理科数学-2021年高考高三5月全国大联考（新课标Ⅰ卷）含答案解析

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2021年高三5月大联考（新课标Ⅰ卷）

理科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．设全集，集合，则

A． B． C． D．

3．已知直线是曲线的一条切线，则

A．b=3 B．b=1 C．b=0 D．

4．某活动主办方计划在当地招募志愿者，经过电话沟通、核实情况，要从符合条件的16名男性和8名女性中选出9名志愿者，如果按照性别分层抽样来确定男女人数，并且甲、乙两名男性因自身条件优异为确定人选，则不同的选取方法数是

A． B． C． D．

5．海洋农牧化使人类可以像经营牧场和管理牛羊一样经营海洋和管理水生生物，从而实现海洋渔业资源利用与生态环境修复兼顾．不同的海洋牧场需要不同的鱼礁，其中一种鱼礁的形状如图所示，它是由所有棱长均为m的四个正四棱锥水平固定在一个平面上，且上面四个顶点相连构成的几何体框架，则这个几何体框架的体积为（棱台体积公式：

，，分别为棱台的上、下底面面积，为棱台的高）

A． B． C． D．

6．在一次试验中，向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子.经过统计，发现落在正方形中的豆子有粒，其中有()粒豆子落在阴影区域内，以此估计的值为

A． B． C． D．

7．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且bc=3，则的外接圆的周长为

A．2π B．3π C．4π D．

8．的展开式中的系数为

A．12 B．60 C．24 D．64

9．已知函数的零点为x轴上的所有整数，则函数的图象与函数的图象的交点个数为

A．8 B．9 C．10 D．11

10．在四边形中，点E为AD的中点，点F为BC的中点，且，若>0，则的取值范围是

A． B． C． D．

11．设双曲线的右焦点为，圆与双曲线的两条渐近线相切于，两点，，其中为坐标原点.延长交双曲线的另一条渐近线于点，过点作圆的另一条切线，设切点为，则

A． B． C． D．

12．已知，若，则的大小关系为

A． B． C． D．不确定

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若实数x，y满足约束条件，则3x+y的最小值为_________.

14．已知数列的前项和为，数列满足，则数列的前n项和为_________.

15．已知直线与抛物线()相交于，两点，设(p，0)，若直线恰好平分，则p=_________.

16．在三棱锥中，，且P点在底面内的射影恰好为

的重心O，PO=4，将绕着AB旋转，使P点落在平面ABC上的点处（如图所示），则直线CP与直线所成的角的余弦值为_________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

已知数列是各项均为正数的等比数列，且=，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

18．（12分）

如图是一个正方体的平面展开图，设在该正方体中，点E，F，G分别是棱AB，BC，的中点，平面EFG平面ABB1A1=EH，且.

（1）作出线段EH，判断直线EH与直线FG的位置关系并证明；

（2）求直线DH与平面EFGH所成角的正弦值.

19．（12分）

为进一步提倡餐饮节约、制止餐饮浪费行为，商务部支持行业协会发挥自律作用，推动建立制止餐饮浪费的长效机制，厉行勤俭节约、反对铺张浪费、倡导光盘行动．某酒店推出半份菜、“”点菜法、光盘就赠礼、免费打包等措施，大大减少了餐饮浪费，该酒店记录了采取措施前天的日浪费食品量和采取措施后天的日浪费食品量的频数分布表，如下表所示：

采取措施前天的日浪费食品量的频数分布表

采取措施后天的日浪费食品量的频数分布表

（1）将下面的列联表补充完整，

并回答：在犯错误的概率不超过的前提下，能否判断食品浪费情况与是否采取措施有关？

（2）估计该酒店倡导节约、采取措施后，日浪费食品量小于4 kg的概率；

（3）估计该酒店倡导节约、采取措施后，一年能节省多少食品？（一年按天计算，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）

参考公式及数据：，其中．

20．（12分）

已知点，分别为椭圆的左顶点和上顶点，且坐标原点到直线的距离为，椭圆E的离心率是方程的一个根.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若，过P作斜率存在的两条射线PM，PN，交椭圆E于M，N两点，且，问：直线MN经过定点吗？若经过，求出这个定点坐标；若不经过，说明理由.

