解得98<ω≤138.
【易错警示】 本题容易出现的错误解答:结合正弦函数y=sin t的图象得5π2≤2ωπ+π4<7π2,解得98≤ω<138,错误的原因是未注意到极值点不能在区间的端点处.
18.3 3 f(x)=asinωx-cos ωx=a2+1sin(ωx-φ),其中tan φ=1a.由于f(x)的最大值为2,则a2+1=2,得a=3(a=-3舍去),tan φ=13,不妨取φ=π6,则f(x)=2sin(ωx-π6),由题意得ω·πm-π6=kπ+π2(k∈Z),则ωmπ=kπ+2π3(k∈Z),即ω=m(k+23)(k∈Z),由于m∈N,则ω的最小整数值为2,此时f(x)=2sin(2x-π6).当2x-π6=π2+2kπ,k∈Z,即x=π3+kπ,k∈Z时,函数f(x)取得最大值.当k=0时,x=π3∈(0,10);当k=1时,x=4π3∈(0,10);当k=2时,x=7π3∈(0,10);当k=3时,x=10π3>10.从而f(x)在(0,10)之间有3次取得最大值.
19.①③ 因为函数y=|cos(2x-π3)|和y=|sin(2x-π3)|的最小正周期均为π2,所以π2是函数f(x)=|cos(2x-π3)|-|sin(2x-π3)|的一个周期,所以①正确;令f(x)=|cos(2x-π3)|-|sin(2x-π3)|=0,即|cos(2x-π3)|=|sin(2x-π3)|,|sin(2x-π3)||cos(2x-π3)|=|sin(2x-π3)cos(2x-π3)|=1,即|tan(2x-π3)|=1,去绝对值符号得tan(2x-π3)=1或tan(2x-π3)=-1,所以2x-π3=π4+kπ或2x-π3=-π4+kπ,k∈Z,即x=724π+kπ2或x=124π+kπ2,k∈Z,又x∈[0,π],所以x1=7π24,x2=19π24,x3=π24,x4=13π24,所以所有零点和为5π3,所以②错误;令2x-π3=t,则函数f(x)=|cos(2x-π3)|-|sin(2x-π3)|的值域转化为函数g(t)=|cos t|-|sin t|的值域,且函数g(t)的周期为π,因此考虑t∈[0,π]即可,所以g(t)=|cos t|-|sin t|=cost-sint,0≤t≤π2,-cost-sint,π2
20.(1)由题意可得,f(x)=m·n=2sin(x-A)·cos x+sinA=2(sin x·cosA-cos x·sinA)·cos x+sinA=2sin x·cosx·cosA-2cos2x·sin A+sinA=2sin x·cosx·cosA-(2cos2x-1)·sin A=sin 2x·cos A-cos 2x·sin A=sin(2x-A),则f(5π12)=sin(5π6-A)=1,所以5π6-A=2kπ+π2(k∈Z),因为A∈(0,π),所以5π6-A∈(-π6,5π6),所以5π6-A=π2,即A=π3,所以f(x)=sin(2x-π3),令2k'π-π2≤2x-π3≤2k'π+π2(k'∈Z),
解得k'π-π12≤x≤k'π+5π12(k'∈Z),
所以f(x)的单调递增区间为[k'π-π12,k'π+5π12](k'∈Z).
(2)在△ABC中,由正弦定理asinA=bsinB=csinC,得b+c=asinA(sin B+sinC)=26,
所以b2+c2+2bc=24 ①,
由余弦定理得b2+c2-a2=2bccos A,得b2+c2-bc=12 ②,
由①②解得bc=4,
所以△ABC的面积为12bcsin A=12×4×32=3.
21.(1)f(x)=cos ωx(sin ωx+3cos ωx)=12sin 2ωx+32(1+cos 2ωx)=sin(2ωx+π3)+32.
由-1≤sin(2ωx+π3)≤1,得f(x)的值域是[32-1,32+1].
(2)∵0≤x≤π,ω>0,∴π3≤2ωx+π3≤2ωπ+π3,
由正弦函数的图象可知,要使f(x)=32在区间[0,π]上恰有两个实数解,必须2π≤2ωπ+π3<3π,
解得56≤ω<43.
