理科数学-2021年高考高三5月全国大联考考后（强化卷（新课标Ⅰ卷）含答案解析

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学科网2021年高三5月大联考考后强化卷（新课标Ⅰ卷）

理科数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知全集U，集合A={0，1，2}，则

A．{–1，3} B．{–1，0} C．{0，3} D．{–1，0，3}

3．已知曲线在处的切线方程为，则

A． B．， C．，  D．，

4．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的攒尖部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为，则侧棱与底面外接圆半径的比为

A． B． C． D．

5．2021年国际足联俱乐部世界杯(简称“世俱杯”)在中国上海､天津､广州､武汉､沈阳､济南､杭州､大连八个城市举行，我市将派9名小记者前往采访，每个举办城市至少安排一名记者，则不同的安排种数共有

A． B． C． D．

6．如图，在边长为的正方形内有不规则图形，由电脑随机从正方形中抽取个点，若落在图形内和图形外的点分别为，则图形面积的估计值为

A． B． C． D．

7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC=，bcosA＋acosB=2，则△ABC的外接圆面积为

A．4π B．8π C．9π D．36π

8．的展开式中的系数为

A． B． C． D．

9．已知函数，若函数在上有且仅有个零点和个最大值点，则的取值范围为

A． B． C． D．

10．在中，已知，，点是线段上靠近点的三等分点，点在线段上，则的最小值为

A． B． C． D．

11．已知双曲线的右焦点为，过点作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于两点，若四边形为坐标原点存在外接圆，则双曲线的离心率为

A． B． C． D．

12．已知且且且，则

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设满足约束条件，则的最小值为__________．

14．若数列的前项和满足，且，，则数列的前项和__________．

15．直线与抛物线交于，两点，设抛物线的焦点为，若，则__________．

16．沿正方形的对角线将折起，使点到达的位置，且为正三角形，已知点为的中点，为的中点，直线与所成的角为，则__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

已知等比数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

18．（12分）

随着手机游戏的发展，在给社会带来经济利益的同时，也使许多人深陷其中，从而产生一些负面的影响．，两所学校为了解学生每天玩游戏的时间，各自抽取了100名学生进行调查，得到的数据如表所示：

学校

学校

（1）以样本估计总体，计算学校学生日游戏时间的平均数以及学校学生日游戏时间的中位数；

（2）为了调查家长对孩子玩游戏的态度，学校相关领导随机抽取了200名男性家长和200名女性家长进行调查，并将所得结果统计如表所示，判断是否有99.9%的把握认为家长对孩子玩游戏的态度与家长性别有关？

附：，其中．

19．（12分）

如图，在四棱锥中，底面是菱形，是线段上一点（不含A，），在平面内过点作平面，交于点．

（1）写出作的步骤（不要求证明）；

（2）若，，是的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

20．（12分）

已知点为坐标原点，椭圆过点，其上顶点为，右顶点和右焦点分别为，，且．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线交椭圆于，两点（异于点），若，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由．

21．（12分）

已知函数．

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若有两个零点，，且，证明：．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中，曲线的直角坐标方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设曲线分别交曲线和曲线于点，求的最大值及相应的的值．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若，使得，求实数的取值范围．

2021年高三5月大联考考后强化卷（新课标Ⅰ卷）

理科数学·全解全析

1．D 【解析】,∴复数在复平面内对应的点为（2，–1），位于第四象限，故选D.

2．A 【解析】由题得U={–1，0，1，2，3}，则，故选A．

3．A 【解析】的导数为，可得曲线在处的切线的斜率为，由切线方程，可得，解得，切点为，则．故选A．

4．A 【解析】正六棱锥的底面为正六边形，设其外接圆半径为，则底面正六边形的边长为，因为正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为，所以侧棱长为，所以侧棱与底面外接圆半径的比为.故选A.

5．C 【解析】从9人中选出2人作为一组，剩余的其他人一人一组，选法有种，再将这8组进行全排列，排法有种，不同的安排种数为.故选C.

6．C 【解析】设图形的面积为，则由几何概型及题意得，

所以，即图形面积的估计值为.故选C．

7．C 【解析】由题意及正弦定理得2RsinBcosA＋2RsinAcosB=2Rsin(A＋B)=2(R为△ABC的外接圆半径)，即2RsinC=2，又由cosC=及C∈(0，π)，知sinC=，∴2R==6，解得R=3，所以△ABC的外接圆面积S=πR2=9π.故选C.

