全国统考2022版高考数学大一轮复习第5章平面向量第2讲平面向量的数量积及应用1备考试题（含解析）

第五章　平面向量

第二讲　平面向量的数量积及应用

练好题·考点自测 

1.下列说法正确的个数为 (　　)

(1)向量在另一个向量方向上的投影是数量,而不是向量.

(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量.

(3)由a·b=0可得a=0或b=0.

(4)(a·b)·c=a·(b·c).

(5)两个向量的夹角的范围是[0,].

A.2 B.3 C.4 D.5

2.[易错题]已知两个非零向量a与b的夹角为θ,则“a·b>0”是“θ为锐角”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.[2019全国卷Ⅱ,3,5分]已知=(2,3),=(3,t),||=1,则·= (　　)

A.-3 B.-2 C.2 D.3

4.[2020全国卷Ⅲ,6,5分]已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos<a,a+b>= (　　)

A.- B.- C. D.

5.[2020山东,7,5分]已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则·的取值范围是 (　　)

A.(-2,6) B.(-6,2) 

C.(-2,4) D.(-4,6)

6.[2017全国卷Ⅱ,4,5分][文]设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则(　　)

A.a⊥b B.|a|=|b|

C.a∥b D.|a|>|b|

7.[2020全国卷Ⅰ,14,5分][文]设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m=　　　　. 

8.[2021合肥市调研检测]已知a=(1,1),b=(2,-1),则向量b在a方向上的投影等于　　　　. 

9.[2017全国卷Ⅰ,13,5分]已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=　　　　. 

拓展变式

1.(1)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上的投影是 (　　)

A.-3 B.- C.3 D.

(2)[2021大同市调研测试]在直角三角形ABC中,直角边AB=3,AC=4,则···= (　　)

A.-25 B.25 C.7 D.-7

(3)[2017天津,14,5分][文]在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ(λ∈R),且·=-4,则λ的值为　　　　. 

2.(1)[2021安徽省四校联考]已知向量a=(-1,m),2a+b=(2,3+2m),且(a+b)⊥(a-b),则实数m的值为　　　　. 

(2)[2020全国卷Ⅰ,14,5分]设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=　　　　. 

(3)[2019全国卷Ⅲ,13,5分]已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2ab,则cos<a,c>=　　　　. 

3.[2020成都市高三模拟]△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若向量m=(a,-cos A),n=(cos C,b-c),且m·n=0,则角A的大小为              (　　)

A. B. C. D.

4.[新课标全国Ⅰ,5分]已知M(x0,y0)是双曲线C:y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是              (　　)

A.(-,) B.(-,) 

C.(-,) D.(-,)

5.(1)[湖南高考,5分][文]已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则||的最大值为 (　　)

A.6 B.7 C.8 D.9

(2)[2020天津,15,5分]如图5-2-11,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且=λ,·=,则实数λ的值为　　　　,若M,N是线段BC上的动点,且||=1,则·的最小值为　　　　. 

图5-2-11

答  案

第五章　平面向量

第二讲　平面向量的数量积及应用

1.A　对于(1),向量的投影是数量,故(1)正确;

对于(2),由数量积的定义及向量的运算法则可知,(2)正确;

对于(3),当a⊥b时,a·b=0,故(3)错误;

对于(4),向量数量积运算不满足结合律,故(4)错误;

对于(5),两个向量的夹角的范围是[0,π],故(5)错误.综上选A.

2.B　由a·b>0,可得到θ∈[0,),不能得到θ∈(0,);而由θ∈(0,),可以得到a·b>0.故选B.

3.C　因为=(1,t-3),所以||==1,解得t=3,所以=(1,0),所以·=2×1+3×0=2,故选C.

4.D　由题意,得a·(a+b)=a2+a·b=25-6=19,|a+b|==7,所以cos<a,a+b>=,故选D.