22.C 设函数f(x)的最小正周期为T,由题意可得T2=5π6-π3,则T=π,所以2πω=π,所以ω=2,则f(x)=sin(2x+φ).令x=π3,则2×π3+φ=kπ,k∈Z,即φ=kπ-2π3,k∈Z,又0<φ<π2,所以φ=π3,所以f(x)=sin(2x+π3).因为函数g(x)=|f(x)-12|在[-π4,m]上的最大值为1,且当x∈[-π4,m]时,-π6≤2x+π3≤2m+π3,所以-π6<2m+π3≤7π6,所以-π4
24.(1)连接OA,OB,AB,当t=π4时,∠xOA=π2+π3=5π6,∠xOB=π2,所以在△AOB中,∠AOB=2π3.
又OA=1,OB=2,所以AB2=12+22-2×1×2cos 2π3=7,
所以A,B两点间的距离为7.
(2)依题意,y1=sin(2t+π3),y2=-2sin 2t,
所以y=sin(2t+π3)-2sin 2t=32cos 2t-32sin 2t=3cos(2t+π3),
即函数关系式为y=3cos(2t+π3)(t>0),
当t∈(0,π2]时,2t+π3∈(π3,4π3],所以cos(2t+π3)∈[-1,12),故当t∈(0,π2]时,y∈[-3,32).
第四章 三角函数、解三角形
第三讲 三角函数的图象与性质
1.[2021贵阳市四校第二次联考]将函数f(x)=sin(2x-π3)的图象向左平移a(a>0)个单位长度得到函数g(x)=cos 2x的图象,则a的最小值为( )
A.π3 B.5π12 C.2π3 D.π
2.[2021南昌市高三测试]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)的部分图象如图4-3-1所示,若f(π2)=f(2π3),则( )
图4-3-1
A.ω=2,φ=π6
B.ω=53,φ=5π18
C.ω=2,φ=π3
D.ω=53,φ=π6
3.[2021安徽省四校联考]函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π,将f(x)的图象向左平移π6个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则( )
A.φ=π3 B.φ=π6
C.φ=-π3 D.φ=-π6
4.[2018天津,6,5分]将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数( )
A.在区间[3π4,5π4]上单调递增
B.在区间[3π4,π]上单调递减
C.在区间[5π4,3π2]上单调递增
D.在区间[3π2,2π]上单调递减
5.[2021惠州市模拟]函数f(x)=2cos2ωx-sin2ωx+2(ω>0)的最小正周期为π,则ω=( )
A.32 B.2 C.1 D.12
6.[条件创新]函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图4-3-2所示,B,C分别为函数f(x)的图象与x轴、y轴的交点,|BC|=332.若函数f(x)的图象与直线y=54在(0,3)内的两个交点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),则f(x1+x2)=( )
A.-1 B.-2 C.-3 D.-2
图4-3-2
7.[2020惠州市二调]已知直线x=π3是函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<π2)图象的一条对称轴,则( )
A.φ=π6
B.f(x)在[0,π2]上单调递增
C.f(x)的图象向左平移π6个单位长度可得到y=2sin 2x的图象
D.f(x)的图象向左平移π12个单位长度可得到y=2sin 2x的图象
8.[2021江西省重点中学第二次联考]函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图4-3-3所示,该图象与y轴相交于点F(0,1),与x轴相交于点B,C,点M为图象最高点,且三角形MBC的面积为π,则y=f(x)图象的一个对称中心是 .(写出一个符合题意的即可)
图4-3-3
9.[2020武汉市六月模拟]已知函数f(x)=Acos2(ωx+φ)+1(A>0,ω>0,0<φ<π2)的最大值为3,f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2),其相邻两条对称轴间的距离为2,则f(1)+f(2)= .
10.[2019浙江,18,14分]设函数f(x)=sin x,x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值;
(2)求函数y=[f(x+π12)]2+[f(x+π4)]2的值域.
