理科数学-2021年高考高三5月全国大联考（新课标Ⅲ卷）含答案解析

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2021年高三5月大联考（新课标Ⅲ卷）

理科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则

A． B． C． D．

2．已知复数，其中为虚数单位，则

A． B． C． D．

3．下列命题为真命题的是

A． B．

C．  D．

4．空气质量指数（AQI）是描述空气清洁或者污染的程度，是对二氧化硫、二氧化氮、PM10、PM2.5、一氧化碳和臭氧这6项污染物的统一评价.AQI在空气为优，在空气为良，在为轻度污染，在为中度污染，在为重度污染，300以上为严重污染.如图为我国34个省级行政区某日的AQI数据条形图.给出下列结论：①当日超过半数以上的省级行政区空气为良；②当日省级行政区空气被污染的比例超过20%；③当日我国各省级行政区AQI的平均值小于100（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.其中正确的个数为

A．3 B．2 C．1 D．0

5．已知，若是第二象限角，则

A． B． C． D．

6．若双曲线C：过点，则双曲线C的离心率为

A．2 B．4 C． D．

7．函数的大致图象为

8．已知某几何体的三视图如图所示，其中半圆和扇形的半径均为，则该几何体的体积为

A． B． C． D．

9．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且bc=3，则的外接圆的周长为

A．2π B．3π C．4π D．

10．已知抛物线的焦点为，准线为，一圆以为圆心且与相切，若该圆与抛物线交于点，则的值为

A．或 B．或2 C． D．

11．在三棱锥中，，，，，当此三棱锥的体积最大时，该三棱锥的外接球的体积为

A． B． C． D．

12．已知，，，，则的大小关系为

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知实数，满足不等式组，若目标函数，则的取值范围为          .

14．的展开式中的系数为          .

15．设，，，且，C，E在AB的异侧，则          .

16．关于函数，有下列命题： 

①f(x)的图象关于点对称； ②f(x)的图象关于直线对称；

③f(x)的最大值是3；    ④f(x)的最小值是．

其中所有正确命题的序号是          .

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

已知数列是各项均为正数的等比数列，且=，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列是递增数列，求数列的前项和.

18．（12分）

随着5G通讯技术的发展成熟，移动互联网短视频变得越来越普及，人们也越来越热衷于通过短视频获取资讯和学习成长.某短视频创作平台，为了鼓励短视频创作者生产出更多高质量的短视频，会对创作者上传的短视频进行审核，通过审核后的短视频，会对用户进行重点的分发推荐.短视频创作者上传一条短视频后，先由短视频创作平台的智能机器人进行第一阶段审核，短视频审核通过的概率为，通过智能机器人审核后，进入第二阶段的人工审核，人工审核部门会随机分配3名员工对该条短视频进行审核，同一条短视频每名员工审核通过的概率均为，若该视频获得2名或者2名以上员工审核通过，则该短视频获得重点分发推荐.

（1）某创作者上传一条短视频，求该短视频获得重点分发推荐的概率；

（2）若某创作者一次性上传3条短视频作品，求其获得重点分发推荐的短视频个数的分布列与数学期望.

19．（12分）

如图，在底面半径为、高为的圆柱中，分别是上、下底面的圆心，四边形是该圆柱的轴截面，已知是线段的中点，是下底面半圆周上的三等分点．

（1）求证：平面；

（2）求平面FPM与平面NPM所成的锐二面角的余弦值.

20．（12分）

已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，当的面积取得最大值时，．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作斜率为的直线交椭圆于,两点，其中.设点,关于轴的对称点分别为,，当四边形的面积为时，求直线的方程．

21．（12分）

已知函数，．

（1）当a=0时，求函数的单调区间和函数取得极值时的值；

（2）若函数，，且函数在上存在极小值，求实数的取值范围．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线，的极坐标方程；

（2）已知射线分别交曲线，于，两点，若是线段的中点，求的值．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若存在，使得，求实数的取值范围．

2021年高三5月大联考（新课标Ⅲ卷）

理科数学·全解全析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】由可得或，所以集合或，

又集合，所以，故选C．

2．D 【解析】由题可得，所以，所以，故选D．

3．C 【解析】对于A：因为恒成立，所以是假命题；

对于B：当时，，所以是假命题；

对于C：当时，，所以是真命题；

对于D：因为，所以是假命题，故选C．

4．B 【解析】由图中数据可知，34个省级行政区中空气为良的有18个，故①正确；空气被污染的省级行政区个数为5+1=6，，故②不正确；当日我国34个省级行政区AQI的平均值为，故③正确，故选B.

5．B 【解析】因为，所以，又是第二象限角，所以，

所以，故选B．

6．A 【解析】由已知得，解得，则，解得，故选A．

7．D 【解析】由题可得函数的定义域为，，所以函数是定义在上的奇函数，由此可排除选项A，B；又，，所以，由此可排除选项C，故选D．

8．C 【解析】由题可知该几何体是半径为的球的，所以该几何体的体积为，故选C．

9．B 【解析】因为，即，所以sinBsinC=，又bc=3，所以2RsinB·2RsinC=3（R为的外接圆的半径），所以R=，则的外接圆的周长为2πR=3π.故选B.

