全国统考2022版高考数学大一轮复习第4章三角函数解三角形第2讲三角恒等变换2备考试题（含解析）

第四章　三角函数、解三角形

第二讲　三角恒等变换

1.[2021四省八校联考]若tan(θ-)=2,则sin 2θ的值为 (　　)

A.- B.- C. D.

2.[2021江西红色七校第一次联考]若sin(α+)=,则sin(2α+)= (　　)

A. B. C. D.

3.[2021河南省名校第一次联考]已知sin(α-)=-3cos(α-),则tan 2α= (　　)

A.-4 B.- C.4 D.

4.[2020石家庄二检]若cos α(1+tan 10°)=1,则α的一个可能值为 (　　)

A.70° B.50° C.40° D.10°

5.[条件创新]已知角α为第一象限角,sin α=,角β的终边与角α的终边关于x轴对称,则cos(β-2α)= (　　)

A. B.- C. D.

6.[2021晋南高中联考]已知α∈(,),sin α=,则tan(α+)=　　　　. 

7.[2021晋南高中联考]对任意两实数a,b,定义运算“*”:a*b=则函数f(x)=sin x*cos x的值域为.

8.[2020江苏,8,5分]已知sin2(+α)=,则sin 2α的值是　　　　. 

9.[2021浙江杭州二中、学军中学等五校联考]已知2+5cos 2α=cos α,cos(2α+β)=,α∈(0,),β∈(,2π),则cos β的值为              (　　)

A.- B. C.- D.

10.若3sin 2α-2sin2α=0,则cos(2α+)= (　　)

A.- B.或- 

C.-或 D.

 11.[角度创新]已知平面直角坐标系中,点A(1,3),B(a,b),其中点B在第一象限.若∠AOB=α,且cos 2α=sin(α-),则的值为              (　　)

A.2 B.1 C.  D.

12.[2020广东广州天河区一模]已知函数f(x)=sin(2x-),x∈(0,π),若方程f(x)=的解为x1,x2(0<x1<x2<π),则sin(x1-x2)=              (　　)

A.- B.- C.- D.-

13.[2020太原市模拟]已知α∈(0,),β∈(0,),且sin 2α(1+sin β)=cos β(1-cos 2α),则下列结论正确的是              (　　)

A.2α-β= B.2α+β=

C.α+β= D.α-β=

14.[2021黑龙江省六校联考]已知tan(α-β)=,tan β=-,且α,β∈(0,π),则2α-β=　　　　. 

15.[2020合肥模拟]已知函数f(x)=2cos(x+)cos(x-)+sin x,若对任意的实数x,恒有f(α1)≤f(x)≤f(α2),则cos(α1-α2)=　　　　. 

16.[角度创新]若sin 78°=m,则sin 6°= (　　)

A. B. C. D.

17.[向量与三角函数综合]已知向量a=(sin 2α,1),b=(cos α,1),若a∥b,0<α<,则α=　　　. 

答 案

第四章　三角函数、解三角形

第二讲　三角恒等变换

1.A　∵tan(θ)==2,∴tan θ=-3,∴sin 2θ==.故选A.

2.A　sin(2α+)=sin[2(α+)+]=cos[2(α+)]=1-2sin2(α+)=1-2×()2=,故选A.

3.A　因为sin(α)=-3cos(α),所以sin αcos α=-3×cos α-3×sin α,则2sin α=cos α,即tan α=,所以tan 2α==-4,故选A.

4.C　cos α(1+tan 10°)=cos α(1+)=cos α·=cos α·=1,即2sin 40°cos α=cos 10°=sin 80°=2sin 40°cos 40°,所以cos α=cos 40°,则α的一个可能值为40°,故选C.

5.C　因为角α为第一象限角,sin α=,所以cos α=,所以cos 2α=2cos2α-1=,sin 2α=2sin αcos α=.又角β的终边与角α的终边关于x轴对称,所以角β为第四象限角,sin β=,cos β=,由两角差的余弦公式可得cos(β-2α)=cos β·cos 2α+sin βsin 2α=+()×.故选C.