11.[2021四省八校联考]若θ是△ABC的一个内角,且cos θ<-13,则下列结论错误的是( )
A.sinθ<223 B.tan θ>-22
C.cos 2θ>-79 D.sin 2θ<-429
12.[2021安徽省示范高中联考]将函数f(x)=2sin(x+π3)图象上的各点横坐标缩短为原来的12,并保持纵坐标不变,得到函数h(x)的图象,若h(x1)h(x2)=-4,其中x1,x2∈[-π,π],则|x1-x2|的最大值是( )
A.π2 B.π C.54π D.32π
13.[2021洛阳市统考]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2),其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2,且函数f(x+π12)是偶函数,则下列判断正确的是( )
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)的图象关于点(7π12,0)对称
C.函数f(x)在[3π4,π]上单调递增
D.函数f(x)的图象关于直线x=-7π12对称
14.[2021山东开学质量检测改编]将函数f(x)=cos(ωx-π2)(ω>0)的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g(x)的图象,且g(0)=-1,则下列说法正确的是( )
A.g(x)为奇函数
B.g(-π2)=0
C.当ω=5时,g(x)在(0,π)上有4个零点
D.若g(x)在[0,π5]上单调递增,则ω的最大值为6
15.[2020武汉市部分学校质量监测]已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|<π2), f(π3)=1且f(π4)=-1,当ω取最小值时,函数f(x)的单调递减区间为( )
A.[π12+kπ3,π4+kπ3],k∈Z
B.[π12+2kπ,π4+2kπ],k∈Z
C.[-π12+kπ3,π12+kπ3],k∈Z
D.[-π12+2kπ,π4+2kπ],k∈Z
16.已知函数f(x)=asinωx+cos(ωx-π6)(a>0,ω>0),对于任意的x1,x2∈R,都有f(x1)+f(x2)-23≤0,若f(x)在[0,π]上的值域为[32,3],则实数ω的取值范围为( )
A.[13,12] B.[13,23]
C.[14,23] D.[14,12]
17.[2020唐山市模拟]已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0),若f(x)在[0,2π]上恰有3个极值点,则ω的取值范围是 .
18.[设问创新]已知函数f(x)=asinωx-cos ωx(a>0,ω>0)的最大值为2,则a= ,若函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=πm,m∈N.则当ω取最小整数值时,函数f(x)在(0,10)之间取得最大值的次数为 .
19.[2020武汉市六月模拟]关于函数f(x)=|cos(2x-π3)|-|sin(2x-π3)|,有下列三个结论:
①π2是函数f(x)的周期;
②函数f(x)在x∈[0,π]时的所有零点和为13π12;
③函数f(x)的值域为[-1,1].
其中所有正确结论的编号是 .
20.[2021江苏省部分学校调考]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量m=(2sin(x-A),sin A),n=(cos x,1),f(x)=m·n,且对任意x∈R,都有f(x)≤f(5π12).
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若a=23,sin B+sinC=62,求△ABC的面积.
21.[2020合肥市三检]已知函数f(x)=cos ωx(sin ωx+3cos ωx)(ω>0).
(1)求函数f(x)的值域;
(2)若方程f(x)=32在区间[0,π]上恰有两个实数解,求ω的取值范围.
22.已知x1=π3,x2=5π6是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)相邻的两个零点,若函数g(x)=|f(x)-12|在[-π4,m]上的最大值为1,则m的取值范围是( )
A.(-π4,π3] B.(-π4,π2]
C.(-π4,5π12] D.(-π4,7π12]
23.[开放题]设定义在R上的函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π12<φ<π2).给出以下四个论断:①f(x)的最小正周期为π;②f(x)在区间(-π6,0)上是增函数;③f(x)的图象关于点(π3,0)对称;④f(x)的图象关于直线x=π12对称.以其中两个论断作为条件,另两个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题(写成“p⇒q”的形式).(用到的论断都用序号表示)
24.如图4-3-4,点A,点B分别是圆心在坐标原点,半径为1和2的圆上的动点.动点A从初始位置A0(cos π3,sin π3)开始,按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动,同时点B从初始位置B0(2,0)开始,按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动.记t时刻,点A,点B的纵坐标分别为y1,y2.
(1)求t=π4时,A,B两点间的距离;
(2)若y=y1+y2,求y关于时间t(t>0)的函数关系式,并求当t∈(0,π2]时,y的取值范围.
