理科数学-2021年高考高三5月全国大联考（新课标Ⅱ卷）含答案解析

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2021年高三5月大联考（新课标Ⅱ卷）

理科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集，集合，则

A． B． C． D．

2．已知复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．下列命题为真命题的是

A． B．

C． D．

4．中国某科研团队研制的重组新冠疫苗获批启动开展临床试验后，计划在某地区招募志愿者，经过电话沟通、核实情况，要从符合条件的16名男性和8名女性中选出9名志愿者参加试验，如果按照性别分层抽样来确定男女人数，并且甲、乙两名男性因身体素质优异为确定人选，则不同的抽样方法数是

A． B． C． D．

5．海洋农牧化使人类可以像经营牧场和管理牛羊一样经营海洋和管理水生生物，从而实现海洋渔业资源利用与生态环境修复兼顾.不同的海洋牧场需要不同的鱼礁，其中一种鱼礁的形状如图所示，它是由所有棱长均为m的四个正四棱锥水平固定在一个平面上，且上面四个顶点相连构成的几何体框架，则这个几何体框架的体积为（棱台体积公式：，，分别为棱台的上、下底面面积，为棱台的高）

A． B． C． D．

6．已知向量满足，且，向量与与的夹角都是，则与的夹角为

A．0 B． C． D．

7．曲线在点处的切线方程为

A．  B． 

C．  D．

8．如图所示的程序框图的功能是求函数的函数值，若，则不等式的解集为

A．  B． 

C．  D．

9．已知抛物线的焦点为，准线为，一圆以为圆心且与相切，若该圆与抛物线交于点，则的值为

A．或  B． 

C．或2  D．

10．已知，且，则

A．或 B．或 C．1 D．或3

11．已知函数的零点为x轴上的所有整数，则函数的图象与函数的图象的交点个数为

A．8 B．9 C．10 D．11

12．已知，且，则的大小关系为

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知满足约束条件，则的最小值为___________．

14．将一个样本容量为的样本数据分组如下：，，，，，其中样本数据在和内的频率之和为，，对应的频数分别为，，则样本数据在内的频数为__________．

15．已知数列的前项和，数列满足，则数列的前项和为__________．

16．在三棱锥中，，且P点在底面内的射影恰好为的重心O，PO=4，将绕着AB旋转，使P点落在平面ABC上的点处（如图所示），则直线CP与直线所成的角的余弦值为_________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

在中，分别是三个内角的对边，的面积，，且成等差数列．

（1）求的值；

（2）求的值．

18．（12分）

随着5G通讯技术的发展成熟，移动互联网短视频变得越来越普及，人们也越来越热衷于通过短视频获取资讯和学习成长.某短视频创作平台，为了鼓励短视频创作者生产出更多高质量的短视频，会对创作者上传的短视频进行审核，通过审核后的短视频，会对用户进行重点的分发推荐.短视频创作者上传一条短视频后，先由短视频创作平台的智能机器人进行第一阶段审核，短视频审核通过的概率为，通过智能机器人审核后，进入第二阶段的人工审核，人工审核部门会随机分配3名员工对该条短视频进行审核，同一条短视频每名员工审核通过的概率均为，若该视频获得2名或者2名以上员工审核通过，则该短视频获得重点分发推荐.

（1）某创作者上传一条短视频，求该短视频获得重点分发推荐的概率；

（2）若某创作者一次性上传3条短视频作品，求其获得重点分发推荐的短视频个数的分布列与数学期望.

19．（12分）

如图，在几何体中，四边形是梯形，且，，，四边形是边长为2的菱形，且，平面⊥平面．

（1）求证：；

（2）已知为棱上的点，且，求二面角的大小．

20．（12分）

已知为椭圆()与直线的两个交点，且，椭圆E的离心率是方程的一个根．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的右顶点作斜率存在的两条射线，交椭圆于两点，且，问：直线是否恒过定点？若经过，求出这个定点坐标；若不经过，请说明理由．

21．（12分）

已知函数.

（1）若恒成立，求的取值范围；

（2）当时，证明：.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）已知射线分别交曲线，于两点，若是线段的中点，求的值．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数的最小值为．

（1）求m的值；

（2）若，，且，证明：．

2021年高三5月大联考（新课标Ⅱ卷）

理科数学·全解全析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】因为，所以，故选B．

2．B 【解析】因为复数，所以，，所以

，所以在复平面内对应的点位于第二象限，故选B．

3．C 【解析】对于A：因为恒成立，所以是假命题；

对于B：当时，，所以是假命题；

对于C：当时，，所以是真命题；

对于D：因为，所以是假命题，故选C．

4．D 【解析】由分层抽样可得男性需要6名，女性需要3名，甲、乙两位男性为确定人选，则还需要从剩下的14名男性中选出4名，8名女性中选出3名，不同的抽样方法数是．故选D．

5．B 【解析】由题可知构成的几何体是一个上底面边长为m，下底面边长为m，侧棱长为m的正四棱台，所以该正四棱台的高为m，体积().故选B．

6．C 【解析】设与的夹角为θ，，得，解得．故选C．

7．D 【解析】因为，所以，当时，，所以曲线在点处的切线的斜率，所以所求切线方程为．故选D．

8．A 【解析】由题中的程序框图可得因为，由可得，所以不等式的解集为．故选A．

9．C 【解析】因为抛物线的焦点为，准线的方程为，所以圆．

联立方程，得，消元得，即，所以，所以，（不合题意，舍去），所以，所以点的坐标为或，所以或2．故选C．

10．A 【解析】因为，所以，

所以，令，

所以，即，所以或，

当时，此时，不合题意，舍去.