6.　由题知,cos α==,∴tan α==,∴tan(α+)==.

7.[0,2]　由题知a*b=2|a-b|,则f(x)=sin x*cos x=2|sin x-cos x|=2|sin(x)|∈[0,2].

8.　因为sin2(+α)=,所以,,得sin 2α=.

9.B　由2+5cos 2α=cos α结合二倍角公式可得,10cos2α-cos α-3=0,解得cos α=或cos α=,因为α∈(0,),所以cos α=,sin α=,所以cos 2α==,sin 2α=2sin αcos α=,所以<2α<π.因为β∈(,2π),所以2α+β∈(2π,3π),又cos(2α+β)=,所以2α+β∈(2π,),所以sin(2α+β)=,所以cos β=cos[(2α+β)-2α]=cos(2α+β)cos 2α+sin(2α+β)sin 2α=.故选B.

10.B　由题可得3sin αcos α-sin2α=0,即sin α(3cos α-sin α)=0,所以sin α=0或tan α=3.又cos(2α+)=cos 2αcossin 2α·sin(cos 2α-sin 2α),所以当sin α=0时,即α=kπ,k∈Z,则cos(2α+)=cos .当tan α=3时,cos(2α+)=()=.故选B.

11.C　由cos 2α=sin(α),得cos2α-sin2α=sin α-cos α,即(cos α+sin α+1)(sin α-cos α)=0.由于点B在第一象限,因而cos α+sin α+1≠0,故sin α-cos α=0,即tan α=1.如图D 4-2-1,设∠AOx=β,则tan β=3,所以=tan(β-α)=,故选C.

图D 4-2-1

【易错警示】　本题的易错点是考生忽略已知条件“点B在第一象限”,从而不能确定cos α+sin α+1≠0,还有部分考生不能在平面直角坐标系中确定点B在点A的下方,导致考生可能会分两种情况求解的值.

12.A　因为0<x<π,所以2x∈(,).令2x+kπ(k∈Z),可得f(x)对称轴方程为x=(k∈Z).因为方程f(x)=的解为x1,x2(0<x1<x2<π),所以,所以x2=x1,所以sin(x1-x2)=sin(2x1)=-cos(2x1).因为x1<x2,x2=x1,所以0<x1<,所以2x1∈(,).由f(x1)=sin(2x1)=,得cos(2x1)=,所以sin(x1-x2)=.故选A.

13.A　由题可知,2sin αcos α(1+sin β)=cos β·2sin2α,因为α,β∈(0,),所以sin α≠0,所以cos α(1+sin β)=cos βsin α,即cos α=sin(α-β),因为cos α=sin(+α)=sin(α),所以α-β=+α(舍)或α-β=α,即2α-β=,故选A.

14.　易知tan(2α-β)=tan[2(α-β)+β].因为tan(α-β)=,所以tan 2(α-β)=,故tan(2α-β)==1.由tan β=∈(,0),知<β<π,由tan α=tan[(α-β)+β]=∈(0,), 知0<α<,所以2α-β∈(-π,),故2α-β=.

15.　因为f(x)=2(cos xsin x)(cos x+sin x)+sin x=2(cos2xsin2x)+sin x=1-2sin2x+sin x=-2(sin x)2+,且f(x)对任意实数x恒有f(α1)≤f(x)≤f(α2),所以sin α1=-1,sin α2=.则cos α1=0,cos(α1-α2)=cos α1cos α2+sin α1sin α2=-sin α2=.

16.D　因为sin 78°=m,所以cos 12°=m,则sin26°=,又sin 6°>0,所以sin 6°=,故选D.

17.　若a∥b,则sin 2α-cos α=0,即2sin αcos α=cos α.又0<α<,∴cos α≠0,∴sin α=,∴α=.