21．（12分）

已知函数.

（1）若恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，证明：.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆的左、右焦点分别是曲线与轴的交点．

（1）若椭圆的长轴长为，求椭圆的焦点的极坐标及椭圆的直角坐标方程；

（2）在（1）的条件下，已知动直线垂直于轴，且与椭圆交于不同的两点，，点在直线上， 若，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若存在，使得，求实数的取值范围．

2021年高三5月大联考（新课标Ⅰ卷）

理科数学·全解全析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】因为复数，所以，，

所以，所以在复平面内对应的点位于第二象限.故选B．

2．B 【解析】因为，所以，故选B．

3．D 【解析】由题可得，令，解得，将代入，可得，所以点在直线上，所以，解得．故选D．

4．C 【解析】由分层抽样可得男性需要6名，女性需要3名，又因为甲、乙两名男性为确定人选，所以还需要选出4名男性，3名女性，所以不同的选取方法数是，故选C．

5．B 【解析】由题可知构成的几何体是一个上底面边长为m，下底面边长为m，侧棱长为m的正四棱台，所以该正四棱台的高为m，体积为().故选B．

6．A 【解析】设正方形的边长为2，则正方形的面积等于4.因为阴影部分的面积等于

，所以.故选A．

7．B 【解析】因为，即，所以sinBsinC=，又bc=3，所以2RsinB·2RsinC=3（R为的外接圆的半径），所以R=，则的外接圆的周长为2πR=3π.故选B.

8．A 【解析】因为的展开式的通项公式为，所以的展开式中的对应的应满足，此时符合要求，对应系数为；的展开式中的对应的应满足，此时无解.所以的展开式中的系数为12．故选A．

9．D 【解析】因为函数的零点为轴上的所有整数，所以函数的最小正周期，所以，且，结合，可得，所以.作出函数与函数的图象，如下图所示，可知函数的图象与函数的图象有个交点，故选D．

10．A 【解析】易得，，因为点E为AD的中点，点F为BC的中点，所以，又因为>0，所以，且

，所以，即，故选A.

11．A 【解析】方法一：因为圆与双曲线的两条渐近线分别相切，所以，，所以双曲线的方程为，易知，双曲线的渐近线方程为．不妨设点位于第一象限，则直线的方程为，由，可得，所以，所以，所以，所以，故选A．

方法二：因为圆与双曲线的两条渐近线分别相切，所以，，，在中，，，所以，所以

，所以，故选A．

12．C 【解析】因为，所以，即，设，则，令=0，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，因为，，所以，所以，即.故选C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13． 【解析】画出约束条件所表示的可行域，如图中阴影部分所示，设z=3x+y，则，z的最小值即为直线的纵截距的最小值，由图可知，当直线经过点时取得最小值，最小值为.故答案为.

14． 【解析】因为，所以，以上两式相减得：，在中，令n=1，得，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即，所以，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以数列的前n项和为故答案为.

15．2 【解析】由得，由，得p>1，设，则②，因为直线恰好平分，所以直线AM与直线BM的倾斜角互补，所以直线AM的斜率与直线BM的斜率互为相反数，即，即，整理得③，将①②代入③，得.故答案为2.

16． 【解析】如图，设D为AB的中点，连接CD，OA，OB.因为O为的重心，D为AB的中点，所以易知C，O，D三点共线，又因为，即为等腰三角形，所以CD⊥AB，所以.因为PO=4，即点P到平面ABC的距离等于4，，所以，，从而可知，所以四边形为菱形，所以，所以或其补角即为直线CP与直线所成的角，在中，由余弦定理得

