数学-2021年高考高三5月全国大联考考后（强化卷山东卷）含答案解析

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2021年高三5月大联考考后强化卷（山东卷）

数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．设全集，集合，，则

A． B． C． D．

2．已知为自然对数的底数，，，，则，，的大小关系是

A． B． C． D．

3．已知，则的值是

A． B． C． D．

4．已知的展开式中项的系数为，其中，则此二项展开式中各项系数之和是

A． B．或 C． D．或

5．若均为正实数，则“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害《道路交通安全法》的违法行为，将受到法律处罚.检测标准：“饮酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于，小于的驾驶行为；醉酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于的驾驶行为.”据统计，停止饮酒后，血液中的酒精含量平均每小时比上一小时降低.某人饮酒后测得血液中的酒精含量为，若经过小时，该人血液中的酒精含量小于，则的最小值为（参考数据：

）

A．7 B．8 C．9 D．10

7．已知数列的前n项和，若，恒成立，则实数的最大值是

A．3 B．4 C．5 D．6

8．已知函数，则的解的个数是

A．4 B．3 C．6 D．1

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．已知向量，，则下列结论正确的是

A． B．

C．与的夹角为45° D．

10．设为复数，则下列命题中正确的是

A． B．

C．若，则的最大值为2 D．若，则

11．已知函数，则下列说法正确的是

A．在上单调递增

B．在上的值域为

C．将函数的图象向右平移个单位长度后，再将横坐标拉伸为原来的2倍，得到函数的图象，则

D．函数在处取得最大值

12．在矩形中，，，将沿折起，使到的位置，在平面的射影恰落在上，则

A．三棱锥的外接球直径为 B．平面平面

C．平面平面 D．与所成的角为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．设随机变量，若，则__________.

14．已知圆及直线，当直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为__________.

15．已知在三棱锥中，，，的中点为且，当该三棱锥体积最大时，它的内切球半径为__________.

16．已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，以F为圆心，为半径的圆与x轴交于O，A两点，与双曲线C的一条渐近线交于O，B两点.若，则双曲线C的一条渐近线方程为__________.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

在①，②，

③，这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题.

在中，内角的对边分别为，且___________.

（1）求A；

（2）若，求周长的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18．（12分）

已知正项数列的前项和为，且和满足：.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

19．（12分）

如图，在四棱锥中，已知，，，，，，为上的动点．

（1）探究：当为何值时，平面？

（2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值．

20．（12分）

“T2钻石联赛”是世界乒联推出的一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“FAST5模式”.在前24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为11分制，率先拿满11分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“FAST5”模式，“FAST5”模式为5分制的小局比赛，率先拿满5分的选手赢得该局.24分钟计时后开始的所有小局均采用“FAST5”模式.某位选手率先在7局比赛中拿下4局，比赛结束.现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局，且在11分制比赛中，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为；在“FAST5”模式，每局比赛双方获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立.

（1）求4局比赛决出胜负的概率；

（2）设在24分钟内，甲、乙比赛了3局，比赛结束时，甲、乙总共进行的局数记为，求的分布列及数学期望.

21．（12分）

已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形的面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，若椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于不同的两点，，记的内切圆的半径为，试求的取值范围.

22．（12分）

对于定义在上的函数，若函数满足：①在区间上单调递减；②存在常数，使其值域为，则称函数为的“渐近函数”.

（1）设，若在上有解，求实数的取值范围；

（2）证明：函数是函数，的渐近函数，并求此时实数的值；

（3）若函数，，，证明：当时，不是的渐近函数.

2021年高三5月大联考考后强化卷（山东卷）

数学·全解全析

1．C 【解析】因为全集， ，所以，

又，所以.故选C.

2．B【解析】为自然对数的底数，，则函数与均为定义域内的减函数.，.，.

综上所述，.故选B.

3．C 【解析】因为，所以

，又因为，所以.故选C.

4．B 【解析】的展开式的通项为，令，得，该二项展开式中项的系数为，得.当时，的展开式中各项系数之和为；当时，的展开式中各项系数之和为.故选B.

5．A 【解析】均为正实数，若，可得；反之不成立，例如，取时，，但不成立，∴“”是“”的充分不必要条件，故选A.

6．B 【解析】经过小时，该人血液中的酒精含量为，由题意得

，即，解得，所以的最小值为8.故选B.

7．C 【解析】当时，；当时，，满足上式，所以.又，恒成立，所以，恒成立.令，则

对任意显然都成立，所以单调递增，因此，即的最小值为，所以，即实数的最大值是.故选C.

8．A 【解析】画出的大致图象，如图所示：

，，解得或，结合图象知有3个解，有一个解，所以原方程的解的个数是4．故选A.