5.A　·=||·||·cos∠PAB=2||cos∠PAB,又||cos∠PAB表示在方向上的投影,所以结合图形可知,当P与C重合时投影最大,当P与F重合时投影最小.又·=2×2×cos 30°=6,·=2×2×cos 120°=-2,故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时,·∈(-2,6),故选A.

6.A　依题意得(a+b)2-(a-b)2=0,所以4a·b=0,即a⊥b,选A.

7.5　因为a⊥b,所以a·b=m+1-(2m-4)=0,所以m=5.

8.　由题意,得b在a方向上的投影为.

9.2　易知|a+2b|==2.

1.(1)A　依题意,得=(-2,-1),=(5,5),所以·=-15,||=,因此向量在方向上的投影是=-3,故选A.

(2)A　解法一　在直角三角形ABC中,因为AB=3,AC=4,所以BC=5,于是····()+0==-25,故选A.

解法二　以A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为x轴,y轴建立如图D 5-2-1所示平面直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),C(0,4), =(3,0),=(0,-4),=(-3,4),所以···=3×(-3)+0×4+(-3)×0+4×(-4)+0×3+(-4)×0=-25,故选A.

图D 5-2-1

(3)　解法一　()=.又·=3×2×=3,所以·=()·(+λ)=|2+(λ)·λ|| 2=-3+3(λ)+λ×4=λ-5=-4,则λ=.

解法二　以点A为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系,不妨假设点C在第一象限,则A(0,0),B(3,0),C(1,).由=2,得D(,),由=λ,得E(λ-3,λ),则·=(,)·(λ-3,λ)=(λ-3)+λ=λ-5=-4,则λ=.

2.(1)±2　解法一　由题意,得b=(2,3+2m)-2(-1,m)=(4,3),因为(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0,所以|a|=|b|,即=5,解得m=±2.

解法二　因为a+b=2a+b-a=(2,3+2m)-(-1,m)=(3,3+m), a-b=3a-(2a+b)=3(-1,m)-(2,3+2m)=(-5,m-3),(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=3×(-5)+(3+m)×(m-3)=m2-24=0,解得m=±2.

(2)　解法一　∵a,b为单位向量,且|a+b|=1,∴(a+b)2=1,∴1+1+2a·b=1,∴a·b=,∴|a-b|2=a2+b2-2a·b=1+1-2×()=3,∴|a-b|=.

解法二　如图D 5-2-2,设=a,=b,利用平行四边形法则得=a+b,∵|a|=|b|=|a+b|=1,∴△OAC为正三角形,∴||=|a-b|=2××|a|=.

图D 5-2-2

 (3)　设a=(1,0),b=(0,1),则c=(2,),所以cos<a,c>=.

3.B　解法一　由m·n=0,得acosC-(b-c)cos A=0,由正弦定理,得sin AcosC -(sin B-sin C)cos A=0,即sin AcosC+cosAsinC = sin BcosA,所以sin (A+C)=sin BcosA,所以sin (π-B)=sin BcosA,即sin B=sin BcosA.因为0<B<π,所以sin B≠0,所以cos A=,所以A=,故选B.

解法二　由m·n=0,得acosC-(b-c)cos A=0,由余弦定理,得a·bcos A+c·=0,即2b=2bcos A,因为b≠0,所以cos A =,所以A=,故选B.

4.A　由题意知a2=2,b2=1,所以c2=3,不妨设F1(,0),F2(,0),所以=(x0,-y0),=(x0,-y0),所以·3+=31<0,所以<y0<,故选A.

5.(1)B　因为A,B,C均在单位圆上,AC为直径,故=2=(-4,0),||=|2|≤2||+||,又||≤||+1=3,

所以||≤4+3=7,故||的最大值为7,选B.

(2)　　依题意得AD∥BC,∠BAD=120°,由·=||·||·cos∠BAD=|=,得||=1,因此λ=.取MN的中点E,连接DE,则=2,·[()2-()2]=.注意到线段MN在线段BC上运动时,DE的最小值等于点D到直线BC的距离,即AB·sinB=,因此的最小值为()2,即·的最小值为.