10．B 【解析】因为抛物线的焦点为，准线的方程为，所以圆．

联立方程得，消元得，即，所以，所以，（不合题意，舍去），所以，所以点的坐标为或，所以或2．故选B．

11．C 【解析】在中，由可得，所以由余弦定理可得

，所以，所以，所以．如图，当平面时，三棱锥的体积最大．把三棱锥放在长方体中，可知三棱锥的外接球的半径，则该三棱锥的外接球的体积为，故选C．

12．A 【解析】由题可设，因为，所以的图象关于直线对称.因为，当时，，所以，，，所以，所以在上单调递增，由对称性可知在上单调递减.因为，所以，所以；易知，，由对称性可知，且，因为，所以，又在上单调递减，所以，所以，故选A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13． 【解析】根据不等式组画出可行域，如图中阴影部分所示，由，解得，由，解得，因为目标函数表示可行域内一点与A(2,1)连线的斜率，所以，因为，所以的取值范围为.

14．12 【解析】因为的展开式的通项公式为，所以的展开式中的对应的应满足，此时符合要求，对应系数为；的展开式中的对应的应满足，此时无解.所以的展开式中的系数为12.故答案为12.

15． 【解析】因为，所以是边长为2的等边三角形.因为，所以四边形ABDC是边长为2的菱形，且，.因为，，所以，因为C，E在AB的异侧，所以，所以

.故答案为.

16．②③ 【解析】因为，所以①错误；

，所以②正确；

，当时，f(x)取得最小值；当时，f(x)取得最大值3，所以③正确，④错误．

故所有正确命题的序号是②③.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

【解析】（1）因为数列是各项均为正数的等比数列，所以公比，（1分）

因为，所以，所以.（2分）

由题易知是公比为的等比数列，所以是公比为的等比数列.（3分）

因为=，所以，

所以，所以，所以.（4分）

所以当时，，（5分）

当时，.（6分）

（2）因为数列是递增数列，所以，所以.（7分）

所以，（8分）

，（9分）

两式相减得（10分）

，（11分）

所以.（12分）

18．（12分）

【解析】（1）设“该短视频获得重点分发推荐”为事件，

则.（5分）

（2）设其获得重点分发推荐的短视频个数为随机变量，可取.

则，

；；

；，（9分）

所以随机变量的分布列如下：

.（或）（12分）

19．（12分）

【解析】（1）因为分别是上、下底面的圆心，四边形是圆柱的轴截面，（1分）

所以且，（2分）

如图，连接，

因为是下底面半圆周上的三等分点，所以且，（3分）

所以且，所以四边形是平行四边形，所以，（4分）

因为平面，平面，（5分）

所以平面．（6分）

（2）如图，以A为坐标原点，下底面内AH的垂线为轴，AH所在的直线为轴，AB所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.（7分）

因为圆柱的底面半径为2，高为4，所以，（8分）

所以，，

.（9分）

设平面FPM的法向量为，平面NPM的法向量为，

所以，

，

令时，则，所以.（10分）

同理，，

，

令时，则，所以.（11分）

设平面FPM与平面NPM所成的锐二面角为，

所以，即平面FPM与平面NPM所成的锐二面角的余弦值为.（12分）

20．（12分）

【解析】（1）由题可知，当点与椭圆的上顶点或下顶点重合时，的面积最大，（2分）

设，，因为的面积的最大值为，所以，，（3分）

又，所以，，则，解得，（4分）

由，结合，可得，所以椭圆的标准方程为．（5分）

（2）设直线的方程为，，，

由及四边形的面积为，可知点，位于轴同侧，（6分）

且，（7分）

将代入，消去可得，（8分）

则，，且，即，（9分）

所以，（10分）

整理可得，解得或，即或，（11分）

所以直线的方程为或或或．（12分）

21．（12分）

【解析】（1）当a=0时，，（1分）

则.（2分）

因为函数的定义域为，所以恒成立.

当时，，所以函数的单调递减区间为；（3分）

当时，，所以函数的单调递增区间为，（4分）

所以当x=5时，函数有极小值，为，无极大值.（5分）

（2）由题可得，定义域为，

则，（6分）

设，

当，即时，，

所以当时，，即，所以函数在上单调递减，（7分）

所以函数在上不存在极小值，不符合题意；（8分）

当，即时，函数的图象是开口向上的抛物线，

易知函数的图象的对称轴方程为，且，函数的图象过点，

所以函数在上单调递增，（9分）

若函数在上存在极小值，则，解得；（10分）

当，即时，函数的图象是开口向下的抛物线，

易知函数的图象的对称轴方程为，且，函数的图象过点，

若函数存在极小值，则，解得，

此时，，且，

所以当时，，所以函数在上不存在极小值．（11分）

综上，可得，故实数的取值范围为．（12分）

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

【解析】（1）由题可得曲线的普通方程为，（1分）

所以曲线的极坐标方程为，（2分）

由题可得曲线的普通方程为，即，（3分）

所以曲线的极坐标方程为，（4分）

即．（5分）

（2）设，，则，，（6分）

因为是线段的中点，所以，所以，（7分）

所以，即，（8分）

所以，（9分）

因为，所以，所以，所以．（10分）

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

【解析】（1）由题可得，（1分）

因为，所以或或，（2分）

即或或，（3分）

所以或，（4分）

所以不等式的解集为．（5分）

（2）因为存在，使得，所以，（7分）

由（1）可知，作出函数的图象，如下图所示，（8分）

由函数的图象可知，（9分）

所以，所以实数的取值范围为．（10分）