图4-3-4
答 案
第四章 三角函数、解三角形
第三讲 三角函数的图象与性质
1.B 将函数f(x)=sin(2x-π3)的图象向左平移a(a>0)个单位长度,可得函数y=sin[2(x+a)-π3]=sin[2x+(2a-π3)]的图象,所以y=sin[2x+(2a-π3)]的图象与g(x)=cos 2x的图象重合.
因为g(x)=cos 2x=sin(2x+π2),所以2a-π3=2kπ+π2,k∈Z,即a=kπ+5π12,k∈Z,当k=0时,可得amin=5π12,故选B.
2.C 由于f(π2)=f(2π3),所以直线x=π2+2π32=7π12是函数f(x)图象的对称轴.设f(x)的最小正周期为T,由图可知34T=7π12-(-π6)=3π4,所以T=π,ω=2πT=2,故f(x)=sin(2x+φ).由于f(-π6)=sin(-π6×2+φ)=sin(φ-π3)=0,且|φ|<π2,所以φ=π3.故选C.
【易错警示】 本题容易误以为f(π)=1导致结果错误,事实上f(π)<1.
3.B 由最小正周期T=2πω=π,可得ω=2,f(x)的图象向左平移π6个单位长度后为偶函数y=2sin(2x+π3+φ)的图象,故π3+φ=kπ+π2,k∈Z,∴φ=kπ+π6,k∈Z.∵|φ|<π2,∴φ=π6,故选B.
4.A 把函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度得函数g(x)=sin[2(x-π10)+π5]=sin 2x的图象,由-π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ(k∈Z)得-π4+kπ≤x≤π4+kπ(k∈Z),令k=1,得3π4≤x≤5π4,即函数g(x)=sin 2x的一个单调递增区间为[3π4,5π4].
5.C ∵f(x)=2cos2ωx-sin2ωx+2=32cos 2ωx+52(ω>0),∴f(x)的最小正周期T=2π2ω=π,∴ω=1.
6.B 由题中图象可知A=2,且△BOC为直角三角形,所以|OC|=(332)2-(52)2=2,则f(0)=-2,则sin φ=-22,又|φ|<π2,所以φ=-π4,所以f(x)=2sin(ωx-π4).又点B(52,0)为“五点作图法”中的第三个点,所以52ω-π4=π,所以ω=π2,于是f(x)=2sin(π2x-π4).由π2x-π4=kπ+π2(k∈Z),得x=2k+32(k∈Z),所以函数y=f(x)的图象在(0,3)内的对称轴为直线x=32,则由题意知x1+x2=3,所以f(x1+x2)=f(3)=2sin(3π2-π4)=-2cosπ4=-2,故选B.
7.D 由题意可得2×π3+φ=kπ+π2(k∈Z),所以φ=kπ-π6(k∈Z),又|φ|<π2,所以φ=-π6,故选项A错误;函数的解析式为f(x)=2sin(2x-π6),若x∈[0,π2],则2x-π6∈[-π6,5π6],此时函数不具有单调性,故选项B错误;把f(x)的图象向左平移π6个单位长度可得到y=2sin[2(x+π6)-π6]=2sin(2x+π6)的图象,故选项C错误;把f(x)的图象向左平移π12个单位长度可得到y=2sin[2(x+π12)-π6]=2sin 2x的图象,故选项D正确.
8.(-7π6,0)(答案不唯一) 由已知得S△MBC=12×2×BC=BC=π,所以最小正周期T=2π=2πω,ω=1.由f(0)=2sin φ=1,得sin φ=12.因为0<φ<π2,所以φ=π6.所以f(x)=2sin(x+π6).令x+π6=kπ,得x=kπ-π6,k∈Z.
故y=f(x)图象的对称中心是(kπ-π6,0),k∈Z.
不妨取k=-1,则y=f(x)图象的一个对称中心是(-7π6,0).
