理科数学-2021年高考高三5月全国大联考考后（强化卷（新课标Ⅱ卷）含答案解析

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2021年高三5月大联考考后强化卷（新课标Ⅱ卷）

理科数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则

A． B． C． D．

2．复数（为虚数单位），则在复平面对应的点在

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

3．下列命题中假命题的是

A．， B．，

C．， D．，

4．东京夏季奥运会推迟至2021年7月23日至8月8日举行，此次奥运会将设置4 100米男女混泳接力赛这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场.若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者蛙泳，剩下2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队参赛的安排共有

A．144种 B．8种 C．24种 D．12种

5．在古代，正四棱台也叫“方亭”，竖着切去“方亭”两个边角块，把它们合在一起是“刍甍”，图1是上底边长为a，下底边长为b的一个“方亭”，图2是由图1中的“方亭”得到的“刍甍”，已知“方亭”的体积为，“刍甍”的体积为，若（约等于0.618），被称为黄金分割比例，且恰好是方程的一个实根，台体的体积公式为，则

A． B． C． D．

6．已知非零向量满足，向量的夹角为，且，则向量与的夹角为

A． B． C． D．

7．曲线在点处的切线方程为　　

A．  B．

C．  D．

8．已知，，则不等式的解集是

A． B． C． D．

9．已知圆过抛物线的焦点，且圆心在此抛物线的准线上.若圆的圆心不在轴上，且与直线相切，则圆的半径为

A． B． C． D．

10．已知，且，则

A． B． C． D．

11．函数，的图象与直线的交点个数为

A． B． C． D．

12．若，则

A．  B．

C．  D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知实数，满足约束条件则的最小值是__________．

14．一个容量为20的样本数据，分组与频数如下表：

则样本在[10，50)内的频率为__________．

15．数列满足，，，，则数列的前n项和__________．

16．如图①，矩形中，，，是的中点，将三角形沿翻折，使得平面和平面垂直，如图②，连接，则异面直线和所成角的余弦值为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

已知在中，内角的对边分别是， ，，成等差数列.

（1）求的大小；

（2）设，求面积的最大值.

18．（12分）

某高校机器人社团决定从大一新生中招聘一批新成员.招聘分笔试、面试这两个环节.笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取.现有甲、乙、丙三名大一新生报名参加了机器人社团招聘.假设甲通过笔试、面试的概率分别为，；乙通过笔试、面试的概率分别为，，丙通过各环节的概率与甲相同.

（1）求甲、乙、丙三人中恰有两人被机器人社团录取为新成员的概率；

（2）为鼓励大一新生积极报名参加机器人社团招聘，该机器人社团决定给参加应聘的大一新生赠送一定的手机话费，赠送标准如下表：

记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为元，求的分布列和数学期望.

19．（12分）

如图1，在中，，，，，分别为，的中点，连接并延长交于点，将△沿折起，使平面平面，如图2所示.

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.

20．（12分）

已知椭圆的长轴长为4，直线被椭圆截得的线段长为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的右顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于两点（点不同于椭圆的右顶点），证明：直线过定点.

21．（12分）

已知函数．

（1）若，求的取值范围；

（2）若有两个零点，，且，证明：．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中，曲线，曲线(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）射线分别交曲线于两点，求的最大值.

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知的最小值为．

（1）求的值；

（2）已知，且，求证：．

2021年高三5月大联考考后强化卷（新课标Ⅱ卷）

理科数学·全解全析

1．【答案】A

【解析】集合，，

故，，所以.故选A.

2．【答案】B

【解析】，则，在复平面对应的点为，在第二象限，故选B．

3．【答案】D

【解析】由题意，选项A中，例如：当时，此时，所以A为真命题；

选项B中，对任意，根据指数函数的性质，可得成立，所以B为真命题；

选项C中，例如：当时，此时，满足，所以C为真命题；

选项D中，例如：当时，此时，所以D为假命题.故选D.

4．【答案】B

【解析】由题意，若甲承担仰泳，则乙运动员有种安排方法，其他两名运动员有种安排方法，共计种方法；若甲承担自由泳，则乙运动员有种安排方法，其他两名运动员有种安排方法，共计种方法.所以中国队参赛共有种不同的安排方法.故选B.

