文科数学-2021年高考高三5月全国大联考考后（强化卷（新课标Ⅱ卷）含答案解析

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2021年高三5月大联考考后强化卷（新课标Ⅱ卷）

文科数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则

A．  B．

C．  D．或

2．若复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点在

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

3．下列命题是假命题的是

A． B．

C． D．

4．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为

A． B． C． D．2

5．调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、后从事互联网行业岗位分布条形图，如图所示，则下列所有正确结论的编号是

注：后指年及以后出生，后指年之间出生，前指年及以前出生．

①互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上

②互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的

③互联网行业中从事运营岗位的后人数比前多

④互联网行业中从事技术岗位的后人数比后多

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

6．已知向量，满足，，，则向量与的夹角为

A． B． C． D．

7．在正方形中，是以为直径的半圆，若在正方形中任取一点，则该点取自阴影部分内的概率为

A． B． C． D．

8．在中，，，，则

A． B．或 C． D．或

9．已知三棱锥的外接球半径，底面满足，，则该三棱锥体积的最大值为

A． B． C． D．

10．设抛物线的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则C的焦点F到准线的距离为

A．4或8 B．2或4 C．2或8 D．4或16

11．已知是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为

A． B． C． D．

12．定义在上的函数，满足对任意的，，恒有，则关于x的不等式的解集为

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知实数，满足则的最小值为__________．

14．数列的前项和为，，，，则数列的前项和__________．

15．已知，则__________．

16．如图，在中，，点在线段上，且，，则的面积的最大值为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

数列满足：，点在函数的图象上，其中为常数，且．

（1）若，，成等比数列，求的值；

（2）当时，求数列的前项和．

18．（12分）

随着互联网的飞速发展，我国智能手机用户不断增加，手机在人们日常生活中也占据着越来越重要的地位．某机构做了一项调查，对某市使用智能手机人群的年龄、日使用时长情况做了统计，将18~40岁的人群称为“青年人”（引用青年联合会对青年人的界定），其余人群称为“非青年人”．根据调查发现，使用智能手机的人群中，“青年人”占比为，“非青年人”占比为，日均使用时长情况如下表：

将日均使用时长在2小时以上的称为“频繁使用人群”，使用时长在2小时以内的称为“非频繁使用人群”．已知“频繁使用人群”中有75%是“青年人”．

现对该市“日均使用智能手机时长与年龄的关系”进行调查，从使用智能手机的人群中，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据上面提供的数据．

（1）补全下列列联表；

（2）根据列联表，判断有多大把握认为“日均使用智能手机时长与年龄有关”？

附：，其中．

19．（12分）

如图，圆柱的轴截面是，点为下底面的圆心，是母线，．

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积．

20．（12分）

已知椭圆：过点，其右顶点为，下顶点为，且，若作与轴不重合且不平行的直线交椭圆于，两点，交轴于点（异于点），直线，分别与轴交于，两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若的横坐标的乘积为，试探究直线是否过定点？若过定点，请求出定点；若不过，请说明理由．

21．（12分）

已知函数．

（1）求函数的极值；

（2）若函数在区间上恰有两个零点，求m的取值范围．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）分别写出曲线和直线的极坐标方程；

（2）直线与曲线交于，两点，若，求直线的斜率．

23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）

设函数．

（1）求函数的最小值；

（2）若函数的最小值为，且正实数满足，证明：．

2021年高三5月大联考考后强化卷（新课标Ⅱ卷）

文科数学·全解全析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．【答案】C

【解析】因为，则，即，所以，所以，故选C．

2．【答案】B

【解析】因为，则，所以在复平面内对应的点为，在第二象限，故选B．

3．【答案】A

【解析】因为，其值域为，所以A项错误；

因为，所以B项正确；

令，，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，且，所以在上恒成立，所以C项正确；

借助于三角函数线，可知，所以D项正确，故选A．

4．【答案】C

【解析】因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以，所以，故选C．

5．【答案】A

【解析】对于①：互联网行业从业人员中仅后从事技术和运营岗位的人数占总人数的，所以占三成以上，故①正确；

对于②：互联网行业中仅后从事技术岗位的人数占总人数的

，所以超过总人数的，故②正确；

对于③：互联网行业中后从事运营岗位的人数占总人数的，而前从事互联网行业的人数占总人数的，故互联网行业中从事运营岗位的人数后比前多，故③正确；

对于④：由于后中从事技术岗位的人数所占比例不确定，所以互联网行业中从业人员中后与后，从事技术岗位的人数无法比较，故④不正确，所以①②③正确，故选A．

6．【答案】C

【解析】因为，所以，设向量与的夹角为则所以，故选C．

7．【答案】D

【解析】如图所示，

连接AE，由圆的对称性知，阴影部分的面积为与的面积之和，设正方形的边长为2，所以，，所以该点取自阴影部分内的概率为，故选D．

8．【答案】D

【解析】在中，由正弦定理得，得，又，∴，而，∴或．故选D．

9．【答案】D

【解析】由已知可得，的外接圆的半径，且由余弦定理得（当且仅当时取等号），所以，又外接球的球心到平面的距离为，所以点P到平面的距离的最大值为，所以三棱锥体积的最大值为．故选D．