(本题答案不唯一,填(-7π6,0),(-π6,0),(5π6,0),…均可)
9.3 由函数f(x)=Acos2(ωx+φ)+1(A>0)的最大值为3,可得A=2,则f(x)=2cos2(ωx+φ)+1=cos(2ωx+2φ)+2,其图象与y轴的交点为(0,2),则f(0)=cos 2φ+2=2,即cos 2φ=0,又0<φ<π2,所以φ=π4.又其相邻两条对称轴间的距离为2,故函数f(x)的最小正周期T=4,即2π2ω=4,所以ω=π4,f(x)=cos(π2x+π2)+2=-sin(π2x)+2,则f(1)+f(2)=1+2=3.
10.(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),
即sin xcosθ+cosxsinθ=-sin xcosθ+cosxsinθ,
故2sin xcosθ=0,所以cos θ=0.
又θ∈[0,2π),因此θ=π2或3π2.
(2)y=[f(x+π12)]2+[f(x+π4)]2
=sin2(x+π12)+sin2(x+π4)
=1-cos(2x+π6)2+1-cos(2x+π2)2
=1-12(32cos 2x-32sin 2x)
=1-32cos(2x+π3).
因此,函数的值域是[1-32,1+32].
11.D 因为θ是△ABC的一个内角,且cos θ<-13,所以π2<θ<π.设cos φ=-13(π2<φ<π),则sin φ=223,tan φ=sinφcosφ=-22.因为函数y=cos x在(π2,π)上单调递减,所以由cos θ<-13=cos φ,得π2<φ<θ<π.对于A,因为函数y=sin x在(π2,π)上单调递减,所以sin θ
12.D 解法一 由题意可知h(x)=2sin(2x+π3),所以-2≤h(x)≤2,因为h(x1)h(x2)=-4,所以h(x1)=2,h(x2)=-2或h(x1)=-2,h(x2)=2.当h(x1)=2,h(x2)=-2时,2x1+π3=2k1π+π2(k1∈Z),即x1=k1π+π12(k1∈Z),2x2+π3=2k2π-π2(k2∈Z),即x2=k2π-5π12(k2∈Z),因为x1,x2∈[-π,π],所以x1=-11π12或x1=π12,x2=-5π12或x2=7π12,所以当x1=-11π12,x2=7π12时,|x1-x2|取得最大值,最大值是3π2.同理,当h(x1)=-2,h(x2)=2时,|x1-x2|的最大值也是3π2.故选D.
解法二 由题意可知h(x)=2sin(2x+π3),所以-2≤h(x)≤2,因为h(x1)h(x2)=-4,所以h(x1)=2,h(x2)=-2或h(x1)=-2,h(x2)=2.因为函数h(x)的最小正周期T=π,当x∈[-π,π]时,h(x)有两个周期,即出现两次最大值和最小值,所以|x1-x2|的最大值为32T=32π.故选D.
13.C 解法一 因为函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2,所以最小正周期T=π,ω=2πT=2,所以f(x)=sin(2x+φ),f(x+π12)=sin[2(x+π12)+φ]=sin(2x+π6+φ),因为f(x+π12)是偶函数,所以π6+φ=π2+kπ,k∈Z,故φ=kπ+π3,k∈Z,又|φ|<π2,所以φ=π3,所以f(x)=sin(2x+π3).函数f(x)的最小正周期为π,故选项A错误;因为f(7π12)=sin3π2=-1,选项B错误;因为当3π4≤x≤π时,11π6≤2x+π3≤7π3,所以f(x)=sin(2x+π3)在[3π4,π]上单调递增,选项C正确;因为f(-7π12)=sin(-5π6)=-12,所以选项D错误.故选C.
解法二 因为函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2,所以最小正周期T=π,故选项A错误;因为f(x+π12)是偶函数,所以f(x+π12)=f(-x+π12),即直线x=π12是函数f(x)图象的对称轴,而7π12-π12=π2,所以直线x=7π12是函数f(x)图象的对称轴,故选项B错误;π12-(-7π12)=2π3,所以直线x=-7π12不是函数f(x)图象的对称轴,所以选项D错误.故选C.
14.B 由题意得f(x)=cos(ωx-π2)=sin ωx,则g(x)=sin ω(x-π2),g(0)=sin(-π2ω)=-1,即sinπ2ω=1,cosπ2ω=0.