9．AC 【解析】向量，，则，故A正确；

，故B错误；

，又，所以与的夹角为45°，故C正确；

由，，得，故D错误.

故选AC.

10．ACD 【解析】对于A，，则，∴，而，所以成立；

对于B，，当a，b均不为0时，，而，所以不成立；

对于C，可以看作以为圆心，1为半径的圆上的点P，可以看作点P到的距离，所以当P(0,1)时，可取的最大值为2；

对于D，可以看作以为圆心，1为半径的圆上的点N，则表示点N到原点的距离，故O、N重合时，=0最小，当O、M、N三点共线时，=2最大，故.

故选ACD.

11．CD 【解析】，当时，，因为在上先增后减，所以在上先增后减，故A错误；

当时，，则，所以，故B错误；

将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数

的图象，再将横坐标拉伸为原来的2倍，得到函数的图象，则，故C正确；

因为，所以函数在处取得最大值，故D正确.

故选CD.

12．AB 【解析】由题意，平面，又，，∴平面，故D错误；

又，，可得平面，又平面平面平面，故B正确；

若平面平面，则由平面，与矛盾，故C错误；

如图，取的中点．则，故为三棱锥的外接球球心，所以直径，故A正确．

故选AB.

13．0.4 【解析】由题设可知正态分布曲线关于直线对称，且，则根据对称性可得，所以．

14． 【解析】由得，∴不论a取何值，直线l恒过点，∵，∴点在圆C内，故当直线l垂直于CP时，直线l被圆C截得的弦长最短，此时,故直线的方程为.

15． 【解析】当平面时，三棱锥的体积取得最大值，体积为

，，，设内切球的半径为，则有，解得.

16．或 【解析】由题可知，OA为圆F的直径，B为圆上一点，，，，，不妨设B在渐近线上，则在直角三角形中，，即，即，解得，即，故双曲线C的一条渐近线方程为或.

17．（10分）

【解析】（1）若选①，由已知及正弦定理得，所以，所以，（2分）

又，所以，所以，

即，所以.（5分）

若选②，由已知及倍角公式得，

所以，所以，（2分）

由正弦定理得，由余弦定理得，

又，所以.（5分）

若选③，依题意得，将，代入上式并整理，得，，（3分）

又，所以.（5分）

（2）由正弦定理得

得

，（7分）

，

故，即，

所以周长为.（10分）

18．（12分）

【解析】（1）当时，，解得；（1分）

当且时，，

∴，（3分）

整理可得，

∵，∴，∴，

∴数列是以2为首项，4为公差的等差数列，（5分）

∴.（7分）

（2）由（1）知，，，（9分）

则，

∴.（12分）

19．（12分）

【解析】（1）当时，平面．（1分）

理由如下：如图，连接，设与交于点，连接，

因为，所以，，

当，即时，有，（3分）

又平面，平面，

所以平面．（5分）

（2）如图，取的中点，连接，，因为，，，所以，所以，所以．（6分）

因为，，所以，，，，

所以．

又，所以，所以．

因为，所以平面．（8分）

易知，，两两垂直，故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，．

由（1）可知，

故，所以．

易知平面的一个法向量为．（10分）

设直线与平面所成的角为，则，

即直线与平面所成角的正弦值为．（12分）

20．（12分）

【解析】（1）设前24分钟比赛甲胜出为事件，乙胜出为事件，在“FAST5”模式中每局比赛甲获胜为事件，4局比赛决出胜负记为事件.

.（3分）

（2）由题意知的可能取值为4、5、6、7，

；（4分）

；（5分）

；（7分）

，（9分）

所以随机变量的分布列为

（11分）

.（12分）

21．（12分）

【解析】（1）∵椭圆的离心率为，∴，（1分）

∵四边形的面积为，∴，

又，解得，，，

∴椭圆的方程为.（4分）

（2）设，，则的周长为，

，即，

当轴时，直线的方程为，，；（6分）

当与轴不垂直时，设，

由，得，

∴，，（8分）

，

，（10分）

令，，

则，

∵，∴，∴.

综上可知，.（12分）

22．（12分）

【解析】（1）由，得，

因为，所以，（2分）

因为，所以，所以，

当且仅当，即时，等号成立，所以.（4分）

（2）令，

在上单调递减，所以，（5分）

当时，，所以的值域为，

所以是的渐近函数，且.（7分）

（3）令，则，（8分）

设，

则，

所以在上单调递增，即在上单调递增，

又趋于正无穷大时，趋于1，故的值域为，（10分）

因为，所以，，所以存在，使得，

所以当时，单调递减；当时，单调递增，

所以在上不是单调递减，

故当时，不是的渐近函数.（12分）