10．【答案】C

【解析】设，记，则，，，以MF为直径的圆过点，则，即，∴，解得，∴，又，由解得或∴焦点到准线的距离为或8．故选C．

11．【答案】A

【解析】由题意知函数的最小正周期，则，得，∴．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，要使该图象关于原点对称，则，，所以，，又，所以当时，取得最大值，最大值为．故选A．

12．【答案】B

【解析】设，因为对任意的，，恒有，所以函数在上为增函数，则在上为增函数，又，而，所以，所以为奇函数．所以不等式等价于，即，即，可得解得．故选B．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．【答案】

【解析】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：

将化为，则当取最小值时，在轴上的截距最大，由图象可知：当过点时，直线在轴上的截距最大，由得所以，所以．故答案为：．

14．【答案】

【解析】因为，当时，，两式作差，得，化简得，检验：当时，，，，

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，，令，．故答案为：．

15．【答案】

【解析】由平方相加得，即．故答案为：．

16．【答案】

【解析】由可得：，则．由可知：，则，由同角三角函数基本关系可知：．

设，在△ABD中，由余弦定理可得：，在△CBD中，由余弦定理可得：，由于，故，即：，整理可得：．①

在中，由余弦定理可知：，则：，代入①式整理计算可得：，由均值不等式的结论可得：，故，当且仅当时等号成立，据此可知△ABC面积的最大值为：．故答案为：．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

【解析】（1）由可得，，，

所以，，，（2分）

又，，成等比数列，所以，则，

又，故．（5分）

（2）当时，，

当为偶数时，

．（8分）

当为奇数时，

，（11分）

综上所述，（12分）

18．（12分）

【解析】（1）人中青年人有（人），非青年人有（人），（2分）

频繁使用人群有（人），频繁使用人群中青年人有（人），（4分）

列联表为：

（6分）

（2）的观测值，

故有的把握认为“日均使用智能手机时长与年龄有关”．（12分）

19．（12分）

【解析】（1）如图，连接交于，连接，

由题意可得，在矩形中为的中点，又圆柱的轴截面是，为下底面的圆心，即为的中点，

所以在中，为三角形的中位线，所以，（3分）

因为平面，平面，

所以平面．（5分）

（2）因为，又为的中点，

所以，又平面底面，平面底面，底面，

所以平面，（8分）

所以．（12分）

20．（12分）

【解析】（1）由已知，，的坐标分别是，，

将代入椭圆方程，得，（2分）

结合，解得或

因为，所以，，

所以椭圆E的标准方程为．（5分）

（2）设直线的方程为，，的坐标分别为，，

则直线的方程为，

令，得点的横坐标．

直线的方程为，

令，得点的横坐标，

所以，（8分）

把直线代入椭圆得，

由根与系数的关系得，，

所以，（10分）

由，得，解得．

所以直线过定点．（12分）

21．（12分）

【解析】（1）的定义域为，

，（1分）

当时，恒成立，

此时在上单调递增，无极大值和极小值，（3分）

当时，，由可得：，

由可得，

此时在上单调递增，在上单调递减，

所以的极大值为，无极小值．（6分）

（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以在上单调递增，不可能有两个零点，（8分）

当时，的极大值为，

因为，所以是的一个零点，

若函数在区间上恰有两个零点，则（10分）

即可得：，

所以m的取值范围为．（12分）

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）

【解析】（1）由得．（2分）

由得曲线的极坐标方程为．

直线的极坐标方程为．（5分）

（2）将直线，

代入曲线的方程得．

由，解得．

设，，

由根与系数的关系得，．

因为，所以，（7分）

所以，

所以，满足．

因为，所以或，

所以，所以直线的斜率为．（10分）

23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）

【解析】（1），

当且仅当时等号成立，（4分）

所以函数的最小值为1．（5分）

（2）由（1）知，且，，为正实数，

所以，即，（8分）

当且仅当，时等号成立．（10分）