对于A项,g(x)=sin(ωx-π2ω)=sin ωxcosπ2ω-cos ωxsinπ2ω=-cos ωx,又g(x)的定义域为R,故g(x)为偶函数,A错误.
对于B项,g(-π2)=-cosπ2ω=0,B正确.
对于C项,当ω=5时,g(x)=-cos 5x,由5x=π2+kπ,k∈Z,得x=π10+kπ5,k∈Z,
因为x∈(0,π),所以x可以取π10,3π10,π2,7π10,9π10,即当ω=5时,g(x)在(0,π)上有5个零点,C错误;
对于D项,由2kπ≤ωx≤2kπ+π,k∈Z,得2kπω≤x≤2kπω+πω,k∈Z,则函数g(x)在区间[2kπω,2kπω+πω](k∈Z)上单调递增,因为g(x)在[0,π5]上单调递增,所以π5≤πω,解得0<ω≤5,即ω的最大值为5,故D不正确.故选B.
15.A 因为f(x)∈[-1,3],所以(π3,1)为函数的一个对称中心,x=π4为其一条对称轴,要使ω最小,则周期最大,此时(π3,1)与x=π4为相邻对称轴与对称中心,所以π3-π4=14T=14·2πω,所以ω=6,f(π4)=2sin(6×π4+φ)+1=2sin(3π2+φ)+1=-1,因为|φ|<π2,所以φ=0,f(x)=2sin 6x+1.令2kπ+π2≤6x≤2kπ+32π,k∈Z,则kπ3+π12≤x≤kπ3+π4,k∈Z,所以f(x)的单调递减区间为[kπ3+π12,kπ3+π4],k∈Z,故选A.
16.B f(x)=asinωx+cos(ωx-π6)=asinωx+cosωxcosπ6+sin ωxsinπ6=(12+a)sin ωx+32cos ωx=(12+a)2+(32)2·sin(ωx+φ),其中tan φ=3212+a.对于任意的x1,x2∈R,都有f(x1)+f(x2)-23≤0,即f(x1)+f(x2)≤23,当且仅当f(x1)=f(x2)=f(x)max时取等号,故2(12+a)2+(32)2=23,解得a=1或a=-2(舍去),故f(x)=32sin ωx+32cos ωx=3sin(ωx+π6).因为0≤x≤π,所以π6≤ωx+π6≤ωπ+π6.又f(x)在[0,π]上的值域为[32,3],所以π2≤ωπ+π6≤5π6,解得13≤ω≤23,选B.
17.(98,138] 令t=ωx+π4,∵x∈[0,2π],ω>0,∴t∈[π4,2ωπ+π4],又f(x)在[0,2π]上恰有3个极值点,结合y=sin t的图象得5π2<2ωπ+π4≤7π2,解得98<ω≤138.
【易错警示】 本题容易出现的错误解答:结合正弦函数y=sin t的图象得5π2≤2ωπ+π4<7π2,解得98≤ω<138,错误的原因是未注意到极值点不能在区间的端点处.
18.3 3 f(x)=asinωx-cos ωx=a2+1sin(ωx-φ),其中tan φ=1a.由于f(x)的最大值为2,则a2+1=2,得a=3(a=-3舍去),tan φ=13,不妨取φ=π6,则f(x)=2sin(ωx-π6),由题意得ω·πm-π6=kπ+π2(k∈Z),则ωmπ=kπ+2π3(k∈Z),即ω=m(k+23)(k∈Z),由于m∈N,则ω的最小整数值为2,此时f(x)=2sin(2x-π6).当2x-π6=π2+2kπ,k∈Z,即x=π3+kπ,k∈Z时,函数f(x)取得最大值.当k=0时,x=π3∈(0,10);当k=1时,x=4π3∈(0,10);当k=2时,x=7π3∈(0,10);当k=3时,x=10π3>10.从而f(x)在(0,10)之间有3次取得最大值.