当时，此时

由解得或所以或，故选A．

11．D 【解析】因为函数的图象与轴交于所有的整数点，所以函数的最小正周期为2，则又，且，则，所以.

解法一：作出函数，的大致图象，根据图象可以得到两个函数图象的交点个数为11，故选D．

解法二：因为，当时，，此时与的图象无交点.当时，与的图象有交点，且交点个数为5，根据对称性可知，当时，与的图象的交点个数为5.与的图象均经过原点，则函数的图象与的图象的交点个数为11.故选D.

12．A 【解析】构造函数，因为，所以函数在上单调递减．当时，，

所以，所以．故选A．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13． 【解析】设，则，求的最小值，即求直线的纵截距的最大值，

作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，易知在点处取得最小值，

由可得，所以，故答案为．

14．6 【解析】由题可得，样本数据在，，内的频率之和为，又，对应的频数分别为，，所以样本数据在内的频数为，故答案为6.

15．【解析】因为，所以，以上两式相减得，因为，

所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，即，所以，

所以，所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列，

所以其前项和为故答案为.

16． 【解析】如图，设D为AB的中点，连接CD，OA，OB.因为O为的重心，D为AB的中点，所以易知C，O，D三点共线，又因为，即为等腰三角形，所以CD⊥AB，所以.因为PO=4，即点P到平面ABC的距离等于4，，所以，，从而可知，所以四边形为菱形，所以，所以或其补角即为直线CP与直线所成的角，在中，由余弦定理得

.故答案为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

【解析】（1）因为成等差数列，，（1分）

所以，所以，所以．（3分）

因为，所以，（4分）

所以．（5分）

（2）由（1）可得，

因为，即，所以．（8分）

因为的面积，

所以，（10分）

所以，所以．（12分）

18．（12分）

【解析】（1）设“该短视频获得重点分发推荐”为事件，（2分）

则.（5分）

（2）设其获得重点分发推荐的短视频个数为随机变量，可取.（6分）

则，

；；

；，（10分）

随机变量的分布列如下：

.（或）（12分）

19．（12分）

【解析】（1）因为四边形为菱形，所以．（1分）

因为平面⊥平面，平面平面，且，

所以平面.（2分）

又平面，所以．（3分）

又，所以平面，

又平面，所以．（5分）

（2）如图，取的中点，连接.因为四边形是菱形，且，

所以，即，所以平面．（7分）

以为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，，，,

设平面的法向量为，则即取,（9分）

取平面的一个法向量为，（10分）

所以．

因为二面角的平面角为锐角，

所以二面角的大小为．（12分）

20．（12分）

【解析】（1）解方程得或．

因为椭圆E的离心率是方程的一个根，且其离心率所以．（1分）

所以，所以，所以，

所以()可化为，

整理得．（2分）

联立方程消去得,

整理得，则，解得，

所以，（4分）

所以．

因为，所以，所以，

所以,所以椭圆的标准方程为．（6分）

（2）当直线的斜率存在时，设，

联立整理得，

，，（8分）

因为，所以，

所以，

所以，

所以，

整理得，

所以或，（10分）

当时，，恒过（3，0），此时重合，舍去；

当时，，恒过点，（11分）

当直线的斜率不存在时，轴，经计算可知此时直线也过点，

所以直线恒过定点，该定点的坐标为.（12分）

21．（12分）

【解析】（1）由题可得.

若恒成立，即，也即恒成立，（1分）

设函数则，令，可得.

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增. （3分）

所以函数在时取得最小值，

所以，故的取值范围为.（5分）

（2）当时，．

要证，即要证，

因为，所以（7分）

令解得.

当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增，（8分）

因此在处取得极小值，也是最小值，

所以.（9分）

设函数，所以，

令所以，

当时，所以在上单调递减，所以．（10分）

当，即时，

当，即时，在上单调递增；

当，即时，在上单调递减，

所以在处取得极大值，也是最大值，（11分）

所以.

因为所以

所以当时，成立.（12分）

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

【解析】（1）因为曲线的普通方程为，

所以曲线的极坐标方程为（写成也给分）．（2分）

因为曲线的普通方程为，即，

所以曲线的极坐标方程为，即．（4分）

（2）设，，则，，

因为是线段的中点，所以，（6分）

即，整理得，所以，（8分）

因为，所以，所以，所以．（10分）

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

【解析】（1）因为（4分）

所以当时，取得最小值4，即．（5分）

（2）由，，且可知，，（6分）

因为，

所以,当且仅当时等号成立，（9分）

所以,即.（10分）