.故答案为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

【解析】（1）因为数列是各项均为正数的等比数列，所以公比，（1分）

因为，所以，即.（2分）

由题易知是公比为的等比数列，所以是公比为的等比数列.（3分）

因为=，所以，（4分）

所以，所以（不合题意，舍去）.（5分）

所以.（6分）

（2）因为，所以.（7分）

所以，（8分）

，（9分）

两式相减得（10分）

，（11分）

所以.（12分）

18．（12分）

【解析】（1）将正方体的平面展开图还原得到如图所示的正方体，

延长FE与DA的延长线交于点M，连接GM，交AA1于点H，连接EH，则EH即为所作.（2分）

直线EH与直线FG的位置关系为平行，即EH∥FG.（3分）

证明如下：因为E为AB的中点，所以易得≌，

所以AM=BF，ME=FE，即E为MF的中点，（4分）

又BF=A1G，所以AM=A1G，所以≌，

所以MH=GH，即H是线段MG的中点，（5分）

所以EH是的中位线，故EH∥FG.（6分）

（2）如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

（7分）

不妨设正方体的棱长为2，由（1）知，H为AA1的中点，则D（0，0，0），H（2，0，1），E（2，1，0），F（1，2，0），G（1，0，2），（8分）

所以，，，（9分）

设平面EFGH的法向量是，则，即，（10分）

解得x=y=z，令x=1，则平面EFGH的一个法向量是，（11分）

设DH与平面EFGH所成的角为，则，即直线DH与平面EFGH所成的角的正弦值为.（12分）

19．（12分）

【解析】（1）补充完整的列联表如下：

因为的观测值，

所以在犯错误的概率不超过的前提下，能判断食品浪费情况与是否采取措施有关．（6分）

（2）由题可知，采取措施后40天的日浪费食品量小于的频率为，

所以估计该酒店倡导节约、采取措施后，日浪费食品量小于的概率为．（8分）

（3）该酒店采取措施前40天的日浪费食品量的平均数为

，（10分）

该酒店采取措施后40天的日浪费食品量的平均数为

，（11分）

因为，

所以估计该酒店倡导节约、采取措施后，一年能节省食品．（12分）

20．（12分）

【解析】（1）因为椭圆E的离心率是方程的一个根，所以或.

因为椭圆E的离心率，所以.（1分）

因为，所以，所以，

因为点，分别为椭圆的左顶点和上顶点，所以．（3分）

因为坐标原点到直线的距离为，所以，（4分）

所以，所以，所以，，

所以椭圆的标准方程为．（6分）

（2）当直线MN的斜率存在时，设MN：y=kx+m，

由，消元并化简得，

设，则，，

又，，所以，

所以，

即，

所以，

所以，

即，

所以或，

当时，，此时M，N，P重合，舍去.

当时，，恒过点.

当直线MN的斜率不存在时，MN⊥x轴，经计算可知此时直线MN也过点.

所以直线MN恒过定点.（12分）

21．（12分）

【解析】（1）由，即恒成立，得恒成立.（2分）

令，则由得.（2分）

当时，，单调递减；当时，，单调递增，（3分）

所以函数在时取到最小值，即.（4分）

所以，故的取值范围是.（5分）

（2）当时，要证，即要证，

由，得，

令，则，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

所以在处取到极小值，也是最小值，即.（9分）

令，则，

令，则，当时，，所以在上单调递减，所以，

令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，从而可得，

易知，所以当时，.（12分）

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

【解析】（1）因为椭圆的左、右焦点分别是曲线与轴的交点，

所以椭圆的左、右焦点的极坐标分别为，，（2分）

故椭圆的半焦距为，又椭圆的长轴长为，所以椭圆的短轴长为，

所以椭圆的直角坐标方程为．（5分）

（2）由（1）知椭圆的直角坐标方程为，设，

因为直线轴，不妨设点位于轴上方，则，，

因为，所以，（8分）

所以点的轨迹方程为或，

点的轨迹为椭圆夹在直线与直线之间的部分以及原点．（10分）

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

【解析】（1）由题可得，

因为，所以或或，（2分）

即或或，（3分）

所以或，所以不等式的解集为．（5分）

（2）因为存在，使得，所以，（7分）

由（1）可知，作出函数的图象，如下图所示，（8分）

由函数的图象可知，（9分）

所以，所以实数的取值范围为．（10分）