19.①③ 因为函数y=|cos(2x-π3)|和y=|sin(2x-π3)|的最小正周期均为π2,所以π2是函数f(x)=|cos(2x-π3)|-|sin(2x-π3)|的一个周期,所以①正确;令f(x)=|cos(2x-π3)|-|sin(2x-π3)|=0,即|cos(2x-π3)|=|sin(2x-π3)|,|sin(2x-π3)||cos(2x-π3)|=|sin(2x-π3)cos(2x-π3)|=1,即|tan(2x-π3)|=1,去绝对值符号得tan(2x-π3)=1或tan(2x-π3)=-1,所以2x-π3=π4+kπ或2x-π3=-π4+kπ,k∈Z,即x=724π+kπ2或x=124π+kπ2,k∈Z,又x∈[0,π],所以x1=7π24,x2=19π24,x3=π24,x4=13π24,所以所有零点和为5π3,所以②错误;令2x-π3=t,则函数f(x)=|cos(2x-π3)|-|sin(2x-π3)|的值域转化为函数g(t)=|cos t|-|sin t|的值域,且函数g(t)的周期为π,因此考虑t∈[0,π]即可,所以g(t)=|cos t|-|sin t|=cost-sint,0≤t≤π2,-cost-sint,π2
20.(1)由题意可得,f(x)=m·n=2sin(x-A)·cos x+sinA=2(sin x·cosA-cos x·sinA)·cos x+sinA=2sin x·cosx·cosA-2cos2x·sin A+sinA=2sin x·cosx·cosA-(2cos2x-1)·sin A=sin 2x·cos A-cos 2x·sin A=sin(2x-A),则f(5π12)=sin(5π6-A)=1,所以5π6-A=2kπ+π2(k∈Z),因为A∈(0,π),所以5π6-A∈(-π6,5π6),所以5π6-A=π2,即A=π3,所以f(x)=sin(2x-π3),令2k'π-π2≤2x-π3≤2k'π+π2(k'∈Z),
解得k'π-π12≤x≤k'π+5π12(k'∈Z),
所以f(x)的单调递增区间为[k'π-π12,k'π+5π12](k'∈Z).
(2)在△ABC中,由正弦定理asinA=bsinB=csinC,得b+c=asinA(sin B+sinC)=26,
所以b2+c2+2bc=24 ①,
由余弦定理得b2+c2-a2=2bccos A,得b2+c2-bc=12 ②,
由①②解得bc=4,
所以△ABC的面积为12bcsin A=12×4×32=3.
21.(1)f(x)=cos ωx(sin ωx+3cos ωx)=12sin 2ωx+32(1+cos 2ωx)=sin(2ωx+π3)+32.
由-1≤sin(2ωx+π3)≤1,得f(x)的值域是[32-1,32+1].
(2)∵0≤x≤π,ω>0,∴π3≤2ωx+π3≤2ωπ+π3,
由正弦函数的图象可知,要使f(x)=32在区间[0,π]上恰有两个实数解,必须2π≤2ωπ+π3<3π,
解得56≤ω<43.
22.C 设函数f(x)的最小正周期为T,由题意可得T2=5π6-π3,则T=π,所以2πω=π,所以ω=2,则f(x)=sin(2x+φ).令x=π3,则2×π3+φ=kπ,k∈Z,即φ=kπ-2π3,k∈Z,又0<φ<π2,所以φ=π3,所以f(x)=sin(2x+π3).因为函数g(x)=|f(x)-12|在[-π4,m]上的最大值为1,且当x∈[-π4,m]时,-π6≤2x+π3≤2m+π3,所以-π6<2m+π3≤7π6,所以-π4
24.(1)连接OA,OB,AB,当t=π4时,∠xOA=π2+π3=5π6,∠xOB=π2,所以在△AOB中,∠AOB=2π3.
又OA=1,OB=2,所以AB2=12+22-2×1×2cos 2π3=7,
所以A,B两点间的距离为7.
(2)依题意,y1=sin(2t+π3),y2=-2sin 2t,
所以y=sin(2t+π3)-2sin 2t=32cos 2t-32sin 2t=3cos(2t+π3),
即函数关系式为y=3cos(2t+π3)(t>0),
当t∈(0,π2]时,2t+π3∈(π3,4π3],所以cos(2t+π3)∈[-1,12),故当t∈(0,π2]时,y∈[-3,32).
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