5．【答案】D

【解析】设“方亭”的高为h，则，

，

所以．设，则，即，

所以，故选D．

6．【答案】B

【解析】因为，

所以，所以与的夹角为，故选B．

7．【答案】C

【解析】由，得，，，

则曲线在点处的切线方程是，即．

故选C．

8．【答案】C

【解析】因为，，所以不等式可化为，

整理可得，解得，即，故选C．

9．【答案】D

【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，

设圆的圆心为，则圆的半径，

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，即=，

解得（舍）或，所以．故选D．

10．【答案】A

【解析】由得，

即，解得或（舍）．

因为，所以，所以．故选A．

11．【答案】C

【解析】由得，所以当时，或，

即方程有个解，即交点个数为个，故选C．

12．【答案】A

【解析】构造函数，则，所以时，，函数 单调递增，时，，函数单调递减，

又，由可得，所以将不等式两边取自然对数得，故选A．

13．【答案】

【解析】作出约束条件的可行域如图所示，

可行域围成一个封闭的三角形区域，易求出，，．

设目标函数为直线，即为，其斜率，

从而知直线在轴上的截距为，当截距有最小值时有最小值．

结合图形分析可知，当直线过点时，有最小值，即．故答案为．

14．【答案】0.7

【解析】数据落在区间[10，50)的频率为.故答案为0.7．

15．【答案】

【解析】数列满足，即数列满足，

所以数列是等差数列，设公差为d，则，解得.

所以，所以，

则数列的前n项和为，

，

相减可得：，

化为：.故答案为．

16．【答案】

【解析】如图，取的中点，作交延长线于，则是异面直线和所成角或其补角，连接，，.

因为，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，

而平面，所以，，

又因为，，所以，，，

因为,，所以四边形是平行四边形，，

在原矩形中，则，

，

，

，，

在中，，

所以异面直线和所成角的余弦值为．故答案为.

17．（12分）

【解析】（1）由，，成等差数列，得.（1分）

因为.

又，所以，即.（4分）

由正弦定理，得，

又，所以.因为，所以.（6分）

（2）由余弦定理，得.（7分）

又，所以.

又因为，所以，当且仅当时，等号成立，

故，（11分）

于是面积的最大值为.（12分）

18．（12分）

【解析】（1）设事件表示“甲被机器人社团正式录取”，事件表示“乙被机器人社团正式录取”，事件表示“丙被机器人社团正式录取”. （1分）

则，.（4分）

所以甲、乙、丙三人中恰有两人被机器人社团录取为新成员的概率为

.（6分）

（2）的所有可能取值为，，，，（7分）

，

，

，

.

所以的分布列为（10分）

所以（元）.（12分）

19．（12分）

【解析】（1）由题意知，而为的中点，

所以，又平面平面，平面平面，且平面，

所以平面，又平面，所以.（4分）

（2）由（1）可知，，，两两相互垂直，如图构建以E为原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系，则，，，，，.（6分）

易知平面的一个法向量为.（8分）

设平面的法向量为，则，

即令，则，（10分）

设平面与平面所成锐二面角为，则，

所以其正弦值为.（12分）

20．（12分）

【解析】（1）根据题意，设直线与椭圆交于两点.

不妨设点在第一象限，又长为，所以，（2分）

所以，可得，

又，所以，故椭圆的标准方程为.（4分）

（2）显然直线的斜率存在且不为0，设，（5分）

由得，所以，

同理可得.（7分）

当时，，所以直线的方程为，

（9分）

整理得，所以直线过定点.

当时，直线的方程为，直线也过点,

所以直线过定点.（12分）

21．（12分）

【解析】（1）的定义域为，．（2分）

当时，；时，，

所以在上单调递增，在上单调递减．（4分）

则时，取得最大值，，

依题意，，故．（6分）

（2）由（1）知，，，（7分）

由题得所以

所以所以所以，所以．

所以；

．（9分）

令，则，

由（1）知，，等号当且仅当时成立，

所以，等号当且仅当时成立，

于是可得，即单调递增，（10分）

因此，当时，；当时，，

所以，，

故．（12分）

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

【解析】（1）因为，，，

所以的极坐标方程为，（2分）

因为的普通方程为，

即，对应极坐标方程为.（4分）

（2）因为射线，则，

则，（8分）

所以,

又，，

所以当，即时，取得最大值．（10分）

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

【解析】（1）（2分）

所以在区间，上单调递减，在区间，上单调递增，

所以，所以；（5分）

（2）由（1）知.，，且，（6分）

要证，只要证，

即证，

即证，（8分）

即证，即证，即证，

显然，当且仅当时取等号．

所以．（10分）