8．B 【解析】，

的展开式的通项为，

的展开式的通项为，

由，可得，

因此，的展开式中的系数为.故选B.

9．A 【解析】设，由，可得，

因为函数在上有且仅有个零点和个最大值点，

所以函数在上有且仅有个零点和个最大值点，

如图，由图可知，解得，所以的取值范围为，故选A．

10．C 【解析】由，可知．以点为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，

由题可设，其中，则，，

所以，令，，

则当时，函数取得最小值，且，

所以的最小值为，故选C．

11．A 【解析】由题可得，不妨设直线的方程为，则直线的方程为，则直线的方程为，直线的方程为，由，可得，同理可得，因为直线与互相垂直平分，所以四边形为菱形，因为四边形存在外接圆，所以，即，所以，所以双曲线的离心率，故选A．

12．D 【解析】由，知，同理可得.令，则，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，因为，所以，即，而，故，同理可得，，，.因为，所以，所以.故选D．

13． 【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示（内部及边界），

由，可得，易知当过点时，取得最小值，

由，解得，所以，所以，故答案为．

14． 【解析】，，又，是以为首项，为公比的等比数列，，，当时，，当时，也满足上式，，，且，是以1为首项，为公差的等差数列，.故答案为.

15． 【解析】联立方程，得，消去得，则，且，，解得且.由题意知，即，则，解得.故答案为.

16． 【解析】如图，取的中点为，连接，，则或它的补角为直线与所成的角．

设，因为为正三角形，所以，，，在中，由余弦定理可得．又，所以．故答案为.

17．（12分）

【解析】（1）设等比数列的公比为，则，

又，则，解得或.

故数列的通项公式为或.（5分）

（2）若，则，所以，

所以，

，

两式相减得，

化简得.（12分）

18．（12分）

【解析】（1）A学校学生日游戏时间的平均数为

．（3分）

B学校学生日游戏时间的中位数为．（6分）

（2）由已知可得列联表：

则的观测值，（10分）

所以没有的把握认为家长对孩子玩游戏的态度与家长性别有关．（12分）

19．（12分）

【解析】（1）第一步：在平面内，过点作，交于点；

第二步：在平面内过点作，交于点；

第三步：连接，即为所求．（4分）

如图所示：

（2）因为是的中点，，所以是的中点，

而，所以是的中点.（5分）

连接，与交于点，连接，设在底面的射影为，因为，所以，即为的外心，所以与重合.（6分）

因为，，所以，，

过作交于，分别以，，的正方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，

所以，，（8分）

设平面的法向量为，则，

取，则，，所以平面的一个法向量为.（9分）

因为平面，平面，所以平面平面，

又，所以平面，故为平面的一个法向量.（10分）

设平面与平面所成的锐二面角的大小为，

则，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．（12分）

20．（12分）

【解析】（1）因为椭圆过点，所以 ①，（1分）

因为，所以，因为，所以 ②，（3分）

把②代入①中，解得，，所以椭圆的标准方程为．（4分）

（2）当直线与轴垂直时，设直线的方程为，则，，．

因为，所以，

此时直线过椭圆的右顶点，与直线交椭圆于，两点矛盾.（6分）

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，．

联立，消去可得，（8分）

则，，，（9分）

所以

．

则.（11分）

因为，所以，，所以存在，使成立．

此时直线的方程为，即，

令，可得，所以直线过定点，该定点的坐标为．（12分）

21．（12分）

【解析】（1）的定义域为，．（1分）

当时，；当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减．（3分）

∴当时，取得最大值，

依题意，，故，即实数的取值范围是．（5分）

（2）由（1）知，，（6分）

令则，

，

∴．（8分）

则，

．

令，则.

由（1）知，，当且仅当时等号成立，

∴，当且仅当时等号成立，

于是可得，即单调递增.（10分）

因此，当时，；当时，，

∴，，

故．（12分）

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

【解析】（1）曲线的普通方程为，

由，，可得曲线的极坐标方程为.（2分）

由曲线的极坐标方程为，可得，

所以曲线的直角坐标方程为．（5分）

（2）由曲线的极坐标方程为，令，可得，

因为，所以

．（7分）

因为，

所以，

所以当，即时，取得最大值，为．（10分）

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

【解析】（1）由题可得，（2分）

所以由，可得或或，解得，（4分）

所以不等式的解集为．（5分）

（2）当时，，若存在，使得，即，

则当时，，所以当时，．（7分）

因为，当且仅当，即时取等号，（9分）

所以，故，所以实数的取值范围为．（10分）